2-3线性方程组有解的判定定理

5 x1 = 2x3 + 3 x4 , 由此即得 4 x2 = −2x3 − x4 , ( x3 , x4 可任意取值 ). 3
令 x 3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数 形式 5 5 x1 = 2c2 + c2 , x1 2 3 3 x = −2c − 4 c , x2 − 2 c − 4 . 2 2 2 ∴ = c1 + 2 3 3 x3 1 x = c , 0 3 1 0 x 4 x4 = c2 , 1
L 从而方程组（ 从而方程组（ 2）有解 ⇔ b 可由 α 1 , α 2， , α n L 线性表示 ⇔ R ( A ) = rank (α 1 , α 2， , α n ) = 证毕 rank (α 1 , α 2， , α n， b ) = R ( B ). L
推论
Ax = b有唯一解 ⇔ R(A) = R(B ) = n Ax = b有无穷多解. ⇔ R(A) = R(B ) < n 有无穷多解.
组 Ax = 0 只有零解 ( 有非零解 )的充分必要 条件是系数行列式
定理 2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩 .
证 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ), 这里 α 1 , α 2 , L , α n 是 A 的列向量组， 的列向量组，则 Ax = b 可写成 (4) x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n = b .
则上述方程组（ ） 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax = b
(2)
为方程组(1)的系数矩阵, 称A为方程组 的系数矩阵 B=(A,b)为(1)的增广 为方程组 为 的 有解 则称它是相容 如果 矩阵. 如果 有解,则称它是相容的 如果(1)没有 矩阵 如果(1)有解 则称它是相容的;如果 没有 则称它不相容 解,则称它不相容 则称它不相容. 则称(1)为 若常数项 b1 , b2 ,L , bn不全为零 , 则称 为非 齐次线性方程组; 齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,L, bn 全为零 , 此时称(1)为齐次线性方程组 此时称 为齐次线性方程组.
λ
1− λ (1 − λ )(2 + λ )
λ (1 − λ ) 2 (1 − λ )(1 + λ )
λ2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
R ( A ) = R ( B ) < 3, 方程组有无穷多解 .
例５ 设有线性方程组
λx1 + x2 + x3 = 1 x1 + λx2 + x3 = λ x + x + λ x = λ2 1 2 3
问λ取何值时 , 有解 ? 有无穷多个解 ?
作初等行变换， 解 对增广矩阵 B = ( A, b ) 作初等行变换，
B =1 1 λ 1 1 1
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
三、线性方程组的求解
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
施行初等行变换： 对系数矩阵 A 施行初等行变换： 1 2 2 1 1 2 2 1 r2 − 2r1 A = 2 1 − 2 − 2 0 − 3 − 6 − 4 1 − 1 − 4 − 3 r3 − r1 0 − 3 − 6 − 4
的列向量组， 的列向量组，则 Ax = 0 可写成 x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n = 0 .
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
(3)
可知: 由(3)可知 可知 齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 ⇔ α 1 , α 2， , α n 线性相关 ⇔ L
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换 1 − 2 3 − 1 1 r2 − 2r1 1 − 2 3 − 1 1 r −r B = 3 − 1 5 − 3 2 3 1 0 5 − 4 0 − 1 2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 0 − 4 0 1 2 5 0 解
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B ) = 3, 方程组有唯一解 :
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 1 0 0 x = x 2 0 + x4 2 + 1 2 . 3 0 1 0 x 4
解证 对增广矩阵 进行初等变换， 对增广矩阵B进行初等变换， 进行初等变换 方程组的增广矩阵为
0 0 1 −1 0 1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 B= 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1
1 0 0 ~ 0 0 0 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0
定义： 的任一解， 定义：含有 n − r 个参数的方程组 (1 )的任一解， 称为线性方程组的通解 , 这里 r = R ( A ).
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解. 便可写出其通解 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 非齐次线性方程组： 便可判断其是否有解．若有解， 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解. 简形矩阵，便可写出其通解
二、线性方程组解的判定定理
问题： 问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 的秩，
的解． 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R ( A ) < n. 证 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ), 这里 α 1 , α 2 , L , α n 是 A
第三节 线性方程组的解
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一、线性方程组的基本概念 二、线性方程组解的判定定理 三、线性方程组的求解
• •
一、线性方程组的基本概念
设线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (1) LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn 令 b1 x1 a11 a12 L a1n b a21 a22 L a2 n x = x2 , b = 2 A= M M , L L L L b x a n n m 1 am 2 L amn
由于R( A) = R( B ) = 2, 故方程组有解，且有 故方程组有解，
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x x1 = x2 + x4 + 1 2 2 2 4 ⇔ x 3 = 2 x4 + 1 2 x 3 = 0 x 2 + 2 x4 + 1 2 x 4 = 0 x 2 + x4
a1 a2 a3 a4 a5
Q R( A) = R( B ) 5 ai = 0 ⇔ a4 i =1 5 ∑ ai i =1 a1 a2 a3
∑
∴ 方程组有解的充要条件 是 ∑ a i = 0.
i =1
5
x1 − x2 = a1 x − x = a 3 2 由于原方程组等价于方程组 2 x 3 − x4 = a 3 x4 − x 5 = a 4 由此得通解： 由此得通解： x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5 x =a +a +a + x 2 2 3 4 5 x 3 = a 3 + a4 + x5 ( x5为任意实数 ). x4 = a 4 + x 5
R ( A ) = rank (α 1 , α 2， , α n ) < n . L
解的充分必要条件是系 数矩阵的秩 R( A) = n. 推论1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 只有零
推论 2
阶方阵时， 当 A 是 n阶方阵时， 齐次线性方程 | A |≠ 0 | A |= 0） （ .
λ
1
λ
1 1 λ ~1 λ2 λ
λ λ2 λ 1 λ
1 1 1 1
1 1 λ ~ 0 λ −1 1− λ 0 1 − λ 1 − λ2
λ2 2 λ −λ 1 − λ2
1 1 λ λ2 2 ~ 0 λ −1 1− λ λ −λ 0 0 2 − λ − λ2 1 + λ − λ 2 − λ3 1 1 = 0 λ −1 0 0
0 0 1 −1 −1 1 1 − 1 − 1 1 B = 1 − 1 1 − 3 1 ~ 0 0 2 − 4 1 1 − 1 − 2 3 − 1 2 0 0 − 1 2 − 1 2
1 − 1 0 − 1 1 2 ~ 0 0 1 − 2 1 2 . 0 0 0 0 0
其中 x 2 , x 4 任意 .
x1 − x 2 x − x 3 2 例４ 证明方程组 x 3 − x4 x − x 5 4 x5 − x1 求出它的一切解． 求出它的一切解．
= a1 = a2 = a3 = a4 = a5
有解的充要条件
在有解的情况下， 是 a1 + a 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+ a 3 + a4 + a5 = 0.在有解的情况下，
x1 = 1 − x2 − x3 其通解为 x2 = x2 x = x 3 3
( x 2 , x 3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ B ~ 0 1 −1 0 0 2 + λ
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
λ2 −λ 2 (1 + λ )
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 . x1 − x2 + x3 − 3 x4 = 1 x − x − 2x + 3x = −1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换