08-线性方程组的解的结构定理

例 设 Am×nBn×l = O，证明
R(A) + R(B) n .
例 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0同解， 证明 R(A) = R(B) .
例 证明 R(ATA) = R(A) .
n
例
设A是
n
阶方阵，则
R(
A*)
1
0
R( A) n R( A) n 1 R( A) n 1
0
1
所以原方程组的通解是 x k11 k22
23
例
已知四元线性方程组Ax b的三个解是 1,2,3，
1
3
且
1
2
，
3
2
3
5
，R(
7
A)
3。
求方程组的通解
4
9
解: 由 4 R(A) 1 知导出方程组基础解系有一个解
易知 2 3 21 1 1 1 1T 是导出方程组的一个解. 进而 1 1 1 1T 是导出方程组基础解系.
(2)
x1
2 x2
1 5
x4
0
x3
3 10
x4
0
x2 , x4 是自由变量。
在(2)中令
x2 x4
1
0
;
0
1
得
1
2
1
,
0
0
2
1 5
0
3
10
1
则通解为 x k11 k22
例 : 求下列齐次方程组的通解。
x1 2 x2 3 x3 0
3 2
当 R A R A 方程组无解;
当 R Amn R A , 且 R Amn n 方程组有唯一解;
当 R Amn R A ,且 R Amn n方程组有无穷多个解;
特别地当 m n 时 Amn 0 方程组有唯一解;
当 Amn 0时方程组可能无解, 若有解则必有无穷多解
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
1
0
1
1 2
(a
c
b)
3 1
2, 2
2
1 2
(a
b
c)
1 5
2 , 2
3
1 (b 2
c
a)
0 3 3
2, 2
1
1 2 1 ,
2
1
13 3
2
为Ax 0的基础解系中的解向量.
故Ax b的通解为
x1 x1
7 x2 5 x2
10 x3 7 x3
0 0
x1 3 x2 4 x3 0
1 2 3
解：
A
3
7
10
2 5 7
1
3
4
1 2 3
1 0 1
初等行变换
0
1
1
0
1
1
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
x1 x2
x3 x3
0 0
令
x3 1
1
得
1
1
通解 x k
Ax 0 的通解是 x k11 k22 L knrnr
齐次线性方程组的Ax=0的基础解系的求法：
1. 把矩阵A经过行初等变换变为行最简形； 2. 找出行最简形对应的自由变量； 3. 将自由变量分别取0和1； 4. 解出其余变量，它们组成n-R(A)个线性无关的 解向量，即为原方程组的基础解系。
定义 非齐次线性方程组中Ax=b的常数项都换成0， 得到齐次线性方程组
Ax=0
称它为非齐次线性方程组Ax=b的导出方程组， 或称为与方程组Ax=b对应的齐次方程组。
命题： 非齐次线性方程Ax=b的解与它的导出方程组Ax=0 的解之间有如下关系：
(1) 设 1 , 2 是 Ax b 的解, 则 1 2 是 Ax 0的解；
即解空间S的维数dim S=n r
证明:
不妨设
1
L
M
0 L
A
化为行
0
L
最简形 M
0
L
0 b11 L MM 1 br1 L 0 0L MM 0 0L
b1,nr
M
br ,nr 0
B
M
0
x1 b11 xr1 L b1,nr xn 0
对应的方程组
x2
b21
xr 1
L
LL
b2,nr xn L
解
1 1 1 1 0
A | b 11
1 1
1 2
3 3
1 1
2
1 1 0 1 1 2
0 0
0 0
1 0
2 0
12 0
,
所以R(A)=R(A|b)=2, 原方程有解，且
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
取 x2
x4
0,
则 x1
x3
1 ,即得方程组的一个解 2
1 2
k
1
1 1 0 0
k
2
1 0 2 1
12 0 12 0
,
(k
,
1
k
2
R).
记
b11
b12
M
M
b1,nr
M
1
br 1 1
,
2
br 0
2
,
L
,
nr
br ,nr 0
.
0
1
0
M
M
M
0
0
1
则 1,2 ,
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
1,2 ,L ,nr , 则非齐次方程组的所有解为
0 k11 k22 L knr nr|ki R, 1 i n r
称 0 k11 k22 L knrnr 为非齐次方程组的通解
(2) 非齐次方程组 Amn x b 解个数的情况.
非齐次方程组在有解的情况下解的个数取决于 其导出方程组解的个数情况.即
第3章
线性映射
3.2 线性方程组解的结构定理
回忆： S { x | Amn x 0 } 是 Rn 的子空间，称为齐次 线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间。
定义 3.2.4 齐次线性方程组的解空间的一组基称为 这个齐次线性方程组的一个基础解系。
注：
若1,2 ,L ,s 是Ax 0 的一个基础解系，则 ξ是 Ax = 0 的一个解，当且仅当ξ能被 1,2 ,L ,s
(
A
|
b)
1
2
1
3
3 8 1 1
3
0
7
2
1
0 0 0
4 0
4
0
1
9
3
7
7
0
0
0
0
0
可见R( A) R( A,b) 2, 故方程组有解, 进一步 化为行最简形：
1 0 3 7 13 7 13 7
0
1
2 7
4 7
4
7
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
21
x1
3 7
x3
13 7
x4
13 7
x2
2 7
x3
4 7
x4
4 7
令 x x 0,
3
4
13 7
得到方程组的一个特解
4
0 0
7
22
在对应的齐次线性方程组
令 x3 1, 0
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
x 4
0 1
3 7
13 7
得基础解系
1
27 1
,
2
47 0
线性表示，即：存在实数 k1, k2 ,L , ks , 使得
k11 k22 L kss .
我们称：
k11 k22 L kss , k1 , k2 ,L , ks R
为线性方程组Ax=0的通解或一般解。
定理3.2.5：
设 A是 m n 矩阵，如果 R( A) r n,
则齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 n r 个解向量。
0 12
.
0
在对应的齐次线性方程组
x1 x3
x
2
x4 ,中, 2 x4
取
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
1
1 0
,
0
1
2
0 2
,
1
于是所求通解为
x x x x
1 2 3 4
x1 1 1 1 x2 k1 1 k2 3 3 2, x3 2 2 1 2 其中k1 , k 2为任意实数.
备用习题
例 求解方程组
x1 x2 x3 x4 0,
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
故方程组的通解为 k 1 1 1 1T 1 2 3 4
例：已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性方程组
Ax = b 的解, R(A) = 1, 且
1
1
1
1
2
0
, 2
3
1
, 1
3
1
,
0
0
1
求方程组的通解.
解 A是m 3矩阵, R( A) 1,
Ax 0的基础解系中含有3 1 2个线性 无关的解向量.
例 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
1 2 4 1
解： A
2 3
4 6
8 2
1 0
1
Leabharlann Baidu
初等行变换
0 0
2 0 0
4 10
0
1 1
3 0
0 0
2 0 0
0 1 0
15
3
10
0
行最简形矩阵对应的方程组为
xr 2
0
1
0
M M M
M
xn 0 0
1
（2）向量组
b11 b12
M
M
b1,nr
M
br 1
1
,
br 0
2
,
L
,
br
,n
r
0
(C)
0 1 M M
0
M
0 0
1
线性无关。
综合(1) (2)得, 向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.
0
(B)
xr br1 xr1 L br,nr xn 0
（1）令 xr1 ,L , xn 依次为 c1 ,L , cnr 得方程组的通解
x1
M
b11
M
b12
M
b1,nr
M
xr xr 1
c1
br1 1
c2
br 2 0
L
cnr
br ,nr 0
判断正误: Amn x b 满足 m n ,则方程组有无穷多解
x1 5 x2 x3 x4 1
例:
求解非齐次方程组
x1 2 x2 x3 3 x4 3 x1 8 x2 x3 x4
3 1
x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
解： 1 5 1 1 1
1 5 1 1 1
(2) 是 Ax b 的解, 是 Ax 0 的解, 则
是 Ax b 的解;
定理3.2.7 设0是Ax=b的一个特解，是非齐次线性
方程组任一个解,则Ax=b的任一个解 都可表示为
0 +
其中 是导出方程组Ax=0的解。
注:(1)解非齐次方程组 Ax b ,只需要找出非齐次方程组
一个解设为 0 , 并找出其导出组的 Ax 0 的基础解系设为