刚体的转动惯量

m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
3
x o x dx
J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关
例3：在无质轻杆的 b 处与 3b 处各系质量为
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
（2）
m2
T1 m1
(T1 T2 )R J （3）
m1g
a R
（4）
J 1 MR 2
m2
2
M ,R
m1
M ,R
T2
T1
T2
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联立方程，求解得：
a
m1g
m1 m2 M /2
T1
m1 (m 2 m1 m2
M /2)g M /2
T2
m1
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
m1m 2 g m2 M
/2
m2
M ,R
m1
当 M=0 时：
T1
T2
m1m 2 g m1 m2
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半 径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂 一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t , 求轮子的转动惯量 J 。
解： mg T ma (1)
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
r
R 0
r2
M
R2
2
rdr
1 MR2 2
二、平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两 轴间的距离平方的乘积： J J C md 2
如： JC
1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
x
Jx Jy
例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 转动的转动惯量Jy。
解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为：
Jz
1 MR 2
2
J z J x J y 2J y
J
y
1J 2
z
1 4
MR
2
y
z
x
例7、长为 l、质量为 m 的
细杆，初始时的角速度为
0，由于细杆与桌面的摩
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点
系的转动惯量J。
解：J
2
m iri2
i 1
2mb 2 m (3b)2
2m
m
o
b 3b
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
TR J
(2)
h at2/2
(3)
T
a R
(4)
联立方程，求解得：
T
J mR 2 ( gt 2 2h ) 2h
mg