因式分解》【学案+参考教案+同步课件】
经典教案第21讲因式分解教师专用
第二^一讲、因式分解【知识要点】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解 公因式：一个多项式的各项都含有相同的因式叫做这个多项式的公因式 因式分解的主要方法 1•提公因式法 2•运用公式法3•分组分解法 4•十字相乘法 5•添项拆项法选择因式分解方法：先看能否提公因式•在没有公因式的情况下：二项式用平 方差公式或立方和差 公式,三项式用十字相乘法（特殊的用完全平方公式），三项以上用分组 分解法•注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止三、分组分解法：1.分组后能直接提公因式例:分解因式：2ax 10ay5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二 :第一、四项为 •组；第三、四项为一组。
第二、三项为- 一组。
解：原式 2 ax 10ay 5by bx 原式2ax bx 10ay 5byma mb me m a b e1•平方差公式： a 2 b 2a b ab2•完全平方公式：2a2ab b 2a b23.立方和公式：3a b 3 ab 2 a ab b 23b 3b 2abb 24.立方差公式： a a a5.三项完全平方公式：2ab 2 2 e 2ab 2ae2be a b3. 336・ a b e3abeab e2a .2 2b eab be ae、提公因式法: 2c二、运用公式法:2a x 5y b x 5yx 2a b 5y 2a b 例 2、分解因式： 3x 2 11x 10x 5y 2a b2a b x 5y2.分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式： 2 2 2a 2ab b c解：原式 a 2 222ab b 2 c 2a22bcab c a b c四、十字相乘法凡是能十字相乘的二次三项式ax 2 bx c ，都要求2b 2 4ac 0 而且是一个完全平方数。
（一） 二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 bx c 。
条件：如果存在两个实数 p 、q ，使得c pq 且b p q ，那么x 2 bx c x p x q例 1、 分解因式： x 2 5x 6条件：（ 1）a a 1a 2（2） c c 1c 2（3） ba 1c 2 a 2c 22分解结果：ax bx c a 1x c 1a 2x c2由于 62323 1 612 3 5。
14.3 因式分解【教案】八年级上册数学
14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。
《因式分解法》参考教案-【通用,经典教学资料】
21.2解一元二次方程21.2.3 因式分解法教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x-+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0； 方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可． 教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为2．x x10 4.9你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P14练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
【教学设计】因式分解法——教案、学案、教学设计资料文档
【教学设计】因式分解法——教案、学案、教学设计资料文档教案章节：一、因式分解法简介教学时长：45分钟教学目标：使学生了解因式分解法的概念和意义，理解因式分解法的基本原理。
教学内容：介绍因式分解法的定义，解释其在数学中的重要性。
教学方法：采用讲授法，结合实例进行讲解。
教学准备：教案、学案、多媒体教学设备。
教学过程：1. 导入：通过引入数学问题，激发学生对因式分解法的好奇心。
2. 讲解：讲解因式分解法的定义和意义，解释其在解决数学问题中的应用。
3. 实例演示：通过具体的数学问题，展示因式分解法的解题过程。
4. 练习：学生进行因式分解法的练习，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调因式分解法的重要性。
二、因式分解法的基本原理教学时长：45分钟教学目标：使学生理解因式分解法的基本原理，掌握因式分解的基本技巧。
教学内容：讲解因式分解法的基本原理，包括提公因式法、分组分解法等。
教学方法：采用讲授法，结合实例进行讲解。
教学准备：教案、学案、多媒体教学设备。
教学过程：1. 导入：通过引入数学问题，引导学生思考因式分解的原理。
2. 讲解：讲解因式分解法的基本原理，包括提公因式法、分组分解法等。
3. 实例演示：通过具体的数学问题，展示因式分解法的基本技巧。
4. 练习：学生进行因式分解法的练习，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调因式分解法的基本原理。
三、因式分解法的应用教学时长：45分钟教学目标：使学生掌握因式分解法在解决实际问题中的应用。
教学内容：讲解因式分解法在解决实际问题中的应用，如解方程、求最大公因数等。
教学方法：采用讲授法，结合实例进行讲解。
教学准备：教案、学案、多媒体教学设备。
教学过程：1. 导入：通过引入数学问题，引导学生思考因式分解法在实际问题中的应用。
2. 讲解：讲解因式分解法在解方程、求最大公因数等方面的应用。
3. 实例演示：通过具体的数学问题，展示因式分解法在解决实际问题中的应用。
【教学设计】因式分解法——教案、学案、教学设计资料文档
一、教案概述【教学设计】因式分解法——教案、学案、教学设计资料文档二、教学目标1. 让学生掌握因式分解的定义和基本方法。
2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。
三、教学内容1. 因式分解的定义及意义2. 常用因式分解方法：提公因式法、分组分解法、公式法等3. 因式分解在实际问题中的应用四、教学过程1. 导入：通过简单的数学问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：详细讲解因式分解的定义、方法和步骤。
3. 例题解析：分析并解决典型例题，让学生掌握因式分解的实际应用。
4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生作业、测验等，评估学生对知识的掌握程度。
3. 学生反馈：收集学生对教学的意见和建议，不断优化教学方法。
六、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究因式分解的方法。
2. 利用多媒体课件，生动展示因式分解的过程，提高学生的学习兴趣。
3. 创设情境，让学生在解决实际问题中运用因式分解，感受其价值。
4. 分层次教学，关注学生的个体差异，满足不同程度学生的学习需求。
5. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
七、教学资源1. 多媒体课件：制作内容丰富、画面精美的课件，辅助教学。
2. 练习题库：整理一份涵盖各种类型因式分解问题的习题库，方便课堂练习和课后巩固。
3. 教学视频：收集一些关于因式分解的教学视频，供学生课后自主学习。
4. 网络资源：利用互联网，为学生提供更多与因式分解相关的学习资料。
八、教学实践1. 课堂讲授：因式分解的基本概念和常用方法。
2. 例题演示：讲解典型的因式分解问题，展示解题思路。
3. 练习指导：引导学生独立完成练习题，及时解答学生疑问。
初中数学初一数学下册《因式分解》教案、教学设计
3.结合本节课学习的因式分解知识，尝试解决以下实际问题：
（1）一个长方形的长是宽的两倍，已知长方形的周长是30cm，求长和宽的长度。
（2）某数的平方与25的差是64，求这个数。
2.自主探究，合作交流：引导学生通过自主探究，发现因式分解的方法，鼓励学生之间进行合作交流，共同总结规律。
3.演示讲解，突破难点：针对重难点内容，教师进行详细讲解，配合实际例题，使学生更好地理解因式分解的方法和技巧。
4.分层练习，巩固提高：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，逐步提高解决问题的能力。
（7）拓展延伸：针对学有余力的学生，可以设计一些综合性的练习题，提高学生的综合运用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
今天我们将开始学习因式分解这一章节。首先，我想请大家回顾一下我们已经学过的整式乘法。整式乘法是将两个或多个整式相乘，而因式分解则是将一个多项式分解成几个整式的乘积。这是两种相反的运算过程，但它们之间有着密切的联系。
3.判断使用哪种因式分解方法需要根据多项式的具体形式和特点。
希望同学们在课后能够主动复习本节课的内容，多做练习题，掌握因式分解的方法和技巧。在下节课中，我们将进一步探讨因式分解在实际问题中的应用。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第56页的练习题1、2、3，这些题目涵盖了因式分解的基本方法，通过这些练习，希望大家能够熟练掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式。
初中数学初一数学下册《因式分解》教案、教学设计
一、教学目标
《因式分解教学》课件
步骤：找出公因式， 将其提取出来，形 成新的多项式
注意事项：提取公 因式后，原多项式 变为新的多项式
应用：适用于多 项式中含有公因 式的情况
公式法
公式法是因式分解的一种基本方法，适用于多项式 公式法包括平方差公式、完全平方公式、立方差公式等 公式法可以简化因式分解的过程，提高解题效率 公式法需要掌握公式的推导过程和应用条件，以便正确使用
确定公因式： 找出所有项的
公共因子
提取公因式： 将公共因子提 取出来，形成
新的多项式
合并同类项： 将提取公因式 后的多项式合
并同类项
继续提取公因式： 如果多项式还有 公共因子，继续 提取公因式，直 到无法再提取为
止
公式法的注意事项
公式法适用于二 次三项式
公式法需要掌握 公式：a^2b^2=(a+b)(a-b)
因式分解在解方程中的应用
因式分解可以帮助我们简化方程，使方程更容易求解 因式分解可以帮助我们找到方程的解，例如在求解二次方程时 因式分解可以帮助我们判断方程是否有解，例如在求解一元三次方程时 因式分解可以帮助我们判断方程的解的个数，例如在求解一元四次方程时
因式分解的注意 事项
提公因式的注意事项
定义：一种用于分解二次三 项式的方法
注意事项：确保两个一次因 式的乘积等于原二次三项式
因式分解的应用
因式分解在代数中的应用
解方程：通过因式分解，可以简 化方程的求解过程
化简：通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为简单的形式
添加标题
添加标题
求值：通过因式分解，可以快速 求出代数式的值
添加标题
添加标题
综合法： 将多种方 法综合使 用，以达 到因式分 解的目的
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
初中数学八年级《因式分解》教育教学课件
乘 法
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
【例题】
(1) 把6x2 +13x + 6分解因式 解： 2x 3
3x 2 4x+9x=13x ∴ 原式=(2x+3)(3x+2)
常 规 方 法
(2) 例2：把3m3 -3m2 -60m分解因式
■
解： 3m3 -3m2 -60m
十
=3m(m2 -m -20m)
= (y+5)(y-2) = (x2+x+5)(x2+x-2) = (x2+x+5)(x+2)(x-1)．
特
殊
求根公式法
方
法
利用一元二次方程求根公式中两个解与未知数的关系进行分解因式的方法叫做求根公式法。
■
【基本步骤】
求
一般的如果对ax2+bx+c这样的一元二次三项式进行因式分解时，
根
可令：ax2+bx+c=0，构建出一个一元二次方程，
字
m
-5
相
乘
m
4
法
4m-5m = -m
∴ 原式=3m(m-5)(m+4)
常
规
分组分解法
方 法
通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，这种分解因式的方法
■
叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法， 三一分法。
分
组
【例题】
分
(1) 因式分解ax+ay+bx+by
解析：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘
数学 因式分解 说课稿 PPT
教学手段
• 采用多媒体辅助教 学，增加课堂容量， 提高教学效果。
• 教学过程 • 创设情景，引出新知
• 3a(a-1)=？ • m(a+b+c)=？ (m+4)(m+4)=？ (b-3)²=？ a（a-1)(a+1)=?
• 观察分析，探究新知
• 练习：当a=101，b=99时，求a²-b²的值.
因式分解
•
• • •
教材分析 教学目标 教学重、难点 教法、学法及手段 教学过程
教材分析
•
《因式分解》人教版义务教育课程标准实验教 科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》 第一课时“因式分解的意义”。因式分解就整个 数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。 就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式 分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。它是 在学生掌握了因数分解、整式乘法的基础上来讨 论因式分解概念，通过这节课的学习，不仅使学 生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学 习分式、解方程及代数式的恒等变形作铺垫。因 此，它起到了承上启下的作用。
教学目标
知识目标：理解因式分解的概念和意义，掌握因式分解与整式 乘法之间的关系。
能力目标：①经历从分解因数到分解因式的类比过程，培养 学生的观察、 发现、类比、化归、概括等能力； ②通过对因式分解与整式乘法的关系的理解，克服 学生的思维定势，培养他们的逆向思维能力； 情感目标：培养学生乐于探究，合作的习惯，体验探索成功， 感受到成功的乐趣。
整理知识，形成结构。
。
同学们， 你们本节课学到什么？
布置作业，巩固提高
习题2,3
板 书
引入 强化 3a(a-1)=？ a² +4a+4= m(a+b+c)=？ x² -2x+1= (m+4)(m+4)=？ 4a² -1= (b-3)² =？ x² -1= a（a-1)(a+1)=? 观察 当a=101，b=99时， 求a² -b² 的值. 互动 下列由左向右的变形，9 m² -4=(m-2)(m+2) a² -b² +1=(a+b)(a-b)+1 2mR+2Mr=2m(R+r)
《因式分解》试讲ppt课件
3 2 2
探索因式分解的方法——提公因式法 因式分解：ma mb mc
解:
ma mb mc m(a b c)
公因式 多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以 分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种 因式分解的方法，叫做提取公因式法。
教科书习题14.3第1、4（1）题．
回顾因式分解的概念
上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几 个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的 变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的 形式． 请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（ x x+1 ） x 2 +x= _______________ ； 2 x -1= ________________. （x+1） （x-1）
的一个，即字母最低次幂
注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式.
例题讲解
例1 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 (2a2+3bc) (2) 2a(b+c) - 3(b+c) =(b+c)(2a-3)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
课堂小结 1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： (1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
《因式分解的简单应用》导学案PPT课件教案
《因式分解的简单应用》导学案PPT课件教案《因式分解的简单应用》导学案PPT课件教案《因式分解的简单应用》导学案PPT课件教案第6.4因式分解的简单应用背景材料：因式分解是初中数学中的一个重点内容，也是一项重要的基本技能和基础知识，更是一种数学的变形方法，在今后的学习中有着重要的作用。
因此，除了单纯的因式分解问题外，因式分解在解某些数学问题中有着广泛的作用，因式分解在三角形中的应用，因式分解可以用来证明代数问题，用于代数式的'求值，用于求不定方程，用于解应用题解决有关复杂数值的计算，本节课的例题因式分解在数学题中的简单应用。
教材分析：本节课是本章的最后一节，是学生学习因式分解初步应用，首先要使学生体会到因式分解在数学中应用，其次给学生提供更多机会体验主动学习和探索的“过程”与“经历”，使多数学里拥有一定问题解决的经验。
教学目标：1、在整除的情况下，会应用因式分解，进行多项式相除。
2、会应用因式分解解简单的一元二次方程。
3、体验数学问题中的矛盾转化思想。
4、培养观察和动手能力，自主探索与合作交流能力。
教学重点：学会应用因式分解进行多项式除法和解简单一元二次方程。
教学难点：应用因式分解解简单的一元二次方程。
设计理念：根据本节课的内容特点，主要采用师生合作控讨式课堂教学方法，以教师为主导，学生为主体，动手实践训练为主线，创新思维为核心，态度情感能力为目标，引导学生自主探索，动手实践，合作交流。
注重使学生经办观察、操作、推理等探索过程。
这种教学理念，反映了时代精神，有利于提高学生的数学素养，能有效地激发学生的思维积极性，学生在学习过程中调动各种感官，进行观察与抽象、操作与思考、自主与交流等，进而改进学生的学习方法。
教学过程：一、创设情境，复习提问1、将正式各式因式分解（1）（a+b）2－10（a+b）+25 （2）－xy+2x2y+x3y（3）2 a2b－8a2b （4）4x2－9[四位同学到黑板上演板，本课时用复习“练习引入”也不失为一种好方法，既先复习因式分解的提取分因式和公式法，又为下面解决多项式除法运算作铺垫]教师订正提出问题：怎样计算（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）二、导入新课，探索新知（先让学生思考上面所提出的问题，教师从旁启发）师：如果出现竖式计算，教师可以给予肯定；可能出现（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）= ab－8a2追问学生怎么得来的，运算的依据是什么？这样暴露学生的思维，让学生自己发现错误之处；观察2 a2b－8a2b=2 ab（b－4a），其中一个因式正好是除式4a－b的相反数，如果用“换元”思想，我们就可以把问题转化为单项式除以单项式。
《因式分解法》参考教案【教学参考】
《因式分解法》参考教案--【教学参考】一、教学目标1. 让学生理解因式分解的概念和意义。
2. 引导学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
4. 使学生能够运用因式分解法解决实际问题。
二、教学内容1. 因式分解的概念和意义。
2. 因式分解的基本方法：提公因式法、公式法、分组分解法等。
3. 因式分解的技巧：观察、尝试、推理等。
4. 因式分解的应用：解决实际问题、简化表达式等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：因式分解的概念、方法和技巧。
2. 教学难点：因式分解的应用和解决实际问题。
四、教学方法1. 讲授法：讲解因式分解的概念、方法和技巧。
2. 案例教学法：分析具体例子，引导学生运用因式分解法解决问题。
3. 练习法：布置练习题，让学生巩固所学知识和技巧。
4. 小组讨论法：分组讨论，促进学生之间的交流和合作。
五、教学过程1. 导入：通过引入实际问题，引发学生对因式分解的兴趣。
2. 讲解：讲解因式分解的概念、方法和技巧，举例说明。
3. 练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 应用：分析实际问题，引导学生运用因式分解法解决问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生的听课效果和理解程度，通过提问和回答问题的方式进行。
2. 练习题：评价学生的实际操作能力和运用因式分解法解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生的复习和巩固程度，以及对因式分解法的掌握情况。
4. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，包括交流、合作和解决问题能力。
七、教学策略1. 针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导和建议。
2. 通过具体例子，引导学生主动思考和探索，提高学习兴趣。
3. 鼓励学生提问和发表意见，营造积极的学习氛围。
4. 适时给予鼓励和肯定，增强学生的自信心和学习动力。
八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材：提供清晰的教学内容和示例。
《4.1因式分解》公开课课件教案教学设计
《4.1因式分解》教案1.在小学里,我们学过:2×3×4=24 ( )24 = 2×3×4 ( )2.第三章里,我们学过:x (x - y) = ( )x2 - xy = x (x - y) ( )而在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积.像这样把多项式转化为两个整式的积的形式，是一种重要的代数式变形。
观察下列两种代数式的变形，它们之间有什么关系？定义（板书）：一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
(3)4x2-4x+1=(2x-1)2(4)x2-3x+1=x(x-3)+1答案：√√√×注意！！特点：左边是多项式，右边是整式的积3、把左、右两边相等的代数式用线连起来答案：左边1连右边2，左边2连右边3，左边3连右边1，左边4连右边4当堂检测1、下列等式中，哪些从左到右的变形是分解因式？（1）x+2y-(x+y)+y （2）p(q+h)-pq+ph（3）4a2-4a+1=4a(a-1)+1 （4）5x2-10xy=5xy(x-2y)（是）2、检查下列因式分解是否正确。
（1）a3+a2+a=a(a2+a) （2）-2a2+4a=-2a(a+2)（3）x2+xy=x(x+y) （4）x2+x-6=(x-2)(x+3)解：（1）错误,原式=a(a2+a+1) （2）错误，原式=-2a(a-2)（3）正确（4）正确3、如图：用1张如图甲的正方形纸片，3张如图乙的长方形纸片片，2张如图丙的正方形纸片可以拼成一个长方形如图丁。
请写出表示图丁面积的一个多项式，并将其因式分解。
x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)。
《因式分解法》参考教案--【教学参考】
《因式分解法》参考教案--【教学参考】教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。
2. 掌握因式分解的基本方法和技巧。
3. 能够运用因式分解法解决实际问题。
教学重点：1. 因式分解的概念和意义。
2. 因式分解的基本方法和技巧。
教学难点：1. 因式分解的技巧和策略。
2. 因式分解在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 教学素材和练习题。
教学过程：第一章：因式分解的概念和意义1.1 引入因式分解的概念教师通过举例介绍因式分解的概念，引导学生理解因式分解是将一个多项式表达为两个或多个多项式的乘积的过程。
1.2 讲解因式分解的意义教师解释因式分解在数学中的重要性，如简化多项式、求解方程、解决实际问题等方面的应用。
1.3 练习题设计与讲解相关的练习题，帮助学生巩固因式分解的概念和意义。
第二章：因式分解的基本方法2.1 提取公因式法教师讲解提取公因式法，即找出多项式中的公因式并提取出来，对剩余部分进行因式分解。
2.2 平方差公式法教师讲解平方差公式法，即利用平方差公式进行因式分解。
2.3 完全平方公式法教师讲解完全平方公式法，即利用完全平方公式进行因式分解。
2.4 练习题设计与讲解相关的练习题，帮助学生掌握因式分解的基本方法。
第三章：因式分解的技巧和策略3.1 交叉相乘法教师讲解交叉相乘法，即通过交叉相乘的方式找到多项式的因式。
3.2 试错法教师讲解试错法，即通过尝试不同的因式组合来找到多项式的因式。
3.3 分解因式树教师讲解分解因式树，即通过构建因式树来分解多项式。
3.4 练习题设计与讲解相关的练习题，帮助学生掌握因式分解的技巧和策略。
第四章：因式分解在实际问题中的应用4.1 线性方程的解法教师讲解如何利用因式分解法解线性方程。
4.2 实际问题解决教师通过举例讲解如何运用因式分解法解决实际问题，如求解最大公因数、分解质因数等。
4.3 练习题设计与讲解相关的练习题，帮助学生掌握因式分解在实际问题中的应用。
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因式分解》【学案+参
考教案+同步课件】-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
4.1 因式分解
●教学目标
（一）教学知识点
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
（二）能力训练要求
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
●教学重点
1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
●教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
●教学方法
观察讨论法
●教具准备
投影片一张
记作（§4.1 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？
［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.
［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？
［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）
既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993－99能被100整除吗你是怎样想的与同伴交流.
［生］993－99能被100整除.
因为993－99
=99×992－99
=99×（992－1）
=99×9800
=99×98×100
其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.
［师］993－99还能被哪些正整数整除？
［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.
［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）
3.做一做
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;
④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;
②（y－3）2=y2－6y+9;
③3x（x－1）=3x2－3x;
④m（a+b+c）=ma+mb+mc;
⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（）（）;
②m2－16=（）（）;
③ma+mb+mc=（）（）;
④y2－6y+9=（）2.
⑤a3－a=（）（）.
［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：
①3x2－3x=3x（x－1）;
②m2－16=（m+4）（m－4）;
③ma+mb+mc=m（a+b+c）;
④y2－6y+9=（y－3）2;
⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.
［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？
［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.
［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a （a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同你还能举一些类似的例子加以说明吗
［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a （a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.
［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘
积形式，所以这两个过程正好相反.
［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）
ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
即ma+mb+mc m（a+b+c）.
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.例题
投影片（§4.1 A）
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
整式乘法，而不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）是因式分解.
［师］大家认可吗？
［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x －3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.
Ⅲ.课堂练习
连一连
解：
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业 习题4.1 1.连一连 解：
2.解：（2）、（3）是分解因式.
3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.
（2）因为16.9×81+15.1×81
=81
×（16.9+15.1） =8
1×32=4 所以16.9×81 +15.1×8
1
能被4整除.
4.解：当R 1=19.2,R 2=32.4,R 3=3
5.4,I=2.5时， IR 1+IR 2+IR 3 =I （R 1+R 2+R 3） =2.5×（19.2+32.4+35.4） =2.5×87 =217.5
Ⅵ.活动与探究
已知a=2,b=3,c=5.
求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值. 解：当a=2,b=3,c=5时，
a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）
=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）
=（a+b－c）（a+b－c）
=（2+3－5）2=0
●板书设计。