人教版高中数学必修一《数学史珍闻-对数的发明》
对数产生
对数产生16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。
他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。
他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。
在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。
正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。
又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.3.1对数的概念教学设计
4.3.1 对数的概念16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中发明了对数，为数学家们在运算中赢得了时间与精力．对数发明20多年后法国数学家笛卡尔开始使用指数符号，数学家们开始关注指、对数之间的关系．直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现了指数与对数的互逆关系，他首先使用y= 来定义．至此，人们彻底揭示了对数本质，完善了指、对数的知识体系和数学运算体系．对数的发明先于指数，也成为数学史上的珍闻．事实上，对数的本质是一种运算．随着人们对指数的认识的不断深入，总会遇到诸如“在方程=2中求解x”的问题，即“已知底数和幂的值，求指数”．在数学运算体系的建立过程中，人们也经历了多次类似的情况，例如在加法运算中已知一个加数与和，求另一个加数时引入了“差”的概念；在乘法运算中已知一个因数与积，求另一个因数时引入了“商”的概念；在乘方运算中已知指数与幂，求底数时引入了“数的n次方根”的概念．欧拉指出：“对数源出于指数”，也就是说对数与指数之间存在必然的联系：当a>0，且a≠1时，．利用这一关系，我们可以实现对数式与指数式之间的互化．代数学的根源在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现“代数性质”的引路人，通过这种互化运算，我们可以得出对数的下列性质：当对数中的真数N为负数或者0时，对数没有意义．这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数．因而=N中的N总是正数．（2）（a>0，a≠1）．指数式中存在着诸如及的性质，将这两个指数式化为对数式即可得到对数的上述性质．从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力．建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担．因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，发现和应用对数的概念．学情分析：本节课第一个学习难点是对数概念，虽然学生可以根据以往经验提出新概念建立的必要性，但是就像差、商、数的n次方根等概念的提出一样，每一次新概念的提出都与学生以前的认知产生矛盾，因此需要适应和熟悉，而这样的过程在对数这一概念上显得尤为漫长．在以往的学习过程中，涉及“差”的概念的减法是加法的逆运算，涉及“商”的概念的除法是乘法的逆运算，涉及“数的n次方根”的概念的开方运算是乘方的逆运算，对于对数这一概念，可以类比以往的互逆运算的关系进行认识．即使这样，减法、除法、开方等运算还是比较直观、容易理解的，但是由于对数所处运算级别较高，因此在教学中需要反复训练，使得学生尽快熟悉．第二个学习难点是在对指、对数的关系的认识上，学生往往只在表面上认识了对数概念，没有紧扣定义，充分发掘定义中指、对数之间的关系．为此可以借助图表、式中连线等简单直观的方式对指、对数式进行对照，在此过程中学生可以进一步理解对数概念，揭示指、对数之间的关系，特别是在对字母x的认识中可以明确“对数即指数”这一本质；也可以借助已有知识进行突破，例如借助指数函数中的变量对应关系揭示指、对数之间的关系．教学目标：1.了解对数产生的历史及背景，体会对数概念提出的必要性，发展数学人文素养；2.经历概念的形成过程，理解对数的概念，发展数学抽象核心素养；3.理解指、对数的关系，掌握指、对数式的互化，发展数学运算核心素养．教学重点：对数的概念；对数式与指数式的互化。
人教A版高中数学必修1《二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数阅读与思考对数的发明》赛课导学案
1860)，著有《对数简法》、《续对数简法》、《假数测 圆》，总称为《求表捷术》，外国学者得知后，大为叹 服。这是我国数学史上的光辉一页。
两个复杂数
对数
10，11，12，13，14，…
的乘积了。
的发
(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，
这种“化乘
明历
1024，2048，4096,8192，16384,…
除为加减"，
程，培
这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表
从而达到简
养学
示2的指数，第(2)行表示2的对应幕，如果我们要
学情分
析
学生在前面已经学习了指数运算和指数函数，也具备一定阅读 能力和数学思维能力，但对于对数的发明历程所涉及原理和思路， 公式可能学生就不一定能够理解把握，有一定的知识跨度，需要老 师简化处理，分析讲解。
教学目
标…
知识与能力目标
（1）了解对数的发明史；
（2）了解“对数表”的产生P；
（3）了解对数发明的思路。
过程与方法目标
在阅读与思考对数的发明的活动中，培养学 生的数学文化和数学思维能力，激发学生对数学 的兴趣爱好与探索精神。
情感态度与价值观
目标
通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培 养学生思考、交流、探索的意识品质，同时让学 生在探讨和思考问题的过程中，”培养数学文化与 意思。
教学重
难点
重点
对数的发明史
化计算的思
生的
计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数
路，不正是
简述对数的发明
简述对数的发明
对数的发明可以追溯到公元前250年左右，当时古希腊数学家、导师和学生的口头传统开始在雅典贯彻，并转变为文字风格。
这一时期，伟大的数学家欧多克斯（Eudoxus）正致力于研究
农历周期和恒星运动等问题。
为了解决这些问题，他发明了一个带有约束的梯形方法，即用梯形将一个圆形区域“切割”成一系列规律的部分。
他的培养的学生小飞(Sophonisba)发明了对
数经典公式。
数学家斯塔菲利(Tartaglia)使对数的公式的实际用到了回归问题。
到了16世纪中叶，苏格兰学者约翰·纳皮尔斯（John Napier）在这一理论的基础上开发出一种新的数学技术：使用
数字的对数来实现复杂计算。
他将这个技术称为“整体和）、
这就是所谓的对数（logarithm）。
”对数的发明者们和后来的
数学家用这个方法使得复杂的多项式、导数、积分、三角函数等计算变得更加简单和便捷。
在公元20世纪，随着计算机技
术的发展，对数的应用也进一步得到了广泛的推广和发展。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》示范课件_18
三.对数发明的前奏
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768
根据以上叙述，我们一起来尝试把开始的四道计算题做一点 改写，使运算简化．
1 32 256 25 28 258 213 8192
指数 幂
ab N
对数 真数
log a N b
底数
四.对数的产生
log28 log232
log2256
log22048
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768
四.对数的产生
求下列各式的值
1 log3 27 92
3
log 5
3
log 5
1 3
2 log2 6 log2 3 4 log3 5 log3 15
五.对数发明历程的总结
1.人类最初为了解决繁难的大数运算不断寻求突破， 从而有了对数思想的萌芽和对数的诞生，同时困难也 迎刃而解，真是思路决定出路，没有创新就无法突破。
例题：将下列指数式与对数式进行互化.
1 54 625
2 2a 152
3 log3 27 3
4
1 log2 8 3
四.对数的产生
对于一般的ax N a 0, a 1，若已知a和N需要求出指数x，
则记为x loga N，我们把x称作以a为底N的对数，其中a叫 做底数，N叫做真数.
对数发明的历史
对数发明的历史1、对数发明的背景16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。
德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .大大简化了三角函数连乘的计算。
比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。
但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。
（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：sin67°34'×sin9°3'＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2＝[0.52225052-0.23146492]/2＝0.14539280这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。
由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。
对数的发明 PPT
4.运算互推，清楚本源
【思考1】你能否从指数运算的角度 推到对数运算，实现由乘除运算转为 加减运算？
am an amn loga M loga N loga (MN )
am an
amn
loga M
loga N
loga
M N
【思考2】在你的学习过程中是否有加 减运算与乘除运算互换的体验
计算x+y=6.1733876872，再查表得 6.1733876872的(以10为底的)指数 函数，106.1733876872＝1490691.1983 就得到了 1795123517951235×0.08304115的 乘积。
【活动】不同方式竞赛算 8347×23.45
一位用乘法， 一位用对数查表法， 一位用计算器， 一位计时
y
107(Biblioteka 1x)107
e
Napier的核心思想是从等差数列与等比数 列的关系中定义对数, Napier没有底的概念。 他从连续的几何量出发，定义的对数是连续 的. 由数列定义的对数是离散的。
3.对比运算，体验简便
常用对数表使用说明 1、整数部分是一位非零数字。
lg2.573：在第1列找25再横行找“7”为 4099，修正值“3”为5。所以lg2.573=0.4104 。 2、整数部分不是一位非零数字的。用科学记
解：设17951235＝aX, 0.08304115＝ aY，则17951235×0.08304115＝aX ×aY ＝aX+Y。这里x是17951235的(以a为底的) 对数，y是0.08304115的(以a为底的)对 数。底a是可以任意指定的，我们指定 a=10,则只要查表得到这二个数的常用 对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg17951235=7.2540943323和 y=lg0.08304115＝-1.0807066451，
人教版高中数学必修一学习课件对数及对数运算
（3） loga a1
a （4）对数恒等式将以10为底的对数 叫做常用对数(common logarithm)。 N的常用对数简记作lgN
（2）自然对数:以无理数e=2.71828…… 为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.
（1）54=625
(2) 2 6 1
64
(3) ( 1 )m 5.73 3
(4) log1 16 4
2
(5) lg0.012 （6）ln102.303
例2 求下列各式中x的值
(1)
log 64
x2 3
(2) logx 8 6
(3) lg100 x
(4) lne2 x
例3、求 x 的值：
(1) lo 2 x 2 g 1 3 x 2 2 x 1 1
(2) lo 2 lg o 3 lg o 4 x g 0
练习（书上P64第1、2、3、4题）：
谢谢
人教版高中数学必修一学习课 件对数及对数运算
一、对数的定义: 一般地,如果
即aa0,a1
的b次幂等于N, (叫指数式)，
那记么作a数b
b叫N做
a为底N的对数 (叫对数式)，
loga Nb
a叫做对数的底数， N叫做真数
二．思考：为什么在定义中要规定： a＞0且a≠1，而且 N>0?
三．几个常用结论： （1）负数与零没有对数
人教B版高中数学必修一对数函数文字素材对数的起源
对数的起源对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中．以加（减）代乘（除）的想法早就存在了．一个简单的三位数乘法（例如265×438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算．涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多．因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）．但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的．16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：])()[(412)cos()cos(sin sin 22b a b a ab B A B A B A --+=+--= 但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了．能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet ，?—1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4，… 等差 1，2，4，8，16，… 等比或 0，1，2，3，4，… 等差 1，3，9，27，81，… 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）．由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究．半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出．史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现．”如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5所对应的等比数中的数32．又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64．就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格．布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr ，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Job st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法．他给出的等比数列相当于: 1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…其相应的等差数列是： 0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从a x =N 的关系出发来定义对数x=log a N 的．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的对数表的说明》一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动，其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等等（图 1）．建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列数值为：，…以及作为它们的对数的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列数值为：1，2，3，4，5，…显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用．对数发展简史对数产生于十七世纪的前二十五年．那时航海人员为了确定船舶在大海中的航程与位置，天文工作者为了处理观察行星运动所得的数据，都必须对具有很多数位的数作繁复的计算．对数就是适应这种需要而产生的.对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(Napier，1550—1617年)．纳皮尔对数字计算很有研究，由他发明的作乘除法用的“纳皮尔算筹”与球面三角中的“纳皮尔比拟式”等在当时都颇负盛名．但是这些成就与他所创始的对数比起来就显得微不足道了．恩格斯曾把对数的发明、解析几何学的创始以及微积分学的创始并列为十七世纪数学的三大成就．纳皮尔于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的对数发明，并解释了这项发明的特点．当时指数概念尚未形成，纳皮尔不是从指数出发，而是通过研究直线运动得出对数概念的．与纳皮尔同时代的瑞士人别尔基(Bürgi，1552—1632年)也独立地发现了对数，可能还早于纳皮尔，但迟至1620年才发表，这时纳皮尔对数已经闻名全欧了．英国数学家布里格斯(Briggs，1561—1630年)最先认识到对数的重要性．他于1616年专程去苏格兰拜访纳皮尔，并提出改良对数的建议，以便于应用．第二年纳皮尔逝世，布里格斯以全部精力继承纳皮尔的事业，于1624年出版《对数算术》一书，公布了以10为底的十四位对数表，这种对数被称为常用对数．布里格斯还用“首数”这个术语来称呼对数的整数部分．而“对数尾数”一词是由英国牛津大学教授华里斯(Wallis)首先使用的(1693年)．此后，一直到十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年)才发现了指数与对数的天然联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们普遍接受．由于欧拉的著作的影响，首数与尾数等术语得以通行，并在学校里开始教对数．对数和指数发展简史对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(Napier，1550年～1617年)．他对数字计算很有研究，他发明的球面三角中“纳皮尔比拟式”、“纳皮尔算筹”在当时都很有名，而贡献最大的发明是对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．纳皮尔于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的对数发明，并解释了这项发明的特点．继承纳皮尔关于对数研究事业的著名人物应首推英国数学家布里格斯(Briggs，1561年～1630年)，他于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．指数符号最早开始使用的是法国数学家笛卡尔(Descartes，1596年～1650年)，他于1637年开始用符号a n表示正整数幂，用a3代表aaa，用a4代表aaaa．分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)，以后又有人将其扩展到负指数，直到18世纪初英国数学家牛顿(Newton，1642年～1727年)开始使用a n表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数．一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707年～1783年)才发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们接受．。
人教版高中数学必修一《对数的发明》
loga N x
a N
x
底数
H.布里格斯（Briggs,Henry,1561.2-1630.1.26） 英国数学家。 布里格斯的主要贡献是改进了约翰· 纳皮 尔发明的对数运算，是最早认识对数重要价 值的科学家。
1
10
100
1000
…… ……
0
1
2
3
log10 N称为常用对数，简记为 lg N
1 ( 2) ln 1 e (3) lg1 0
a N
x
底数
通过例 1 以及对数与指数的关系 ，思考： （ 1 ）对数的底a 0，且a 1
1对数的底数a的范围是什么？ （3）对数是可正，可负也 可为0的一切实数 2对数值可以是什么样的 数？
.练习册：65页A组题.
3.预习下节课内容：对数的运算.
lg 1 0
lg 10 1
lg100 2 lg1000 3
loge N
在科学技术中常用以无理数 e=2.71828…为底数的对数， 通常将以eln 为底的对数称为自 N 然对数，并且把 记为
例1：将下列指数式与对数式进行互化：
(1)5 625( 2)2
4
3
1 (4) log2 8 3 (5) ln 1 (6) lg1 0 e
纳皮尔将该数称为 logarithm log
于是：1.2
x
2
x log 1 . 22
赋予它的含义就是：1.2的多少次幂等于2.
若a N（a 0, a 1 ） , 则数x叫做
x
以a为底N的对数，记作 x loga N , 其中a为底数，N为真数.
指数 幂
对数的定义： loga N
人教A版高中数学必修一教学课件：对数
（2）两个特殊的对数： 常用对数：以10为底的对数，并把
简记作lgN。 自然对数：以无理数e=2.71828…为底的 对数，并把简记作lnN。
对数恒等式
ห้องสมุดไป่ตู้
对数式与指数式的互换
化为对数式
化为指数式
化为对数式
化为指数式
例1
将下列指数式写成对数式：
例2
将下列对数式写成指数式：
例3计算
例4 求x的值
：
②
③
④
思考题：
例5.已知 则
小结：(1)对数的定义；
(2)指数式和对数式的互换； (3)求值。 注：在中,1)已知a,b,求N 2)已知b,N,求a 3)已知a,N,求b 乘方运算 开方运算 对数运算
对数(一）
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（ Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文 计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出 版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他 的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的 创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三 大成就。
对数(一）
一、实例：假若2002年我国国民经济 生产总值为a亿元，如果平均每年增长 8%，则经过多少年国民生产总值是现 在的两倍？ 设：经过x年国民生产总值是现在的两 倍，现在的国民生产总值是a。
根据题意得：
即： 如何来计算这里的x?
二、新课
1.对数的定义： 一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N， 就是 那么数b叫做以a为底N的对数， 记作: 其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
指数
对数
幂
真数
底数
注：（1）由对数的概念可知： 1.负数和零没有对数。
2. 3. 4.
(对数恒等式)
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》示范课件_2
ln e2 x e2 ex x 2
1、同学们，本节课开始的问题你会解决了吗？
学习1个概念
2、本节课的收获 掌握1个互换
会用3条结论
数
学
也 log1.01 37.8 365
励 志
log1.02 1377 .4 365
a 0, a 1 , b R , N 0.
log a ab
aloga N
提示：定义中两个式子 ab N ①和 log a N b ②中
a,b,N是同一个量，那么能否通过代换得到结论？
自由讨论：
课本P64 练习第1，2、3、4题.
作业：P74
A 组1 、 2
定义概念： 对 数
一般地，如果ax=N (a 0，且a 1),那么
读法
数x叫做以a为底N的对数（logarithm），
记作 x lo，ga N
log aN
log
N a
错误写法
写法
其中，a叫做对数的底数，
N叫做真数.
ax N 叫做指数式 , loga N x 叫做对数式.
幂
真数
求下列各式的x值
3x 27
3x 1 9
3x 7
问题探析:（1）这3个问题的共性都是已知 底 数
和 幂 的值，求 指 数 的问题。
即指数式 ab N中，已知a和N求b的问题
（2)3x 7 由此引发我们对x=？的思考：
①在 x R 内，这样的x存在吗？唯一吗？
②既然这样的数是存在的,那么它是多少呢？我 们如何表示它呢？
(3)0.50=1 log0.51= 0
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》赛课导学案_19
对数的发明——对数方程的求解方法教学目标：1理解对数方程的定义教学重点：对数方程的解法教学难点：对数方程的同底变形和根的检验问题能力训练：培养学生应用化归思想、换元的数学思想和方法，提高数学思维能力。
三 情感态度与价值观：体会数学在解决实际问题中的应用，感受数学的科学价值，建立用数学思想解决实际问题的意识。
四 课时安排：1课时（一）学生阅读材料《对数的发明》：通过阅读材料学生了解对数的数学史，培养学生正确的数学思维方式，培养学生对数学的兴趣，激发学生学习的动机。
（二）复习引入：复习对数的定义及运算法则，这是掌握本节内容的基础知识储备。
1．对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么log a x N =2．对数的性质：（1）负数没有对数（2）1的对数等于0，底的对数等于1（3）常用对数：通常我们将以10为底的对数叫常用对数，记作lg N自然对数：用无理数 2.71828e ≈为底数的对数，称为自然对数，记作ln N3.对数的运算性质：如果0a >且1a ≠，0,0M N >>，那么：(1)log ()a M N ⋅= (2)log a M N = (3) log ()n a M = n R ∈4.恒等变换：(1)log a N a =N (2)log ()n a a =n（三）对数方程的解法1.log ()a f x b =型方程的解法：定义法转化为方程：f(x)=ab例1 解下列关于x 的方程(1)log 83x =- (2)12log 3x =-(3)3log (69)3x -= (4)22(1)log (2-3x+1)1x x -=总结：对于log ()a f x b =型方程的解法：我们利用定义转化为方程：f(x)=ab 的形式，注意根的检验，出现增根的原因是：真数大于0即f(x)>02、log ()log ()a a f x g x =型方程的解法：化为同底,转化为f(x)=g(x)例2解下列关于x 的方程 （1）22log (2+1)log (3)x x =; (2)222log (2+1)log (-2)x x = (3)24log (+1)-log (+4)=1x x ; (4)39log (-1)log (+5)x x = 总结：对于log ()log ()a a f x g x =型方程的解法就是化为同底，使f(x)=g(x)（f(x)>0）成立的解即可，最后注意检验。
人教A版版必修1第二章 基本初等函数_阅读与思考 对数的发明
所以 x4符合题 . 意
x 4
练习4：解方程
1lo3lgg x1 答案x： 1000
2 lo 4 x 2 g 1 7 3
x 9
3 lo xx g 221
x2
小结
1.对数的发明及实际背景
2.对数的定义 3.指数与对数相互转 4化.常用对数和自然对数
底数
H.布里格斯 （Briggs,Henry,1561.21630.1.26）英国数学家。
布里格斯的主要贡献是改进 了约翰·纳皮尔发明的对数运算，是 最早认识对数重要价值的科学家。
1
10
100
1000
……
0
1
2
3
…
…
log10 N称为常用对数，简记lg为N
lg1 0 lg101 lg100 2 lg1000 3
练习1：求下列各式的值.
1log39
3log2
1 64
2lo2g8
4lne3
对：数的性质
1.观察：1log302loga0 3lg54loag1
思考：零和负数是否有对数？
结论：零和负数没有对数
2.求下列各式的值：
1log31 2lo0g.513lg1
对数的发明
约翰 ·纳皮尔 (John Napier , 1550~1617), 苏格兰数 学家、神学家 , 对数 的发明者。
纳皮尔出身贵族,于 1550年在苏格兰爱 丁堡附 近的小镇梅奇斯顿出生,是 梅奇斯顿 城堡的 第八代主人。他经过20多年的努力， 于1614年出版了他的《奇妙的对数定律说明 书》，书中借助运动学的思想，运用几何术 语阐述了对数方法，并首次提出了对数的概 念。
x 2 0
阅读与思考对数的发明
对数的发明讲课教师职克明教学设计一、对数的地位对数是初等数学的重要内容之一,它在数学史上有一定的地位和研究价值二、对数产生过程中的关键人物时间与相关故事与著作.本文在前人工作的基础上,通过对现有文献的解读和分析,对对数历史的发展过程进行了较为详细的探讨和研究.主要工作如下：一、通过对阿基米德、斯蒂菲尔等科学家工作的分析和比较研究,发现他们的思想为对数的最终发明提供了一定的启迪和思考. 二、深入探究了纳皮尔和比尔吉的工作.指出：纳皮尔是用几何的方法发明了对数,而比尔吉是用代数的方法发明了对数.同时,对他们的相关工作进行了比较分析. 三、对布里格斯发明常用对数的过程进行了详细的阐述,并论述了常用对数在欧洲的发展及其影响.揭示了常用对数比纳皮尔的对数更加实用. 四、论述了自然对数诞生的过程.分析了自然对数的几何模型及其底e的伯努利模型,旨在使人们从本质上更深刻地了解它们,再现了常数e在数学史上的重要地位. 五、简要考察了复数的对数理论.澄清了莱布尼兹、伯努利和欧拉三人之间关于复数对数的争论.使人们对对数有了更进一步的理解和认识.对数和它的发明者1614年,居住在爱丁堡的一位苏格兰贵族公布了他的一项重要发明的详情,这个消息很快传开了,第二年,经过一些通信联系后,一位数学教授乘坐马车从伦敦出发,前往爱丁堡,去会见这位他无比崇敬的天才的苏格兰人,这位数学教授在旅途日记中写道这个苏格兰人的前额一定很高,因为他头脑发达,否则难以做出如此惊人的发明.由于意外的事故,教授在路上延误了时间,正在爱丁堡焦急等待的苏格兰贵族终于失望了,他向一位朋友抱忽道:“教授不会来了,”可就在这时,教授出现在他的面前,他们在沉默中相互凝视了达一刻钟之久,后来,教授说:“阁下,我经历了长途跋涉专程来看望你,就是想要知道是怎样富有聪明才智的头脑,才使得你首先想出对于天文学的这一极好的帮助,阁下,你发现了它,现在看来很容易的,但是我很奇怪,在此之前为什么没有人能够发现它呢?”这位教授作为贵宾在贵族的城堡里留了一个月之久这位苏格兰贵族就是梅尔挈斯领保的酣普这位苏格兰贵族就是梅尔契斯顿堡的耐普尔( Napier,15501617);去访问他的数学家就是伦敦格雷舍姆学院的几何学教授H·布里格斯( Briggs,1561-1631);那项重要的发明就是对数——节省大量人力的计算方法之一,它无疑是数学史上的一个里程碑现在我们知道,对数作为一种计算方法的功能在于:通过对数,可以把乘除运算化为较简单的加减运算.这种化简的原始思想,在三角公式中已见端倪,而这个公式在耐普尔时代已为人们熟知,耐普尔的思路很可能就是从这个公式出发的,因为否则很难解释为什么最初他仅限于研究角的正弦的对数.耐普尔潜心研究他的理论二十余年,于1614年在一本题为《奇妙的对数定理说明书》的小册子中,发表了他关于对数的讨论,并给出了以弧分为间隔的角的正弦的耐普尔对数表.这部著作立即引起了人们广泛的兴趣.当布里格斯于1615年访问耐普尔时,两人一致认为:如果把对数改变一下,使得1的对数为0,10的对数为10的一个适当的次幂,编造出来的对数表就会更有用.于是,也就有了今天的常用对数表,这种对数实质上是以10为底的对数,在数值计算上有很大的优越性,因为我们的数系是以10为基数的布里格斯访问耐普尔以后返回伦敦,以其全部精力编制常用对数表,并于1624年出版了他的《对数算术》一书,其中包括从1到20000和从90000到100000的十四位常用对数表.后来,靠荷兰的一位出版者兼书商A·弗拉寇(v1acq,1600-166)的帮助,填补了从20000到90000之间的空缺.布里格斯和费拉寇发表的四个基本的对数表,直到1924年和1949年之间,才被为纪念对数发现三百周年在英国算出的二十位对数表所代替1 0garish(对数)一词的含义是“比数”耐普尔最初用的是artificalnumber(人造数),后来才用logarithm耐普尔的惊人发明被整个欧洲积极采用;特别是天文学界,简直为这项发明而沸腾起来了,拉普拉斯就认为:对数的发明“以其节省劳力而使天文学家的寿命增加一倍”耐普尔出生于苏格兰首府爱丁堡的豪华的贵族庄园梅尔契斯顿堡,他一生全部时间都居住在家乡,1617年,即他向全世界公布了他的伟大发明之后的第三年,于家乡去世。
对数的发展史
教材分析：对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b ；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN =b这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。
他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。
恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
1)已知a, b,求N乘方运算2)已知b, N,求a开方运算3)已知a, N,求b对数运算“對數”(logarithm)一詞源自於希臘，表示思想的文字或記號，也可作“計算”或“比率”。
由於16世紀的天文星象的觀測、航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減的運算工具，即為對數。
而對數的創始人是蘇格蘭數學家那皮爾。
於是我們用了logarithm這個英文單字，取其前三個字母log來表示中，與指數式中其他數值之間的關係。
例如：，即是2的3次方是8，反之以2為底數時，多少次方可得到8呢？這個3的值就是，作分诞生的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、查反对数时。正小数部分查表，整数 部分决定小数点的位置。 6.4104：由0.4104查出0.4104=lg2.573。 则6.4104=lg2.573+6=lg(2.573×10*6) =lg2573000。 负的对数化负整数+正纯小数。再同样查。
常用对数表的运用
lg 2.345 lg 0.0023 lg5432 lg X 5.4104
小学是学习的乘法是加法的简便运算，减法实 则是加法的逆运算； 不等式中只有加法与乘法运算，没有减法和除 法运算； 向量与向量只有加法运算、减法运算和数量积 运算；
【思考2】在你的学习过程中是否有加 减运算与乘除运算互换的体验
[cos( - ) cos( + )] sin sin = 2
X
例1.运用对数运算原理，计算 17951235×0.08304115 解：设17951235＝aX, 0.08304115＝ aY，则17951235×0.08304115＝aX ×aY ＝aX+Y。这里x是17951235的(以a为底的) 对数，y是0.08304115的(以a为底的)对 数。底a是可以任意指定的，我们指定 a=10,则只要查表得到这二个数的常用 对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg17951235=7.2540943323和 y=lg0.08304115＝-1.0807066451，
1.阅读材料，理清脉络
学生阅读必修1 P68的“阅读与思考”，并 回答以下问题 【问题1】对数是在什么背景下发明的，它 的发明对社会产生了怎样的影响？ 【问题2】对数的发明者是谁？你能理解他 所描述的对数定义吗？ 【问题3】谁令对数更为广泛的流传？他采 用了什么方法改进？ 【问题4】为什么对数的运算不是在由指数 推出？谁发现了指数与对数的关系？
[cos( ) cos( )] cos cos 2
5.符号体系，减负思维
【思考3】在“阅读与思考”中，较好的符 号体系对于数学的发展是至关重要的，对此 你有怎样的体会？
如，阿拉伯数字的引用；杨辉三角与 帕斯卡三角；刘辉割圆术与祖冲之的 圆周率
6.小结内容，提炼思想
计算x+y=6.1733876872，再查表得 6.1733876872的(以10为底的)指数 函数，106.1733876872＝1490691.1983 就得到了 1795123517951235×0.08304115的 乘积。
【活动】不同方式竞赛算 8347×23.45
一位用乘法， 一位用对数查表法， 一位用计算器， 一位计时
2.师生互动，突破难点
假设有两个质点P和Q分别沿着线段AB和 射线CD,以同样的初速运动,其中质点Q沿 直线CD匀速运动,而质点P在线段AB上任 何一点的速度等于它到端点B的距离。 Napier定义CQ为PB的对数，
也就是说，设x=CQ、y=PB,则x＝Naplogy （Naplog是纳皮尔对数的符号）。
4.运算互推，清楚本源
【思考1】你能否从指数运算的角度 推到对数运算，实现由乘除运算转为 加减运算？
am an amn loga M loga N loga (MN )
am M mn a log M log N log a a a an N
【思考2】在你的学习过程中是否有加 减运算与乘除运算互换的体验
知识与技能： 过程与方) e
7
x
Napier的核心思想是从等差数列与等比数 列的关系中定义对数, Napier没有底的概念。 他从连续的几何量出发，定义的对数是连续 的. 由数列定义的对数是离散的。
3.对比运算，体验简便
常用对数表使用说明 1、整数部分是一位非零数字。 lg2.573：在第1列找25再横行找“7”为 4099，修正值“3”为5。所以lg2.573=0.4104。 2、整数部分不是一位非零数字的。用科学记 数法表示N×10n。 lg25730=lg(2.573×104)=lg2.573+4=4.4104。 lg0.002573=lg[2.573×10-3] =lg2.573+(-3)= -2.5896.