第20章 锐角三角函数及解直角三角形

第二十章 锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角

（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12

B. 2

C. 2

D.1 【解析】sin45°

=

2

【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。

（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为

A ．12 B

C

D

【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC

【答案】B

【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．

29.2 三角函数的有关计算

图4

图4

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）

A ．200米

B.

C.

D. 1)米

解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB =

=，又CD=100，因此

AB=AD+DB=

00100100100tan tan tan 30tan 45

CD CD A B +=+=。 答案：D

点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23

,则BC 的长为

（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23

，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A

【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.

（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，

cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C

解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有

BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x x x x

-=+-=即，解方程得，

1211,22

x x ==（不合题意，舍去），即

； 又

cosA=2AB

AD ===

点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE 和△AEF 都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB 。

【答案】

设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中，用勾股定理求出

于是BF=）x.在直

角三角形ABF 中，tan ∠

FAB=1)BF x AB x

=

67.5°.选B 。 【点评】根据折叠得到A 、E 关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。

(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ）

（A ）1组 （B ）2组 （C ）3组 （D ）4组

【解析】对于①，可由公式AB=BC ×tan ∠ACB

求出A 、

B 两点间的距离；对于②，可设AB 的长为x ，则BC=x tan ACB ∠，BD=x tan ADB ∠，BD-BC=CD ，可解出AB ．对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DE BD EF AB =，可求出AB 的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选

C ．

【答案】C ．

【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA ，SAS ，SSS ，两直角三角形相似的判定还有HL ．

（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=

BC AC =的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义， 解下列问题：

（1）ctan30◦= ；

（2）如图，已知tanA=

43，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．

【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。