全国卷文科三角函数复习

三角函数（文） 复习

【知识梳理】

一、两角和与差的三角函数

（1）两角和与差公式：

βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=± βββαsin sin cos cos )cos(a a =±

β

β

βtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=

±

注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．

（2）二倍角公式：

a a a cos sin 22sin =

1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a

a

a

a 2

tan 1tan 22tan -=

二、正、余弦定理

在ABC ∆中有:

①正弦定理：2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆半径）

2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

注意变形应用 ②余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

111

三、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

R

,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

四、方法总结

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2

β

α-等。

（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝

a

b

确定。 2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

【选择填空】

考点：三角函数公式的简单应用

1、（2016全国I 卷4题）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c..已知a =2c =，

2

cos 3

A =

，则b=

（A （B （C ）2 （D ）3

技巧：如何选择正弦公式还是余弦公式？ 答：多角用正弦公式；多边用余弦公式。

2、（2013全国II 卷4题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6

B π

=，4

C π

=

，

则ABC ∆的面积为（ ）

（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 1

1、（2013全国I 卷10题）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）

（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5

技巧：同一条式子中，唯有同角同三角函数才可以解。

2、（2016全国II 卷15题） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c

o s 5A =

，5

cos 13

C =，a =1，则b =____________.

技巧：利用三角函数定义快速写出同角的另两个三角函数，但要注意角的象限决定正负。

3、若tan θ=1

3 ，则cos2θ=____________.

（A ）45-

（B ）15-

（C ）15 （D ）45

4、（2013全国II 卷6题）已知2sin 23α=

，则2cos ()4

π

α+=（ ） （A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）23

技巧：注意观察要求角与条件角之间的联系，常用二倍角公式、角的配凑。

考点 ：三角函数的平移变换

1、（2016全国I 卷6题）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移1

4

个周期后，所得图像对应的函数为 （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π

3

)

技巧：三角函数平移注意什么？

答：左右平移只对单独的x 作变换；上下平移对y 作变换，即整体式子后作变换。

2、（2013全国II 卷16题）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2

π

个单位后，与函数sin(2)3

y x π

=+的图象重合，则ϕ=_________。

考点：三角函数角的配凑

1、（2016全国I 卷14题）已知θ是第四象限角，sin (θ+π4)=35，则tan (θ－π

4

)= .

技巧：求tan 常要先求出sin 与cos.

考点：三角函数图象

1、（2015全国I 卷8题）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区

间为（ ）

（A ）（k

-, k

-）,k

（B ）（2k

-, 2k

-）,k

（C ）（k -, k -）,k （D ）（2k , 2k ）,k