全国卷文科三角函数复习

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2023年高考数学(文科)一轮复习——三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3节三角恒等变换考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tan φ＝ab).1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β＝( ) A.3π4 B.π4 C.π6 D.3π4或π4 答案 B解析 ∵sin α＝1010，cos β＝255，又α，β为锐角，∴cos α＝31010，sin β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 3.计算：1＋tan 15°1－tan 15°＝________.答案3解析 1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan10°tan 50°＝ 3. 5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的周期为________. 答案 π解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝2π2＝π.第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一公式的基本应用1.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝________. 答案 75－8227解析由题意可知，sin α＝13，sin β＝23，由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan 2θ＝________.答案－43解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43. 感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二公式的逆用、变形用角度1 公式的活用例1 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. (3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 (1)12 (2)2 (3)－12 解析 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12×1＝12. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2 辅助角公式的运用例2 化简：(1)sin π12－3cos π12； (2)cos 15°＋sin 15°； (3)1sin 10°－3sin 80°； (4)315sin x ＋35cos x .解 (1)法一原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝－2sin π4＝－ 2. (2)cos 15°＋sin 15°＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°) ＝2×32＝62.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°.＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4.(4)315sin x ＋35cos x ＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1 (1)下列式子化简正确的是( ) A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝ 3D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为________.答案 (1)D (2)[－2，1]解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°) ＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误；选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1，即函数的值域为[－2，1]. 考点三角的变换例3 (1)已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. (3)(2022·兰州模拟)若23sin x ＋2cos x ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝________.答案 (1)C (2)－45 (3)732解析 (1)因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cos α＝55，cos(β－α)＝31010，所以sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250 ＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.(3)由题意可得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，令x ＋π6＝t ，则sin t ＝14，x ＝t －π6，所以原式＝sin(π－t )cos 2t ＝sin t (1－2sin 2t )＝732.感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等.训练2 (1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α等于( ) A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 (1)B (2)－45解析 (1)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45，则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.故选B. (2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.已知tan α2＝3，则sin α1－cos α＝( )A.3B.13 C.－3 D.－13答案 B解析因为tan α2＝3，所以sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cos α2sin α2＝1tan α2＝13，故选B.3.下列选项中，值为14的是( )A.2sin π12sin 5π12B.13－23cos 215°C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36° 答案 D解析对于A ，2sin π12sin 5π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12，故A 错误；对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误；对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A.－2425 B.2425 C.－725 D.725答案 D解析法一因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.故选D. 法二因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725. 6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案－35 13解析由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.答案－1解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)＝－1－tan 25°tan 70°，∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.10.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值.解 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜ π2，求cos(α＋β).解由已知，得π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.12.若cos 2 α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A.－a 2B.a 2C.－aD.a答案 C解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2 β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .13.已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________.答案－ 3解析由题意可得m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.14.(2021·合肥质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α.解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6 ＝1－266.。

高考数学三角函数、解三角形考点及知识点总结解析(文科)

()
A．153
B．1123
C．152
D．－153
答案：A
2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四一
考点一角的集合表示及象限角的判定
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－
3π 4
是第二象限角；②
4π 3
是第三象限角；③－400°是第
四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
cos α sin α
cos α
－sin α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
记忆规律
奇变偶不变，符号看象限
课前 ·双基落实课堂 ·考点突破
课后 ·三维演练
任意角和弧度制及任意角的三角函数结束
[小题体验] 1．已知 sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则 sin(π＋α)＝______．
_x__叫做 α 的正切，记
正弦，记作的余弦，记
作 tan α
sin α
作 cos α
三角函数一
各象限二符号三四
正弦＋＋－－
余弦＋－－＋
正切＋－＋－
三角函数线
有向线段_M__P_ 有向线段_O_M__ 有向线段__A_T_
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题体验]
答案：－45 2．若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csions θθ的值为________．
答案：2
课前 ·双基落实课堂 ·考点突破
课后 ·三维演练
任意角和弧度制及任意角的三角函数结束

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三角函数（文）复习【知识梳理】一、两角和与差的三角函数（1）两角和与差公式：βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±βββαsin sin cos cos )cos(a a =±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=±注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a aaaa 2tan 1tan 22tan -=二、正、余弦定理在ABC ∆中有:①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径）2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩③面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===三、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数性质四、方法总结1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数历年高考文科题

三角函数历年高考文科题1、（全国Ⅰ卷文1）cos 300︒=（）A ．2-B ．-12C ．12D ．22、（福建卷文2）计算12sin 22.5- 的结果等于( )A ．12B ．2C 3D 23、（全国Ⅱ卷文3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=（）A ．3- B ．19- C ．19D 34、（陕西卷文3）函数f (x)=2sinxcosx 是（）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数5、（浙江卷理4文6）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、（江西卷文6）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为（）A ．[1,1]-B ．5[,1]4-- C ．5[,1]4-D ．5[1,]4-7、（辽宁卷理5文6）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（）A ．23B ．43C ．32D ．38、（重庆卷文6）下列函数中，周期为π，且在42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数的是（） A ．sin(2)2y x π=+ B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+9、（四川卷理6文7）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-（天津卷文8）5y A sin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10、（福建卷文10）将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

2023年高考数学(文科)一轮复习——三角函数的图象与性质

索引
令12x－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得 x＝43π＋2kπ(k∈Z)，故 f(x)图象的对称中心为2kπ＋43π，0，k∈Z. 令12x－π6＝kπ(k∈Z)，得 x＝2kπ＋π3(k∈Z)，故 f(x)图象的对称轴方程是 x＝2kπ＋π3，k∈Z.
索引
考点三三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
索引
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (2)正切函数 y＝tan x 在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
索引
2.函数 f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是( D )
索引
(2)已知函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为 4π，且∀x∈R 有 f(x)≤fπ3成立，则 f(x)图象的对称中心是__2_k_π_＋__43_π_，__0_，__k_∈__Z___，对称轴方程是 ___x_＝__2_k_π_＋__π3_，__k_∈__Z______. 解析由 f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为 4π，得 ω＝12，因为 f(x)≤fπ3恒成立，所以 f(x)max＝fπ3，即21×π3＋φ＝2kπ(k∈Z). 又∵|φ|<π2，所以 φ＝－π6，故 f(x)＝cos12x－π6，
∴当 sin x＝21时，ymax＝54.
当sin x＝－1时，ymin＝－1.
索引
5.函数 f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是___π_____.
索引
6.(易错题)函数 y＝tanx＋π4的图象的对称中心是__k2_π_－__π4_，__0_，__k_∈__Z_____. 解析由 x＋π4＝k2π，k∈Z，得 x＝k2π－π4，k∈Z， ∴对称中心是k2π－π4，0，k∈)

高考文科数学三角函数知识点

名师总结精品知识点三角函数知识点（一）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1. 角度制与弧度制的互化：3600 2 , 1800,1 rad ＝≈57.30 °=57 °18ˊ； 1 °＝≈0.01745 （rad）2.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y ）, r=x 2y 2(1) 正弦 sin =余弦 cos =正切 tan=(2)各象限的符号：y yycossin O x x2O+Osin cos tan3.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：（2）商数关系：4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限，，5.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质函y sin xy cosxy tan x性质数图象定义域RRx x k, k2值域1,11,1R当 x2kk当 x2k k时，2时， y max 1 ；ymax1；最值既无最大值也无最小值当 x2kk当 x 2kk时，2ymin1 ．时， y min1．周期性 22奇偶性奇函数偶函数奇函数在 2k, 2k 22在 2k,2 k k 上k上是增函数；是增函数；在 k2, k 单调性2在 2k, 2k 3在 2k,2 kkk上是增函数．22上是减函数．k 上是减函数．对称中心对称中心对称中心k,0 kk 对称性k,0 k2,0 k对称轴2对称轴 x k k无对称轴x kk26.三角函数的伸缩变化，先平移后伸缩y s ix 的n图象向左 (>0) 或向右 ( 0)平移个单位长度得的图象得的图象横坐标伸长(0< <1) 或缩短 (>1)1到原来的( 纵坐标不变)纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0<A<1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )得的图象得的图象。

先伸缩后平移向上 ( k 0) 或向下 (k 0)平移 k 个单位长度y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )横坐标伸长 (01) 或缩短 ( 1)得的图象得的图象到原来的1(纵坐标不变 )向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位向上 (k 0) 或向下 ( k0)得的图象平移 k 个单位长度得的图象。

高三复习数学(文)_专题7_三角函数的概念、同角关系、诱导公式(有答案)

(文)_专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. （甘肃二诊）若sin α=1213，且α为第二象限角，则tan α的值为（）A.−125 B.125C.125 D.5122. （合肥二次质检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P (sin 5π3,cos5π3)，则sin (π+α)=（） A.−√32B.−12C.12D.√323. （福建质检）已知sin α+√3cos α=2，则tan α=( ) A.√3 B.√2 C.√22D.√334. （石家庄质检二）若sin (π−α)=13，且π2≤α≤π，则cos α=（）A.2√23B.−2√23C.−4√29D.4√295. （甘肃二诊）已知tan x =43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x =（） A.45B.−45C.35D.−356. （贵州模拟）给出下列各函数值： ①sin (−1000∘)； ②cos (−2200∘)； ③tan (−10)； ④sin7π10cos πtan17π9．其中符号为负的有（） A.①B.②C.③D.④二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）sin 750∘=________．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα=13，则sinβ=________．（河北衡水中学九模）已知cos(α−π4)=45，则sin(α+π4)=________．（福建质检）已知α是第一象限角，且sin(π−α)=35，则tanα＝________．（武汉4月调研）已知sinα=2cosα，则sinαcosα=________．（福建三明一中一次月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为23，则cosα=________．（2016·全国卷）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ−π4)=________．三、解答题（本大题共3小题，共35分）化简：sin(540∘−x)tan(900∘−x)⋅1tan(450∘−x)tan(810∘−x)⋅cos(360∘−x)sin(−x)．（福建三明一中一次月考）已知π<α<2π，cosα=35，求cos(5π+α)⋅tan(α−7π)的值；（福建三明一中一次月考）已知cos(π6−α)=√33，求sin(π3+α)的值．已知tan x=2．求23sin2x+14cos2x的值；求2sin2x−sin x cos x+cos2x的值．参考答案与试题解析(文)_专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】因为α为第二象限角，且sinα=1213，所以cosα=−513，所以tanα=sinαcosα=−125，故选A．确定角所在的象限是确定三角函数值符号的关键．本题考查同角三角函数间的基本关系．2.【答案】B【考点】三角函数【解析】此题暂无解析【解答】由题意知，角α的终边经过的点为P(−√32,12)，所以sinα=12，所以sin(π+α)=−sinα=−12，故选B．本题考查三角函数的定义、诱导公式．3.【答案】D【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】由题意得sinα+√3cosα=√3cos√22=√3√2=2，解得tanα=√33，故选D．由正弦和余弦的齐次式求正切值时，通常用到sin2α+cos2α=1这一隐含条件．本题考查同角三角函数的基本关系．4.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由sin (π−α)=13得sin α=13，又因为π2≤a ≤π，所以cos α=−√1−sin 2α=−2√23，故选B ．【知识拓展】三角函数的诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．本题考查三角函数的同角关系． 5.【答案】 D【考点】任意角的三角函数三角函数【解析】此题暂无解析【解答】由tan x =sin x cos x =43可得sin x =43cos x ，代入sin 2x +cos 2x =1，整理有cos 2x =925，由于角x 的终边落在第三象限，则有cos x =−35，故选D ．利用同角三角函数的基本关系式求解三角函数值时，往往要注意角的终边对三角函数值的正负的影响．本题考查同角三角函数的基本关系式． 6.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】sin (−1000∘)=sin 80∘>0；cos (−2200∘)=cos (−40∘)=cos 40∘>0；tan (−10)=tan (3π−10)<0；sin7π10cos πtan17π9=−sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan17π9<0，故选C ．本题考查诱导公式及三角函数值的符号．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）【答案】 12【考点】此题暂无解析【解答】∵sin750∘=sin(2×360∘+30∘)=sin30∘=12，∴sin750∘=12．本题将其化简后直接计算即可．本题考查诱导公式与三角函数的求值，将其化简后直接计算即可．【答案】13【考点】三角恒等变换综合应用三角函数【解析】此题暂无解析【解答】因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sinβ=sin(π−α)=sinα=13．根据两角的终边的关系得到角的关系是解题的关键．本题考查三角函数的定义、诱导公式．【答案】45【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由题可知sin(α+π4)=sin[(α−π4)+π2]=cos(α−π4)=45．熟记三角函数诱导公式并灵活使用是解答本题的关键．本题考查诱导公式．【答案】34【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】因为sin(π−α)=sinα=35，又α是第一象限角，所以cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．求三角函数值时要注意角所在的象限．25【考点】任意角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由sin α=2cos α可知tan α=2，从而sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=25．【一题多解】由sin α=2cos α可知(2cos α)2+cos 2α=1，即cos 2α=15．所以sin 2α=45，从而sin αcos α=√sin 2α⋅cos 2α=25．本题考查同角三角函数的基本关系．【答案】 −√53【考点】三角函数【解析】此题暂无解析【解答】由于点A 是单位圆与角α的终边的交点，则OA =1，又点A 的纵坐标为23，则点A 的横坐标为−√1−(23)2=−√53，则cos α=−√53．根据三角函数的定义，设角α的终边与单位圆交点的坐标为(x,y )，则sin α=y ，cos α=x ，tan α=yx (x ≠0)．本题考查三角函数的概念．【答案】−43【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】因为θ是第四象限角，且sin (θ+π4)=35，所以θ+π4为第一象限角，所以cos (θ+π4)=45，所以tan (θ−π4)=sin (θ−π4)cos (θ−π4)=−cos [π2+(θ−π4)]sin [π2+(θ−π4)]=−cos (θ+π4)sin (θ+π4)=−43．利用同角三角函数的基本关系式求余弦值，注意角的取值范围．三、解答题（本大题共3小题，共35分）【答案】 sin x【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式=sin (180∘−x )tan (−x )⋅1tan (90∘−x )tan (90∘−x )⋅cos xsin (−x )=sin x −tan x ⋅tan x ⋅tan x ⋅(−1tan x ) =sin x ．【答案】45【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ π<α<2π，cos α=35，∴ sin α=−45， ∴ cos (5π+α)⋅tan (α−7π)=cos (π+α)⋅tan α =−cos α⋅sin αcos α=−sin α=45．【答案】√33【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】sin (π3+α)=sin [π2−(π6−α)]=cos (π6−α)=√33．【答案】 712 75【考点】三角函数的化简求值三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：23sin2x+14cos2x=23sin2x+14cos2xsin2x+cos2x=23tan2x+14 tan2x+1=712．2sin2x−sin x cos x+cos2x=2sin2x−sin x cos x+cos2x sin2x+cos2x=2tan2x−tan x+1tan2x+1=75．。

三角函数(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。

(做)全国卷历年高考三角函数及解三角形真题

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015-2019年共14套）三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2） =（）（A）（B）（C）（D）2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.3.（2016年3卷7）若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（）(A)6425(B)4825(C) 1 (D)16254.（2016年2卷9）若π3cos45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-5.（2018年2卷15）已知，，则__________．6.（2019年2卷10）已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）A. 153o o o osin20cos10cos160sin10-2-212-12二、三角函数性质（11题）1.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减 2.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是． 3．（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ） 4.（2018年3卷15）15. 函数在的零点个数为________．5.（2019年2卷9）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │6.（2018年2卷10）若在是减函数，则的最大值是（）A. B. C. D.()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）8.（2019年1卷11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间（2π,π）单调递增；③f (x )在[,]ππ-有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（） A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③9.（2019年3卷12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点；②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增；④ω的取值范围是[1229510，)，其中所有正确结论的编号是（） A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④10.（2018年1卷16）已知函数，则的最小值是_____________．11.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11????????（B ）9?????（C ）7????????（D ）5 三、三角函数图像变换（3题）1.（2016年3卷14）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．2.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 3.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 22π3π6π1212π6D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2解三角形（12题，4小题8大题）一、解三角形（知一求一、知三可解）（6题）1.（2016年2卷13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．2.（2019年2卷15）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则△ABC 的面积为__________.3. （2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求12π12ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b4.（2016年1卷17）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II）若c ABC =∆求ABC 的周长．5. （2017年1卷17）ABC △的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.A B C a b c ABC△23sin a A（1）求的值；（2）若，，求的周长.6.（2019年1卷17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sin sin)sin sin sinB C A B C-=-．（1）求A；（2）若2b c+=，求sin C．sin sinB C6cos cos1B C=3a=ABC△二、解三角形（知二求范围、最值）（2题）1. （2015年1卷16）在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围 .2.（2019年3卷18）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sinsin 2A Ca b A +=, (1)求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围。

2023年高考数学(文科)一轮复习——同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.求值：cos 2 023π6＝________. 答案－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫337π＋π6＝－cos π6＝－32.3.若cos α＝33，则tan α＝________. 答案 ±2解析因为cos α＝33，所以sin α＝±1－cos 2 α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝±63 .故tan α＝sin αcos α＝±2.4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.答案－23解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.5.(2022·昆明诊断)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 答案 15解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15. 6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝________. 答案－113解析由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α.所以tan α＝32，从而sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝ sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113.考点一诱导公式的应用1.化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________.答案－1sin α解析原式＝cos α（－cos α）tan2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α.2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________.答案1 3解析由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∵sin α＝1 3，∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝1 3.3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.答案－3 3解析sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33.感悟提升 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1切弦互化例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于()A.1517B.－1517C.817 D.－817(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝( )A.－65B.－25C.25D.65答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817. (2)因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2 θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝tan 2 θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. 角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化例2 若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( )A.－23B.23C.－43D.43 答案 A解析由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A.感悟提升 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1 (1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α等于( ) A.34B.－34C.43D.－43(2)(2022·成都联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( ) A.－32B.－52C.52D.±32(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________. 答案 (1)D (2)B (3)43或34解析 (1)因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.(2)∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18， ∴A 为钝角，∴cos A －sin A ＜0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－52.(3)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925， ∴sin αcos α＝1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225，整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34. 考点三同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53 B.23 C.13 D.59(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________.答案 (1)A (2)0解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去). 又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53.故选A. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.答案 (1)－43 (2)－33解析 (1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2 θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2 θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.1.sin 1 050°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 B解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°) ＝－sin 30°＝－12.2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A.3 B.－3C.1D.－1答案 B解析由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( ) A.－513 B.513C.－125D.125答案 C解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2 α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125. 4.已知sin α－cos α＝54，则sin 2α＝( ) A.－916 B.－716 C.716 D.916答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝－916.5.已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.6.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为 ( )A.103B.53C.23D.－2 答案 A解析由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13，则1cos 2 α＋2sin αcos α＝sin 2 α＋cos 2 αcos 2 α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103. 7.若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ答案 A 解析 1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.8.(2022·太原调研)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α等于( ) A.－53 B.－35 C.35 D.53 答案 A解析由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53. 9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.答案 13解析由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－2＋1－2－1＝13.10.已知k ∈Z ，则sin （k π－α）cos [（k －1）π－α]sin [（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）的值为________. 答案－1解析当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos [（2n －1）π－α]sin [（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）cos （－π－α）sin （π＋α）cos α＝－sin α（－cos α）－sin α cos α＝－1. 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin [（2n ＋1）π－α]cos [（2n ＋1－1）π－α]sin [（2n ＋1＋1）π＋α]cos [（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）cos αsin αcos （π＋α）＝sin αcos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1.11.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案－74 34解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________. 答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.13.已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A.－32 B.32 C.－12 D.12答案 D解析终边在直线y ＝x 上的角为k π＋π4(k ∈Z )，因为角α和β的终边关于直线y＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ).又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝12. 14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角).15.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 023)的值为________.答案－3解析因为f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，所以f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 023)＝a sin(2 023π＋α)＋b cos(2 023π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a cos α－b cos β＝－3.16.已知2θ是第一象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z .所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z .所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。

文科三角函数知识点整理

文科三角函数知识点整理三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的重点和难点。

对于文科学生来说，掌握好三角函数的知识点至关重要。

下面我们就来对文科三角函数的知识点进行一个系统的整理。

一、角的概念的推广1、正角、负角和零角按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

2、象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

3、终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z。

二、弧度制1、弧度与角度的换算180°＝π 弧度，1°＝π/180 弧度，1 弧度＝（180/π）°。

2、扇形的弧长和面积公式弧长公式：l ＝｜α|·r （α为圆心角的弧度数，r 为半径）面积公式：S ＝ 1/2·l·r 或 S ＝ 1/2·｜α|·r²三、任意角的三角函数1、定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝｜OP| ＝√（x²＋ y²) ，那么：正弦函数：sinα ＝ y/r余弦函数：cosα ＝ x/r正切函数：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）2、三角函数值在各象限的符号正弦函数在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数在一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数在一、三象限为正，二、四象限为负。

3、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα四、诱导公式1、公式一sin（2kπ ＋α）＝sinα，cos（2kπ ＋α）＝cosα，tan（2kπ ＋α）＝tanα，k∈Z2、公式二sin（π ＋α）＝sinα，cos（π ＋α）＝cosα，tan（π ＋α）＝tanα3、公式三sin（α）＝sinα，cos（α）＝cosα，tan（α）＝tanα4、公式四sin（π α）＝sinα，cos（π α）＝cosα，tan（π α）＝tanα5、公式五sin（π/2 α）＝cosα，cos（π/2 α）＝sinα6、公式六sin（π/2 ＋α）＝cosα，cos（π/2 ＋α）＝sinα诱导公式可以概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。

三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

y
f
(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
【答案】B
C．②③
D．①②③
2
【解析】因为 f (x) sin(x )，所以周期T 2 2，故①正确；
3
f ( ) sin( ) sin5 1 1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
2
D．2
【答案】C
sin x
【解析】 f (x)
tan x 1 tan2 x
cos 1(sin
x sin xcos x 1sin2x，
x) 2
2
cos x
故所求的最小正周期为T 2π π，故选 C. 2
【名师点睛】函数 y Asin(x ) B(A 0, 0)的性质：
(1) ymax=B+A，ymin B A.
对应的函数为
gx.若
g
π4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x)为奇函数，∴ f (0) Asin 0,=kπ,k Z,k 0, 0；
∵ f x的最小正周期为π，T
2π
π,∴
2，
∴ g(x) Asin 1x Asin x,
2
又 g(π) 2，∴ A 2，
f x max
3
2
5 2
4，故选
B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析

第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。

(完整word版)高三文科数学专题复习三角函数、解三角形

高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A组三年高考真题(2016～2014年)1.(2015·福建，6)若sin α＝－错误!，且α为第四象限角，则tan α的值等于（)A。

错误!B。

－错误! C.错误! D.－错误!2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝（)A.错误!B.错误!C.－错误!D。

－错误!3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则（）A。

sin α＞0 B.cos α＞0 C。

sin 2α＞0 D。

cos 2α＞04。

（2016·新课标全国Ⅰ，14）已知θ是第四象限角，且sin错误!＝错误!,则tan错误!＝________.5。

(2016·四川，11)sin 750°＝________。

6。

(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．B组两年模拟精选(2016~2015年）1。

（2016·济南一中高三期中)若点（4，a）在12图象上,则tan 错误!π的值为（)y xA.0 B。

错误! C.1 D.错误!2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin错误!＝－错误!，且α∈错误!，则sin错误!＝( )A.错误!B.错误!C。

－错误! D.－错误!3.（2016·南充市第一次适应性考试）已知角α的终边经过点P（2,－1)，则错误!＝( )A。

3 B.错误! C.－错误! D.－34。

（2015·乐山市调研)若点P在－错误!角的终边上，且P的坐标为（－1,y），则y等于( )A.－错误!B.错误!C。

－错误!D。

错误!5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k，k∈R，α∈错误!，则sin(π＋α）＝( )A。

2023年高考数学(文科)一轮复习——简单的三角恒等变换

索引
考点三三角恒等变换的应用
例 4 已知函数 f(x)＝ 42sinπ4－x＋ 46·cosπ4－x. 解(1)求由函题数意f(得x)在区间π4，32π上的最值； f(x)＝ 42·sinπ4－x＋ 46cosπ4－x＝ 22×12sinπ4－x＋ 23cosπ4－x ＝－ 22·sinx－71π2. 因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，111π2 ，
2.
索引
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝____－__18__.
解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－sin
20°·cos
20°·cos 40°·cos sin 20°
80°
1
1
＝－2sin
40°·cos 40°·cos sin 20°
10°－sin cos 20°
20°所得的结果为(
C
)
可得
A.1
B. 2
C. 3
D.2
解析
2cos
10°－sin cos 20°
20°＝2cos（30°－cos202°0）°－sin
20°
＝
3cos
20°＋sin 20°－sin cos 20°
20°＝
3，故选 C.
索引
(2)(2022·新高考五省五校联考 ) 已知
索引
∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝1t＋anta2nα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－34π.

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（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂。

主要用2倍角的余弦。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

【选择填空】考点：三角函数公式的简单应用1、（2016全国I 卷4题）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c..已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B （C ）2 （D ）3技巧：如何选择正弦公式还是余弦公式？答：多角用正弦公式；多边用余弦公式。

2、（2013全国II 卷4题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 11、（2013全国I 卷10题）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5技巧：同一条式子中，唯有同角同三角函数才可以解。

2、（2016全国II 卷15题） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4co s 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.技巧：利用三角函数定义快速写出同角的另两个三角函数，但要注意角的象限决定正负。

3、若tan θ=13 ，则cos2θ=____________.（A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）454、（2013全国II 卷6题）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）23技巧：注意观察要求角与条件角之间的联系，常用二倍角公式、角的配凑。

考点：三角函数的平移变换1、（2016全国I 卷6题）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)技巧：三角函数平移注意什么？答：左右平移只对单独的x 作变换；上下平移对y 作变换，即整体式子后作变换。

2、（2013全国II 卷16题）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________。

考点：三角函数角的配凑1、（2016全国I 卷14题）已知θ是第四象限角，sin (θ+π4)=35，则tan (θ－π4)= .技巧：求tan 常要先求出sin 与cos.考点：三角函数图象1、（2015全国I 卷8题）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）（A ）（k-, k-）,k（B ）（2k-, 2k-）,k（C ）（k -, k -）,k （D ）（2k , 2k ）,k（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=考点：三角函数的性质1、（2014全国I 卷7题）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③技巧：1、对于单一的三角函数，可直接求出其最小正周期。

2、对于含绝对值的三角函数，可采用上下左右变换或奇偶性画出图象，便可看出周期。

2、（2013全国I 卷16题）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.技巧：求三角函数的性质时，要先合成单一函数。

3、（2016全国II 卷11题）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（A ）4 （B ）5（C ）6 （D ）74、（2014全国I 卷2题）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >α B. 02cos >α技巧：当已知条件是等式时才用三角函数公式，遇>0时或条件过少于常用图象帮助分析。

【2017文科数学真题】（2017全国I 卷11题）A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知0)c o s (s in s in s in =-+C C A B ，2=a ，2=c ，求C （）A 、12π B 、6π C 、4π D 、3π（2017全国I 卷15题）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，2tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα【解答题】考点一：三角函数的概念1.设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换3．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθc o s s i n ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心4、已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x值．5、已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值.考点四：解三角形6、（2015全国I卷17题）（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC的面积.7、已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.。