等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示

知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列

③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

知识点3、等差数列的通项公式:

④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数

知识点4、等差数列的前n 项和:

⑤2

)(1n n a a n S +=

⑥d n n na S n 2)

1(1-+

= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数

知识点5、等差中项:

⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b a A +=

或b a A +=2

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a

⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：

4444444444484444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()

*2n n ∈N ，则

()21n n n S n a a +=+，且

S S nd -=偶奇，1

n

n S a S a +=奇偶．②若项数为()

*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，

1

S n

S n =

-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 二、题型选析：

题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A ．92

B ．47

C ．46

D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )

( )

A 15

B 30

C 31

D 64

5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

（ ）

＞38 ＜3 C. 38≤d ＜3 D.3

8＜d ≤3 6、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.

7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．

8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）

（A ）12

（B ）10 （C ）8

（D ）6

9、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a Λ______. 10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________

11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .

12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .

题型二、等差数列性质

1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）

(A)4

(B)5

(C)6

(D)7

2、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

3、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =

4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2

5、等差数列{}n a 中，已知3

1

a 1=

，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

6.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95S S

a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．

2

1 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )

A ．α1＋α101＞0

B ．α2＋α100＜0

C ．α3＋α99＝0

D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和

为390，则这个数列有（ ）

（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项

题型三、等差数列前n 项和

1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和

n S = ．

2、等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）

A. ()4321-n n

B. ()7321-n n

C. ()4321+n n

D. ()732

1

+n n

3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则 （ ）