第七节 迭代法及其收敛性
线性方程组迭代法收敛性分析
lim Ak 0 .
k
(2.27)
由定理 2.5 知，
( A k ) Ak ，
即
( A)
由(2.27) 和(2.28)可得
k
Ak .
(2.28)
lim ( A) 0
k k
再由矩阵谱半径的定义可知一定有 ( A) 1 . （必要性） 若 ( A) 1 ，则有定理 2.5 的推论可知至少存在一个 0 使得一种范数
若有
lim x ( k ) x* , 即 lim xi( k ) xi* ,
k k
则有 lim x ( k ) x*
k 2
0.
常见的向量范数有： ① 1-范数
x 1 xi ；
i 1
n
② ∞-范数
x
max xi ；
1 i n
③ 2-范数
x 2 ( x ) ；
lim x x* lim G k x x* 0 ，
k
0
k
k
再由向量范数的定义可知
lim x k x* 0 ，
k
即迭代过程收敛. （必要性） 若迭代公式(2.20)收敛，即满足
lim x x* 0
k k
由此推论可知当 ( A) 1 时，至少存在一种范数 A 1 .
定 理 2.6 设 A R nn ， 则 lim Ak 0 的 充 要 条 件 为 ( A) 1 . （ 其 中
k
Ak AA A）
k
证明： （充分性） 若 lim Ak 0 ，则由矩阵范数的定义可知
7.2 迭代法及其收敛性
k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
第七节 迭代法及其收敛性
证 1）设 lim x (k) =x*， 则 x* = Bx* + f ,
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第三章 第七节
x (k+1) -x*= B( x (k) -x*)， x (k) -x*= B k( x (0) -x*) ， 故 lim x (k) =x* lim B k =O；
2） 存在 k ，使 || B k || <1，
[( B )]k = (B k ) ||B k ||<1，
故
( B )<1，
因 ( B )=inf {|| B || }，存在 >0 使
|| B || ( B )+ <1， 又 || B k || ||B ||k ，
故
lim B k =0。
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三 迭代法的收敛速度
第三章 第七节
定理 2 若 ||B ||<1，则迭代格式
|| x(k) x || 1 || x(k1) x(k) || || B || || x|
|| x(k) x || || B || || x(k) x(k1) || || B ||k || x(1) x(0) ||
1 || B ||
其中 B N 1P ; f N 1b
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第三章 第七节
据此，我们便可以建立迭代公式 xk1 Bx f k 0,1,2
我们称此迭代公式中的B 为迭代矩阵
二 迭代法的收敛性
定理1
1） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 lim B k =O；
2） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ( B )<1。
x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ，且
迭代法和收敛性
x1(k x2(k
1) 1)
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3
0.2x1(k )
0.1x3(k) 1.5 , k
0,1, 2,
x3(k
1)
0.2x1(k )
0.4x2(k )
2
迭代计算
x(0) 0 [0, 0, 0]T
x(1) 1
0.3
x(1) 2
1.5
x1(k x2(k
其中系数矩阵非奇异，且主对角元aii≠0，(i
=1,2,…,n)，由第i 个方程解出xi，有
x1
1 a11
(b1
a12 x2
a13 x3
x2
1 a22
(b2
a21x1
a23x3
xn
1 ann
(bn
an1x1
an2 x2
a1n xn ) a2n xn )
ann1xn1)
建立迭代格式
aij
x
( j
k
)
)
j i 1
加速
x ( k 1) i
( k 1)
xi
(1 ) xi(k )
i 1, 2, , n
或合起来写成迭代加速的形式
x (k 1) i
aii
(bi
i 1
a x (k 1) ij j j 1
n
aij
x
(k j
)
)
(1
)
xi( k
)
j i1
参数 称为松弛因子， 1 时迭代格式就是高斯-
x (k1) i
1 aii
(bi
n
aij x j(k ) ),
j1
(i 1,2,, n)
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理
设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
0 a11 a 21 0 a 22 A a n 1 ,1 a n 1 , 2 0 a nn a n 2 a n , n 1 a n1 0 a12 a1,n1 a1n 0 a 2 , n 1 a 2 n 0 a n 1, n 0 D LU. 0
则
k
B ( H )
k
两边取对数得: k ln ( H ) ln k
ln ln ( H )
定义:
ln ( H )
为迭代法(2.2.3)的渐近收敛速 度。
解线性方程组的迭代法
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
复习：矩阵的谱半径 设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx 向量-矩阵范数的相容性，得到 |λ| || x ||=||λx|| =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A || （ 3）
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称 ( A) max i
x ( k 1) x* H ( x ( k ) x* )
由此递推：x ( k 1) x* H k 1 ( x ( 0) x* ), k 0,1,2,
x 是线性方程组Ax=b的解
x* Hx* g
x
k 1
*
迭代法的收敛性
x* Mx* g 由迭代公式有 M (x
k k
x ( k ) x* Mx ( k 1) g Mx* g
( k 1)
x ) M (x
* 2 * k
( k 2) (k )
x ) M (x
* k
(0)
x )
*
于是有 lim M ( x
1 1 例：Ax b, A 2 1 2
1 2 1 1 讨论用三种迭代法求解的收敛性。 2 1 1 2 解：因A为对称且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩 1 2 阵。由判别条件3，Gauss-Seidel迭代法与松弛法(0 2) 均收敛。A不是弱对角占优阵，故不能用条件1判断。 0 1 -1 Jacobi迭代法的迭代矩阵为B I - D A 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0
1,
1,由推论1无法判别收敛性。
对一些特殊的系数矩阵可给出几个常用的判 别收敛条件
设有线性方程组Ax b, 下列结论成立（收敛充分条件） 1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 2.若A为严格对角占优阵， 0 1, 则松弛法收敛。 3.若A为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为 0 2。 10 1 2 2 1 0 B 1 2 1 上两例中： A 1 10 2 1 1 5 0 1 2 A为严格对角占优阵，故Jacobi与Gauss-Seidel迭 代均收敛。B为非严格对角占优阵，但为对称正定 阵， =1.4故松弛法收敛。
推论1 对任意初始向量x 和右端项g，若 M 1,由迭代
牛顿迭代法收敛定理
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
线性方程组的迭代解法及收敛分析
1.9583
0.8468
0.2974
9
1.0975
2.0954
2.8217
1.9788
0.8847
0.2533
10
1.0850
2.0738
2.8671
1.9735
0.8969
0.2041
11
1.0673
2.0645
2.8802
1.9843
0.9200
0.1723
12
1.0577
2.0509
2.9077
1.9828
0.9303
0.1400
13
1.0463
2.0437
2.9191
1.9887
0.9448
0.1174
14
1.0392
2.0350
2.9363
1.9886
0.9527
0.0959
15
1.0318
2.0297
2.9451
1.9920
0.9620
0.0801
16
1.0267
2.0241
Keywords：MATLAB,Mathematical model,Iterative method,ConvergenceSystem of linear equations
1
在实际生活中，存在着大量求解线性方程组的问题。这些方程组具有数据量大，系数矩阵稀疏，在一定精度保证下，只需要求解近似解等特点。线性方程组的迭代解法特别适合于这类方程组的求解，它具有程序设计简单，需要计算机的贮存单元少等特点，但也有收敛性与收敛速度问题。因此，研究线性方程组的迭代解法及收敛分析对于解决实际问题具有非常重要的作用。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
牛顿迭代法与连续分数在求解平方根中的收敛性判断
牛顿迭代法与连续分数在求解平方根中的收敛性判断在结合牛顿迭代法和连续分数法求解平方根的过程中，实际上主要关注的是牛顿迭代法的收敛性，因为连续分数法在这一上下文中更多是用于表示或分析结果，而不是作为求解过程的直接部分。
然而，为了完整性，我将分别讨论牛顿迭代法和连续分数表示中的收敛性判断。
牛顿迭代法的收敛性判断牛顿迭代法在求解平方根时，其收敛性通常是非常快的，特别是当初始猜测值选择得当（比如选择被开方数的一半作为初始值）时。
要判断牛顿迭代法是否收敛，你可以：1.检查相邻项之差：2.在每次迭代后，计算当前近似值x n+1与前一次近似值xn之间的差的绝对值|xn+1−xn|。
如果这个值小于某个预定的阈值ϵ（例如，ϵ=10−6或更小，取决于你需要的精度），则可以认为迭代已经收敛，并可以接受xn+ 1作为平方根的近似值。
3.设置最大迭代次数：4.为了防止无限循环（尽管这在牛顿迭代法求解平方根时非常罕见，但理论上是可能的），你可以设置一个最大迭代次数M。
如果迭代次数超过M仍未达到预定的精度，则停止迭代并接受当前的最佳近似值，或者报告一个错误。
连续分数表示的收敛性在讨论连续分数表示的“收敛性”时，我们需要澄清一点：连续分数本身是一个无穷序列，它精确地表示了一个无理数（或某些有理数）。
然而，在实际应用中，我们只能计算这个序列的有限项来近似无理数。
1.连续分数序列的构造：2.连续分数是通过一系列递归步骤构造的，每一步都基于前一步的结果。
这个过程在数学上是精确的，并且不会产生类似于数值方法中的“收敛”或“发散”问题（除非在计算过程中引入了数值误差）。
3.有限项近似的精度：4.当我们使用连续分数的有限项来近似无理数时，近似的精度取决于所取项的数量。
项数越多，近似值通常越精确。
但是，由于我们无法计算无限项，因此必须根据实际需求选择一个足够多的项数来平衡计算复杂性和所需精度。
结合使用时的收敛性判断在结合牛顿迭代法和连续分数法时，你主要关注牛顿迭代法的收敛性。
第七讲二分法与迭代过程的收敛性
所以迭代公式
2 3
1
2 3
取x0=2 计算, 结果列表：
k xk xk-xk-1 0.08008 0.01227 0.00187 0.00027 0.00005
1.二分法的基本思想 条件: 函数f(x)在[a,b]上连续, 严格单调, 且
f(a)f(b)<0, 这时方程在区间内有且仅有一个实根x*.
二分法的基本思想 将含方程根的区间平分为两个小区间, 然后判断 根在哪个小区间, 舍去无根的区间, 而把有根的区间 再一分为二, 再判断根属于哪个更小的区间, 如此周 而复始, 直到求出满足精度要求的近似根.
k 1
ak
xk
bk
(b a )
由此得二分过程的结束原则：
先给定精度要求ε(>0)
(1)当|bk+1 – ak+1|<ε时结束二分计算, 取 x*≈xk;
(2)事先由ε估计出二分的最小次数 k+1, 取 x*≈xk. ba ba * k 1 由 x xk k 1 得2 ， 2 ln(b a ) ln
一、二分法
2.计算过程 具体计算过程
y a1 0 a b1 x* x 0
f (x )
y
0 a
f ( x) a1 x0 b * b1 x x
b x
1 第1次二分, 取中点 x0 (a b ) 2 若f(a)f(x0 )<0, 则 x*∈( a, x0 ), 令a1=a, b1=x0; 否则 x*∈(x0, b), 令a1=x0, b1=b.
答案: 计算结果见列表：
迭代法
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值，迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。
方法介绍迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
迭代法应用迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。
迭代法的收敛性定理可分成下列三类：①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛；②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解；③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。
迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。
迭代法算法迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。
一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式（代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法迭代法是一种常见的算法设计方法，它通过重复执行一定的操作来逐步逼近问题的解。
迭代法是一种简单有效的求解问题的方法，常用于求解数值问题、优化问题以及函数逼近等领域。
本文将介绍迭代法的基本概念、原理以及常见的应用场景。
一、迭代法的基本概念迭代法的思想是通过反复应用一些函数或算子来逐步逼近问题的解。
对于一个需要求解的问题，我们首先选择一个初始解或者近似解，然后通过不断迭代更新来逼近真实解。
迭代法的核心是找到一个递推关系，使得每次迭代可以使问题的解越来越接近真实解。
常见的迭代法有不动点迭代法、牛顿迭代法、梯度下降法等。
这些方法的求解过程都是基于迭代的思想，通过不断逼近解的过程来得到问题的解。
二、迭代法的原理迭代法的基本原理是通过不断迭代求解迭代方程的解，从而逼近问题的解。
迭代法的求解过程通常分为以下几个步骤：1.选择适当的初始解或者近似解。
初始解的选择对迭代法的收敛性和效率都有影响，一般需要根据问题的特点进行合理选择。
2.构建递推关系。
通过分析问题的特点，构建递推关系式来更新解的值。
递推关系的构建是迭代法求解问题的核心，它决定了每次迭代如何更新解的值。
3.根据递推关系进行迭代。
根据递推关系式，依次更新解的值，直到满足收敛条件为止。
收敛条件可以是解的变化小于一定阈值，或者达到一定的迭代次数。
4.得到逼近解。
当迭代停止时，得到的解即为问题的逼近解。
通常需要根据实际问题的需求来判断迭代停止的条件。
三、迭代法的应用迭代法在数值计算、优化问题以及函数逼近等领域有广泛的应用。
下面将介绍迭代法在常见问题中的应用场景。
1.数值计算：迭代法可以用于求解方程的根、解线性方程组、求解矩阵的特征值等数值计算问题。
这些问题的解通常是通过迭代的方式逼近得到的。
2.优化问题：迭代法可以应用于各种优化问题的求解，如最大值最小化、参数估计、模式识别等。
迭代法可以通过不断调整参数的值来逼近问题的最优解。
3.函数逼近：迭代法可以应用于函数逼近问题，通过不断迭代来逼近一个函数的近似解。
迭代法原理
迭代法原理迭代法是一种常见的数值计算方法，也是一种解决问题的有效途径。
它的基本思想是通过不断迭代更新，逐步逼近问题的解。
在实际应用中，迭代法被广泛应用于数值分析、优化算法、计算机模拟等领域，具有较强的实用性和普适性。
迭代法的原理非常简单，它通过不断重复一个固定的计算过程，直到满足某个终止条件为止。
通常情况下，迭代法的过程可以描述为，首先选取一个初始值作为迭代的起点，然后根据某种规则进行迭代更新，直到满足预设的终止条件为止。
在每一次迭代中，都会根据当前的值计算出下一步的值，然后用新的值替代旧的值，不断迭代更新，直到满足终止条件。
迭代法的核心在于不断重复的更新过程，这种更新过程可以是简单的数值计算，也可以是复杂的函数迭代。
在实际应用中，迭代法通常用于求解方程的近似解、优化问题的最优解等。
通过不断迭代更新，可以逐步逼近问题的解，达到较高的精度要求。
迭代法的原理简单清晰，但在实际应用中需要注意一些问题。
首先，迭代法的收敛性是一个重要的问题，即迭代过程是否能够收敛到问题的解。
在一些情况下，迭代法可能会出现发散的情况，导致无法得到有效的解。
因此，在应用迭代法时，需要对问题的性质和迭代过程进行充分的分析，以确保迭代法能够有效收敛。
其次，迭代法的收敛速度也是一个重要的问题。
在实际应用中，迭代法的收敛速度直接影响到计算的效率和精度。
一般来说，迭代法的收敛速度越快，计算所需的迭代次数就越少，计算效率就越高。
因此，如何提高迭代法的收敛速度，是一个需要重点关注的问题。
总的来说，迭代法作为一种常见的数值计算方法，具有较强的实用性和普适性。
通过不断迭代更新，可以逐步逼近问题的解，解决一些复杂的数值计算和优化问题。
在实际应用中，需要注意迭代法的收敛性和收敛速度等问题，以确保迭代法能够有效地解决问题。
在数值计算、优化算法、计算机模拟等领域，迭代法都发挥着重要的作用，成为解决问题的有效途径。
通过对迭代法原理的深入理解和实际应用，可以更好地利用迭代法解决实际问题，提高计算效率和精度，推动科学技术的发展。
数值算法 7迭代法、牛顿法
说明: (1)要求 ( x) 1 ,不能放松为 ( x) 1 ; (2)一个方程 f ( x ) 0 变形为 x ( x ) 有许多形式可以变换,有的可能不 收敛,有的可能收敛,且 ( x) 1 的 越小,收敛的越快。
x 5 5 10 x 在有根区间 (2, 2.5) 内 1.38 ( x) 5 ,因而也是不收敛 , ( x ) , ( x ) x2 2 x 2 2 ( x 2 2)2
的。 取 x0 2 , x1 2.5, x2 1.176, x3 8.103, x4 0.0785, x5 2.5,
两式相除约去 得: 得到改进公式如下: 改进值: xn1 xn1
x1 x0 x12 x1 x* x0 x* ( x1 x1 )2 * ,从而解得: x x1 x1 x* x1 x* x1 x0 2 x1 x1 2 x1 x0
第一次校正值: xn1 ( xn )
( x1 x1 )2 x1 x1 1.756633 x1 2 x1 x0 x2 2 lg x1 1.755319, x2 1.755644 ( x2 x2 )2 x2 x2 1.755626 x2 2 x2 x1 x3 1.755568, x3 1.755582
x 3 2 x 5 , ( x ) 3 2 x 5 ( x )
1 2
1 2
3 2
, 是发散数列。
如构造 , 0 ( x )
2 9 3
3
2 3 3 (2 x 5)2
0.154 1 是收敛的。
x2 2.0923507, x3 2.0942170,
迭代法的收敛定理
一、基本收敛定理
The Fundamental convergence theorem
Theorem :for any initial value x (0) R n, the fundamental iterative method defined
by x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2,…) converges to the unique solution of x=Bx+f if only if
1.25 x1 3.69 x2 12.37 x3 0.58 10.01x1 9.05 x2 0.12 x3 1.43 1.22 x 4.33x 2.67 x 3.22 1 2 3
无法直接判断Jacobi 迭代法和G-S迭代法的收敛性，但如果 将方程组的次序修改为
对角占优矩阵
diagonally dominant matrix
如果线性方程组AX=b的系数矩阵A具有某种特殊性质 （如对称正定、对角占优等），则可从A本身直接得出某些 迭代法收敛性结论。 定义3.1 如果矩阵A满足条件
aii aij
j i
(i 1,2,
, n)
(2)
则称A是严格对角占优阵(strictly diagonally dominant matrix)； 如果矩阵A满足条件 aii aij (i 1,2, , n) (3)
在偏微分方程数值解中，有限差分往往导出对角占优的 线性代数方程组，有限元法中的刚性矩阵往往是对称正定阵， 因此这两个判断定理是很实用的。 对于给定的线性方程组，借助于定理3.3和定理3.4可 以直接判断Jacobi 迭代法和G-S迭代法的收敛性。 但同时应当注意，迭代法收敛与否与方程组中方程排列 顺序有关，如线性方程组
迭代法收敛性分析
1||B||
(2) ||X(k)X*| | ||B|k | ||X(1)X(0)||
1||B||
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1133 /18
证 由||B||<1,有
limX(k) X*
B注k+31: X(k) =B X(k-1) + f = B(B X(k-2) + f) + f =····
= Bk X(0) + ( I + B + ····+ Bk-1)f
≈ ( I – B )-1 f
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99/18
例 线性方程组 A X = b, 分别取系数矩阵为
误差估计:
||X(k)X *| | ||B|| ||X(k)X(k1)|| 1||B||
||X(k)X*| | ||B|k | ||X(1)X(0)|| 1||B||
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n
定义4.1 A=(aij)n×n, 如果 | a ii | | a ij |
2 2 0 B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
(BJ)1 Ans= 1.2604e-005
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0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
迭ห้องสมุดไป่ตู้法
迭代法的收敛条件
的情形.
收敛的必要条件，而非充要条件， 因为Gauss-Seidel 迭代即为
1
定理3.6虽然给出了判别迭代法收敛的充要条件， 但实际使用是很不方便 。因为求逆矩阵和特征值的 难度并不亚于用直接方法求解线性方程组。推论１与 推论２使用起来方便得多， 但它们分别给出收敛的 充分条件与必要条件，许多情形下，不能起作用.
( A) A
3
解线性方程组的迭代法
定理3.4 设A为n阶方阵， 则对任意正数 种矩阵范数
使得
,
存在一
A ( A)
证明参看［１］ . 对任意n 阶方阵 A, 一般不存在矩阵范数 使得
,
( A) A . 但若
A为对称矩阵，则
2
( A) A
下面的结论对建立迭代法的收敛性条件非常重要。
k
A lim k
0
所以
k
lim Ak 0
6
解线性方程组的迭代法
3.5.2
迭代法的收敛条件
(0) 定理３.６ 对任意初始向量 x 和右端项 g ,
由迭代格式
x( k 1) Mx( k ) g
产生的向量序列 x ( k ) 收敛的充要条件是
(k 0,1,2,)
19
解线性方程组的迭代法
(2) 若
n阶方阵 A (aij ) 满足
n
aii aij
j 1 j i
(i 1,2,, n)
(3 25)
且至少有一个i 值，使上式中不等号严格成立，则 称为A弱对角占优阵。 定义3.5 如果矩阵Ａ不能通过行的互换和相应列的互 换成为形式
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第三章 第七节
x(k+1) -x*= B( x(k) -x* ) , x(k+1) –x(k)= B( x(k) –x(k-1) )
从而
||x(k+1) -x(k)|| =||( x(k+1) -x*)-( x(k) -x*)||
|| x(k) -x* ||-|| x(k+1) -x*|| 故
[( B )]k = (B k ) ||B k ||<1，
B )=inf {|| B || }，存在 >0 使
|| B || ( B )+ <1， 又 || B k || ||B ||k ，
故
lim B k =0。
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三 迭代法的收敛速度
第三章 第七节
定理 2 若 ||B ||<1，则迭代格式
|| x(k) x || 1 || x(k1) x(k) || || B || || x(k) x(k1) ||
1 || B ||
1 || B ||
|| x(k) x || || B || || x(k) x(k1) || || B ||k || x(1) x(0) ||
1 || B ||
1 || B ||
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其中 B N 1P ; f N 1b
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第三章 第七节
据此，我们便可以建立迭代公式 xk1 Bx f k 0,1,2
我们称此迭代公式中的B 为迭代矩阵
二 迭代法的收敛性
定理1
1） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 lim B k =O；
2） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ( B )<1。
x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ，且
|| x(k) x || || B || || x(k) x(k1) || 1 || B ||
|| x(k) x || || B ||k || x(1) x(0) || 1 || B ||
证 因 ( B ) || B||< 1，所以迭代收敛。
设 lim x (k) =x*，由 x(k+1) = Bx(k) + f ， 得 x* = Bx* + f ，则
第三章 第七节
第七节 迭代法及其收敛性
一 迭代法的一般格式
所谓迭代法就是对任意给定初始近似 x0 , 按某种 规则逐次生成序列 x0, x1, x2 xk ,
使极限
lim xk x
k
为方程组Ax=b 的解，即 Ax b
矩阵A 分解成矩阵N 和P 之差 A=N-P 其中N为非
奇异矩阵，于是方程组 Ax=b 便可以表示成 Nx=Px+b 即 x N 1Px N 1b Bx f
证 1）设 lim x (k) =x*， 则 x* = Bx* + f ,
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第三章 第七节
x (k+1) -x*= B( x (k) -x*)， x (k) -x*= B k( x (0) -x*) ， 故 lim x (k) =x* lim B k =O；
2） 存在 k ，使 || B k || <1，