实验二迭代法初始值与收敛性 (3)

实验二：迭代法、初始值与收敛性

一：实验要求

考虑一个简单的代数方程

210,x x --=

针对上述方程，可以构造多种迭代法，如211111,1,n n n n n

x x x x x +++=-=+

=记录各算法的迭代过程。 二：实验要求及实验结果

（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计

一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。

（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？

实验内容：

ⅰ）对211n n x x +=-进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解

%令x=x^2-1

clear

n=30;

x=-0.5;

x1=x^2-1;

for i=1:n

x1=x1^2-1;

xx(i)=x1;

end m=linspace(0,29,n);

plot(m,xx)

title('x=-0.5')

x=-0.6

x=1.6

如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。

分析：2()1n g x x =-，'()2g x x =，要想在某一邻域上'()21,[1,1]g x x x =<∀∈-则但是()[1,1]g x ∉-，所以不存在某个

邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任何初值都是发散的。

ⅱ）对111n n

x x +=+进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0.7， 2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下：

%迭代法求解

%令x=x^2-1

clear

n=20;

x=-0.5;

x1=1+1./x;

for i=1:n

x1=1+1./x1;

xx(i)=x1; end

m=linspace(0,29,n);

plot(m,xx,'b')

title('x=-0.5')

x=-0.7x=2.1

如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。

分析：1()1,n g x x =+设 '21()[1.65,],[1.65,],()g x x g x x ∈+∞∀∈+∞=-在[1.65,]+∞上有界，且

'2

1()1,[1.65,]g x x x =<∀∈+∞则由迭代式对任意初始值0[1.65,]x ∈+∞1()1,n g x x =+产生的序列都收敛。同时由1()1,n g x x =+

可以看到，在0[,]x ∈-∞+∞选取初值，在进行n 次迭代后，都会存在一个 1.65n x >，此时n x 相当于是在[1.65,]+∞范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。

ⅲ）对1n x +=n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下：

%迭代法求解

%令x=sqrt(1+x)

clear

n=20;

x=-0.5;

x1= sqrt(1.+x);

for i=1:n

x1= sqrt(1+x1);

xx(i)=x1; end

m=linspace(0,29,n);

plot(m,xx,'b')

title('x=-0.5')

x=-0.6

如上图所示，选取初值分别为-0.6、2.1时，结果都是收敛。

分析：()1g x =

设 '()[1,],[1,],()g x x g x ∈-+∞∀∈-+∞=在[1,]-+∞实

数域上有界，且'()1,[1,]

g x x =<∀∈-+∞则由迭代式对任意初始值0[1,]x ∈-+∞()g x =产生的序列都收敛。同时由()g x =可以看到，在0[,1]x ∈-∞-选取初值，对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。如初值选取x=-3，得到20次的迭代结果如下：实部收敛于1.618，虚部收敛于0，

Columns 1 through 5

1.1688 + 0.6050i 1.4867 + 0.2035i 1.5782 + 0.0645i 1.6058 + 0.0201i 1.6143 + 0.0062i

Columns 6 through 10

1.6169 + 0.0019i 1.6177 + 0.0006i 1.6179 + 0.0002i 1.6180 + 0.0001i 1.6180 + 0.0000i

Columns 11 through 15

1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i

Columns 16 through 20

1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i

x=-3

上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。