中考数学相似-经典压轴题及答案解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）作出函数的大致图象.

【答案】（1）解：如图①：作CO⊥AB于O，

①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'.

小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0；从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.

设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，

∵MA'⊥AB，CO⊥AB，

∴△MC'A'∽△CC'O，

∴，

即 = ,

∴y= x- (0≤x≤m),(此时m,l,h为常数)，

②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；

同理可得y=- x+ (m

（2）解：如图②所示：

【解析】【分析】（1）如图①：作CO⊥AB于O，

①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'；根据中心投影的特点可知

影长随x的变化情况.

设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.

②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m

（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.

2．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．

根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

（2）当t=4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；

（4）若S=12，则t=________．

【答案】（1）解：由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，

∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8−CO＝8− ，OA＝4，

则8− ，解得t＝，

∴当点D在直线AB上时，t＝

（2）解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，

则由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7

（3）解：①当0＜t≤时，S= t2

②当＜t≤4时，S=-t2+10t−16

③当4＜t≤16时，S=t2+2t

（4）8

【解析】【解答】解：（3）①当0﹤t≤时，如图（1），

②当

∵A（4,0），B（0,8）

∴直线AB的解析式为y=-2x+8,

∴G（t,-2t+8）,F(4-,),

∴DF=t-4,DG=t-8，

∴S=S矩形COED-S△DFG=t·

③当4＜t≤16时，如图（3）

∵CD∥OA，

∴△BCF∽△BOA，

∴

∴,

∴CF=4-,

∴S=S△BOA-S△BCF=

（4）由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8

【分析】（1）首先判断出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶BO=CD ∶OA ，根据矩形的性质及线段的和差得出CD＝OE＝t，BC＝8−CO＝8- ，OA＝4，利用比例式即可得出方程，求解得出t的值；

（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得CF ：CB=OA ∶OB ，根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案；

（3）①当0﹤t≤ 时，如图（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积

公式即可得出函数关系式；②当

3．书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……

若这张矩形印刷用纸的短边长为a．

（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(AB BC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经

过点B，得到折痕BG，求的值．

（2）如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是________.（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC ∠C 90°．

∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，

∴∠CBE ∠FBE 45°，

∴∠CBE ∠CEB 45°，

∴BC CE a，BE ．

∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，

∴AB BE ，

∴

（2）解：根据题意和（1）中的结论，有AH BH ，．

∴．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A ∠B 90°，

∴△MAH∽△HBC，