2020-2021学年高二数学人教A版数学选修2-2：2.2.2 反证法 课件

关键能力·合作学习 类型一 用反证法证明否定性命题(逻辑推理) 【题组训练】 1.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.求证: a，b，c 不成等差 数列. 2.设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证:AC与平面 SOB不垂直.
【证明】1.假设 a，b成，等c 差数列,则
【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线中,任何一条都与x轴没有两个不 同的交点. 则Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,Δ3=(2a)2-4bc≤0.上述三个同向不等 式相加, 得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0, 所以a=b=c,这与a,b,c互不相等矛盾. 因此假设不成立,从而原命题得证.
2.(教材二次开发:习题改编)①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假
设p+q>2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小
于 1 ,用反证法证明时可假设|f(1)|≥ 1 ,且|f(2)|≥ 1 ,以下说法正确的是
2
2
2
()
A.①与②的假设都错误
a＋ 即ca＝ +2c+b，=4b. 2 a c
因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= a c ,
所以a+c+2 ac＝4 ,a所c 以( )2=a－0,即c
a＝ c.
从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,
故 a，b，不c成等差数列.
2.假设AC⊥平面SOB,如图, 因为直线SO在平面SOB内, 所以SO⊥AC.因为SO⊥底面,所以SO⊥AB. 所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面. 这显然矛盾,所以假设不成立,即AC与平面SOB不垂直证明】假设a,b,c都不大于0,则a≤0,b≤0,c≤0,
所以a+b+c≤0,而a+b+c=x2-2y+ +y2-2 z+ +z2-2x+
2
3
6
1)2+
=(x-1)2+(y-
(z-1)2+π-3,
因为π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
所以a+b+c>0,与a+b+c≤0矛盾,
【证明】由于y=f(x)的图象在[a,b]上连续不间断, 又f(a)>0,f(b)<0,即f(a)·f(b)<0, 故y=f(x)在区间[a,b]上一定存在零点x0. 下面用反证法证明只有一个零点x0. 假设y=f(x)在[a,b]上还存在一个零点x1(x1≠x0), 则f(x1)=0.由函数f(x)在[a,b]上单调且f(a)>0,f(b)<0知,f(x)在[a,b]上单调递 减. 若x1>x0,则f(x1)<f(x0),即0<0,矛盾, 若x1<x0,则f(x1)>f(x0),即0>0,矛盾. 因此假设不成立,即f(x)的零点是唯一的.
【解题策略】 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性 命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤
类型二 用反证法证明“至多”“至少”问题(逻辑推理) 【典例】已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a 和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 【思路导引】考虑抛物线与x轴的交点问题,利用Δ来解决问题.
【解题策略】 证明时常见的“结论词”与“反设词”
结 论 词
至少有 至多有一 对所有x成
一个
个
立
对任意 x不 成立
至少有n个 至多有n个 ﹁p或﹁
q
反设 一个也 至少有两
词 没有
个
存在某个 x0
不成立
存在某个 x0
成立
至多有(n1)个
至少有 (n+1)个
﹁p且﹁
q
【跟踪训练】
已知x,y,z均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ .求证a,b,c中
2.2.2 反 证 法
导思
1.什么是反证法? 2.如何利用反证法解决数学问题?
反证法的定义及证题关键
【思考】 什么情况下应该用反证法证明?
提示:当问题从正面求解无从入手或条件很少时常用反证法,对一些存在性、否 定性、唯一性等问题也常用反证法解决.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
所以a,b,c中至少有一个大于0.
类型三 用反证法证明“唯一性”“存在性”问题(逻辑推理) 【典例】已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不间断,且f(x)在[a,b]上 单调,f(a)>0,f(b)<0.求证:函数y=f(x)在[a,b]上有且只有一个零点. 【思路导引】否定结论,利用反证法推出矛盾,则原命题正确.
2
3.用反证法证明“若a+b+c<3,则a,b,c中至少有一个小于1”时,“假设”应为 ()
A.假设a,b,c至少有一个大于1 B.假设a,b,c都大于1 C.假设a,b,c至少有两个大于1 D.假设a,b,c都不小于1
【解析】选D.考虑命题的反面,即可得出结论. 由于命题:“a,b,c中至少有一个小于1”的反面是“a,b,c都不小于1”, 故用反证法证明“若a+b+c<3,则a,b,c中至少有一个小于1”时,“假设”应为 “a,b,c都不小于1”.
(1)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.
()
(2)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.
()
(3)反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题. ( )
提示:(1)×.应假设“a≤b”.
(2)×.只否定结论.
(3)×.反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正
确,不是通过逆否命题证明.
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确,②的假设错误
D.①的假设错误,②的假设正确
【解析】选C.①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的
否命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于 1
2
的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于 1 ,故②的假设错误.