旅行商问题_TSP_算法的比较

５． 总结 本文运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解决ＴＳＰ问题的算法 （ 贪心 算 法 ， 模 拟 退 火 算 法 和 遗 传 算 法） ， 并 在ＴＳＰ测 试 文 件ｂｅｒｌｉｎ５２． ｔｓｐ和 ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上 运 行 三 种 算 法 。从 而 比 较 和 归 纳 每 个 算 法 的 优缺点。实验结果表明， 每个算法都有各自的优缺点。另外， 在 模 拟 退 火 算 法 和 遗 传 序 列 算 法 中 ， 初 始 温 度 、衰 减 因 子 和 马 尔 可夫链长度等参数的控制， 还需要做进一步研究。今后应在更 先进的硬件平台 的 基 础 上 尝 试 较 大 的ＴＳＰ地 图（ 上 千 城 市 规 模 的地图） 来进 一 步 测 试 算 法 的 性 能 。 解 决ＴＳＰ问 题 的 算 法 在 对 钻孔路线方案、连锁店的货物配送、网络布线， 铁路网优化等问 题中有着广泛的 应 用 ， 所 以 改 进 和 研 究 解 决ＴＳＰ问 题 算 法 对 实 际的工业生产是有重要意义的。 参考文献： ［１］ 王 忠 业，房 丽 娜． 基 于 遗 传 算 法 的 项 目 投 资 决 策 分 析［Ｊ］． 科 技 进步与对策， ２００６， （ ５） ： １１０－ １１１． ［２］ 魏 延，谢 开 贵． 模 拟 退 火 算 法［Ｊ］． 蒙 自 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报， １９９９， （ ８） ： ７－ １１． ［３］ 芦金婵，王伟东． 模拟退火算法的改进［Ｊ］． 淮北煤师院学报， ２００３， （ １２） ： １６－ １９． ［４］ 万军洲． 基于模拟退火技术的旅行商问题求解算法［Ｊ］． 软件 导刊， ２００６， （ ８） ： ８８－ ８９． ［５］ Ｓｃｏｔｔ Ｍ． Ｔｈｅｄｅ Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ Ｏｃｔｏｂｅｒ ２００４ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ｉｎ Ｃｏｌｌｅｇｅｓ， Ｖｏｌｕｍｅ ２０ Ｉｓｓｕｅ １．
在ＴＳＰ测试文件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而 内能， Ｅ为其改变量， ｋ为Ｂｏｌｔｚｍａｎ常数。
比较和归纳每个算法的优缺点。
用固体退火模拟组合优化问题， 将内能Ｅ模拟为目标函数
１． 旅行商问题简介
值ｆ， 温度Ｔ演 化 成 控 制 参 数ｔ， 即 得 到 解 组 合 优 化 问 题 的 模 拟 退
是最短的路径。如此然后去Ｃ， 再到Ｄ。所以， 此算法则总是选择 传算法之前， 给出一群“ 染色体”， 也即是假设解。然后， 把这些
最短的路径。
假设 解 置 于 问 题 的“ 环 境 ”中 ， 并 按 适 者 生 存 的 原 则 ， 从 中 选 择
２．２ 模拟退火算法
出较 适 应 环 境 的“ 染 色 体 ”进 行 复 制 ， 再 通 过 交 叉 ， 变 异 过 程 产
的路径。城市越多， 可能的路径也越多。而且路径的增加速度非 体退火 原 理 ， 将 固 体 加 温 至 充 分 高 ， 再 让 其 缓 慢 降 温（即 退 火），
常快且是非线形的。当ｎ很大时， 去尝试每一种可能的路径是不 使之达到能量最低点。反之， 如果急速降温（即淬火）则不能达到
可能的， 所以需要设计一个有效的算法去寻找最短的路径。现 最低点。加温时， 固体内部粒子随温升变为无序状， 内能增大，
遗传算法简称ＧＡ（Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）， 在本质上是一种不依
径长度， 找出Ａ到Ｂ是最短的路径（５公里），然后我们从Ａ到Ｂ，然后 赖具体问题的直接搜索方法。遗传算法ＧＡ把问题的 解表示成
设定Ａ和Ｂ之间的距离无限大。然后在Ｂ， 我们找出Ｂ到Ｃ（３公里） “ 染色体”， 在算法中也即是以二进制编码的串。并且， 在执行遗
综述
旅 行 商 问 题 （ ＴＳ Ｐ ） 算 法 的 比 较
苗卉
杨韬
澳大利亚昆士兰大学信息技术与电气工程学院 西南交通大学 电气工程学院 成都 ６１００３１
摘要： 旅行商问题是一种典型的求解多局部最优的最优化问题： 有ｎ个城市， 一个旅行者从其中的一个城市出发， 经过所有的城市一次并返回出发的城市， 求最短的路线。本文 运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解决ＴＳＰ问题的算法（ 贪心算法， 模拟退火算法和遗传算法） ， 并在ＴＳＰ测试文件 ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而比较和归纳每个算法的优 缺点。
结 果 显 示 遗 传 序 列 算 法 似 乎 对 ＴＳＰ问 题 不 是 很 有 效 率 。 然 而， 遗传序列算法被证实它和模拟退火算法同样有效。运用简 单的交叉算法产生下一代染色体可能是在这里造成遗传序列 算 法 如 此 低 效 率 的 原 因 。 在Ｂｙｒａｎｔ Ａ．Ｊｕｌｓｔｒｏｍ＇ｓ 的 报 告 中，他 使 用贪婪算法产生下一代染色体，可以给出非常好的结果。本研 究中， 模拟退火算法有很高的效率， 它可以容易地被实现， 而且 有很强的收敛性， 而且运行速度快。贪心算法虽然运算速度快， 但是运算效率太低。
技 术 ０与 市 场 ８１
２００７ ／ ２
综述
生更适应环境的新一代“ 染色体”群。这样， 一代一代地进化， 最 后就会收敛到最适应环境的一个“ 染色体”上， 它就是问题的最 优 解 。 下 列 是 实 现 遗 传 算 法 解 决 ＴＳＰ问 题 的 步 骤 ：
１） 产 生 一 群 染 色 体（ 不 同 的 游 历 路 径） 然 后 计 算 评 估 每 个 染色体的健壮度（ 总路径长度） 。
好。举例来说：有４个城市：Ａ， Ｂ， Ｃ和Ｄ。距离从Ａ到Ｂ是５公里，Ａ到
７） Ｔ逐渐减少， 且Ｔ趋于０， 然后转第２步运算。
Ｃ是６公 里，Ａ到Ｄ是９公 里，Ｃ到Ｂ是３公 里，Ｄ到Ｂ和Ｄ到Ｃ的 距 离 分
２．３ 遗传序列算法
别 是７公 里 和 ８公 里 。 假 设 我 们 一 开 始 在 Ａ，比 较 Ａ到 其 他 点 的 路
平均路径长度为７９１７．９， 与最优值的平均差： ３７５．９， 与最优解的 平均方差：４７５．６。在遗传序列算法中， 平 均 路 径 长 度 为８５１５．６， 与最优值的平均差： ９７３．６， 与最优解的平均方差： １０４３．０。从以 上数据可以看出， 模拟退火算法的效率最高， 在有限的迭带次 数下求得的结果离最优解最近 （ 与最优解的平均方差为 ４７５．６） 。
１） 初 始 化 ： 初 始 温 度Ｔ（充 分 大）， 初 始 解 状 态ｓ（随 机 选 取 一
明它属于ＮＰ难题。由于该问题的描述简单，而其实际模型在印 条ＴＳＰ路线， 算出走完此路线的长 度Ｃｏｓｔ（ｓ）作 为 评 价 函 数 ， 这 是
刷电 路 板 的 钻 孔 路 线 方 案 、连 锁 店 的 货 物 配 送 、网 络 布 线 等 优 算法迭代的起点）， 每个Ｔ值的迭代次数Ｌ；
今可以解决ＴＳＰ问题的算法 有 很 多 ， 如 ： 模 拟 退 火 算 法 ， 蚁 群 算 而缓慢降温时粒子渐趋有序， 在每个温度上都达到平衡态， 最
法， 遗传算法， 克隆算法等等。本文运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解 后在常温时达到基态， 内能减为最小。根据Ｍｅｔｒｏｐｏｌｉｓ准则， 粒子
决ＴＳＰ问 题 的 算 法（ 贪 心 算 法 ， 模 拟 退 火 算 法 和 遗 传 算 法） ， 并 在 温 度Ｔ时 趋 于 平 衡 的 概 率 为ｅｘｐ（－ Ｅ／（ｋＴ））， 其 中Ｅ为 温 度Ｔ时 的
２） 选留健壮度较好的染色体（ 总路径较短的路径） ， 剩下的 作为父染色体；
３） 父 染 色 体 交 换 ， 倒 转 或 移 位 产 生 下 一 代 染 色 体（ 其 中 有 ５％的染色体变异的概率） ；
４） 在下一代染色体的基础上回到第 １ 步骤； ５） 循环整个程序多次， 记录下每代的最好的染色体； ６） 选择其中最优秀的染色体作为最优解。 ３． ＴＳ Ｐ 算法的比较 ３．１ 实验器材与数据 用 来 测 试 算 法 性 能 的ＴＳＰ文 件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ是 两张具有５２个城市和１００个城市 的ＴＳＰ地 图 ， 它 们 可 以 从ＴＳＰ问 题 的 数 据 库 中 下 载 得 到 。 下 载 ＴＳＰ 测 试 文 件 的 地 址 为 ： ｈｔｔｐ： ／／ｗｗｗ．ｉｗｒ．ｕｎｉ－ ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ．ｄｅ／ｇｒｏｕｐｓ／ｃｏｍｏｐｔ／ｓｏｆｔｗａｒｅ／ＴＳＰＬＩＢ９５／ｔｓｐ／ 测试的硬 件 平 台 主 要 配 置 为Ｐｅｎｔｉｕｍ Ｍ １．６ Ｇｈｚ处 理 器， ３３３Ｍｈｚ ＤＤＲ ２５６Ｍ 内存， 测试算法的软件选用Ｍａｔｌａｂ７．０。 ３．２ 实验结果 贪心算法： 运行贪心算法 计 算ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ各 １０ 次 ， 记 录 路 径 总 长 度 和 程 序 运 行 时 间 ， 在 贪 心 算 法 中 ： Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ： 平均路径长度为９１９７．４； 程 序 平 均 执 行 时 间 ： ０．０３２ 秒； 与最优值的平均差： １６５５．４； 与最优解的平均方差：１７８５．７。 Ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ： 平 均 路 径 长 度 为２８３０３； 程 序 平 均 执 行 时 间 ： ０．０３８ 秒； 与最优值的平均差： ６１６２；与最优解的平均方差： ６４３５．４。 模 拟 退 火 算 法 ： Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ： 平 均 路 径 长 度 为７９１７．９； 程 序 平均执行时间： ９．３秒； 与最优值的平均差： ３７５．９；与 最 优 解 的 平 均 方 差： ４７５．６。Ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ： 平 均 路 径 长 度 为２３４５４； 程 序 平 均 执 行 时 间 ： １５６．８秒 ； 与 最 优 值 的 平 均 差 ： １３１３；与 最 优 解 的 平 均 方差： １４１３．５。 遗 传 序 列 算 法 ： 运 行 遗 传 序 列 算 法 计 算 ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ 和 ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ各１０次 ， 记 录 路 径 总 长 度 和 程 序 运 行 时 间 ， 在 遗 传 序 列 算 法 中 ： Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ： 平 均 路 径 长 度 为８５１５．６； 程 序 平 均 执 行 时 间 ： ２９．６秒 ； 与 最 优 值 的 平 均 差 ： ９７３．６；与 最 优 解 的 平 均 方 差： １０４３．０。 Ｋｂｒｏ１００．ｔｓｐ： 平 均 路 径 长 度 为２７１８４； 程 序 平 均 执 行 时 间 ： １４８．１秒； 与最优值的平均差： ５０４３；与最优解的平均方差： ５２８３。 ４． 算法的结果分析 首先我们比较三个算法的运行时间 ， 拿Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ为 例 ： 在 贪 心 算 法 中 ， 程 序 平 均 执 行 时 间 ： ０．０３２秒 ； 在 模 拟 退 火 算 法 中， 程序平均执行时间： ９．３秒； 在遗传序列算法中， 程序 平 均 执 行时间： ２９．６秒。由上数 据看出， 由于贪心算法不需要迭 代 ， 所 以运行速度最快， 而遗传序列算法是计算最慢的算法。 然 后 我 们 比 较 三 个 算 法 的 准 确 度 ， 还 是 以Ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ为 例 ： 在 贪 心 算 法 中 ， 平 均 路 径 长 度 为 ９１９７．４， 与 最 优 值 的 平 均 差： １６５５．４， 与最优解的平均方差：１７８５．７。 在 模 拟 退 火 算 法 中 ，
２．１ 贪心算法
６） 如 果 满 足 终 止 条 件 则 输 出 当 前 解 作 为 最 优 解 ， 结 束 程
贪心算法的主要思想是永远选择当前最短的路径。这是解 序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算
决ＴＳＰ问 题 的 最 简 便 的 算 法 。 贪 心 算 法 容 易 实 现 但 是 效 率 不 法；
４） 计算增量Ｃｏｓｔ＝Ｃｏｓｔ（ｓ′）－ Ｃｏｓｔ（ｓ）， 其中Ｃｏｓｔ（ｓ）为评价函数；
算 法 、模 拟 退 火 算 法 、混 合 遗 传 算 法 等 。
５） 若 ｔ′＜０ 则 接 受 ｓ′ 作 为 新 的 当 前 解 ， 否 则 以 概 率 ｅｘｐ
２． ＴＳ Ｐ 问题算法的介绍
（－ ｔ′／Ｔ）接受ｓ′作为新当前解；
关键词： 贪心算法 模拟退火 遗传算法 旅行商问题 最优化问题
０ 引言
模拟退火算法由ＫｉｒｋＰａｔｒｉｃｋ于１９８３提出， 他将退火思想引
旅行 商 问 题（ ＴＳＰ） 是 一 种 典 型 的 组 合 最 优 化 问 题 ， 计 算 途 入到组合优化领域， 是一种求解大规模组合优化问题的方法，
径ｎ个城市的最短距离。对于城市数目为ｎ的地图， 共有ｎ种不同 对于ＮＰ－ 完全组合优化问题尤其有效。模拟退火算法来源于固
家Ｔｈｏｍａｓ Ｐｅｎｙｎｇｔｏｎ Ｋｉｒｋｍａｎ在１９世纪提出的数学问 题， 它是指 值， 算法终止时的当前解即为所得近似最优解。所以我们可以
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给定ｎ个城市并给出每两个城市之间的距离， 旅行商必须 以 最 通过上面的思想写出解决ＴＳＰ问题的模拟退火算法。步骤如下：
短路径访问所有的城市一次且仅一次，并回到原出发地，现已证
化问题中又有着广泛的应用，故长期以来一直吸引着国内外许
２） 对ｋ＝１至ｋ＝Ｌ做第（３）至第６步；
多研究人员进行研究，他 们 尝 试 着 用 各 种 算 法 来 求 解ＴＳＰ问 题，
３） 产生新解ｓ′（ 一般利用２－ ｏｐｔ算法来产生新的路径） ；
归纳起来有：近似解法、局部搜索法、神经网络、遗传算 法、克隆
旅 行 商 问 题 （Ｔｒａｖｅｌｉｎｇ Ｓａｌｅｓｍａｎ Ｐｒｏｂｌｅｍ， ＴＳＰ），也 称 为 货 郎 火算法： 由初始解ｉ和控制参数初值ｔ开始， 对当前解重复产 生
担问题，由爱尔兰数学家Ｓｉｒ Ｗｉｌｌｉａｍ Ｒｏｗａｎ Ｈａｍｉｌｔｏｎ和英国数学 “ 新 解→计 算 目 标 函 数 差→接 受 或 舍 弃 ”的 迭 代 ， 并 逐 步 衰 减ｔ