旅行商问题概述_郭靖扬

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组合优化中的旅行商问题

组合优化中的旅行商问题组合优化问题是指在给定的集合或者结构中，寻找一个最优解或者一个近似最优解的问题。

而旅行商问题是组合优化中的一个经典问题，也是一个NP困难问题。

它的问题描述是：给定一些城市和它们之间的距离，求解一个最短路径，使得每个城市只经过一次，并且最后能够回到起始城市。

旅行商问题在实际生活中有着广泛的应用，比如物流配送、电路板布线、旅游路线规划等。

由于问题的复杂性，寻找解决该问题的最优算法一直是学术界和工业界的研究热点。

为了解决旅行商问题，已经提出了一系列的算法。

下面将介绍其中几种常见的算法。

1. 穷举法穷举法是最简单的解决旅行商问题的方法之一。

它的思想是对所有可能的路径进行穷举，计算路径的总长度，并选择其中最短的路径作为结果。

然而，由于旅行商问题的解空间巨大(复杂度是O(n!))，穷举法在问题规模较大时计算量会非常庞大，因此不适用于大规模问题。

2. 动态规划法动态规划法是另一种解决旅行商问题的常用方法。

它的思想是通过将问题分解成多个子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的解。

具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从城市i出发，经过集合j中的城市一次后，回到起始城市的最短路径长度。

通过动态规划的递推公式，可以求解出dp数组中的所有元素，从而得到整个问题的最优解。

3. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化和遗传机制的搜索算法。

它通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，逐步优化解的质量。

在解决旅行商问题时，可以将每个可能的路径编码成一个染色体，并用适应度函数评估每个染色体的优劣。

然后通过选择、交叉和变异等操作，使得优秀的染色体得以传递下去，最终得到一个接近最优解的路径。

4. 其他启发式算法除了上述提及的算法，还有一些启发式算法常被用于解决旅行商问题，如蚁群算法、模拟退火算法和遗传算法等。

这些算法多为基于自然现象和启发式规则的搜索算法，可以有效地在大规模数据集上求解旅行商问题。

遗传算法的TSP (旅行商问题)的求解

遗传算法的TSP (旅行商问题)的求解学生姓名：宗满意指导老师：乔立红摘要TSP 问题是典型的NP完全问题,遗传算法是求解NP完全问题的一种常用方法。

本文针对解决TSP 问题,在MATLAB中用遗传算法施行对TSP问题进行了求解，进行了选择、交叉和变异算子进行了算法设计，最后在MATLAB软件上进行编程实现。

最后探讨了遗传算法解决旅行商问题自身具备的特点[1]。

关键词：遗传算法；TSP问题；MATLAB软件SOLVING TSP (Travelling Salesman Problem ) BASED ON GENETICALGORITHMAuthor : Zong Man-yiTutor : Qiao Li-hongAbstractTSP( Traveling Salesman Problem) is a typical NP complete problem ,genetic algorithm is the perfect method for solving NP complete problem. This paper use genetic algorithm in the MATLAB software to solve the a typical TSP problem . It probes into the realization of genetic operator program through TSP solving by genetic algorithm , design the each function of each genetic operator(select, intercross,mutate).Finally ,We programm in Matlab language and discuss the characteristic of genetic algorithm in solving TSPKey words : genetic algorithm; TSP Matlab ;目录引言 (4)1 GA概述 (4)2 旅行商问题(TSP) (4)3 用遗传算法解决旅行商问题 (5)4 论文的主要构成 (5)遗传算法的设计 (6)1问题分析 (6)2 总体设计 (7)3 详细设计 (8)3.1 编码与随机和初始群体生成 (8)3.2 城市位置及距离矩阵和适应度函数 (8)3.4 选择 (9)3.4 交叉 (9)3.5 变异 (10)3.6 群体的跟新和终止条件 (10)MATLAB编程验证 (11)1MATLAB计算 (11)2算法分析优化 (13)结论 (15)参考文献 (16)引言1 GA概述遗传算法(Genetic Algorithm , GA ) 是由美国J. Holland 教授提出的一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法。

[物流管理]TSP旅行商问题（TravelingSalemanProblem）

TSP旅行商问题（Traveling Saleman Problem）什么是旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）是VRP的特例，由于Gaery[1]已证明TSP 问题是NP难题，因此，VRP也属于NP难题。

旅行商问题（TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP问题，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。

最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。

TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。

如何确定最短路线。

TSP问题最简单的求解方法是枚举法。

它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。

可以形象地把解空间看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。

求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。

旅行商问题的历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。

TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。

TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP 成为一个知名且流行的问题。

旅行商问题的解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于NP-Complete的问题，所以旅行商问题大多集中在启发式解法。

Bodin（1983）等人将旅行推销员问题的启发式解法分成三种：1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：1）最近邻点法（Nearest Neighbor Procedure）：一开始以寻找离场站最近的需求点为起始路线的第一个顾客，此后寻找离最后加入路线的顾客最近的需求点，直到最后。

旅行商问题的两种算法

10.学位论文曲亚东旅行商问题的混合遗传算法求解1999
关于组合优化TSP的求解一直是遗传算法研究的热点,该文在分析了多种近似算法的基础上,提出了一种用于求解TSP的混合遗传算法(HGA).首先,文章介绍了TSP的一些基本概念,如城市间距离的分布特征、路径长的统计分析,满意度的概念及现有的求解算法等,并指出目前求解TSP的遗传算法的不足之处.接着论文系统地阐述了"混合型遗传算法",它基于普通遗传算法和局部择优算法--爬山法,并采用了以下遗传搜索技术;随机初始化种群、有记忆的种群更新技术等,综合了遗传算法的全局搜索优势和爬山法的局部搜索优势,加快了遗传算法在程序执行后期局部择优的能力.最后,混合遗传算法使用Visual C++编程语言实现,对比计算结果显示,在设置合理的控制参数及算法终止判据之后,时间花费显著小于传统遣传算法.
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旅行商问题的两种算法
作者:冯昊
学位授予单位:大连理工大学
1.期刊论文吴小菁.Wu Xiao-jing求解旅行商问题的模拟进化算法-福建金融管理干部学院学报2008(5)
本文链接:/Thesis_Y1227497.aspx
下载时间:2010年4月26日
3.期刊论文曲晓丽.潘昊.柳向斌.QU Xiaoli.PAN Ha技术2007,30(18)
旅行商问题(TSP)是组合优化领域里的一个典型的、易于描述却难以处理的NP难题,其可能的路径数目与城市数目是呈指数型增长的,求解非常困难.首先介绍了旅行商问题,模拟退火算法原理及其算法实现.应用模拟退火算法对TSP进行研究,给出解决TSP的一种比较精确的算法并用Matlab实现了算法.最后用该算法对TSP进行了仿真,验证了该算法的有效性.

求解TSP问题的几种算法比较

求解TSP问题的几种算法比较侯淑静【摘要】The traveling salesman problem (TSP) is an important problem for the classical discrete optimization, which is very important to study the solving algorithm. After the introduction of the greedy algorithm, taboo search algorithm, simulated annealing algorithm, genetic algorithm, the author put forward the corresponding algorithm. Aiming at the four typical examples in the test base, we realized implementation of these algorithms with procedures, and the running time and the results of these algorithms are compared. The results show that the greedy algorithm can draw the solution in a short time, the taboo search algorithm and genetic algorithm have the same effect, and the results of simulated annealing algorithm is better than those of genetic algorithm.%旅行售货商问题(简称TSP )是离散优化的一个经典的重要问题，对求解算法的研究非常重要。

组合优化中的旅行商问题求解

组合优化中的旅行商问题求解在组合优化领域中，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一类具有重要实际应用价值和理论研究意义的问题。

该问题要求在给定一系列城市和各城市之间的距离情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。

TSP在计算机科学、运筹学和数学等多个领域都得到了广泛的关注和研究。

1. TSP的数学建模旅行商问题可以用图论中的图来描述和解决。

首先，我们将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。

若每对节点之间的边都有权重，表示相应城市之间的距离，旅行商问题就可以转化为求解图的最短哈密顿回路（Hamiltonian cycle）的问题。

2. 求解TSP的经典算法2.1 蛮力算法蛮力算法是最简单直观的求解TSP的方法，它遍历所有可能的路径，并计算出总的路径长度，然后选择最短路径作为解。

然而，蛮力算法的时间复杂度为O(n!)，当城市数量增加时，计算时间将呈指数级增长，因此适用于城市数量较少的情况。

2.2 最邻近插入算法最邻近插入算法从一个起始城市开始，每次选择离当前城市最近的未访问城市作为下一个访问城市，直到访问完所有城市，并回到起始城市。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，但它可能会得到次优解，因为贪心策略在选择下一个城市时只考虑了当前状态，没有考虑到整体最优解。

2.3 分支限界法分支限界法是一种基于回溯的求解TSP的优化方法，其思想是通过剪枝操作，去掉一些分支，从而减少搜索空间。

该算法首先选择一个起始城市，然后逐步扩展路径，每次选择一个未访问的城市，并通过计算路径长度来更新当前最优路径。

同时，在搜索过程中，根据当前路径长度和已知的最短路径长度，进行剪枝操作，以减少无效的计算。

分支限界法可以得到较优的解，但其时间复杂度仍然较高，因此在处理大规模问题时可能会面临困难。

3. 近似算法及元启发式算法为了求解大规模问题或提高求解效率，研究者们提出了许多近似算法和元启发式算法。

改进的遗传算法求解TSP问题_3旅行商问题_24_34

3 旅行商问题3.1 旅行商问题概述3.1.1 旅行商问题的定义和数学模型① 定义旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，简记TSP)是组合数学中一个古老而又困难的问题，它易于描述但至今尚未彻底解决，现己归入所谓的NP 完全问题类，经典提法为：有一货物推销员要去若干个城市推销货物，从城市1出发，经其余各城市一次，然后回到城市1，问选择怎样的行走路线，才能使总行程最短（各城市间距离为己知）。

该问题在图论的意义下就是所谓的最小Hamilton 圈问题，由于在许多领域中都有着广泛的应用，因而寻找其实际而有效的算法就显得颇为重要了。

遗憾的是，计算复杂性理论给予我们的结论却是，这种可能性尚属未知。

若设城市数目为n 时，那么组合路径数则为(n-1)!。

很显然，当城市数目不多时要找到最短距离的路线并不难，但随着城市数目的不断增大，组合路线数将呈指数级数规律急剧增长，以至达到无法计算的地步，这就是所谓的“组合爆炸问题”。

假设现在城市的数目增为20个，组合路径数则为(20-1)! ，如此庞大的组合数目，若计算机以每秒检索1000万条路线的速度计算，也需要花上386年的时间。

尽管现在计算机的计算速度大大提高，而且已有一些指数级的算法可精确地求解旅行商问题，但随着它们在大规模问题上的组合爆炸，人们退而求其次，转向寻找近似算法或启发式算法，经过几十年的努力，取得了一定的进展。

② 数学模型设(,)G V E =为赋权图，{1,2,}V n ="为顶点集，E 为边集，各顶点间距离为ij c ，已知(0,,,)ij ij c c i j V >=+∞∈，并设则旅行商问题的数学模型可写成如下的线性规划形式：ij ij i jMinZ c x ≠=∑1,(,)0,ij i j x ⎧=⎨⎩边在最优路线上其它,1,1,.1,{0,1},ij j i ij i jij i j S ij x i V x j V s t x K K V x i j V ≠≠∈⎧=∈⎪⎪=∈⎪⎨⎪≤−⊂⎪⎪∈∈⎩∑∑∑这里，K 为V 的所有非空子集，K 为集合K 中所含图G 的顶点个数。

旅行商问题的应用场景

旅行商问题的应用场景旅行商问题，这个听起来有点儿高大上的名词，其实就是在说“怎么能让一个商人走遍一圈城市，最后回到起点，且尽量少花时间或钱”的问题。

哎，听起来简单，但这可不是随便说说的事儿。

在咱们生活中，这个问题其实大有用处。

接下来就让咱们来聊聊旅行商问题的几个应用场景。

1. 快递物流的“飞毛腿”1.1 大家都在等快递想象一下，你在网上买了新衣服，心里美滋滋的等着快递小哥送货上门。

但要知道，快递小哥可不是单打独斗，他背后可是有一套严密的计划在支撑。

旅行商问题在这里就大显身手了！快递公司需要确保每个包裹能尽快送到每一个客户手中，而这就需要一个最优路线来减少时间和成本。

1.2 如何规划路线比如说，如果快递小哥今天要送的包裹分布在五个不同的地点，那么他就得计算出从一个地方到另一个地方的最短距离，这样才能把时间花在刀刃上。

为了让你尽快收到快递，快递公司可真是下足了功夫，计算每一条线路的优劣，真是个“走路带风”的角色啊。

2. 旅游行程的精打细算2.1 你想去哪里？旅游可是一项快乐的投资，但如果不提前做好功课，最后可能会被“拖后腿”。

旅行商问题在这里也能帮你大忙。

你计划去几个城市，想在有限的时间里玩得尽兴，怎么才能把这些景点串联起来，减少路上的折腾呢？2.2 从此告别“走马观花”比如，你打算去北京、上海和广州，想要在每个城市都吃到地道美食，逛到最有意思的景点。

那你可得好好规划一下行程，避免在城市间“来回跑”。

这样，你才能做到“有条不紊”，不至于搞得自己像个无头苍蝇，东奔西跑，最后却啥也没体验到。

旅行商问题就像是你行程中的“导航仪”，帮你找到最佳路线，事半功倍。

3. 数据中心的“智能调度”3.1 现代科技的背后现代社会，咱们离不开互联网，数据中心也是运转的核心。

数据中心需要处理大量的信息，而如何让这些信息在不同的服务器之间高效传递，就是旅行商问题又一显身手的地方。

3.2 不再让“数据堵车”想象一下，网络上的数据就像车流，合理的调度能避免“数据堵车”的现象。

简述旅行商问题

旅行商问题：是一个经典的组合优化问题。

经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。

应如何选择行进路线，以使总的行程最短。

从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的Hamilton回路。

由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题。

由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。

早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。

但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。

旅行商问题概述

尽管如此，随着算法研究的逐步深入和计算机技术飞速
提高．ＴＰ问题的研究不断取得进展。７对ＳＯ年来，ｉ服的被【ＥＴＰ规模从几十个城市增加到上万个城市。目前的最高汜录ｓ是侄２００４年５月。到的巡游瑞典２９８个城镇的最优路径找４７
【中图分类号１Ｆ１２Ｐ８
【文献标识码】Ａ
【文意编号】０８１５（０６０ — ２９０１０ — １１０）８０２ — ２２
２９８个城镇。４７
一
旅行商问题（ｒｖｌｇＳｓａｒｌ简称ＴＰ是一个ＴａｅｎＭｅｍｎＰｏｅｉｂｍ，ｓ１著名的组合优化问题：给定ｎ个城市，有一个旅行商从某一城市出发，问每个城市各一次后再同到原出发城市，求找出访要的巡回路径最短。如果用图论来描述，就是已知带权图Ｇ那＝
、
应用
旅行商问题具有蘑要的实际意义和工程背景。它一开始
是为交通运输而提出的，比如飞机航线安排、邮件、递服送快务、计校车行进路线等等。实际上其应用范围扩展到了许多设
（Ｌ，出总权值最小的Ｈｍｉｏ。其中Ｃ｛，！… ，｝Ｃ，）寻ａｌｎ圈ｔ＝ｃＣ，ｃ表
印制电路板转孔是１Ｐ应用的经典例子，在一块电路板＇ｓ

《旅行商问题》课件

3 鲁棒性
蛮力解法和分支限界法对问题大小敏感，动态规划法稳定，遗传算法和模拟退火算法适应性强。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 可扩展性
分支限界法和动态规划法适用于大规模问题，其他解法在问题规模较小时表现更好。
应用场景举例
物流配送
优化快递员路径，减少时间和成本。
城市规划
优化城市道路规划，提高交通效率。
生产制造
优化零件加工顺序，增加生产效率。
分支限界法
2
通过优化子问题，逐步找到最短路径。
3
动态规划法
利用子问题的最优解构建整体最优解。
遗传算法
4
模拟进化过程，通过基因编码求解最优路
径。
5
模拟退火算法
模拟金属退火过程，通过接受劣解概率性地跳出局部最优。
解法优缺点对比
1 时间复杂度
分支限界法和动态规划法相对较高，蛮力解法最高。
2 精度
遗传算法和模拟退火算法可能得到次优解，其他解法可得到最优解。
《旅行商问题》PPT课件
# 旅行商问题PPT课件什么是旅行商问题 - 旅行商问题的定义 - 实际场景示例 - 问题的复杂度分析
问题示例：旅行商问题
旅行商问题是指一个旅行商人需要依次访问N个城市并回到起始城市，要求找到一条最短路径，使得经过每个城市仅一次。
1
蛮力解法
穷举所有可能的路径，计算最短路径。
网络优化
优化数据传输路径，提高网络效率。
结语
旅行商问题在实际应用中的重要性
解决旅行商问题可以帮助优化各种物流和路径规划场景，提高效率。
后续研究方向
进一步研究旅行商问题的求解算法，寻找更高效、精确的解决方案。

以「旅行推销员问题」为例浅谈如何利用计算机解题课件

05 实际应用与案例分析
在路线规划中的应用
总结词
旅行推销员问题在路线规划中具有广泛的应用，通过优化路径选择，降低成本和提高效率。
详细描述
在路线规划中，旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是一个经典的组合优化问题，旨在寻找一条最短路径，使得一个旅行推销员能够访问一系列城市并返回出发城市，同时最小化总旅行距离。通过应用计算机算法和优化技术，可以解决路线规划中的各种问题，如物流配送、公共交通和出租车服务等。
02 旅行推销员问题的传统解法
暴力法
总结词
通过穷举所有可能的路径组合来寻找最优解。
详细描述
暴力法是一种简单直接的方法，通过尝试所有可能的路径组合来找出最短路径。对于旅行推销员问题，暴力法会尝试所有可能的路径组合，然后选择最短的一条。然而，由于组合数量随着城市数量的增加呈指数级增长，暴力法在处理大规模问题时效率极低，需要消耗大量的时间和计算资源。
针对传统智能优化算法的不足，进行改进和优化，提高算法的搜索效率和精度。例如，改进遗传算法、模拟退火算法等。
并行计算与分布式计算
并行计算框架
利用并行计算框架，如Hadoop、Spark等，将问题分解为多个子任务，并行处理子任务，提高计算效率。
分布式计算模型
采用分布式计算模型，将问题分解为多个子问题，分布到多个节点上进行处理，实现大规模数据的快速处理。
数学优化方法
总结词
利用数学建模和优化理论来求解最短路径问题。
详细描述
数学优化方法是一种基于数学建模和优化理论的方法，通过建立旅行推销员问题的数学模型，利用优化算法来求解最短路径。这种方法在理论上可以处理大规模问题，但在实际应用中，由于计算复杂度较高，对于大规模问题求解效率较低。

旅行商问题实验报告

算法设计与分析实验报告姓名：xx班级：xxxx学号：xxxxxx实验名称：旅行商问题实验目的：1.分支限界法按广度优先策略搜索问题的解空间树，在搜索过程中，对待处理的结点根据限界函数估算目标函数的可能取值，从中选取使目标函数取得极值（极大或极小）的结点优先进行广度优先搜索，从而不断调整搜索方向，尽快找到问题的解。

2.分支限界法适用于求解最优化问题。

实验程序：输入：图G=（V, E）输出：最短哈密顿回路1.根据限界函数计算目标函数的下界down；采用贪心法得到上界up;2.计算根节点的目标函数并加入待处理的结点表PT;3.循环直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中取得极小值3.1i=表PT中具有最小值的结点；3.2对结点i的每个孩子结点x执行下列操作；3.2.1估算结点x的目标函数值lb；3.2.2若（lb<=up）,则将结点x加入表PT中，否则丢弃该结点；4.将叶子结点对应的最优值输出，回溯求得最优解的各个分量。

实验分析：问题描述：TSP 问题是指旅行家要旅行n 个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。

采用贪心法求得近似解为：1→3→5→4→2→1，其路径长度为1+2+3+7+3=16,这可以作为TSP 问题的上界，把矩阵中每一行最小的两个元素相加再除以2，得到TSP 问题的下界：[(1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3)]/2=14,于是得到目标函数的界[14,16]。

一般情况下，假设当前已确定的路径为U=(r1, r2, …, rk)，即路径上已确定了k 个顶点，此时，该部分解的目标函数值的计算方法（限界函数）如下：27 156 3 1 3 4 2 5 39 8 4C = ∞ 3 1 5 8 3 ∞ 6 7 9 1 6 ∞ 4 2 5 7 4 ∞ 3 8 9 2 3∑∑∑=∉-=+++=k i Ur j i k i i i j r r r r c lb ,11112/)]][[2(行最小的两个元素素行不在路径上的最小元分支限界法求解图上机心得与体会：时间复杂性分析：分支限界法实际上属于蛮力穷举法，当然不能指望它有很好的最坏时间复杂性，遍历具有指数阶个结点的解空间树，在最坏情况下，时间复杂性肯定为指数阶。

旅行商问题应用题

旅行商问题应用题引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定一组城市和城市之间的距离矩阵的情况下，寻找一条最短路径，使得所有城市恰好访问一次且最后回到起始城市。

本文将介绍旅行商问题的应用场景，并讨论如何解决该问题。

应用场景旅行商问题的应用广泛，以下是一些例子：物流配送在物流配送领域，快递员需要按照最短路径依次访问多个客户，以最大程度地减少路程和时间。

通过求解旅行商问题，我们可以确定最优的路线规划，提高物流效率。

电路板布线在电路板布线中，需要在不相互干扰的情况下，将多个元件连接起来。

通过将元件表示为城市，元件之间的连接成本表示为城市之间的距离，可以将布线问题转化为旅行商问题。

求解旅行商问题可以找到最优的布线方案，提高电路板的性能。

DNA测序在生物学领域中，DNA测序是一项非常重要的任务。

通过旅行商问题，可以确定测序机器在测序多个DNA样本时的最短路径，以减少测序时间和成本。

解决方法求解旅行商问题有多种方法，常见的有贪心算法、动态规划算法和遗传算法等。

下面分别简要介绍这些方法：贪心算法贪心算法是一种简单而常用的方法，它通过局部最优的选择来进行整体的优化。

在旅行商问题中，贪心算法每次选择最近的未访问城市进行访问，直到所有城市都被访问。

然而，贪心算法不能保证找到全局最优解，可能会陷入局部最优。

动态规划算法动态规划算法采用自底向上的方式，通过将问题分解为子问题，并使用一个表格来存储已解决的子问题的最优解，从而逐步求解整体问题。

在旅行商问题中，动态规划算法通过填充一个二维表格来记录每个子问题的最优解，最后得到全局最优解。

但是，动态规划算法的时间复杂度较高，不适用于问题规模较大的情况。

遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。

在旅行商问题中，遗传算法通过模拟基因的遗传、交叉和变异过程，生成多个路径方案，并利用适应度函数来评估每个方案的优劣，最终选择适应度较高的方案作为最优解。

旅行商问题的解决方法

旅行商问题的解决方法嘿，咱今天就来聊聊旅行商问题！这就好比你是个超级大忙人，要去好多好多地方办事，还得想办法怎么走才能最省事儿、最省钱、最省时间呢！你想想看，要是让你自己随便规划路线，那得多头疼啊！可能会走好多冤枉路，浪费好多精力和金钱。

那怎么办呢？咱可以先把要去的地方都标记出来，就像给每个地方贴上一个小标签。

然后呢，试着把这些地方连接起来，看看有多少种可能的路线。

哇，这可不少呢！就好像你面前有一堆乱七八糟的线，得一根一根地理清楚。

这时候，咱就得动点小脑筋啦！可以从距离比较近的地方开始考虑呀。

比如说，两个地方挨得很近，那就先去那儿呗，这样不就少跑点路嘛。

这就跟你去菜市场买菜一样，肯定先挑离家近的那个菜市场呀，对吧？还有哦，咱可以看看哪些地方比较重要，先去重要的地方。

比如说，有个地方有特别重要的业务要谈，那肯定得优先去那儿呀。

这就好像你要去见一个特别重要的人，肯定得先把他的事儿搞定咯。

有时候啊，光靠自己想可能还不够，咱可以借助一些工具呀。

就像你爬山的时候，需要一根拐杖来帮忙一样。

有些专门的软件或者算法就能帮咱找到最优的路线呢。

咱也别死脑筋，有时候换个角度想想，可能就有新的发现。

比如说，从反方向走会不会更好呢？这就像你走路，走不通的时候，换个方向说不定就柳暗花明啦。

哎呀，解决旅行商问题可不简单呢，但只要咱有耐心，多试试，总能找到最合适的办法。

就像解一道难题一样，刚开始觉得难，慢慢研究，总会找到答案的。

你想想，要是能完美地解决这个问题，那出去办事、旅游得多轻松呀！不用再担心走冤枉路，浪费时间和精力。

而且，这也是一种锻炼咱思维能力的好办法呢。

所以呀，别害怕旅行商问题，大胆地去尝试，去探索，相信你一定能找到属于自己的最佳路线！这就好比在茫茫人海中找到属于自己的那条路，虽然不容易，但一旦找到了，那可就太棒啦！。

基于遗传算法的旅行商问题求解方法研究

基于遗传算法的旅行商问题求解方法研究摘要：旅行商问题是一种经典的组合优化问题，对于计算机科学和运筹学领域具有重要的理论和实际意义。

本文针对旅行商问题的求解方法进行研究，主要探讨了基于遗传算法的求解方法。

通过对旅行商问题的定义和数学模型建立的分析，我们可以得出基于遗传算法的求解方法在解决旅行商问题中具有较好的效果和应用前景。

1. 引言旅行商问题是指给定一系列城市和每两个城市之间的距离，要求旅行商在访问每座城市一次且仅一次的前提下，找到最短的路径从起点出发，途径每座城市后最终回到起点的问题。

旅行商问题被广泛应用于物流配送、网络路由设计、电路板布线等领域。

2. 遗传算法简介遗传算法是一种模仿生物进化过程的优化算法，主要包括初始化种群、选择、交叉和变异等操作。

在遗传算法中，个体的适应度函数用于度量个体的优劣程度，通过选择、交叉和变异操作进行迭代优化，最终找到最优解。

3. 旅行商问题的建模在遗传算法求解旅行商问题前，需要对问题进行数学建模。

旅行商问题可以使用邻接矩阵或邻接表表示，其中矩阵中的元素表示每两座城市之间的距离。

4. 遗传算法求解旅行商问题4.1 初始化种群遗传算法首先需要随机生成一组初始解作为种群，每个个体表示一种路径，路径中包含所有城市。

4.2 适应度函数适应度函数用于度量个体的优劣程度，对于旅行商问题而言，可以定义为路径长度的倒数或者路径长度的负值。

4.3 选择操作选择操作通过赌轮选择或者锦标赛选择等方式，根据个体的适应度选择部分个体作为父代。

4.4 交叉操作交叉操作通过将两个父代个体的部分基因片段进行交换和重组，产生新的子代个体。

4.5 变异操作变异操作通过随机改变个体的染色体中的部分基因，引入新的解空间，增加算法的搜索范围。

4.6 重复迭代操作通过反复进行选择、交叉和变异操作，不断更新种群中的个体，最终找到较优的解。

迭代的次数和收敛条件需要根据具体问题进行调整。

5. 算法实验与结果分析本文对基于遗传算法的旅行商问题求解方法进行实验，并与其他求解方法进行比较。

旅行商问题概述_郭靖扬

旅行商问题（ＴｒａｖｅｌｉｎｇＳａｌｅｓｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ，简称ＴＳＰ）是一个著名的组合优化问题：给定ｎ个城市，有一个旅行商从某一城市出发，访问每个城市各一次后再回到原出发城市，要求找出的巡回路径最短。

如果用图论来描述，那就是已知带权图Ｇ＝（Ｃ，Ｌ），寻出总权值最小的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈。

其中Ｃ＝｛ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ｝表示ｎ个城市的集合，Ｌ＝｛ｌｉｊ｜ｃｉ，ｃｊ∈Ｃ｝是集合Ｃ中元素（城市）两两连接的集合，每一条边ｌｉｊ，都存在与之对应的权值ｄｉｊ，实际应用中ｄｉｊ可以表示距离、费用、时间、油量等。

ＴＳＰ的描述虽然简单，解决起来却很困难。

最简单思路是用穷举法把所有可能的巡回路径全部列出来，最短的一个就是最优解，但这样只能处理很小规模的问题。

旅行商问题属于ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题，是ＮＰ（ｎｏｎ－ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｐｏｌｙ－ｎｏｍｉｎａｌ）问题中最难的一类，不能在多项式时间内求解。

如果有ｎ座城市，那么巡游路径共有（ｎ－１）！／２条，计算的时间和（ｎ－１）！成正比。

当城市数ｎ＝２０，巡回路径有１．２×１０１８种，ｎ＝１００，巡回路径就有多达４．６×１０１５５种，而据估计宇宙中基本粒子数“仅仅只有”１０８７个。

尽管如此，随着算法研究的逐步深入和计算机技术飞速提高，对ＴＳＰ问题的研究不断取得进展。

７０年来，被征服的ＴＳＰ规模从几十个城市增加到上万个城市。

目前的最高记录是在２００４年５月，找到的巡游瑞典２４９７８个城镇的最优路径（ｓｗ２４９７８），花费了８４．８个ＣＰＵ年。

图１展示了ＴＳＰ的研究进展，最近的二三十年时间里，被攻克的ＴＳＰ规模高速增长，差不多是每十年增加一个数量级。

照这样发展下去的话，再过２０年就能解决上百万个城市的ＴＳＰ，有专家甚至已经为此准备好了数据：全球１９０，４７１１个城市的坐标。

当然，能不能达到这个目标，有赖于未来计算技术的发展。

图１ＴＳＰ的发展字母后面的数字表示城市数，“ｓｗ２４９７８”就是瑞典的２４９７８个城镇。

求解旅行商问题的分布式演化算法

求解旅行商问题的分布式演化算法韩珂;杨俊鹏【摘要】采用主-从分布式并行模式设计了一种解决商旅问题的演化算法,使用变异算子对每个个体进行独立的遗传操作.主进程只完成选择淘汰、任务的分发和很少量的遗传操作,从进程完成大量的遗传操作以及个体的适应值的计算,提高了算法速度.通过实例KROB150和CHN144对算法进行测试,结果表明,提出的并行演化算法具有加速比较好、求解精度较高、收敛速度快等特点.【期刊名称】《华北水利水电学院学报》【年(卷),期】2013(034)004【总页数】4页(P125-128)【关键词】旅行商;并行演化算法;分布式演化算法【作者】韩珂;杨俊鹏【作者单位】华北水利水电大学,河南郑州450045;中原工学院,河南郑州450007【正文语种】中文【中图分类】TP301旅行商问题(Traveling Salesman Problem，TSP)是一类典型的NP 安全问题，也是数学领域的著名问题之一.该问题假设有一个旅行商人要拜访N 个城市，他从A 城出发，选择所要走的路径，要求N 个城市只能拜访一次，而且最后返回A 城.他可以有很多种走法，但是为了省时省力，他要选择一条最短的路径，TSP 问题就是用来求得的路径之路程为所有路径之中的最小值［1］.TSP 问题的术语描述:即寻找一条最短的遍历N 个城市的路径.用演化算法求解TSP 问题一直是学术界研究的热点，演化算法最引人注目的的特性是它的本质并行性［2］，对于规模较大的TSP 问题研究采用并行演化算法求解显得尤为重要.目前的求解TSP 问题的演化算法普遍使用杂交算子为主算子，变异算子作为辅助算子，但是杂交算子涉及到群体中个体间信息的交换，而这可能增加处理机间的通信开销，所以属于不太适合并行计算的算子.其次，分布在各个处理机上进行演化的个体，在每演化了一万多代后，才进行一次处理机间的通信，这样就使通信开销在并行计算时间上所占的比例大大减少.最后，算法的串行计算部分所占的比例很小，当并行演化一万多代后，才收集所有的个体进行一次演化和淘汰操作.笔者研究了一种并行计算演化算法来求解TSP问题.算法采用变异算子对每个个体进行独立的遗传操作，大大提高了算法的并行程度.该算法结构简单，采用主–从分布式并行模式，大量的演化操作由从进程完成，主进程只完成任务的分发和少量的遗传操作.算法选用通用的 TSPLIB 中的实例KROB150(这里KROB150 是设计实例为了验证算法的可靠性)和文献［3］中提到的中国CHN144 城市实例进行算法测试.对于实例KROB150，TSPLIB提供最短路径值为26 130(整数运算所得的结果)，文献［4］给出的最优路径值为26 127.357 9(浮点运算所得的结果)，笔者提出的算法所得的结果为:整数运算所得的结果为26 130，浮点运算所得的结果为26 127.357 888 739 3.对于CHN144 实例，文献［3］和［4］给出的最优路径值都为30 354.3(浮点运算所得的结果)，本算法所得的结果:浮点运算所得的结果为30 353.860 996 523 6，整数运算所得的结果为30 347.通过本算法得到的实际浮点运算值比参考文献［4］提出的值更优.1 求解TSP 问题的并行演化算法1.1 算法采用的变异操作在算法上，设计的编码方式用普通路径来表达，一个染色体表示一次旅行.这种变异操作编码方式的特点是:变异算子的设计相对容易，计算个体的适应值无需解码. 由于引入了染色体编码，常规的变异算法在编码串中的异位发生突变情况下不再适用，所以这里需要采用基于位置的变异和基于次序的变异.首先考虑基于位置的变异，对个体编码串中随机选取的子串以逆转概率逆向排序后产生新的个体，这种倒位变异算子符合本编码模型的设计需求.其次是次序的变异，相对于位置的变异，只改变子串的一个位置利用插入的手段产生新个体，这样的插入变异算子设计更简单，同时也符合模型的变异算法.倒位变异算子，是指在个体编码串中随即选取2 城市，使第1 个城市的右城市与第2 个城市之间的编码倒序排列，从而产生1 个新的个体.在父体中随机选择两个截断点，然后将两点间的城市反序，倒位算子是对染色体的边改动最少的变异(只变化了2 条边).插入变异算子，是在父体中随机选择1 个城市，然后将这个城市随机插入到父体中的某个位置，该算子只变化了3 条边.算法在这2 个变异算子的基础上设计了一个新的变异算子——组合变异算子.假设父体是S，组合变异算子操作步骤如下.第1 步:从S 中任选2 个城市i 和j.第2 步:假如将包含i 和j 在内的i 和j 间的所有城市反序后，使S 的适应值增加了，则将i 和j 间的城市做反序处理，同时修改S 的适应值.第3 步:在S 中随即选择某个城市i，再在S 中任意选择另外1 个城市j.第4 步:如果将i 放到j 的前面能使S 的适应值增加，则将该i 放到j 的前面，同时修改S 的适应值.从以上操作过程可以看到，组合变异算子的特点如下.1)该算子作用后，所得后代的适应值大于等于其父体的适应值，是一种无退化的变异.2)当第2 步和第4 步中的条件都不满足时，有可能对父体没有改变.3)该算子操作完后，所得后代的适应值也同时计算出来了.算法将组合变异算子作为主搜索算子，用于局部区域的搜索.将一般的插入变异算子作为从变异算子，用于搜索方向向其他区域的迁移，跟组合变异算子一样，本算法让插入变异算子在变异的同时，修改个体的适应值.1.2 求解TSP 的串行演化算法PROCEDURETSP_GAbeginoptimal_indi :=M 中最佳的个体;i:=0;gen:=0;if gen＜=KS dobeginif i＜=RGbegin对M 中的每一个个体使用组合变异算子进行变异;i:=i+1;endelsebeginif M 中最佳个体好于optimal_indioptimal_indi:=M 中最佳的个体;S:={从M 中选择的N－1 个个体};M:=S+{个体optimal_indi};对M 中的每一个个体使用插入变异算子进行变异;i:=0;gen:=gen+1;end;end;end;算法中的参数为每一轮使用组合变异算子进行变异的代数，为轮换次数，为群体规模.1.3 并行演化算法开始;向PVM 提出登记;创建从进程;初始化群体M;计算M 中个体的适应值;optimal_indi:=M 中最佳的个体;设gen:=0;if gen＜=KS thenbegin将M 中所有的个体传给每个从进程;然后等待接收所有从进程发来的新个体;M:={接收到的N 个新个体};if M 中最佳个体好于optimal_indi将M 中最佳的个体赋予optimal_indi;S:={从M 中选择的N－1 个个体};M:=S+{个体optimal_indi};gen:=gen+1;end;将进程终止条件发布给各从进程;退出PVM;end;开始m 个从进程:begin返回并向PVM 登记;repeat按序号接收主进程传来的个体;S:={接收到的个体};i:=0;if i＜=RG thenbegin对S 中的每一个个体使用组合变异算子进行变异;i:=i+1;end;将S 中的个体依次传递给主进程;满足终止条件(gen＜=KS);退出PVM.2 算法说明与分析本算法与传统的全局单种群主－从模式(主程序存储整个种群)有所不同，采用“主－从编程模式”，即1 个主进程控制并协调多个从进程.由从程序来评估个体的适应值，个体的适应值评估是并行的，适应值的评估在程序中花费时间最长.算法中使用了KS，N，RG 3 个参数:参数KS 用来控制整个算法的终止.算法经过反复执行轮的过程，经过KS 轮的操作后，最终找到最优解.这里的“轮”是指让群体进化指定的数，通过竞赛选择机制淘汰较差的个体，再对剩余的每一个个体进行一次插入变异，这个过程称为1 轮.参数N 用来表示群体的规模.参数RG 用来表示每一轮中使用组合变异算子演化.从求解TSP 问题的算法看出，变异后的个体适应值只需在原适应值的基础上稍作计算，变异算子最多改动一个个体的3 条边，所以花费在这里的计算时间较短.但是一旦求解问题的规模N 增加，染色体的长度增加，倒位和插入所移动的城市的总数将增加，遗传操作花费时间将快速增长.由于上述原因，算法在设计时，将大部分遗传操作放到从程序中执行，遗传操作和个体的评估并行执行，当从进程执行后，才执行RG 个体的遗传操作并计算适应值.下面分析一下算法的加速比.设处理机的台数为i.从以上算法可看出，算法每执行1 轮，进行1 次处理机通信，设这个通信时间为TC.串行算法执行的每1 轮中，可设并行部分的计算时间为TP，串行部分的执行时间为TS，因为在每1 轮中使用组合变异算子进行RG 代演化后(可并行部分)，才进行选择操作和一代插入变异(需串行的部分)，所以可认为TP=RG×TS.则进行每一轮演化，采用串行计算所需的总时间为采用并行计算所需的总时间为则加速度比为从上式看出，i 越大，λ 越大;RG 越大，λ 也越大.但RG 过大会影响解的质量，因为RG 过大，在相同运算的时间内，KS 会减少，进行搜索方向迁移的次数会减少，就有可能发生过早收敛;RG 过小，在局部区域搜索的时间就会减少，使解的精度降低.在实例测试中，取RG=18 000.当问题的规模增大(城市的个数增多)时，因为TP的增长幅度远大于TC，所以λ 也增大.从以上分析可看出，该算法特别适合大规模的TSP 问题的并行演化计算，且机器越多越好，当问题的规模相当大时，甚至可以让一台处理机只处理一个个体.3 算法测试1)参数设定.算法测试所设定的参数为:RG=20 000，N=50;测试实例为选择TSPLIB 中的150 个城市解决TSP 问题，命名为KROB150;选择中国144个城市解决TSP 问题，命名为CHN144.2)实验情景.实验主要模拟网络环境，并行计算机的运作方式，将网络中每台计算机安装PVW运算环境，同时使用6 台计算机，每台计算机只运行一个进程.对每个问题进行浮点运算和整数运算，每组20 次.计算数值见表1.表1 算法求得最优值表1 中整数运算是指根据城市的原始坐标值计算出来的所有的2 个城市间的距离值四舍五入取整运算.浮点运算是指保留小数位运算.假定算法找到上表中的最优解时终止，记录算法运行的时间及最优解的首达时间.串并行演化算法所用的时间对比见表2—3.表2 CHN144 串并行演化时间对比 s表3 KROB150 串并行演化时间对比 s假设当算法找到上述表格中的最优解时停止.表2 和表3 的数据显示，用串行演化算法的平均时间较长，是并行演化算法的平均时间的3 倍.让串行演化算法和并行演化算法演化相同的轮数终止，串行演化算法的平均时间是并行演化算法的平均时间的2.89 倍，并行演化算法取得了较好的加速比.4 结语并行演化算法使用了较少的参数，只使用了变异算子，提出的组合变异算子具有很强的搜索能力;平均计算时间不到1 min，取得了较好的加速比;具备收敛速度快、解精度高等特点，实验的结果都接近或优于已知最优解.笔者将在此基础上，进一步研究算法中参数RG(每1 轮进化的代数)与问题的规模之间的关系，并对并行演化算法的计算效率做深入研究.参考文献［1］Garey M R，Johnson D puters and intractability［D］.San Francisc:Bell Telephone Laboratories，1979.［2］Zbigniew Michalewicz.Genetic Algortihms+Data Structures=Evolution Programs［M］.Berlin Heidelberg:Springer-Verlag，1996.［3］康立山，谢云，尤失勇.非数值并行运算法:模拟退火算法［M］.北京:科学出版社，1997［4］吴斌，史忠植.一种基于蚁群算法的TSP 问题分段求解算法［J］.计算机学报，2001，24(12):1328－1333.。