常微分方程第一章

2 2u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2 ) （波动方程） 2 t x y z
其中前两个是常微分方程，后三个是偏微分 方程。本书中我们着重研究常微分方程，为简单 起见，今后将常微分方程简称为微分方程或方程。 在微分方程中，必定含有不可缺少的项是未知函 数关于自变量的导数，否则不为微分方程，其中 出现的最高阶数称为该微分方程的阶数。 一般n阶微分方程具有形式
x f ( p ) 0 y xp f ( p )
， 就不被
所谓初始条件是指当自变量在其区间上取某一给定 值时，未知函数及它的低于方程阶数的导函数应取给定 的数值。对于方程的初始条件一般具有下列形式：
y( x0 ) y0 ,
, , y( x0 ) y0
( n1)
dQ Q( t ) dI I , U , El L . dt C dt
由基尔霍夫第二定律知 微分此式则有
dI Q( t ) e( t ) L RI , dt C
d 2I dI I de( t ) L 2 R , dt dt C dt
这就是开关合上后电路中电流随时间的变化规律。 特别地，当电源电动势 e( t ) 为常数 ，则方程变为
（1.2）
t
，如
dx dt X ( t , x , y ) dy Y( t , x, y ) dt
则称为非驻定方程组。
（1.3）
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6.相空间，奇点和轨线 对于系统（1.2），如果 x x( t ), y y( t ) 是它的解， 在 ( t , x , y ) 空间它表示一条曲线，此曲线称为（1.2）的一 条积分曲线。将此曲线投影到 ( x , y ) 平面得到的曲线称 ( x , y ) 平面称为相平面， 为其轨线。将时间 作为参数， 当维数高于2时称为相空间。
y n1 ( x0 ) y0
( n1)
,
,, y0 其中 y0 , y0
为给定的已知数值。
所谓边界条件一般是指当自变量取其变化区间的两 个端点时，未知函数以及可能还有它的一些低于方程阶 数的导函数，应在其中一个端点或同时在两个端点处取 事先给定的值。
所谓定解问题就是求出微分方程满足已知定 解条件的解的问题：求出方程满足已知初始条件 解的问题称为初值问题（Cauchy 问题）.而求出 方程满足已知边界条件解的问题称为边值问题。
2 d y dy 2 2 2 x x ( x n ) y 0 （n阶Bessel方程） 2 dx dx
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
2 2 2 u u u u 2 a ( 2 2 2) t x y z
(Laplace方程) (热传导方程)
dy dny F( x, y, , , ) 0( 1.1 ) n dx dx
但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式
dny d n 1 y f ( x , y , , n1 ) n dx dx
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2.线性和非线性
若方程式（1.1）中的函数F关于 它的一般形式为
a0 ( x) y ( n) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x) y an ( x) y f ( x).
d 2 I R dI I 0, 2 dt L dt LC
若电路中还不含电阻即 R 0 ，则方程变为
d 2I I 0, 2 dt LC
3．单摆（力学模型） 数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M， 在重力mg的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动， 试确定摆的运动方程。
c 10 ，因此得到 x 与 t 的函数关系式
5
10 x 2 ( 100 t )
5
因此可知，在过程开始后一小时，亦即当 t 60( 分 )时
容器内溶液的含盐量为
10 x |t 60 3.9 2 160
5
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例2．R-L-C电路 R-L-C电路是由电阻R、电感L、电容C和电源e(t)串联组成的 电路，其中R，L及C为常数，电源电动势E=e(t)是时间的已知 函数。试建立当开关K合上后电路中的电流强度随时间变化关 系。 解 当开关 K 合上后，电路中经过电感 L、电阻R 和电容 C 设两极板间的电压为 U ， 电感电动势 E l ，电流强度为 I ，即
x 2dt 100 t
于是得到微分方程为
dx 2x dt 100 t
把它改写为
dx 2dt x 100 t
两边积分得
c 故有x ( 100 t )2
ln x 2 ln( 100 t ) ln c
由题意知道初值条件是 x |t 0 10 ，将其代入上式得
t
使得 x( x0 , y0 ) 0, y( x0 , y0 称为（1.2）的奇点。
)0
的点(
x0 , y0 )
7.一阶方程解的几何意义
1．积分曲线 2. 切线场
1．积分曲线 设 D 为平面上的区域（即连通开集），考虑微分方程
dy f ( x , y ), ( x , y ) D, dx
解：设在过程开始后t分钟容器内含盐 千克，我们 求x与t的函数关系式。因为在t时刻，容器内的 溶液为
x
100 3t 2t 100 t
x 故此时溶液的浓度为 100 t ( 千克 / 升 )
考察从 t 到 t dt 这一小段时间。
在这段时间内，放出的溶液为2
dt
升，因为时间短，浓度改变很小，所以可以认为浓度 x 保持不变，于是放出的溶液中含盐量微元 100 t
有解
y e y x 2 c,
这里
c 为任意常数。
y sinx y 例 2.方程 有解 x
sin x y x( c dx ) ， x
sin x 其中 c 为任意常数，而 x dx 就不是初等函数。
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4.通解、定解问题和特解
对于 n 阶方程， 如果在它的解 y ( x; c1 , c2 ,, cn ) 中 含有 n 个相互独立的任意常数 c1 , c2 ,, cn ，则称 此解为方程的通解。这里 关于 c1 , c2 ,, cn 为独 立的含义是指在 x, c1 , c2 ,, cn 的某个邻域中有 行列式
（1.4）
其中
f ( x , y ) 在 D 中连续，令 y ( x ) 为方程的解，它的几
何表示就是 D 中的一条光滑曲线且在其上点 ( x, ( x )) 处 切线的斜率等于 f ( x, ( x)) ，我们称它为（1.4）的一条积 分曲线。对于方程的通解 y ( x, c ) ，当 c 变动时，它就 表示 D 中的一族曲线，称它为方程（1.4）的积分曲线族。 于是方程满足初始条件 y( x0 ) y0 的特解就表示这族曲线 中通过点 ( x0 , y0 ) D 的积分曲线。
d 2 d g 0 2 dt m dt l
如果沿着摆的运动方向恒有一个外力 F ( t )作用于它，这时摆 的运动称为强迫微小振动，其方程为
d 2 d g 1 F( t ) 2 dt m dt l ml
当要确定摆的某一特定运动时，我们应该给出摆的初始状态
设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角 d 的正方向。质点M沿圆周切向速度 可以表示为 l 。 dt 作用于质点M的重力 mg 将摆拉回平衡位置 A 。把重力 mg 分 解为两个分量 MQ 和 MP，第一个分量MQ 沿着半径OM的 的数值 方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点的速度 的改变。第二个分量 MP 沿着圆周的切线方向，它引起质点 的速度 的数值的改变。因为 MP 总 是使质点 M向着平衡 位置A的方向运动，既当 角为正时，向减少 的方向运 动；当角 为负时，向增大 的方向运动，所以 MP 的数 值等于 mg sin 。 因此，摆的运动方程是
dy dny y , , , n dx dx
是一次有理整式，则称其为 n 阶线性微分方程，
不是线性方程的方程称为非线性方程。例如
d 2 g sin 2 l dt
为非线性方程。
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3．解和隐式解（积分）
则称函数 y f ( x )为方程（1.1）的解。 但有时却遇到所求方程的解无法写成显式，而关系式 ( x , y ) 0决定的隐函数 y f ( x ) 是方程的解，则称
2 例 3 ． y 2x 的 通 解 为 y x c ， 但
y x 2 c1 c2 就不是它的通解。
注： 上述定义 关于 c1 , c2 ,, cn 独立性的实质 在于方程存在唯一满足条件的解。
通解并不一定包含了方程的所有解。如 Clairaut 方程 y=xp+f(p)就有通解 y=cx+f(c)，其中 c 为任意常 数， 此方程还有一个所谓奇解 包括在它的通解中。 由于微分方程的通解中含有任意常数， 因此为了 确定它的某个特定条件的解， 还必须给出该特定解所 应满足的某种条件以便确定这些常数， 这种条件就称 为定解条件。由于实际情况的差异，常见的定解条件 有两种：一种是初始条件，另一种是边界条件。
( x , y ) 0 为方程(1.1)的隐式解。
如果函数 y f ( x )代入方程(1.1)后，能使它变为恒等式，
这种隐式解也称为方程（1.1）的积分。 如果在解的表达式中含有无法用初等函数表示的积分， 我们仍然称它为函数的解。
无论是显式解还是隐式解我们不加区分地称为方程的解。
2x y 例 1. 1 e y
微分方程满足定解条件的解 （亦即定解问 题的解）称为该方程的特解。
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5. 微分方程组，驻定与非驻定方程组 由两个或两个以上的常微分方程构成的方程组。 如果右端不显含时间 ，如