MATLAB_简介(5)MATLAB数值积分与微分
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程在数学领域中，微积分和微分方程是基础且广泛应用的概念。
而随着科学技术的不断发展，分数阶微积分和分数阶微分方程也逐渐引起了人们的关注。
Matlab作为一个功能强大的计算工具，可以方便地进行分数阶微积分与分数阶微分方程的研究和计算。
一、分数阶微积分传统的微积分是指整数阶的微分和积分运算，而分数阶微积分则是对于非整数阶的微分和积分运算的研究。
与整数阶微分相比，分数阶微分具有非局部性和非线性等特点。
在Matlab中，有多种方法可以实现分数阶微积分的计算。
其中之一是使用分数阶积分算子进行计算，该算子可以通过Matlab的Symbolic Math Toolbox进行定义和操作。
另一种方法是使用分数阶微分和积分的数值逼近方法，例如Riemann-Liouville和Caputo等方法。
这些方法的选择取决于具体问题的要求和计算的精度。
二、分数阶微分方程分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的方程。
与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用领域和更复杂的数学性质。
解析求解分数阶微分方程往往困难，因此数值方法成为研究和求解的重要手段。
在Matlab中，可以使用多种数值方法求解分数阶微分方程。
例如，可以使用分步法（如Euler方法和Runge-Kutta方法）进行数值求解，也可以使用有限差分法和有限元法等传统的数值方法进行近似计算。
此外，还可以使用Matlab的Fractional Calculus Toolbox等工具箱进行计算和分析。
分数阶微分方程的求解不仅仅包括初值问题，还包括边值问题和参数估计问题。
初值问题是指在一定的初始条件下，求解微分方程的解；边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程的解；参数估计问题是指在给定部分信息的情况下，估计微分方程中的未知参数。
对于不同类型的问题，需要选择合适的数值方法和工具进行求解。
三、应用案例分数阶微积分与分数阶微分方程在许多领域都具有广泛的应用。
matlab微分与积分
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是用高
阶自适应递推法，该函数可以更精确地求 出定积分的值，且一般情况下函数调用的 步数明显小于quad函数，从而保证能以更 高的效率求出所需的定积分值。
(3) fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩 阵而言的函数调用格式，前者的功能与 FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N) 基本相同。只是当参数dim=1时，该函数 作用于X的每一列；当dim=2时，则作用于 X的每一行。
数值微积分以及数值分析
2020/5/17
1
数值微分
数值微分的实现 两种方式计算函数f(x)在给定点的数值导数：1.用多项式或
者样条函数 2. 利用数据的有限差分
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计 算向前差分的函数diff，其调用格式为：
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)， i=1,2,…,n-1。
I=
2.4674
2020/5/17
8
3．Trapz : 计算梯形面积的和来计算定积分 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分
问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X)。
例 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
• Help dell2
2020/5/17
3
数值积分
数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－ 柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用 的方法。它们的基本思想都是将整个积分 区i积=1间分,2[问,a…,题b,n]分就，成分其n解中个为x子1=求区a和，间问x[nx+题1i,=x。bi+。1]，这样求定
第7章 MATLAB数值积分与数值微分PPT教学课件
MATLAB数值积分 MATLAB数值微分
2020/12/10
1
7.1 数值积分
7.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单方法：
梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯 (Newton-Cotes)法等方法。它们的基本思想都是 将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。求定积分问题就分 解为求和问题。
其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即 定积分值，n为被积函数的调用次数。
2020/12/10
3
例7-1 求定积分。
2020/12/10
10
例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =
0.2858
2020/12/10
Байду номын сангаас11
7.1.3 多重定积分的数值求解
MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值 解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函 数的调用格式为
2020/12/10
2
7.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和 quadl函数来求定积分。函数的调用格式为：
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
MATLAB_简介(5)MATLAB数值积分与微分
二重积分dblquad()与三重积分
0
2
[ y sin(x ) x cos(y )]dxdy
fun=inline('y*sin(x)+x*cos(y)')
Q=dblquad(fun,pi,2*pi,0,pi) Q = -9.8698 [x,y]=meshgrid(pi:.1:2*pi,0:.1:pi); z=fun(x,y); mesh(x,y,z)
>> plot(x,y,'o',x,y)
>> title('y(x) data plot') >> ylabel('y(x)'), xlabel('x') >> dy=diff(y)./diff(x); >> xd=x(1:length(x)-1); >> plot(xd,dy) >> title('Approximate derivative using diff') >> ylabel('dy/dx'), xlabel('x')
注意二者皆以后向差分计算且数据点只剩 4 个 而不是5个。而 dy/dx 的 数值微分则为 dy/dx=diff(y)./diff(x)。 因此要计算下列多项式在 [-4, 5] 区间的微分
>> x=linspace(-4,5); % 产生100个x的离散点
>> p=[1 -3 -11 27 10 -24]; %被积函数各项的系数
%函数计算的次数n
q= -0.4605 n= 53
再来看一个积分式
matlab数值积分
Matlab数值积分引言数值积分是一种计算近似定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间并计算每个小区间上的函数面积之和来逼近定积分的值。
Matlab提供了多种数值积分的方法，使得用户能够方便地进行数值积分计算。
本文将介绍Matlab中常用的数值积分函数和方法，并通过示例演示其具体用法。
数值积分函数在Matlab中，常用的数值积分函数有： - quad：用于一维定积分的自适应数值积分函数。
- dblquad：用于二维定积分的自适应数值积分函数。
- triplequad：用于三维定积分的自适应数值积分函数。
- quad2d：用于二维定积分的数值积分函数（不支持自适应）。
- integral：用于一维定积分的自适应数值积分函数（推荐使用quad替代）。
接下来将分别介绍这些函数的用法。
一维定积分quad函数quad函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数。
其语法如下：[q,err] = quad(fun,a,b)[q,err] = quad(fun,a,b,tol)[q,err] = quad(fun,a,b,tol,[],p1,p2,...)•fun是用于计算被积函数的句柄或函数名称。
•a和b是积分区间的上下限。
•tol是计算精度（可选参数，默认值为1e-6）。
•p1,p2,...是传递给函数fun的额外参数（可选参数）。
quad函数将返回两个值： - q是定积分的近似值。
- err 是估计的误差。
下面是一个使用quad函数计算一维定积分的示例：fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数a = 0; % 积分下限b = 1; % 积分上限[q,err] = quad(fun,a,b); % 计算积分disp(['定积分的近似值：', num2str(q)]);disp(['估计的误差：', num2str(err)]);integral函数integral函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数，与quad函数功能类似。
数值积分与数值微分matlab
2 数值微分
2.1 数值差分与差商
任意函数f(x)在x点的导数是通过极限定义的：
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h f ( x ) f ( x h) f ( x) lim h 0 h f ( x h / 2) f ( x h / 2) f ( x) lim h 0 h
( x2k , f 2k ), ( x2k 1, f 2k 1 ), ( x2k 2 , f 2k 2 ) k 0,1, , m 1
数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad 函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fun',a,b,tol,trace) 其中fun是被积函数名。a和b分别是定积分 的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺 省时取tol=10-6。返回参数I即定积分值，n为被积函数
1
2
x2 / x
sin( x y)dxdy
2
clear • f=@(x,y)(exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)); • I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I= 1.5745
1 2
I
1 2
e
x2 / x
sin( x y)dxdy
2
例6 计算三重定积分 命令如下： fxyz=@(x,y,z)(4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x)); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328
数值积分
• • • •
z1=trapz(x,y1); z2=trapz(x,y2); z=z2-z1; area=(z/(18*18))*40*40
matlab 微分积分
matlab 微分积分Matlab是一种功能强大的数学软件，广泛用于解决各种科学和工程问题。
其中一个常见的应用领域是微分积分。
在本文中，我们将深入探讨Matlab在微分积分方面的应用，并提供一些对这一主题的观点和理解。
首先，让我们从微分开始。
微分在数学中是一个重要的概念，也是Matlab中的一个核心功能。
通过Matlab，我们可以计算函数的导数、局部斜率以及函数图形的曲线特性。
例如，我们可以使用Matlab计算函数f(x) = x^2的导数。
下面是一段Matlab代码示例：```matlabsyms xf = x^2;df = diff(f, x);```在这个例子中，我们使用了Matlab的Symbolic Math工具箱（Symbolic Math Toolbox）来定义符号变量x和函数f，并使用diff 函数计算函数f的导数，存储在df变量中。
通过这样的方式，我们可以轻松地计算复杂函数的导数。
接下来，让我们转向积分。
积分在数学中也是一个重要的概念，用于求解函数的面积、曲线的长度和求解一些实际问题。
Matlab提供了多种方法来进行数值积分和符号积分。
对于简单的积分问题，可以使用Matlab的int函数进行符号积分计算。
例如，对于函数f(x) = x^2的定积分，我们可以使用以下代码：```matlabsyms xf = x^2;integral = int(f, x, 0, 1);```在这个例子中，我们使用了Matlab的int函数来计算函数f在区间[0, 1]上的定积分，结果存储在integral变量中。
这样，我们就可以得到函数f在指定区间上的面积。
除了符号积分，Matlab还提供了一些数值积分方法，例如梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
这些方法适用于更复杂的积分问题，可以通过Matlab的integral函数进行计算。
例如，我们可以使用Matlab 计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, pi]上的数值积分，如下所示：```matlabf = @(x) sin(x);integral = integral(f, 0, pi);```在这个例子中，我们使用了Matlab的函数句柄（function handle）来定义函数f，然后使用integral函数计算函数f在指定区间上的数值积分。
(整理)Matlab积分.
一.数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MA TLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S = 0.9008n = 772．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MA TLAB给出了quad8函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。
•该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)I = 2.4674分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。
调用函数quad求定积分：format long;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254766n = 65调用函数quad8求定积分：format long;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254754n = 333．被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。
matlab数值微积分
人工智能与机器学习
结合人工智能和机器学习技术，自动选择合适的 数值微积分算法，实现自适应计算。
ABCD
并行计算
利用多核处理器和分布式计算资源，实现数值微 积分的并行计算，加速大规模问题的求解。
云平台集成
将Matlab数值微积分与云平台集成，实现数据 共享、远程计算和动态资源调度。
未来展望
01
更广泛的应用领域
工程领域
Matlab广泛应用于数学、物理、化学、生 物等领域的数值计算和数据分析。
Matlab在机械、电子、控制、航空航天等 工程领域有广泛应用，支持各种工程设计 和仿真。
金融领域
图像处理和计算机视觉
Matlab在金融领域主要用于数据分析、统 计建模、风险评估等方面。
Matlab提供了图像处理工具箱和计算机视 觉工具箱，广泛应用于图像处理和计算机 视觉领域。
quad: 这是一个用于数值积分 的函数，可以计算一维函数的 定积分。与integral函数不同 的是，它使用自适应Simpson 方法进行积分。例如，对于函 数f(x)，可以使用以下代码计 算定积分
数值积分函数
```matlab
result = quad(@(x) f(x), a, b);
数值积分函数
互操作性和兼容性。
THANKS
感谢观看
将连续的问题离散化，用 有限个点来近似表示连续 的函数。
逼近
通过选取适当的离散点， 使用数学方法逼近真实的 函数值。
迭代
通过不断迭代逼近真实值， 提高计算的精度。
数值微积分的计算方法
差分法
01
通过差分代替导数，将微分问题转化为差分问题，进而求解。
辛普森法则
02
利用区间中点的函数值和区间端点的函数值来近似计算定积分。
matlab高等数学部分
matlab高等数学部分
MATLAB是一种强大的数学软件，它提供了许多高等数学领域的
功能和工具，包括微积分、线性代数、微分方程等。
在MATLAB中，
你可以使用各种内置函数和工具箱来解决高等数学中的各种问题。
以下是MATLAB在高等数学部分的一些应用和功能：
1.微积分，MATLAB提供了符号计算工具箱，可以进行符号计算，如求导、积分、极限等。
此外，MATLAB还提供了数值积分和微分方
程求解的函数，可以用来解决各种微积分相关的问题。
2.线性代数，MATLAB拥有强大的线性代数工具，可以进行矩阵
运算、线性方程组求解、特征值分解等操作。
你可以使用MATLAB来
进行矩阵运算、求解线性方程组、进行特征值分解等。
3.微分方程，MATLAB提供了ODE工具箱，可以用来求解各种常
微分方程和偏微分方程。
你可以使用MATLAB来进行数值求解、绘制
相图、分析稳定性等。
4.数值方法，MATLAB提供了各种数值方法的函数和工具箱，可
以用来解决高等数学中的各种数值计算问题，如数值积分、数值求
解微分方程、数值优化等。
总之，MATLAB在高等数学部分提供了丰富的功能和工具，可以
用来解决各种高等数学领域的问题。
无论是符号计算还是数值计算，MATLAB都能够帮助你进行高效、准确的数学建模和分析。
希望这些
信息能够帮助你更好地了解MATLAB在高等数学领域的应用。
matlab中的微分方程的数值积分
MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。
微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。
本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。
一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。
ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。
用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。
2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。
pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。
二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。
如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。
在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。
2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。
通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。
3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。
选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。
三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。
数值积分 matlab
数值积分 matlab数值积分是一种通过数值计算来求解一个函数的定积分值的方法。
其主要思想是将一个区间分成若干个小份，通过对这些小份的积分值的求和来近似求得整个区间的积分值。
Matlab是一种常见的数学软件，也提供了丰富的数值积分函数库，用于求解各种复杂的积分问题。
一、数值积分概述在对一个函数进行积分的时候，有些函数难以直接求解出其精确的积分值，或者求解出来的积分值过于复杂。
此时，我们可以使用数值积分的方法，通过计算某个函数在某个区间内的各个小矩形的面积，来近似求得这个函数在这个区间内的积分值。
在数值积分中，通常会将这个区间划分成若干个小区间，然后分别计算每个小区间内函数值的平均值，并将这些平均值相加得到整个区间的“面积”。
常见的数值积分方法包括：矩形法、梯形法、辛普森法等。
二、Matlab数值积分函数库Matlab中提供了许多数值积分函数，这些函数能够帮助我们快速地解决各种复杂的积分问题。
下面我们来介绍一下Matlab中常用的数值积分函数。
1、quad函数quad函数是Matlab中最常用的求解数值积分的函数之一，它可以求解单变量和多变量的积分问题。
该函数使用的是自适应辛普森公式，能够在保证精度的情况下尽可能快地求解出积分值。
例如：syms x f = @(x) x^2; q = quad(f, 0, 1)其中，syms x表示定义一个符号函数，在定义函数时需要用到。
f=@(x)x^2表示定义一个函数f(x)=x^2。
quad 函数的第一个参数是所要求解的函数句柄，第二个参数是积分的区间上限，第三个参数是积分的区间下限。
2、trapz函数trapz函数是Matlab中求解梯形法数值积分的函数。
该函数是模拟了一个梯形来逼近积分函数的面积，因此得名梯形法。
例如：x = [0:0.1:1]; y = sin(x); q = trapz(x, y)其中，x和y分别为积分函数在积分区间上的点序列，q为所求的积分值。
matlab 常微分方程 数值积分 间断点处理
MATLAB是一种流行的数学软件，常被用于解决数值计算问题。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的领域，而MATLAB提供了许多工具来进行常微分方程的数值积分。
然而，当常微分方程存在间断点时，数值积分就变得更加复杂和有挑战性。
本文将介绍MATLAB中常微分方程数值积分的基本概念和方法，以及如何处理常微分方程中的间断点。
一、常微分方程数值积分基本概念1. 常微分方程（ODE）是描述自变量和函数的导数之间关系的方程。
常微分方程的解通常是一组函数，这些函数满足原方程。
常微分方程数值积分是通过数值方法来求解常微分方程的近似解。
2. 在MATLAB中，常微分方程数值积分的基本函数是ode45，它是一种采用龙格-库塔方法（Runge-Kutta method）的数值积分器。
ode45通过迭代计算来逼近常微分方程的解，并返回一个包含解的矩阵。
3. 通常，数值积分的精度会随着步长的减小而提高，但这也会增加计算时间。
选择合适的步长对于数值积分的精度和计算效率都是非常重要的。
在MATLAB中，可以通过设定选项参数来调整ode45的步长和其他计算参数。
二、处理常微分方程中的间断点1. 当常微分方程中存在间断点时，数值积分就会变得更加复杂。
间断点可能发生在函数本身的值上，也可能发生在函数的导数上，这会导致数值积分器无法正确估计解在间断点附近的行为。
2. 为了处理常微分方程中的间断点，可以在MATLAB中使用事件函数。
事件函数是一个在特定条件下触发的MATLAB函数，它可以用来检测常微分方程的解是否接近于一个间断点，并在这种情况下对数值积分进行调整。
3. 通过给ode45函数指定事件函数，可以让数值积分器在接近间断点时自动调整步长，以保证数值积分的精度和稳定性。
这种方法在处理常微分方程中的间断点时非常有效，能够提高数值积分的精度和计算效率。
三、总结在MATLAB中，常微分方程数值积分是一个重要的数值计算工具，在实际工程和科学计算中有着广泛的应用。
matlab算法-求解微分方程数值解和解析解
MATLAB是一种用于数学计算、工程和科学应用程序开发的高级技术计算语言和交互式环境。
它被广泛应用于各种领域，尤其在工程和科学领域中被用于解决复杂的数学问题。
微分方程是许多工程和科学问题的基本数学描述，求解微分方程的数值解和解析解是MATLAB算法的一个重要应用。
1. 求解微分方程数值解在MATLAB中，可以使用各种数值方法来求解微分方程的数值解。
其中，常见的方法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
这些数值方法可以通过编写MATLAB脚本来实现，从而得到微分方程的近似数值解。
以常微分方程为例，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。
该函数是MATLAB中用于求解常微分方程初值问题的快速、鲁棒的数值方法，可以有效地得到微分方程的数值解。
2. 求解微分方程解析解除了求解微分方程的数值解外，MATLAB还可以用于求解微分方程的解析解。
对于一些特定类型的微分方程，可以使用符号计算工具箱中的函数来求解微分方程的解析解。
通过符号计算工具箱，可以对微分方程进行符号化处理，从而得到微分方程的解析解。
这对于研究微分方程的性质和特点非常有帮助，也有助于理论分析和验证数值解的准确性。
3. MATLAB算法应用举例在实际工程和科学应用中，MATLAB算法求解微分方程问题非常常见。
在控制系统设计中，经常需要对系统的动态特性进行分析和设计，这通常涉及到微分方程的建模和求解。
通过MATLAB算法，可以对系统的微分方程进行数值求解，从而得到系统的响应曲线和动态特性。
另外，在物理学、生物学、经济学等领域的建模和仿真中，也经常需要用到MATLAB算法来求解微分方程问题。
4. MATLAB算法优势相比于其他数学软件和编程语言，MATLAB在求解微分方程问题上具有明显的优势。
MATLAB提供了丰富的数值方法和工具，能够方便地对各种微分方程进行数值求解。
MATLAB具有直观的交互式界面和强大的绘图功能，能够直观地展示微分方程的数值解和解析解，有利于分析和理解问题。
Matlab数值积分与数值微分
Matlab数值积分与数值微分M a t l a b数值积分与数值微分Matlab数值积分1.⼀重数值积分的实现⽅法变步长⾟普森法、⾼斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长⾟普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数⽤于实现变步长⾟普森法求数值积分.调⽤格式为:[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)Fname是函数⽂件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，⾮0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调⽤函数的次数.--------------------------------------------------------------------- 例如：求∫e0.5x sin(x+π)dx3π的值.先建⽴函数⽂件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调⽤quad函数[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365--------------------------------------------------------------------- 例如：分别⽤quad函数和quadl函数求积分∫e0.5x sin(x+π6)dx3π的近似值，⽐较函数调⽤的次数.先建⽴函数⽂件function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));formatlong[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=198[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=365--------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调⽤原函数的次数⽐quad少，并且⽐quad函数求得的数值解更精确.1.2⾼斯-克朗罗德法Matlab提供了⾃适应⾼斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调⽤格式为：[I,err]=quadgk(@fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平⾯上求积分.--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinx1+cos2xdx π的数值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,0,pi)I=2.4674--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinxdx +∞∞的值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2); 再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------1.3梯形积分法对于⼀些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的⼀组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题⽤梯形积分法，其函数是trapz函数，调⽤格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X) X=(x1,x2,…,x n)(x1分区间是[x1,x n]--------------------------------------------------------------------- 例如：已知某次物理实验测得如下表所⽰的两组样本点.现已知变量x和变量y满⾜⼀定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x)，求积分13.39∫f(x)dx1.38的数值.X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39];Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21]; I=trapz(X,Y) I=217.1033---------------------------------------------------------------------例如：⽤梯形积分法求积分：∫e ?x dx 2.51的数值.x=1:0.01:2.5; y=exp(-x); I=trapz(x,y) I= 0.2858---------------------------------------------------------------------2. 多重数值积分的实现重积分的积分函数⼀般是⼆元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如：∫∫f (x,y )dxdy ba dc∫∫∫f(x,y,z)dxdydz b a d cf eMatlab 中有dblquad 函数和triplequad 函数来对上述两个积分实现.调⽤格式为： I=dblquad(@fun,a,b,c,d,tol)I=triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun 为被积函数，[a,b]为x 的积分区间；[c,d]为y 的积分区间；[e,f]为z 的积分区间.Dblquad 函数和triplequad 函数不允许返回调⽤的次数，如果需要知道函数调⽤的次数，则在定义被积函数的m ⽂件中增加⼀个计数变量，统计出被积函数被调⽤的次数.---------------------------------------------------------------------例如:计算⼆重积分I =∫∫√dxdy π2π2π2π2的值.先编写函数⽂件fxy.mfunction f=fxy(x,y) global k; k=k+1;f=sqrt(x.^2+y.^2);再调⽤函数dblquadglobalk; k=0;I=dblquad(@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10) I= 11.8629 k k= 37656---------------------------------------------------------------------例如：求三重积分∫∫∫4xze ?z2y?x 2dxdydz ππ1的值.编写函数⽂件fxyz1.mfunction f=fxyz1(x,y,z)global j;j=j+1;f=4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);调⽤triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad(@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10)I=1.7328jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义f′(x)=limn→0f(x+h)?f(x)hf′(x)=limn→0f(x)?f(x?h)f′(x)=limn→0f(x+h2)?f(x?h2)h上述公式中假设h>0，引进记号：f(x)=f(x+h)f(x)f(x)= f(x)f(xh)δf(x)= f(x+h)?f(x?h)称上述?f(x)、?f(x)、δf(x)为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中⼼差分，当步长h⾜够⼩时，有：f′(x)≈?f(x) hf′(x)≈f(x) f′(x)≈δf(x)f(x) h 、?f(x)h、δf(x)h也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商、中⼼差商.当h⾜够⼩时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意⼀种差商，微分接近于在该点的任意⼀种差分.2.函数导数的求法2.1⽤多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进⾏逼近(插值或拟合)，然后⽤逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2⽤f(x)在点x处的差商作为其导数.3.数值微分的实现⽅法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff，其调⽤格式为：·DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1·DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X,2)=diff(diff(X))·DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按⾏计算差分.--------------------------------------------------------------------- 例如：⽣成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按⾏、按列计算⼆阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025--------------------------------------------------------------------- 例如：设f(x)=√x3+2x2?x+12+√(x+5)6+5x+2求函数f(x)的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f’(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：f′(x)=3x2+4x?12√x3+2x2?x+12+16√()56+5编辑函数⽂件fun7.m和fun8.m functionf=fun7(x)f=sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.^2+4*x-1)/2./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+1/6./(x+5).^(5/6)+5 ;x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);⽤5次多项式拟合曲线dp=polyder(p);对拟合多项式进⾏求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7([x,3.01]))/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8(x);求函数f的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合.--------------------------------------------------------------------- 练习：A.⽤⾼斯-克朗罗德法求积分∫dx1+x2 +∞∞的值并讨论计算⽅法的精确度.（该积分值为π）function f=fun9(x)f=1./(1+x.^2);formatlong[I,err]=quadgk(@fun9,-Inf,Inf)I=err=B.设函数f(x)=sin x⽤不同的办法求该函数的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f′(x)的图像.已知f′(x)=x cos x+cos x cos2x?sin x+2sin x sin2x()2function f=fun10(x)f=sin(x)./(x+cos(2*x));function f=fun11(x)f=(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*sin(x).*sin(2*x))/(x+cos(2 *x)).^2; x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun10(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(fun10([x,3.01]))/0.01;gx=fun11(x);plot(x,dpx,'r:',x,dx,'.g',x,gx,'-k')。
第八章matlab数值积分与微分
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例8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I= 1.57449318974494 ki = 1050
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例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quadl求定积分。 I=quadl('fx',0,pi) I= 2.4674
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例8-3 分别用quad函数和quadl函数求定积分的 近似值，并在相同的积分精度下，比较函数 的调用次数。
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8.2 数值微分
8.2.1 数值微分的实现
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的 函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格 式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2， 按行计算差分。
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3. 被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数 关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中 向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。
第8章 MATLAB数值积分与微分
第8章 MATLAB数值积分与微分8.1 数值积分8.1.1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi ,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
8.1.2 数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S =0.9008n =772．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。
•该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
例8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2) 调用函数quad8求定积分。
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和 trapz比较，quad, quad8不同之处在于这二
者类似解析式的积分式，只须设定上下限及
定义要积分 的函数；而 trapz则是针对离散点
型态的数据做积分。
我们看一简单积分式 以下为 MATLAB 的程式
>> a=0; b=0.5;
>> kq=quad('sqrt',a,b)
kq =
0.2357
4 0 1 x 2 dx 3.14159
1Leabharlann 3. 分别利用Matlab命令行和M文件形式计算以下 函数的一阶导数（分别利用后向差分和中央差 分）: exp(x)
>> f=polyval(p,x);
>> plot(x,f) % 将多项式函数绘图
>> title('Fifth-deg. equation')
>> dfb=diff(f)./diff(x); % 注意要分别计算diff(f)和diff(x) >> xd=x(2:length(x)); % 注意只有99个df值，而且是对
MATLAB_简介(4) MATLAB数值积分与微分
Matlab数值积分 MATLAB提供最简单的积分函数是梯形法
trapz，我们先说明梯形法语法trapz(x,y)，其 中x,y分别代表数目相同 的阵列或矩阵，而y 与x的关系可以由是一函数型态（如y=sin(x)） 或是不以函数描述的离散型态。 我们看一简单积分式 以下为 MATLAB 的程式
Matlab数值积分
>> x=0:pi/100:pi;
>> y=sin(x);
>> k=trapz(x,y)
k=
1.9998
clear x=sort(rand(1,101)*pi); y=sin(x); trapz(x,y) ans = 1.9981
rand(1,101)产生 101个均匀随机数, 每个数都介于0-1 之间
Matlab数值微分
若有一函数 f(x) 在x=a 的微分可表示为
上述微分项在几何上的意义为在 x=a 点的切 线斜率. 下面介绍的差分表示式，数值差分 即是用来求数值微分的方法。
差分表示法
我们知道一微分项的计算，可以在二相邻点 x+h 和 x 间函数取下列极限求得
若将原连续的空间以多个离散点取代。则上述 的极限以离散点的方式计算， 即是以下的差分 式 (difference equation)
%函数计算的次数n
q= -0.4605 n= 53
再来看一个积分式
L
2
0
cos(t ) 4 sin(2t ) 1dt
2 2
Function f=len(t) f=sqrt(cos(t),^2+4*sin(2t),^2+1);
存为Len.m
>>Lenth=quad(‘Len’,0,2*pi)
差分表示法
上式被称为前向差分
而高阶微分项可以利用低阶微分项来计算，举例 来说一个二阶微分式可以表示为
上述提及的后向差分式
，在
MATLAB 有对应的diff 函数来计算二相邻点
的差值， 它的语法为 diff(x)，其中 x代表一组
离散点 。假设有x, y(x)的数
据为 x=[1 3 5 7 9], y=[1 4 9 16 25] 则 diff(x)=[2 2 2 2], diff(y)=[3 5 7 9]，
>> deno=x(3:length(f))-x(1:length(f)-2); % 注意中
央差分是 x(k+1)-x(k-1)
>> df_c=num./deno;
>> xd=x(2:length(x)-1); % xd的点数只有98个
>> plot(xd,df_c)
>> title('Derivative of fifth-deg. polynomial')
MATLAB 另外提供二种积分函数，它们分别
是辛普森法 quad 和牛顿-康兹法 quad8。三种
方法的精确度由低 而高，分别为 trapz, quad,
quad8。
由于这二种方法依据的积分法不同于梯形法， 因此它们的语法就和 trapz 不同；其语法为 quad('function',a,b) （quad8语法相同），其 中function是一已定义函数的名称（如sin, cos, sqrt, log 等），而 a, b是积分的下限和 上限。
注意二者皆以后向差分计算且数据点只剩 4 个 而不是5个。而 dy/dx 的 数值微分则为 dy/dx=diff(y)./diff(x)。 因此要计算下列多项式在 [-4, 5] 区间的微分
>> x=linspace(-4,5); % 产生100个x的离散点
>> p=[1 -3 -11 27 10 -24]; %被积函数各项的系数
二重积分dblquad()与三重积分
0
2
[ y sin(x ) x cos(y )]dxdy
fun=inline('y*sin(x)+x*cos(y)')
Q=dblquad(fun,pi,2*pi,0,pi) Q = -9.8698 [x,y]=meshgrid(pi:.1:2*pi,0:.1:pi); z=fun(x,y); mesh(x,y,z)
以下的例子是针对数据组为离散型态，要注意 的是原数据所代表的函数分布并无明显的折角，
但是它的 一阶微分经数值微分计算后的微分函
数分布却有极大的曲折变化。 >> x=0:0.1:1;
>> y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56
9.48 9.30 11.2];
应x2,x3,...,x100的点
>> plot(xd,dfb ) % 将多项式的微分项绘图 >> title('Derivative of fifth-deg. equation')
>> num=f(3:length(f))-f(1:length(f)-2); % 注意中
央差分是 f(k+1)-f(k-1)
>> plot(x,y,'o',x,y)
>> title('y(x) data plot') >> ylabel('y(x)'), xlabel('x') >> dy=diff(y)./diff(x); >> xd=x(1:length(x)-1); >> plot(xd,dy) >> title('Approximate derivative using diff') >> ylabel('dy/dx'), xlabel('x')
而高阶微分项可以利用低阶微分项来计算，举 例来说一个二阶微分式可以表示为
对应的差分式有
第六次实习
1. 练习Matlab数值积分和数值微分: 2. 分别利用Matlab命令行trapz(x,y),
quad ('function',a,b), quad8 ('function', a, b) 和M文件形式计算以下数值积分:
>> kq8=quad8('sqrt',a,b)
kq8 =
0.2357
clear fun=inline('1./(x.^3-2*x-5)')
2
0
1 dx 3 x 2x 5
ezplot(fun,[0,2])
[q,n]=quad(fun,0,2) % [q,n] = quad(fun,a,b,⋯) %同时返回