(完整版)(数值积分与微分的MATLAB命令)

合集下载

MATLAB_简介(5)MATLAB数值积分与微分

二重积分dblquad()与三重积分

0

2
[ y sin(x ) x cos(y )]dxdy
fun=inline('y*sin(x)+x*cos(y)')
Q=dblquad(fun,pi,2*pi,0,pi) Q = -9.8698 [x,y]=meshgrid(pi:.1:2*pi,0:.1:pi); z=fun(x,y); mesh(x,y,z)
>> plot(x,y,'o',x,y)
>> title('y(x) data plot') >> ylabel('y(x)'), xlabel('x') >> dy=diff(y)./diff(x); >> xd=x(1:length(x)-1); >> plot(xd,dy) >> title('Approximate derivative using diff') >> ylabel('dy/dx'), xlabel('x')
注意二者皆以后向差分计算且数据点只剩 4 个而不是5个。而 dy/dx 的数值微分则为 dy/dx=diff(y)./diff(x)。因此要计算下列多项式在 [-4, 5] 区间的微分
>> x=linspace(-4,5); % 产生100个x的离散点
>> p=[1 -3 -11 27 10 -24]; %被积函数各项的系数
%函数计算的次数n
q= -0.4605 n= 53
再来看一个积分式

matlab中积分的命令

matlab中积分的命令Matlab中有多种命令可以用于数值积分，本文将介绍其中几个常用的积分命令，包括quad、quadl、quadgk和integral。

这些命令可以用于一维和多维积分，可以求解定积分和非定积分。

一、quad命令quad命令用于求解一维定积分，其语法为：Q = quad(fun,xmin,xmax)其中fun为要积分的函数句柄，xmin和xmax为积分的下限和上限。

quad命令使用自适应的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。

二、quadl命令quadl命令也用于求解一维定积分，其语法为：Q = quadl(fun,xmin,xmax)quadl命令使用高斯-勒让德求积法，可以在较高的精度下求解积分。

与quad命令相比，quadl命令在处理某些特定类型的函数时更为准确和稳定。

三、quadgk命令quadgk命令用于求解一维非定积分，其语法为：Q = quadgk(fun,xmin,xmax)quadgk命令使用高斯-科特斯求积法，可以在较高的精度下求解非定积分。

与quad命令和quadl命令相比，quadgk命令对积分区间的长度不敏感，适用于各种类型的函数。

四、integral命令integral命令用于求解一维定积分和非定积分，其语法为：Q = integral(fun,xmin,xmax)integral命令根据输入的积分区间长度自动选择合适的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。

与quad命令、quadl命令和quadgk命令相比，integral命令更加智能化，可以根据积分函数的特点自动调整积分算法。

除了以上介绍的命令外，Matlab还提供了其他一些用于数值积分的命令，如dblquad、triplequad和quad2d等。

这些命令可以用于求解二维和多维积分，适用于更复杂的问题。

在使用这些积分命令时，需要注意以下几点：1. 积分区间的选择：根据积分函数的特点选择合适的积分区间，以确保求解的准确性和稳定性。

(完整word版)matlab符号积分和微分等等

教案
的MATLAB命令。

例6.26 创建符号矩阵.
>> e=［1 3 5;2 4 6;7 9 11］; ％建立数值矩阵
>〉m=sym（e）%创建符号矩阵
m =
［1, 3，5]
[ 2，4, 6]
[ 7, 9，11]
在命令窗口的显示中，数值矩阵只显示元素的数值，而符号矩阵的每行元素放在一对方括号内;在工作空间窗口显示的变量图标两者也不同，数值矩阵的图标为，符号矩阵（也称为符号对象）的图标为,二者很容易区分。

2、符号表达式的基本运算函数
符号表达式的运算与普通数值运算的方式不同，它的运算结果是符号表达式或符号矩阵。

在MATLAB运算中，浮点运算速度最快，而符号计算占用时间和内存都比较多，但它的计算结果最精确.在默认情况下，当用函数sym生成符号变量后，MATLAB将对这些变量进行符号计算。

在MATLAB符号计算工具箱中提供来了很多函数用于符号计算。

下面将介绍一些常用的符号运算函数，如表6-6所示。

表6-6 常用的符号函数
函数格式说明
symadd（S1,S2）符号表达式S1加上符号表达式S2
symsub（S1，S2)符号表达式S1减去符号表达式S2
symmul(S1,S2）符号表达式S1乘上符号表达式S2
symdiv(S1，S2）符号表达式S1除符号表达式S2
sympow（S，p)符号表达式S1的p次幂，p可以是表达式
例6.27 计算表达式x3—1与表达式x-1的和、差、积、商和乘方。

>> syms x。

第7章 MATLAB数值积分与微分

补充比较：
• 求：
s

1
2
1 0
x dxdy
y
• • • • •
（1）符号计算法 syms x y s=vpa(int(int(x^y,x,0,1),y,1,2)) s= .40546510810816438197801311546432
• • • • • •
（2）数值积分法 format long s_n=dblquad(@(x,y)x.^y,0,1,1,2) s_n = 0.40546626724351
M t , y 为矩阵
3.全隐式常微分方程
f t , y, y 0
7.2.1 数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。
例7-5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I= 1.57449318974494 ki = 1038

MATLAB编程与工程应用——第8章 MATLAB数值积分与微分

第8章 MATLAB数值积分与微分
exp81mmatlab数值积分与微分二数值积分的实现方法只是tol的缺省值取106该函数可以更精确地求出定积分的值且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值
MATLAB数值积分与微分第8章 MATLAB数值积分与微分
8.1 数值积分 8.2 数值微分
第8章
第8章 MATLAB数值积分与微分
二、数值积分的实现方法
2．牛顿－柯特斯法牛顿－ [I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。例8.2 求funx在[0,1]上的定积分。 exp8_2.m funx在[0,1]上的定积分。上的定积分
第8章
MATLAB数值积分与微分
8.1 数值积分
二、数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法 [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) fname是被积函数名。 a和b分别是定积分的下限和上限。 tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。 I为定积分值 n为被积函数的调用次数。例8.1 求funx在[0,1]上的定积分。 exp8_1.m funx在[0,1]上的定积分。上的定积分
第8章
exp8_3.m
MATLAB数值积分与微分
8.1 数值积分
三、二元函数重积分的数值计算

数值积分与数值微分matlab

2 数值微分
2.1 数值差分与差商
任意函数f(x)在x点的导数是通过极限定义的：
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h f ( x ) f ( x h) f ( x) lim h 0 h f ( x h / 2) f ( x h / 2) f ( x) lim h 0 h
( x2k , f 2k ), ( x2k 1, f 2k 1 ), ( x2k 2 , f 2k 2 ) k 0,1, , m 1
数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad 函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fun',a,b,tol,trace) 其中fun是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6。返回参数I即定积分值，n为被积函数

1
2
x2 / x
sin( x y)dxdy
2
clear • f=@(x,y)(exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)); • I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I= 1.5745
1 2
I
1 2

e
x2 / x
sin( x y)dxdy
2
例6 计算三重定积分命令如下： fxyz=@(x,y,z)(4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x)); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328
数值积分
• • • •
z1=trapz(x,y1); z2=trapz(x,y2); z=z2-z1; area=(z/(18*18))*40*40

利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令

利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令1 指令函数及调用格式1.1 指令函数：dsolve注：此指令函数用于求解微分方程(组)的符号(解析)解。

1.2 单变量常微分方程的调用格式：f=dsolve（‘eq’, ‘cond’, ‘v’)注：此调用格式用于求符号微分方程的通解或特解，其中eq代表微分方程，cond代表微分方程的初始条件（若缺少，则求微分方程的通解），v为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。

1.3 常微分方程组的调用格式：f=dsolve(‘eq1’, ‘eq2’,…, ‘eqn’, ‘cond1’, ‘cond2’,…, ‘condn’, ‘v1’, ‘v2’, …, ‘vn’)注：此调用格式用于求解符号常微分方程组。

其中eq1，...，eqn 代表n个微分方程构成的微分方程组；cond1，...，condn代表微分方程组的初始条件（若缺少，则求微分方程组的通解），v1 ， (v)为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。

1.4 记述规定：MATLAB中，用D(注意：一定是大写)记述微分方程中函数的导数。

当y是因变量时，用‘Dny’表示‘y的n阶导数’。

如，Dy表示y的一阶导数y '，Dny表示y的n阶导数。

Dy(0)=5表示y ' (0)=5。

D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。

2 实例演示例1、求微分方程2'22xy xy xe-+=的通解命令输入：>> y=dsolve('Dy+2*x*y=2*x*exp(-x^2)','x')得结果为：y =(x^2+C1)*exp(-x^2)若输入命令：>>y=dsolve('Dy+2*x*y=2*x*exp(-x^2)')则系统默认t为自变量，而把真正的自变量x当作常数处理，把y 当作t的函数，得到错误的结果：y =exp(-2*x*t-x*(x-2*t))+exp(-2*x*t)*C1例2、求微分方程22420250d x dxxdt dt-+=的通解命令输入：>> x=dsolve('4*D2x-20*Dx+25*x=0')得结果为：x =C1*exp(5/2*t)+C2*exp(5/2*t)*t%系统默认t 为自变量例3、求微分方程'''54100y y y +-+=在条件'006,4x x y y ====下的特解。

(完整版)数值积分及matlab实现

将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得
分,因此将选(x取) 为插值多项式, 这样f(x)的积分就
可以用其插值多项式的积分来近似代替
2.2 插值求积公式
设已知f(x)在节点 xk (k 0,1, , n) 有函数值 f (xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式
式中
n
P(x) f (xk )lk (x)
k 0
lk (x)
n j0
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
为插值型求积公式的充要条件是公式
(
x)dx
时，则称求积公式为插值
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
R( f ) b f (x) P(x)dx b f (n1) ( ) (x)dx
a
a (n 1)!
其中 a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f (n1) (x) 0 R( f ) =0,求积公式(4)能成为准确的等式。由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。
数值积分与微分
2009.4.22
数值积分和数值微分
1 引言我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原
函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式

MATLAB-中的极限、微分与积分

ans
x 2 y sin( y)
diff ((x y y 2 sin(x) cos( y)) ，x ，3)
ans
cos(x)
diff (diff (x y y 2 sin(x) cos( y) ，y) ，x)
ans
1
F y
x 2 y sin y
3F x3
cos x 2F yx
经济数学
MATLAB 中的极限、微分与积分
1.1 利用MATLAB求极限
MATLAB中可以利用limit函数求极限.MATLAB在微积分中的常用命令及函数的功如表8-3所示. 表8-3
MATLAB 中的极限、微分与积分
例1
解
syms x
limit(sin(x) x ，x ，0)
ans 1
（这里ans用作计算结果的默认变量名）
2 000
MATLAB 中的极限、微分与积分
例11
解
syms x
int (x (1 sqrt(1 x)) ，x ，0 ，3)
ans
5
3
3
x
5
0 x
dx . 1 x 3
MATLAB 中的极限、微分与积分
例12
解
syms x
int(1 (1 x) 2 ，x ，1，inf )
ans
1
2
^ P
Q1
%求弹性函数
Q2
P log(4)
(说明弹性函数为 P ln4)
P 20 ；
Q2 P log(4)
Q2
27.7259
所以当价格为20美元时，若价格上涨1% ，则需求量下降27.73% .
MATLAB 中的极限、微分与积分

Matlab中的数值积分和微分方法

Matlab中的数值积分和微分方法在数学和工程领域，数值积分和微分是解决问题的常见方法之一。

而在计算机科学中， Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了许多数值积分和微分的函数，使得这两个问题的解决变得更加简单和高效。

本文将探讨 Matlab 中常用的数值积分和微分方法，包括不定积分、定积分、数值微分和高阶数值微分。

我们将逐一讨论这些方法的原理和使用方法，并展示一些实际的应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。

一、不定积分不定积分是指求一个函数的原函数。

在 Matlab 中，我们可以使用 `int` 函数来实现不定积分的计算。

例如，如果我们想求解函数 f(x) = x^2 的不定积分，可以使用下面的代码：```syms x;F = int(x^2);```这里的 `syms x` 表示将 x 定义为一个符号变量，`int(x^2)` 表示求解函数 x^2 的不定积分。

得到的结果 F 将是一个以 x 为变量的符号表达式。

除了求解简单函数的不定积分外，Matlab 还支持求解复杂函数的不定积分，例如三角函数、指数函数等。

我们只需要将函数表达式作为 `int` 函数的参数即可。

二、定积分定积分是指求函数在一个闭区间上的积分值。

在 Matlab 中，我们可以使用`integral` 函数来计算定积分。

例如，如果我们想计算函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分值，可以使用下面的代码：```y = @(x) x^2;result = integral(y, 0, 1);```这里的 `@(x)` 表示定义一个匿名函数，`integral(y, 0, 1)` 表示求解函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。

得到的结果 result 将是一个数值。

与不定积分类似，Matlab 还支持对复杂函数求解定积分，只需要将函数表达式作为 `integral` 函数的第一个参数，并指定积分的区间。

matlab中的微分方程的数值积分

MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。

微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。

本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。

一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。

ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。

用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。

2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。

pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。

二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。

如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。

在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。

2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。

通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。

3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。

选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。

三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。

数值积分与微分MATLAB公式

数值积分与微分实验目的：1）用matlab软件掌握梯形公式、辛普森公式和蒙特卡罗方法计算数值积分；2）通过实例学习用数值积分和数值微分解决实际问题。

实验内容：第一题：用梯形、辛普森和蒙特卡罗方法计算积分。

改变步长（对梯形），改变精度要求（对辛普森），改变随机点数目（对蒙特卡罗），进行比较、分析。

1e22x-,-2≤x≤2y=π2解：用三种方法计算积分的源程序如下：10-,108-；对对梯形公式取h=4/50,4/100,4/10000;对辛普森分别取精度为103-，7从得到的结果可以看到对梯形公式，步长越小，计算的积分结果越准确；对于辛普森公式，在一般的103-精度下结果已经很准确（小数点后前六位均为准确数字），提高精度后结果更加精确，可见辛普森具有很高的优越性，但它的局限性在于必须要有函数解析式；对于蒙特卡罗方法，虽然结果具有随机性，但随着n 增大，得到的结果越来越接近准确值。

解：用中点公式计算导数k.则∆P＝k∆V。

因为∆V＝1，所以∆P数值上等于k。

取h=0.1，利用三次样条计算P在V－h，V+h处的数值，从而利用中点公式计算导数。

结果为 ∆p =2.3341（2/in lbf ）同理可以算出V=50时,∆p=2.7891（2/in lbf ）求导的问题也可以用书后补充知识中样条求导的方法解决，计算后可以得到相同结果。

利用三次样条插值计算V 在40～70之间时相应的一系列P 值，然后用梯形公式计算积分即得气体作功。

第三题：冰淇淋的下部为锥体，上部为半球。

设它由锥面z=22y x +和球面1)1(222=-++z y x 围成，用蒙特卡罗方法计算它的体积。

解：两个曲面方程联立可以解得几何体的边界方程为单位圆：22y x +＝1。

应用蒙特卡罗均值估计法计算体积的思路如下：利用计算机每次产生两个0～1的随机数x,y ，若落在单位圆内，则计算球面与锥面上在（x,y ）处的z 值之差，产生n 次随机数，并将得到的z 值累加，累即所求冰淇淋的体积为3.1336。

matlab中求积分的命令

matlab中求积分的命令求积分是数学中的一个重要概念，也是数学分析中的基础内容。

在MATLAB中，我们可以使用一些特定的命令来实现对函数的积分计算，从而得到函数的解析式或数值结果。

本文将介绍一些常用的MATLAB求积分命令，并探讨其在实际问题中的应用。

一、MATLAB中的求积分命令在MATLAB中，求积分的命令主要有两种：符号积分和数值积分。

下面分别介绍这两种求积分的命令及其使用方法。

1. 符号积分命令符号积分是指对给定的函数进行解析求积分，得到一个含有未知常数的解析式。

在MATLAB中，可以使用符号积分命令'int'来进行符号积分的计算。

其基本语法为：int(f, x) 或 int(f, x, a, b)其中，f表示被积函数，x表示积分变量，a和b表示积分区间的上下限。

例如，要对函数f(x) = x^2进行符号积分，可以使用以下命令：syms xf = x^2;F = int(f, x)这样，MATLAB将输出函数F(x) = (1/3)x^3，即f(x)的积分结果。

2. 数值积分命令数值积分是指对给定的函数进行数值近似求积分，得到一个数值结果。

在MATLAB中，可以使用数值积分命令'integral'来进行数值积分的计算。

其基本语法为：Q = integral(fun, a, b)其中，fun表示被积函数的函数句柄，a和b表示积分区间的上下限。

例如，要对函数f(x) = exp(-x^2)进行数值积分，可以使用以下命令：f = @(x) exp(-x^2);Q = integral(f, -inf, inf)这样，MATLAB将输出数值结果Q，即f(x)的积分值。

二、MATLAB求积分命令的应用MATLAB中的求积分命令在工程和科学计算中有着广泛的应用。

下面将介绍两个实际问题的求解过程，以展示这些命令的应用。

1. 求解概率密度函数的积分概率密度函数是统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量的概率分布。

MATLAB中的微积分运算（数值符号）

MATLAB中的微积分运算（数值符号）显然这个函数是单词differential（微分）的简写，⽤于计算微分。

实际上准确来说计算的是差商。

如果输⼊⼀个长度为n的⼀维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算⼀阶导数的有限差分近似。

(1)符号微分1.常⽤的微分函数函数:diff(f) 求表达式f对默认⾃变量的⼀次微分值diff(f,x) 求表达式f对⾃变量x的⼀次积分值diff(f,n) 求表达式f对默认⾃变量的n次微分值diff(f,t,n)求表达式f对⾃变量t的n次微分值>> x=1:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>> diff(x)ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1例1:求矩阵中各元素的导数求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)1/(x*y) exp(x^2)]对x的微分,可以输⼊以下命令A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');B = diff(A,'x')可得到如下结果:例2:求偏导数求的偏导数。

syms x y;f = x*exp(y)/y^2;fdx = diff(f,x)fdy = diff(f,y)可得到如下结果：例3:求复合函数的导数求的导数sym('x');y = 'x*f(x^2)'y1 = diff(y,'x')得到结果如下：例4:求参数⽅程的导数对参数⽅程求导syms a b tf1 = a*cos(t);f2 = b*sin(t);A = diff(f2)/diff(f1) %此处代⼊了参数⽅程的求导公式B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求⼆阶导数可得到如下结果：例5:求隐函数的导数求的⼀阶导数syms x yp = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'%隐函数可进⾏整体表⽰%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数p1 = diff(p,x)可得到如下结果：2.符号积分1符号函数的不定积分函数:int功能:求取函数的不定积分语法:int(f)int(f,x)说明:第⼀个是求函数f对默认⾃变量的积分值;第⼆个是求⾃变量f对对⾃变量t的不定积分值。

MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分

MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分1.数值积分数值积分是计算函数的定积分值的近似方法。

在MATLAB中，有几个函数可以帮助我们进行数值积分。

(1) quad函数quad函数是MATLAB中用于计算一维定积分的常用函数。

它的语法如下：I = quad(fun, a, b)其中，fun是被积函数的句柄，a和b分别是积分区间的下界和上界，I是近似的积分值。

例如，我们可以计算函数y=x^2在区间[0,1]内的积分值：a=0;b=1;I = quad(fun, a, b);disp(I);(2) integral函数integral函数是在MATLAB R2024a版本引入的新函数，它提供了比quad函数更稳定和准确的积分计算。

integral函数的语法如下：I = integral(fun, a, b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。

例如，我们可以使用integral函数计算函数y = x^2在区间[0, 1]内的积分值：a=0;b=1;I = integral(fun, a, b);disp(I);2.数值微分数值微分是计算函数导数的近似方法。

在MATLAB中，可以使用diff 函数计算函数的导数。

(1) diff函数diff函数用于计算函数的导数。

它的语法如下：derivative = diff(fun, x)其中，fun是需要计算导数的函数，x是自变量。

例如，我们可以计算函数y=x^2的导数：syms x;fun = x^2;derivative = diff(fun, x);disp(derivative);(2) gradient函数gradient函数可以计算多变量函数的梯度。

它的语法如下：[g1, g2, ..., gn] = gradient(fun, x1, x2, ..., xn)其中fun是需要计算梯度的函数，x1, x2, ..., xn是自变量。

例如，我们可以计算函数f=x^2+y^2的梯度：syms x y;fun = x^2 + y^2;[gx, gy] = gradient(fun, x, y);disp(gx);disp(gy);以上是MATLAB中进行数值积分和微分的基本方法和函数。

Matlab数值积分与数值微分

Matlab数值积分与数值微分M a t l a b数值积分与数值微分Matlab数值积分1.⼀重数值积分的实现⽅法变步长⾟普森法、⾼斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长⾟普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数⽤于实现变步长⾟普森法求数值积分.调⽤格式为:[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)Fname是函数⽂件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，⾮0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调⽤函数的次数.--------------------------------------------------------------------- 例如：求∫e0.5x sin(x+π)dx3π的值.先建⽴函数⽂件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调⽤quad函数[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365--------------------------------------------------------------------- 例如：分别⽤quad函数和quadl函数求积分∫e0.5x sin(x+π6)dx3π的近似值，⽐较函数调⽤的次数.先建⽴函数⽂件function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));formatlong[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=198[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=365--------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调⽤原函数的次数⽐quad少，并且⽐quad函数求得的数值解更精确.1.2⾼斯-克朗罗德法Matlab提供了⾃适应⾼斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调⽤格式为：[I,err]=quadgk(@fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平⾯上求积分.--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinx1+cos2xdx π的数值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,0,pi)I=2.4674--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinxdx +∞∞的值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2); 再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------1.3梯形积分法对于⼀些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的⼀组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题⽤梯形积分法，其函数是trapz函数，调⽤格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X) X=(x1,x2,…,x n)(x1分区间是[x1,x n]--------------------------------------------------------------------- 例如：已知某次物理实验测得如下表所⽰的两组样本点.现已知变量x和变量y满⾜⼀定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x)，求积分13.39∫f(x)dx1.38的数值.X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39];Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21]; I=trapz(X,Y) I=217.1033---------------------------------------------------------------------例如：⽤梯形积分法求积分：∫e ?x dx 2.51的数值.x=1:0.01:2.5; y=exp(-x); I=trapz(x,y) I= 0.2858---------------------------------------------------------------------2. 多重数值积分的实现重积分的积分函数⼀般是⼆元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如：∫∫f (x,y )dxdy ba dc∫∫∫f(x,y,z)dxdydz b a d cf eMatlab 中有dblquad 函数和triplequad 函数来对上述两个积分实现.调⽤格式为： I=dblquad(@fun,a,b,c,d,tol)I=triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun 为被积函数，[a,b]为x 的积分区间；[c,d]为y 的积分区间；[e,f]为z 的积分区间.Dblquad 函数和triplequad 函数不允许返回调⽤的次数，如果需要知道函数调⽤的次数，则在定义被积函数的m ⽂件中增加⼀个计数变量，统计出被积函数被调⽤的次数.---------------------------------------------------------------------例如:计算⼆重积分I =∫∫√dxdy π2π2π2π2的值.先编写函数⽂件fxy.mfunction f=fxy(x,y) global k; k=k+1;f=sqrt(x.^2+y.^2);再调⽤函数dblquadglobalk; k=0;I=dblquad(@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10) I= 11.8629 k k= 37656---------------------------------------------------------------------例如：求三重积分∫∫∫4xze ?z2y?x 2dxdydz ππ1的值.编写函数⽂件fxyz1.mfunction f=fxyz1(x,y,z)global j;j=j+1;f=4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);调⽤triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad(@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10)I=1.7328jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义f′(x)=limn→0f(x+h)?f(x)hf′(x)=limn→0f(x)?f(x?h)f′(x)=limn→0f(x+h2)?f(x?h2)h上述公式中假设h>0，引进记号：f(x)=f(x+h)f(x)f(x)= f(x)f(xh)δf(x)= f(x+h)?f(x?h)称上述?f(x)、?f(x)、δf(x)为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中⼼差分，当步长h⾜够⼩时，有：f′(x)≈?f(x) hf′(x)≈f(x) f′(x)≈δf(x)f(x) h 、?f(x)h、δf(x)h也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商、中⼼差商.当h⾜够⼩时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意⼀种差商，微分接近于在该点的任意⼀种差分.2.函数导数的求法2.1⽤多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进⾏逼近(插值或拟合)，然后⽤逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2⽤f(x)在点x处的差商作为其导数.3.数值微分的实现⽅法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff，其调⽤格式为：·DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1·DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X,2)=diff(diff(X))·DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按⾏计算差分.--------------------------------------------------------------------- 例如：⽣成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按⾏、按列计算⼆阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025--------------------------------------------------------------------- 例如：设f(x)=√x3+2x2?x+12+√(x+5)6+5x+2求函数f(x)的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f’(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：f′(x)=3x2+4x?12√x3+2x2?x+12+16√()56+5编辑函数⽂件fun7.m和fun8.m functionf=fun7(x)f=sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.^2+4*x-1)/2./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+1/6./(x+5).^(5/6)+5 ;x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);⽤5次多项式拟合曲线dp=polyder(p);对拟合多项式进⾏求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7([x,3.01]))/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8(x);求函数f的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合.--------------------------------------------------------------------- 练习：A.⽤⾼斯-克朗罗德法求积分∫dx1+x2 +∞∞的值并讨论计算⽅法的精确度.（该积分值为π）function f=fun9(x)f=1./(1+x.^2);formatlong[I,err]=quadgk(@fun9,-Inf,Inf)I=err=B.设函数f(x)=sin x⽤不同的办法求该函数的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f′(x)的图像.已知f′(x)=x cos x+cos x cos2x?sin x+2sin x sin2x()2function f=fun10(x)f=sin(x)./(x+cos(2*x));function f=fun11(x)f=(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*sin(x).*sin(2*x))/(x+cos(2 *x)).^2; x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun10(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(fun10([x,3.01]))/0.01;gx=fun11(x);plot(x,dpx,'r:',x,dx,'.g',x,gx,'-k')。

总结matlab计算积分的常用命令

总结matlab 计算积分的常用命令一、问题描述：
总结matlab 计算积分的常用命令，用用实例来展示命令的用法。

二、实验步骤（过程）：
matlab 计算积分的常用命令
（1）利用s=int(fun,a,b)，其中fun 为函数， v 为积分变量， a,b 为积分上下限。

当a,b 缺的时候，默认为求fun 的原函数。

例1：用符号积分命令int 计算积分⎰
xdx x sin 2
MATLAB 编程代码及结果：
若用微分命令diff 验证积分的正确性，代码及结果为：
例2：计算数值积分
⎰⎰≤+++122)1(y x dxdy y x ；
可将此二重积分转化为累次积分
⎰⎰⎰⎰----≤+++=++111112222)1()1(x x y x dydx y x dxdy y x
MATLAB 编程代码及结果：
(2)利用trapz(x,y)梯形积分法，其中x表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。

x；
例：计算数值积分⎰-224dx
MATLAB编程代码及结果：
若用int来实现，则相应的MA TLAB编程与结果为：
可见其相差的结果并不会相差太多，但是当用trapz时，若积分区间的步长不够小，其会影响结果：。

9--matlab数值微积分

DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。例如：

V=vander(1:6); V=V(:,end:-1:1) DV=diff(V) DV=diff(V,1,2) DV=diff(V,2) DV=diff(V,2,2)
三重积分
z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f) 求得三元函数Fun(x,y,z)的重积分, 格式类似 dblquad。
例如：计算：

0

1 1
0 1
( y sin x z cos x)dxdydz
triplequad(@(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x)… ,-1,1,0,1,0,pi)
实验内容
1，分别用quad,trapz,quadl,int积分法计算下面的定积分，并比较结果精度。 x2 1 2 3 2 I= 0 e sin( x )2 x dx 2
I =
1.5 0
1 5 3 x sin( x cos( x))dx 1 x
2、计算下列积分
I =
x2 /2

数值积分
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)• 等都是法经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
基本思想
(1)分割: a=x0< x1< x2< < xn1< xn =b, xi=xixi1; (2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)xi (xi1<xi<xi);