船体外板水平截面展开方法研究

船体外板水平截面展开方法研究郭培军，李学军，唐兴玲，刘四平(中远船务工程集团有限公司技术中心，辽宁 大连 116600)摘 要 应用空间解析几何坐标转换方法建立船体外板局部坐标系，选取外板展开准线，并由参数样条插值和参数样条曲线拟合方法得到准线方程以及各水平截面与外板的交线，从而求得水平截面展开曲线的拱高和交线的实长，最后根据拱高、交线实长和准线展开线得到外板平面展开形状，并为船体生产加工提供外板展开数据，建立了一种基于水平截面的船体外板展开方法。

通过实船设计和生产建造的检验，该方法计算结果可以应用于实际生产。

关键词 外板展开 水平截面展开法 参数样条函数 坐标转换1 引 言各种船舶的外表面大都是由复杂的不可展的空间曲面构成，船体外板根据其弯曲的形状和程度，可以分为平直外板、单曲度外板和双曲度外板三种。

在船舶生产设计过程中，需要将船体双曲度外板进行外板展开并根据展开形状数控套料。

传统的船体外板展开的主要依据是放样提供的已作了板缝排列的肋骨型线图(即包括了船体外板在肋骨型线图上的投影)。

展开的方法有十字线法、测地线法、短程线法等，它们都是基于手工作图产生的展开方法[1]~[3]，其展开形状是一个封闭的平面图形。

目前，国内各大船厂普遍采用了三维船舶设计软件如Tribon 软件，Tribon 中应用等轴变换等方法对船体外板进行展开, 但并不输出直接生产用的数据文件[4]。

为了给生产加工提供如舵外板、艏艉柱包板等类型的船体外板展开数据，本文应用空间解析几何坐标转换、参数样条插值和参数样条曲线拟合等方法，建立局部坐标系和外板展开准线方程，并求得水平截面展开曲线的拱高以及截面与外板交线的实长，进而得到外板的平面展开形状和外板展开数据。

最后将该本文所建立的方法应用于实船生产设计之中。

2 基本原理2.1坐标转换提取全船坐标系xyz 下外板的型值，为了将其展开，建立外板的局部坐标系uvw 。

图1为舵外板的局部坐标系，其坐标原点取作挂舵臂外板上端向艏中点，u 轴取舵水平剖面中心线向艉，取垂直水平面向下为w 轴方向，通过右手定则确定v 轴方向。

应用空间解析几何坐标转换法将全船坐标系xyz 下的外板型值转换到局部坐标系uvw 下：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k kkj j ji i iz z yy x x w v u w v u w v u w v u O M O M OM M M M （1）式中，T w v u M M M )(表示局部坐标系下舵外板型值阵；)(z z y y xx O M O M O M ---表示位移阵；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k kkj j ji i iw v u w v u w v u 表示局部坐标系的u 轴、v 轴和w 轴在全船坐标系中的方向余弦阵；),,(z y x M M M 表示全船坐标系下舵外板型值；),,(z y x O O O 表示局部坐标系原点在全船坐标系中的坐标值。

图1 舵的局部坐标系 图2 曲线段端点的点矢和切矢示意图2.2参数三次样条函数插值原理[5],[6]2.2.1 参数三次曲线段对于任一空间曲线，其参数三次曲线段的表达式为TAU u P =)( （2） 式中：u 为参数，]1,0[∈u ；[]T u z u y u x u P )()()()(=，称为点矢量，其导数)('u P 称为切矢量；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=012301230123z z z z y y y y x x x x a a a a a a a a a a a a A ，为待定系数阵；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=123uu u U 。

给定曲线段首、末端的点矢)1(),0(P P 和切矢)1(),0(''P P （如图2），则可以求得Ferguson 参数三次曲线段的具体表达式为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)1()0()1()0(00010100123311221)(''23P P P P uu u u P （3） 2.2.2合成参数三次样条曲线连续性条件将若干参数三次曲线段拼接成一条完整的曲线，称为合成参数三次样条曲线。

合成曲线内相邻曲线段间应满足如下连续性条件：1）位置连续 )0()1(1+=i i P P （4）2）斜率连续 )1(')1(')0('11i i ii i P P P ξαα==++ （5） 其中，)1()1('i i i t P α=；)0()0('111+++=i i i t P α；i α和1+i α分别为两曲线段在拼接处切失的模长；)0()1(1+==i i t t t 为两曲线段拼接处的单位切矢。

3）曲率连续 )1(')1(")0("21i i i P P P ηξ+=+ （6） 上式几何意义可表述为：为使两曲线段)(i i u P 和)(11++i i u P 拼接时达到曲率连续，曲线段)(11++i i u P 首端的二阶导矢应处在由曲线段)(i i u P 末端二阶导矢)1("i P 和一阶导矢)1('i P 所张成的平面内。

式中η为一常数。

2.2.3合成参数三次样条曲线的构造给定型值点),,1,0(n i P i =，我们可以用型值点处的切矢'i P 表达合成Ferguson 曲线，其连续性方程为：)(3411'1''1-++--=++j j j j j P P P P P ， 1,,2,1-=n j （7）对于空间曲线，上式包含三组方程，分别对应于y x ,和z 坐标。

2.2.4边界条件取曲线两端为自由端边界条件，即0""0==n P P ，则补充方程为：⎩⎨⎧-=+-=+--)(6'4'2)(6'2'4110110n n n n P P P P P P P P （8） 由式（7）和（8）构成方程组，并用追赶法求解),,1,0('n i P i =。

3 外板水平截面展开算法3.1 水平截面展开曲线拱高本文以挂舵臂外板展开为例说明水平截面展开方法。

在2.1所建立的uvw 坐标系下，挂舵臂外板与uow 坐标平面的交线为n B B 0，选取该交线为外板展开准线，并应用参数三次样条函数方法得到准线方程。

挂舵臂外板对uow 坐标平面的投影为00B B A A n n （如图3），将n A A 0分为n 等份，得等分点121,,,-n A A A ，分别求取过点121,,,-n A A A 且平行于u 轴的直线，交准线n B 0于点121,,,-n B B B ，线段112211,,,--n n B A B A B A 即为垂直于平面坐标系uow 截取挂舵臂外板所得到的一组水平截面线，令n n n B A l B A l B A l ===,,,111000 。

每条截面线展开后将为一曲线，称为水平截面展开曲线（如图4）。

以截面线i l 为例说明水平截面展开曲线i i i N B M '拱高的求取方法。

将截面线i i B A 分为m 等份，等分点为121,,,-m E E E ，以各等分点及i A 点为圆心建立圆方程，分别与准线n B B 0相切于m m F F F F ,,,,121- 点，则m i m i i i F A F B F B F B ,,,,121- 的长度即为水平截面展开曲线i i i N B M '的一组拱高，记作m m h h h h ,,,,121- 。

图3 挂舵臂外板投影 图4 挂舵臂外板展开图3.2 水平截面与外板交线的实长为了准确地将挂舵臂外板展开，还需要求得各水平截面与挂舵臂外板的交线以及交线的实长。

截面与外板的交线数据可以根据挂舵臂外板的型值，应用参数样条函数插值的方法得到。

下面来求取水平截面i 与挂舵臂外板的交线i 的实长。

以i B 为原点，i i A B 方向为i u 轴，左舷方向为i v 轴，建立局部坐标系i i i v o u （如图5）。

图中，121,,,-m E E E 为截面展开曲线拱高求取时，截面线i i B A 的等分点。

求取过点i m A E E E ,,,,121- 且垂直于i u 轴垂线，与i u 轴两侧曲线的交点分别为m C C C ,,,21 和m D D D ,,,21 ，应用参数样条函数拟合交线i ，进而求得交线上各曲线段m m i C C C C C o 1211,,,- 的实长，记为m s s s ,,,21 。

同理求得m m i D D D D D o 1211,,,- 的实际长度，记为m s s s ',,','21 。

ji图5 截面与挂舵臂外板交线3.3 挂舵臂外板的展开建立如图4所示'''w o v 坐标系，在'w 轴上求取点1'B ，使得101''B B B o =，其中，10B B 为图3中准线上0B 点到1B 点之间的曲线段长度。

同理，可依次在'w 轴上得到n B B B ',,','32 点，则线段n B o ''即为准线展开线。

通过3.1和3.2求得了水平截面展开曲线拱高以及交线上各对应点之间的曲线段实长，下面根据该结果将水平截面i 与挂舵臂外板的交线i 展开到平面上。

以i B '点为圆心，分别以m m h h h h ,,,,121- 为半径建立圆方程，与'w 轴正向分别交于点m m F F F F ,,,,121- 。

求得过m m F F F F ,,,,121- 点且垂直于'w 轴的垂线，并建立以i B '点为圆心，1s 为半径的圆方程，与过1F 点的垂线交于2点，取'v 坐标值大者为1'C 点，然后再建立以1'C 为圆心，2s 为半径的圆方程，与过2F 点的垂线也交于2点，取'v 坐标值大者为2'C 点，以此类推，可以得到一组点m C C C ',,','21 ，同理可得到点m D D D ',,','21 。

应用参数三次样条函数将点m i m m D D D B C C C ',,',',',',,','2111 拟合为曲线，即得到交线i 的水平截面展开曲线i i iN B M '，同理求得其它交线的截面展开曲线。

分别将点n M M M ,,,10 和n N N N ,,,10 用参数三次样条函数拟合为曲线，最后得到挂舵臂外板的平面展开形状（如图4）。