习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

合集下载

高等代数-第5章习题及解答

习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得即得证A 又A 故，则A 或但，因此无论那一种情形都有此即，但所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ）故A B)AC ）AB C ）于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明：是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。

线性代数学习指导第四章线性空间

第五章线性空间一、内容提要⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n ．注向量组12,,,n ααα是V 的一组基⇔12,,,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V中的任一向量α可由12,,,n ααα线性表示.向量组12,,,s ααα生成的空间L (12,,,s ααα)的一组基就是12,,,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s ααα的秩.定义3 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若1122n n x x x αααα=+++则称数12,,,n x x x 为向量α 在基12,,,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.定义4 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C (1)称C 为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵,（1）式称为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的基变换公式．定理1 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,nααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即（12,,,n βββ）=（12,,,n ααα）C若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射（一一对应）σ, 且σ具有如下性质：,,(1) ()()()(2) ()()V k Pk k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.注数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,（α,α）= 0这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=., , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数（）为向量的长度或模,α记作即,ααα=（）向量αα是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化．βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为(),arccosαβωαβ=⋅ （ 0 ≤ ω ≤ π）若(,)αβ= 0, 则称α与β正交（或垂直）, 记作βα⊥ ．5.向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,,n ααα两两正交且都为单位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.向量组12,,,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是()01ij i ji j αα≠⎧=⎨=⎩,,, ,1,2,,i j n =.任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,,m βββ, 且12,,,m βββ与12,,,m ααα等价.取 11αβ=, ()()1222111βαβαβββ=-,,,()()()()()()121121112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=----（i = 3 , 4 , …, m ）将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令iii ββη=（i = 1 , 2 , … , m ）则得到一个与原向量组12,,,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.6. 正交矩阵定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若TQ Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：（1）若Q 为正交阵，则 Q = 1 或－1 ；（2）若Q 为正交阵，则Q 可逆，且 1-Q=T Q ；（3）若P ，Q 都是n 阶正交矩阵，则P Q 也是n 阶正交矩阵；（4）n 阶实矩阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的列（行）向量组是n R 的标准正交基.二、重点难点1. 判定集合是否构成线性空间.2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式.3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明.4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化.5. 正交矩阵的概念及其性质.三、学习要求1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式.2. 了解线性空间同构的概念.3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质.4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.5. 掌握正交矩阵的概念及其性质.四、典型题分析例1 全体n 维实向量集合V , 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算,,k V k R ααα=∈∈其中是否构成实数域上的线性空间.解设,, k l R α∈是集合V 中的非零向量.因为()2k l k l ααααααα+=+=+=而,所以()k l k l ααα+≠+, 故此集合不构成实数域上的线性空间.注检验集合是否构成线性空间的方法:如果所定义的加法和数乘运算是通常意义下的加法和数乘运算, 则它们满足线性运算的八条运算规则, 因此只需检验集合对运算的封闭性. 如果所定义的加法和数乘运算不是通常意义下的加法数乘运算, 则不仅要检验集合对运算的封闭性, 还要仔细检验加法和数乘运算是否满足八条线性运算规律. 例2 求向量空间(){1212,,,0,,1,2,,,n n i V x x x x x x x R i n =+++=∈=}2n ≥的基和维数.分析先找出向量空间V 的一组基, 即找出一组线性无关的向量, 使得V 中任一向量可由这组向量线性表示.解在向量空间V 中取1n -个向量1(1,1,0,0,,0)α=-, 2(1,0,1,0,,0)α=-,,1(1,0,0,,0,1)n α-=-, 显然121,,,n ααα-线性无关.对V 中任一向量12(,,,)n x x x α=, 以121,,,,n αααα-为行构造矩阵A ,则1123110010101001ni i nA x x x x x =--===-∑, 从而121,,,,n αααα-线性相关, 又因为121,,,n ααα-线性无关, 所以α可由121,,,n ααα-线性表示.故121,,,n ααα-是V 的基, V 的维数是1n -.注这个向量空间V 就是齐次线性方程组120n x x x +++=的解空间, V 的一组基就是齐次线性方程组的一个基础解系. 例3 设12,,,n t t t 是互不相同的实数,证明向量组21(1,,,,),1,2,,n i i i i t t t i n α-==是n 维向量空间n R 中的一组基. 并求出向量()12,,,n b b b β=在这组基下的坐标.分析 12,,,n ααα是n 维向量空间n R 中的n 个向量, 只需证明12,,,n ααα线性无关即可.证令21111121222221111n n n n nnn t t t t t t A t t t ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数,所以()121111121110n T ji i j nn n n nt t t A A tt ttt≤<≤---===-≠∏⇒12,,,n ααα线性无关.所以12,,,n ααα是n 个线性无关的n 维向量, 构成n 维向量空间n R 中的一组基. 设β在基12,,,n ααα下的坐标为()12,,,n x x x , 则有1122n n x x x βααα=+++⇒β=()()121212,,,,,,n n n x x x x x x A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为A 可逆, 所以()112,,,n x x x A β-=. 故β在基12,,,n ααα下的坐标为1A β-.例4 设3R 中的向量α在基1231032,1,2111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且11232123132y x x x y x x y x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ （1）123123,,,,;βββααα求由基到基的过渡矩阵（2）求基123,,βββ. 解 (1)由题有111232123233(,,)(,,)x y x y x y ααααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112323111(,,)110102x x x βββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123111(,,)(,,)110102αααβββ--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(*),所以123123,,,,C βββααα由基到基的过渡矩阵=111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 由（*）式得123(,,)βββ=123(,,)ααα1111110102---⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭123(,,)ααα=221231110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭111431342--⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭,故1231114,3,1342βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例 5 设,a b 是欧氏空间中的任意向量, 证明平行四边形法则(对角线的平方和等于四边的平方和).证设,a b 是平行四边形的两条邻边, 则a b a b +-和为两条对角线. 因为22(,)(,)a b a b a b a b a b a b ++-=+++--(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)a a a b b b a a a b b b =+++-+ 222()a b =+.所以平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.例 6 1212,,,,(,)0i j ααββαβ=设线性无关线性无关且满足, 1,2,1,2.i j ==证明:1212,,,ααββ线性无关.证设有数1212,,,,k k λλ使得112211220k k ααλβλβ+++= (*) 上式两边分别与12,αα做内积, 由(,)0i j αβ=,1,2,1,2.i j ==得111221112222(,)(,)0(,)(,)0k k k k αααααααα+=⎧⎨+=⎩ (**) 由柯西-布捏柯夫斯基不等式及12,αα线性无关得112121122211222(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)αααααααααααααα=->.故方程组(**)只有零解120k k ==, 将其代入(*), 由已知12,ββ线性无关, 得120λλ==. 于是得1212,,,ααββ线性无关.例7 将R 3的一组基1231100,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )利用施密持正交化方法将其正交化取1110,1βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1222111111/2(,)1101 (,)2011/2βαβαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,132333*********/22/3(,)(,)11/21012/323/2(,)(,)111/22/3βαβαβαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123,,βββ则是正交向量组.(2 ) 将123,,βββ单位化11122233322, 62, 3, 3T T Tβββββββββ====3121231236320, 26, 3 263βββηηηβββ⎡⎤⎡-⎡⎢⎥⎢⎢∴======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦,则123,,ηηη为R 3的一组标准正交基.例8 设m+n 阶矩阵P O A R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中P , Q 分别是m , n 阶矩阵, O 为零矩阵.证明: 若A 为正交矩阵, 则P 和Q 也是正交矩阵且R 为零矩阵. 分析用正交矩阵的定义证证由题知TT TTT P R A OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因A 为正交矩阵, 所以 TT T T T mT TT T T n E P O P R P P R R R Q A A E R Q OQ Q R Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 上式最后一个等号两边比较得 T n Q Q E Q =⇒为n 阶正交矩阵.T R Q O =且Q 可逆⇒R O =.T T m P P R R E +=且R O =T m P P E ⇒=⇒P 是m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;()(8)()().a b ab ab a b a b a b λλλλλλλλλ⊕====⊕=⊕所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为A B AB BA ⊕=-按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.,()A B AB BA B A BA AB AB BA ⊕=-⊕=-=--A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性.解设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 3 1 , , a a =-=或时方程组有非零解这组向量线性相关. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111，=，=，=，3010解设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 解设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3）已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 10110111100011101110101101000011 1100110100100112100111000011113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组1234512345123453642022353056860x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.316421568622353043751568600000A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 解 22221(1)2315α=+-++.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2222(12)(10)(01)(13)7αβ-=-+--+-+-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,22222222122318,31516,αβ+++=+++=,4618πβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,11147α=+++, 911011β=+++=,77αβ∴=.3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+. 证明因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-22(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2αγαγαγγβγβαγγβγβαγαγαγγβγβγβαγαγγβγβ=--+--+--+--=--+--+--≤-+-⋅-+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.解设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交, 则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即（*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231,2,1111ααα ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 132********1122113121020(1)()1(,)(,)2333100121(,)(,)3()()()11333123βαβαβαββββββ⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎪-⨯+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化***123362,,036236βββ⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组123451235300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113111011110100014---⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得齐次线性方程组的一个基础解系123100,,010004001ηηη ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组***12311/21/311/21/33,,011/326213004001βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则⎩⎨⎧=≠====j i j i A A A A A A j T i j T T i j T i j i10)()()(),(αααααααα (,1,2,,)i j n = 故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明112321233123111(22),(22),(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的一组标准正交基. 证明由题知()()1231232211,,,,2123122βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因为是一组标准正交基,且的行向量组是单位正交向量组.()1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以和都是正交矩阵.()123,,.βββ从而也是正交矩阵123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算 ()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 . 解因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 （B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 331231223311223311223123123123123,,( )() ,, ()2,23,3() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.解因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆，所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.33123122313122331122313122313,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 解因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵选（B ）(B)1．已知4R 的两组基（Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解（１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*）齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈．故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.312312313123122323133123123123123123,, ,, ,, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是的基,向量组满足证明是的基;(2)求由基到基的过渡矩阵求向量在基下的坐标.解 ( 1 ) 由题有123123110101(,,)011(,,)110101111βββααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒123123001(,,)(,,)100111222βββααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为412341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=，，且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.证明设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++= 即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基. 设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++ 则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）. 5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 020010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E = 001002200100100010001a b a c bc ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222101002201001000102a ac acbc ⎛⎫++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪++⎪⎭⇒2221120 21a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩①121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明因为α 是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T T T T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2224444()()T T T T T TTTTTE E Eαααααααααααααααααααα=-+=-+=故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明因为A E E E A TTTTTTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=, 所以A 为正交阵.8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明证明因为, ,A B n 均为阶正交矩阵所以0T A A =≠且T T T T T T TA AB E A B B B A B B A BB A B B A B+=+=+=+⋅=+⋅=⋅+（）()0200T A B A B A A B A B ⇒-⋅+=⇒⋅+=⇒+=.。

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a aa a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭. 习题5.21．讨论22P ⨯中的线性相关性.解设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中解设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3）已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪- ⎪∴=⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题5.41．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解 215α. 2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2()7αβ-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,, （3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,,4παβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,α==, β=,β∴=.3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题5.51．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.解设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交,则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即（*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基.3．求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明:1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i10),(αααα (,1,2,i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明也是V 的一组标准正交基. 证明由题知123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111（B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ）(){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 解因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆，所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.解因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ). (A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）. 7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵选（B ）(B)1．已知4R 的两组基（Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解（１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*）齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈．故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 ( 1 ) 由题有因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）.5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 ???是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T TE A αααα）（/2-=为正交矩阵.证明因为???是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T TT T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明因为A E E E A T T T T TTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=,所以A 为正交阵.证明因为, ,A B n 均为阶正交矩阵所以0T A A =≠且。

高等代数习题及答案

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。

（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。

（）3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。

（）4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。

（）5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。

（）6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。

（） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（）10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==ni i i x 1αβ，那么∑==ni ix12β。

（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

2、设D 是一个n 阶行列式，那么（）①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。

高等代数复习题

高等代数复习题高等代数复习题高等代数是数学中的一门重要课程，它涉及到向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。

在学习高等代数的过程中，掌握和理解相关的概念和定理是非常重要的。

为了帮助大家复习高等代数，下面将给出一些复习题，希望对大家的复习有所帮助。

1. 向量空间1.1 定义：什么是向量空间？请列举出向量空间的几个基本性质。

1.2 线性相关性：给定一组向量，如何判断它们是否线性相关？请举例说明。

1.3 基和维数：什么是基？什么是维数？请证明向量空间的任意两个基的维数相同。

2. 线性变换2.1 定义：什么是线性变换？请给出线性变换的一个例子。

2.2 线性变换的性质：线性变换是否满足加法和数乘的封闭性？请证明。

2.3 核和像：什么是线性变换的核和像？请解释它们的意义。

3. 矩阵理论3.1 矩阵的运算：给定两个矩阵A和B，如何计算它们的和、差和乘积？3.2 矩阵的秩：什么是矩阵的秩？请举例说明如何求矩阵的秩。

3.3 矩阵的特征值和特征向量：什么是矩阵的特征值和特征向量？请给出计算矩阵特征值和特征向量的方法。

4. 线性方程组4.1 解的存在性和唯一性：对于一个线性方程组，什么条件下它有解？有解时解是否唯一？请给出相应的定理和证明。

4.2 齐次线性方程组：什么是齐次线性方程组？请给出求解齐次线性方程组的方法。

4.3 非齐次线性方程组：什么是非齐次线性方程组？请给出求解非齐次线性方程组的方法。

5. 特殊矩阵5.1 对称矩阵：什么是对称矩阵？请给出对称矩阵的一个例子。

5.2 正交矩阵：什么是正交矩阵？请给出正交矩阵的一个例子。

5.3 相似矩阵：什么是相似矩阵？相似矩阵有什么特点？以上是一些高等代数的复习题，希望能够帮助大家回顾和巩固相关的知识。

在复习过程中，要注重理解概念和定理的含义，并能够熟练运用相关的方法和技巧。

通过大量的练习和思考，相信大家一定能够在高等代数中取得好成绩。

高等代数是数学中的一门基础课程，也是后续学习其他数学分支的重要基础。

高等代数习题精选精讲

高等代数习题精选精讲高等代数是数学中非常重要的一个研究方向，它不仅深刻地影响了很多数学分支的发展，也对其他学科产生了广泛的影响。

作为数学领域中的一个重要学科，高等代数的习题也是非常重要的一部分。

本文将精选几道高等代数习题，帮助读者更好地掌握和应用高等代数的相关知识。

1. 对于一个域F上的矩阵A，如果它满足A²=I，其中I表示单位矩阵。

请问，A的行列式是多少？解: 首先，根据特征值的性质，A的特征值必须是1或-1，因为从A²=I可以推出A的特征值一定是这两个值之一。

又因为A的两个特征值都不为0，所以A可逆，因此有det(A)≠0。

考虑如果A 的特征值都是1，则A=I；如果特征值都是-1，则A=-I。

因此，要么det(A)=1，要么det(A)=-1，这取决于矩阵A的实际情况。

2. 设有一个域F上的线性空间V和它的两个子空间U和W，如果V=U⊕W，则有什么性质？解: 首先，由V=U⊕W可知，任何向量v∈V都可以唯一地表示为v=u+w，其中u∈U，w∈W。

又因为U和W是子空间，所以它们都有零向量0，即u+w=0当且仅当u=0且w=0。

由于向量v可以被唯一地表示为u和w的和，如果v=0，则必有u=0且w=0，即U∩W={0}。

因此，V的维数等于U的维数加上W的维数。

此外，任何向量v∈V都可以表示为U和W中向量的线性组合，证明了V=U+W。

3. 将一个4行3列的矩阵A按列分成两个2行3列的矩阵B和C，设D=B-C的转置，求D的秩。

解: 首先，由于A是一个4行3列的矩阵，所以B和C都是2行3列的矩阵，因此D是一个3行2列的矩阵。

又因为D=B-C的转置，所以D的转置为D的相反数，即D+(-D^T)=0。

因此，D和它的转置具有相同的秩，即rank(D)=rank(D^T)。

又因为D和C的列空间相同，所以rank(D)=rank(C)。

综上所述，只需求出C的秩即可。

C是一个2行3列矩阵，其列向量线性无关的充要条件是它的行列式不为0，而C的行列式是0。

云南省考研数学复习资料高等代数重点习题解析

云南省考研数学复习资料高等代数重点习题解析高等代数是数学专业考研的重要科目之一，对于考生来说，掌握高等代数的重点知识和解题方法是提升成绩的关键。

本文将针对云南省考研数学复习资料中的高等代数部分，对一些重点习题进行解析，帮助考生更好地复习备考。

一、矩阵与行列式1. 已知A为n阶方阵，且满足A^2=I，证明A的特征值只能是1或-1。

解析：首先根据矩阵的特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为对应的特征向量。

由于A^2=I，我们有A^2x=Ix=x。

展开计算可以得到(A^2-λ^2I)x=0。

由于特征值不全为0，所以可以消去左边的矩阵，得到(A+λI)(A-λI)x=0。

根据矩阵的奇异性质，当(A+λI)x=0或(A-λI)x=0时，存在非零向量x使得方程成立。

因此，A+λI和A-λI是奇异矩阵，即它们的行列式为0。

解得λ^2=1，即λ=±1。

2. 证明：对任意n阶方阵A和B，有det(AB)=det(A)det(B)。

解析：根据行列式的定义，可以得到det(AB)=|AB|=|A||B|，其中|A|和|B|分别表示方阵A和B的行列式值。

因此，我们只需证明|A||B|=det(A)det(B)。

考虑到行列式的性质，|A||B|=|AB|，所以只需证明|AB|=det(A)det(B)。

展开|AB|的定义，可以得到行列式的乘积展开式，由于行列式展开式是通过对A的一行（或一列）进行展开，而对应乘积展开式也是通过对A的一行（或一列）展开，因此它们的结果是相同的。

所以，|AB|=det(A)det(B)。

二、向量空间1. 已知向量空间V是实数域上的n维列向量组成的集合，证明V是向量空间。

解析：要证明V是向量空间，需要满足向量空间的八条性质。

首先，V中的向量满足加法封闭性和数乘封闭性，即对于任意两个向量x和y∈V，有x+y和kx∈V。

其次，V中存在零向量0，使得对于任意向量x∈V，有x+0=x。

习题与复习题详解线性空间高等代数

习题与复习题详解线性空间高等代数集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==;(5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中的线性相关性.解设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中解设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩. 由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443 （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3）已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. （3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数. 5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T ，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解α.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解(,)d αβ=αβ-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,,（2） ()()12233151αβ==,,,，,,,（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,,4παβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,α==β==,αβ∴=3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+- 所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.解设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交,则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即（*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基.5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明也是V 的一组标准正交基. 证明由题知123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1. 3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量,故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1.故答案为12a =.二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111（B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213 (D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解向量组A =123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）.解因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆，所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.解因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）.7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵选（B ）(B)1．已知4R 的两组基（Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,,( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解（１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*）齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈．故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 ( 1 ) 由题有因0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )112341234123411112(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）.5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明因为是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT TT T TA E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, 所以22T T T TTA A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==--⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设T E A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明因为A E E E A T T T T T T T =-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=,所以A 为正交阵.证明因为, ,A B n 均为阶正交矩阵所以0T A A =≠且。

高代复习题及答案

V 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 4 0 .求 V 1 V 2 与 V 1 V 2 的基与维数.
33.设 V 是 3 维线性空间， 1 , 2 , 3 为它的一个基.线性变换 : V V ，
x1 1 x 2 2 x 3 3 2 x1 1 3 x 2 2 4 x 3 3
1 40.设 1 , 2 , 3 是 3 维欧氏空间 V 的一组基，这组基的度量矩阵为 1 2
1
（3） V
(0)
(V ) .
2.已知是 n 维欧氏空间的正交变换，证明：的不变子空间 W 的正交补 W 也是的不变子空
间．
1 0 3.已知复系数矩阵 A 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 ， 2 1
（1）求矩阵 A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）求矩阵 A 的若当标准形.（15 分）
6.设 A 为 n 阶方阵，
W1 x R | Ax 0 ， W 2 x R | ( A E ) x 0
n n
n 证明 A 为幂等矩阵，则 R W 1 W 2 .
7.若设 W= f ( x ) f (1) 0 , f ( x ) R [ x ] n , 试证：W 是 R [ x ] n 的子空间，并求出 W 的一组基及维数.
2 3
3 。 6
（１）证明： ( x , y ) 是 R 2 的内积，因而 R 2 按此内积构成一个欧氏空间，（２）求 R 2 的一组标准正交基，（３）求矩阵 P ，使得 A P P .
32.设 R 4 的两个子空间为： V 1

《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答

习题七A 组1．填空题（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)--生成的向量空间的维数是．解 2．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V ，则它的维数是．解 6．（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间[]2P x ，其中的元素2()1f x x x =++在基1,1,(1)(2)x x x ---下的坐标是．解 T (3,4,1)．（4）设1231010,1,1110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα是向量空间3V 的一个基，则向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α在该基下的坐标是．解 T111,,222⎛⎫⎪⎝⎭．（5）二维向量空间2R 中从基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到另一个基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵是．解 2312⎛⎫⎪--⎝⎭．（6）三维向量空间中的线性变换(,,)(,,)T x y z x y x y z =+-在标准基1(1,0,0)=e ，2(0,1,0)=e ，3(0,0,1)=e 下对应的矩阵是．解 110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．2. 选择题（1）下列说法中正确的是．（A ）任何线性空间中一定含有零向量；（B ）由r 个向量生成的子空间一定是r 维的；（C ）次数为n 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；（D ）在n 维向量空间V 中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V 的子空间．（2）下列说法中错误的是．（A ）若向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（B ）若n 维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（C ）若1n -维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα不是V 的一个基；（D ）n 维向量空间V 的任一个基必定含有n 个向量．（3）下列3维向量的集合中，是3R 的子空间．（A ）{}123123123(,,)0;,,x x x x x x x x x ⋅⋅≤∈R ；（B ）{}222123123123(,,)1;,,x x x x x x x x x ++=∈R ；（C ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ==∈R ；（D ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ≥≥∈R . （4）在2V 中，下列向量集合构成子空间的是．（A ）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合；（B ）(0,0)组成的集合；（C ）所有形如(,1)x 的向量组成的集合；（D ）满足1x y +=的所有(,)x y 组成的集合．（5）2V 的下列变换不是线性变换．（A ）(,)(0,0)T x y =；（B ）(,)(,)T x y ax by cx dy =++，,,,a b c d 是实数；（C ）(,)(,1)T x y x y =+；（D ）(,)(0,)T x y x y =-．解（1）A ; （2）A ; （3）C ; （4）B ；（5）C ． 3．验证：（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体1S ；（2）2阶对称矩阵的全体2S ，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解 (1)任取11,S S ∈∈A B ，,ac be d af b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，其中,,,,,a b c d e f 表示任意实数，则对于任意的,k λ∈R ，有线性运算的封闭性成立：1ka bkc e k S kd fka b λλλλλ++⎛⎫+=∈⎪+--⎝⎭A B ．1S 的一个基是100100,,010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)任取22,S S ∈∈A B ，对于任意的,k λ∈R ，都满足运算成立：T T T 2()k k k S λλλ+=+=+∈A B A B A B ．2S 的一个基是100001,,000110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．验证：与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量的集合记作V ，T T (1,1,1),(1,0,1)V ==∈αβ，但T(0,1,0)V -=∉αβ，所以V 不是线性空间．5．设U 是线性空间V 的一个子空间，证明：若U 与V 的维数相等，则U =V ．证明设12,,,r ααα是U 的一个基，因为U V ⊆，所以12,,,r V ∈ααα．对于任意的V ∈α，必定可被12,,,r ααα线性表示，否则与“U 与V 的维数相等”矛盾．由α的任意性知V U ⊆，从而U =V ．6. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1) 110,,0a W a b c b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ； (2) 100,,,00a b W a b c a b c c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ．解 (1)不构成．由于1100000W ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭A B 但 1200000W ⎛⎫+=∉ ⎪⎝⎭A B ，即1W 对矩阵加法不封闭．(2) 构成．任取1122221200,0000a b a b W W c c ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ，有1112220,0a b c a b c ++=++=，121212000a a b bc c ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A B ．于是1212120a a b b c c +++++=，1212212000a a b bW c c ++⎛⎫+=∈ ⎪+⎝⎭A B ．对任意k ∈R ，111000ka kb k kc ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1110ka kb kc ++=，所以2k W ∈A ．2W 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以2W 构成子空间．7. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合1W ；（2）由所有满足2=A A 的矩阵组成的集合2W ．解 (1) 不构成．取10,00⎛⎫=⎪⎝⎭A 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，1,W ∈A B ，但是10,1,01⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭A B A B 因此1W +∉A B ，加法不封闭．(2) 不构成．取单位矩阵1001⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，2=E E ，2W ∈E ，但2(2)42=≠E E E ，所以22W ∉E ，数乘不封闭．8. 在3R 中求向量T (2,7,6)=-α在基T T T123(2,0,1),(1,3,2),(2,1,1)=-==-ααα下的坐标．解设所求坐标为T123(,,)x x x ，则1232312322270362x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得T T 123(,,)(1,2,1)x x x =-． 9．3R 中两个基为T T T 123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)==-=ααα；T T T 123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,5)===βββ，求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵．解设123123(,,)(,,)=P βββααα，则1123123(,,)(,,)-=P αααβββ1111123234100234011111145100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．10．在3R 中，取两个基T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ；T T T 123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)===ααα，（1）求由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵；（2）已知由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为110011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求123,,βββ；（3）已知α在基123,,βββ下的坐标为T (1,2,3)，求α在基123,,ααα下的坐标．解（1）因为123123111(,,)(,,)011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭e e e ααα，所以基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）由于123123*********(,,)(,,)011011010001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A βββααα，故 T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===βββ．（3）设α在基123,,ααα下的坐标为T 123(,,)x x x ，则有112323(,,)x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα，又12312311(,,)2(,,)233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A αβββααα，从而123111011201121300133x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 11．在3R 中取两个基T T 11T T 22T T33T T 44(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1),(6,6,1,3).⎧⎧==-⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩e e e e αααα （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标；（3）求在两个基下有相同坐标的向量．解 (1) 因为123412342561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭e e e e αααα，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ． (2) 设向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标为T1234(,,,)y y y y ，则1112221234333444(,,,)x y y x y y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααα，所以，11112221333444256133611211013y x x y x x y x x y x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 123412927331129231900182773926x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭． (3) 设向量T 1234(,,,)x x x x =α在两个基下有相同的坐标，则112212343344(,,,)x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e E α，112212343344(,,,)x x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα，所以 1234()x x x x ⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E 0，解得T (1,1,1,1),k k =-∈R α． 12．说明xOy 平面上变换x x T y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的几何意义，其中(1) 1001-⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (2) 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭A ；(3) 0110⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (4) 0110⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．解 (1)1001x x x x T y y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于y 轴对称；(2)00001x x x T y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，投影到y 轴；(3)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于直线y x =对称；(4)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，顺时针旋转90．13．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个(1)2n n +维线性空间．给定n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换T ()T =A P AP称为合同变换．证明合同变换T 是V 中的线性变换．证明设,V ∈A B ，k ∈R ，则T T ,==A A B B ，所以T ()+=+A B A B ，T ()k k =A A ．从而+A B 与k A 是对称矩阵．又因为T T T ()()()()T T T +=+=+=+A B P A B P P AP P BP A B ，T T ()()()T k k k kT ===A P A P P AP A ，所以T 是V 中的线性变换．14．设3R 中123,,ααα是一个基，且线性变换T 在此基下的矩阵为460350361⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）证明123312,,2-++-+αααααα也是3R 的一个基；（2）求线性变换T 在此基下的矩阵．证明（1）令112323312,,2=-++==-+βαααβαβαα，可解得1123,=--αβββ 212322=--αβββ， 32=αβ，这说明了123,,ααα和123,,βββ可以相互线性表示，从而它们等价，所以123,,βββ是3R 的一个基．（2）设线性变换T 在基123,,βββ下的矩阵是B ，并设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是P ，则1-=B P AP ，由条件知102101110--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，得1120121110-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭P ，从而 1200010001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B P AP ．15．函数集合{}23210210(),,xV a x a x a e a a a ==++∈R α对于函数的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基2123,,x x x x e xe e ===ααα，求微分运算D 在这个基下的矩阵．解因为21123()220x x D x e xe =+=++αααα， 2123()0x x D e xe =+=++αααα，3123()00x D e ==++αααα，所以微分运算D 在这个基下的矩阵为100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．16．二阶对称矩阵的全体12312323,,x x V x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R A 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基123100100,,001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，在3V 中定义合同变换1011()1101T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ，求T 在基123,,A A A 下的矩阵．解因为11123101110101111()110111000111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A A ，2223101110011101()2110111100112T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A ，333101110001100()110111010101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，123123100((),(),())(,,)110121T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A ，所以T 在基123,,A A A 下的矩阵为100110121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．17．设A 是一个正定矩阵，向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y ==αβ．在nR 中定义内积 [],αβ为[]T ,=A αβαβ．证明在这个定义之下，n R 是一个Euclid 空间．证明按定义证明满足以下四条性质即可．（1）对称性 [][]T T T T T T ,(),=====A A A A αβαβαββαβαβα．（2）线性加性 [][][]TT T ,(),,+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ．（3）线性齐性 [][]T T ,()(),k k k k ===A A αβαβαβαβ．（4）非负性由于A 是正定矩阵，所以[]T ,=A αααα是个正定二次型，从而[],0≥αα，当且仅当=0α时[],0=αα．18．设V 是一个n 维Euclid 空间，≠0α是V 中一固定向量，证明：[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V的一个子空间．证明因为1V ∈0，所以1V 非空．再证1V 对两种运算封闭．任给121,V ∈x x ，即[][]12,0,,0==x αx α，根据V 的线性加性有[][][]1212,,,+=+=x x αx αx α000+=，从而可知121V +∈x x ．另一方面，由[][]11,,0k k ==x αx α可知，11k V ∈x ．此即证得[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V 的一个子空间．B 组1．求二阶矩阵构成的线性空间22⨯R中元素0123⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 在基10111⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，21011⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，31101⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，41110⎛⎫= ⎪⎝⎭G 下的坐标.解设11223344k k k k =+++A G G G G ，则234134124123 0,1, 2, 3,k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 解得12340,1,2,3k k k k ==-=-=，所求坐标为T (0,1,2,3)--. 2．在二阶矩阵构成的线性空间22⨯R 中，（1）求基123410010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E E E E到基123421035366,,,11102113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F F F F的过渡矩阵；（2）分别求向量11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭M 在基1234,,,E E E E 和基1234,,,F F F F 下的坐标；（3）求一个非零向量A ，使得A 在这两个基下的坐标相等．解（1）因为112342=+-+F E E E E ， 21234030=+++F E E E E ， 31234532=+++F E E E E ， 41234663=+++F E E E E ，即1234123420561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭F F F F E E E E ，所以，基1234,,,E E E E 到基1234,,,F F F F 的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）显然11121111222132242122a a a a a a a a ⎛⎫==+++⎪⎝⎭M E E E E ，得到M 在基1234,,,E E E E 下的坐标为T 11122122(,,,)a a a a ．设M 在基1234,,,F F F F 下的坐标为T 1234(,,,)y y y y ，则111212342122(,,,)a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M E E E E 1122123412343344(,,,)(,,,)y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F F F F E E E E P ，得111112121213212142222411119391412327932712003371126279327y a a y a a y a a y a a -⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭P 1112212211122122112211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭．（3）解方程111221221111122122122111222211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭，得11122122a a a a ===-，所以11,011k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭A ．3. 设T 是四维线性空间V 的线性变换，T 在V 的基1234,,,αααα下的矩阵为1222265200120026----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A 求T 在V 的基11212323434,,,==-+=-+=-+βαβααβααβαα下的矩阵.解 12341234(,,,)(,,,)=P ββββαααα，其中1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P , 所求矩阵11300240000130024-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P AP . 4. 设12,,,n ααα是n R 的一个基．(1) 证明11212312,,,,n ++++++ααααααααα也是n R 的一个基；(2) 求由基12,,,n ααα到基11212312,,,,n ++++++ααααααααα的过渡矩阵；(3) 求向量α在基12,,,n ααα下的坐标T 12(,,,)n x x x 和在基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα下的坐标T 12(,,,)n y y y 间的变换公式.解 (1) 因为()()1121231212111011,,,,,,,001n n ⎛⎫⎪⎪++++++= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααα，所以111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，10=≠P ，P 可逆，从而向量组1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα与向量组12,,,n ααα等价，而12,,,n ααα是n R 的一个基，所以1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα也是n R 的一个基．(2) 由基12,,,n ααα到基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ． (3) 坐标变换公式为11111222211100000110001110010001100011000100001100001n n n n y x x x y x x x y x x x ---⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭P ． 5. 设12,,,n ααα是V 的一个基，且()()1212,,,,,,n n =A βββααα，证明12,,,n βββ是V的一个基的充分必要条件是矩阵A 为可逆矩阵．证明由于12,,,n ααα线性无关，注意到()()112211221212,,,,,,n n n n n n k k kkk k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ββββββααα，可得12,,,n βββ是V 的一个基⇔12,,,n βββ线性无关⇔1122n n k k k +++=0βββ时，必定有120n k k k ====⇔()1212,,,0n n k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ααα时，必定有120n k k k ====⇔12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0时，必定有120n k k k ====⇔齐次线性方程组=Ax 0只有零解 ⇔0≠A ⇔A 是可逆矩阵．6. 设12,V V 是线性空间V 的两个不同的子空间，且1V V ≠，2V V ≠，证明在V 中存在向量α，使得12,V V ∉∉αα同时成立．证明由于1V V ≠，2V V ≠，于是在V 中存在向量,αβ，使得12,V V ∉∉αβ成立．若2V ∉α，则α即为所求．若2V ∈α，则对任意数k ，有2k V +∉αβ．否则，由于2V ∈α和2k V +∈αβ，可得2()k k V +-=∈αβαβ，与假设矛盾．于是，取12k k ≠，则11k V +∈αβ与21k V +∈αβ不能同时成立，否则12121()()()k k k k V +-+=-∈αβαβα，有1V ∈α，矛盾．故11k V +∉αβ与21k V +∉αβ至少有一个成立，不妨设11k V +∉αβ，又12k V +∉αβ，因此1k +αβ即为所求． 7. 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两个基，证明（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合1V 是V 的子空间；（2）设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是P ，若()R r -=E P ，则1dim V n r =-；（3）若V 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则1122,,,n n ===αβαβαβ．证明（1）设1,V ∈αβ，即11221122n n n n x x x x x x =+++=+++ααααβββ， 11221122n n n n y y y y y y =+++=+++βαααβββ．则111222111222()()()()()()n n n n n n x y x y x y x y x y x y +=++++++=++++++αβαααβββ，1122n n k kx kx kx =+++αααα1122n n kx kx kx =+++βββ，即+αβ，k α在这两个基下的坐标也完全相同，于是1V +∈αβ，1k V ∈α，从而1V 是V 的子空间．（2）设α是1V 中任一向量，则12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭αββββββ1212(,,,)n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ααα．于是，α在两个基下的坐标存在关系=x Px ，T 12(,,,)n x x x =x ，即()-=E P x 0．由于()R r -=E P ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成n r -维空间，从而α的全体即1V 的维数是n r -．（3）i α(1,2,,)i n =在基12,,,n ααα下的坐标为T (0,0,,0,1,0,,0)（第i 个分量为1，余皆为0），即11100100i i i i n -+=++++++αααααα， 1,2,,i n =．而由条件，i α(1,2,,)i n =在基12,,,n βββ下的坐标也是T (0,0,,0,1,0,,0)，即11100100i i i i n -+=++++++αβββββ，1,2,,i n =，从而有i i =αβ，1,2,,i n =．。

高等代数考研真题详解

高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。

考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。

本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。

第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。

题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。

2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。

对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。

假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。

那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。

对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。

假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。

对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。

通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。

接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。

题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。

对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。

首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。

因此，U∩W也非空。

其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。

因此，u和w的线性组合也属于V。

根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。

因此，u和w的线性组合也属于U∩W。

所以，U∩W对于向量的加法封闭。

最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。

高等代数下期末复习

第六章线性空间一线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。

例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。

因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。

2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。

“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。

当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。

A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。

而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。

二、基维数坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。

记作dim V =n 。

维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。

定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

第六章线性空间第一节映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0．因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节线性子空间1. (1),(2)是nF 的子空间，(3)不是nF 的子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证必要性显然；充分性设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答

第六章线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M NL ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x MN ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答

习题七A 组1．填空题（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)--生成的向量空间的维数是．解 2．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V ，则它的维数是．解 6．（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间[]2P x ，其中的元素2()1f x x x =++在基1,1,(1)(2)x x x ---下的坐标是．解 T (3,4,1)．（4）设1231010,1,1110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα是向量空间3V 的一个基，则向量111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α在该基下的坐标是．解 T111,,222⎛⎫⎪⎝⎭．（5）二维向量空间2R 中从基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到另一个基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵是．解 2312⎛⎫⎪--⎝⎭．（6）三维向量空间中的线性变换(,,)(,,)T x y z x y x y z =+-在标准基1(1,0,0)=e ，2(0,1,0)=e ，3(0,0,1)=e 下对应的矩阵是．解 110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．2. 选择题（1）下列说法中正确的是．（A ）任何线性空间中一定含有零向量；（B ）由r 个向量生成的子空间一定是r 维的；（C ）次数为n 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；（D ）在n 维向量空间V 中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V 的子空间．（2）下列说法中错误的是．（A ）若向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（B ）若n 维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（C ）若1n -维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα不是V 的一个基；（D ）n 维向量空间V 的任一个基必定含有n 个向量．（3）下列3维向量的集合中，是3R 的子空间．（A ）{}123123123(,,)0;,,x x x x x x x x x ⋅⋅≤∈R ；（B ）{}222123123123(,,)1;,,x x x x x x x x x ++=∈R ；（C ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ==∈R ；（D ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ≥≥∈R . （4）在2V 中，下列向量集合构成子空间的是．（A ）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合；（B ）(0,0)组成的集合；（C ）所有形如(,1)x 的向量组成的集合；（D ）满足1x y +=的所有(,)x y 组成的集合．（5）2V 的下列变换不是线性变换．（A ）(,)(0,0)T x y =；（B ）(,)(,)T x y ax by cx dy =++，,,,a b c d 是实数；（C ）(,)(,1)T x y x y =+；（D ）(,)(0,)T x y x y =-．解（1）A ; （2）A ; （3）C ; （4）B ；（5）C ． 3．验证：（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体1S ；（2）2阶对称矩阵的全体2S ，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解 (1)任取11,S S ∈∈A B ，,ac be d af b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，其中,,,,,a b c d e f 表示任意实数，则对于任意的,k λ∈R ，有线性运算的封闭性成立：1ka bkc e k S kd fka b λλλλλ++⎛⎫+=∈⎪+--⎝⎭A B ．1S 的一个基是100100,,010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)任取22,S S ∈∈A B ，对于任意的,k λ∈R ，都满足运算成立：T T T 2()k k k S λλλ+=+=+∈A B A B A B ．2S 的一个基是100001,,000110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．验证：与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量的集合记作V ，T T (1,1,1),(1,0,1)V ==∈αβ，但T(0,1,0)V -=∉αβ，所以V 不是线性空间．5．设U 是线性空间V 的一个子空间，证明：若U 与V 的维数相等，则U =V ．证明设12,,,r ααα是U 的一个基，因为U V ⊆，所以12,,,r V ∈ααα．对于任意的V ∈α，必定可被12,,,r ααα线性表示，否则与“U 与V 的维数相等”矛盾．由α的任意性知V U ⊆，从而U =V ．6. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1) 110,,0a W a b c b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ； (2) 100,,,00a b W a b c a b c c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ．解 (1)不构成．由于1100000W ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭A B 但 1200000W ⎛⎫+=∉ ⎪⎝⎭A B ，即1W 对矩阵加法不封闭．(2) 构成．任取1122221200,0000a b a b W W c c ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ，有1112220,0a b c a b c ++=++=，121212000a a b bc c ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A B ．于是1212120a a b b c c +++++=，1212212000a a b bW c c ++⎛⎫+=∈ ⎪+⎝⎭A B ．对任意k ∈R ，111000ka kb k kc ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1110ka kb kc ++=，所以2k W ∈A ．2W 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以2W 构成子空间．7. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合1W ；（2）由所有满足2=A A 的矩阵组成的集合2W ．解 (1) 不构成．取10,00⎛⎫=⎪⎝⎭A 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，1,W ∈A B ，但是10,1,01⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭A B A B 因此1W +∉A B ，加法不封闭．(2) 不构成．取单位矩阵1001⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，2=E E ，2W ∈E ，但2(2)42=≠E E E ，所以22W ∉E ，数乘不封闭．8. 在3R 中求向量T (2,7,6)=-α在基T T T123(2,0,1),(1,3,2),(2,1,1)=-==-ααα下的坐标．解设所求坐标为T123(,,)x x x ，则1232312322270362x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得T T 123(,,)(1,2,1)x x x =-． 9．3R 中两个基为T T T 123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)==-=ααα；T T T 123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,5)===βββ，求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵．解设123123(,,)(,,)=P βββααα，则1123123(,,)(,,)-=P αααβββ1111123234100234011111145100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．10．在3R 中，取两个基T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ；T T T 123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)===ααα，（1）求由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵；（2）已知由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为110011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求123,,βββ；（3）已知α在基123,,βββ下的坐标为T (1,2,3)，求α在基123,,ααα下的坐标．解（1）因为123123111(,,)(,,)011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭e e e ααα，所以基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）由于123123*********(,,)(,,)011011010001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A βββααα，故 T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===βββ．（3）设α在基123,,ααα下的坐标为T 123(,,)x x x ，则有112323(,,)x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα，又12312311(,,)2(,,)233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A αβββααα，从而123111011201121300133x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 11．在3R 中取两个基T T 11T T 22T T33T T 44(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1),(6,6,1,3).⎧⎧==-⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩e e e e αααα （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标；（3）求在两个基下有相同坐标的向量．解 (1) 因为123412342561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭e e e e αααα，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ． (2) 设向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标为T1234(,,,)y y y y ，则1112221234333444(,,,)x y y x y y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααα，所以，11112221333444256133611211013y x x y x x y x x y x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 123412927331129231900182773926x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭． (3) 设向量T 1234(,,,)x x x x =α在两个基下有相同的坐标，则112212343344(,,,)x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e E α，112212343344(,,,)x x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα，所以 1234()x x x x ⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E 0，解得T (1,1,1,1),k k =-∈R α． 12．说明xOy 平面上变换x x T y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的几何意义，其中(1) 1001-⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (2) 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭A ；(3) 0110⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (4) 0110⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．解 (1)1001x x x x T y y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于y 轴对称；(2)00001x x x T y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，投影到y 轴；(3)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于直线y x =对称；(4)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，顺时针旋转90．13．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个(1)2n n +维线性空间．给定n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换T ()T =A P AP称为合同变换．证明合同变换T 是V 中的线性变换．证明设,V ∈A B ，k ∈R ，则T T ,==A A B B ，所以T ()+=+A B A B ，T ()k k =A A ．从而+A B 与k A 是对称矩阵．又因为T T T ()()()()T T T +=+=+=+A B P A B P P AP P BP A B ，T T ()()()T k k k kT ===A P A P P AP A ，所以T 是V 中的线性变换．14．设3R 中123,,ααα是一个基，且线性变换T 在此基下的矩阵为460350361⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）证明123312,,2-++-+αααααα也是3R 的一个基；（2）求线性变换T 在此基下的矩阵．证明（1）令112323312,,2=-++==-+βαααβαβαα，可解得1123,=--αβββ 212322=--αβββ， 32=αβ，这说明了123,,ααα和123,,βββ可以相互线性表示，从而它们等价，所以123,,βββ是3R 的一个基．（2）设线性变换T 在基123,,βββ下的矩阵是B ，并设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是P ，则1-=B P AP ，由条件知102101110--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，得1120121110-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭P ，从而 1200010001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B P AP ．15．函数集合{}23210210(),,xV a x a x a ea a a ==++∈R α对于函数的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基2123,,x x x x e xe e ===ααα，求微分运算D 在这个基下的矩阵．解因为21123()220x x D x e xe =+=++αααα， 2123()0x x D e xe =+=++αααα，3123()00x D e ==++αααα，所以微分运算D 在这个基下的矩阵为100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．16．二阶对称矩阵的全体12312323,,x x V x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R A 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基123100100,,001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，在3V 中定义合同变换1011()1101T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ，求T 在基123,,A A A 下的矩阵．解因为11123101110101111()110111000111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A A ，2223101110011101()2110111100112T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A ，333101110001100()110111010101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，123123100((),(),())(,,)110121T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A ，所以T 在基123,,A A A 下的矩阵为100110121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．17．设A 是一个正定矩阵，向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y ==αβ．在nR 中定义内积 [],αβ为[]T ,=A αβαβ．证明在这个定义之下，n R 是一个Euclid 空间．证明按定义证明满足以下四条性质即可．（1）对称性 [][]T T T T T T ,(),=====A A A A αβαβαββαβαβα．（2）线性加性 [][][]TT T ,(),,+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ．（3）线性齐性 [][]T T ,()(),k k k k ===A A αβαβαβαβ．（4）非负性由于A 是正定矩阵，所以[]T ,=A αααα是个正定二次型，从而[],0≥αα，当且仅当=0α时[],0=αα．18．设V 是一个n 维Euclid 空间，≠0α是V 中一固定向量，证明：[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V的一个子空间．证明因为1V ∈0，所以1V 非空．再证1V 对两种运算封闭．任给121,V ∈x x ，即[][]12,0,,0==x αx α，根据V 的线性加性有[][][]1212,,,+=+=x x αx αx α000+=，从而可知121V +∈x x ．另一方面，由[][]11,,0k k ==x αx α可知，11k V ∈x ．此即证得[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V 的一个子空间．B 组1．求二阶矩阵构成的线性空间22⨯R中元素0123⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 在基10111⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，21011⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，31101⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，41110⎛⎫= ⎪⎝⎭G 下的坐标.解设11223344k k k k =+++A G G G G ，则234134124123 0,1, 2, 3,k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 解得12340,1,2,3k k k k ==-=-=，所求坐标为T (0,1,2,3)--. 2．在二阶矩阵构成的线性空间22⨯R 中，（1）求基123410010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E E E E到基123421035366,,,11102113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F F F F的过渡矩阵；（2）分别求向量11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭M 在基1234,,,E E E E 和基1234,,,F F F F 下的坐标；（3）求一个非零向量A ，使得A 在这两个基下的坐标相等．解（1）因为112342=+-+F E E E E ， 21234030=+++F E E E E ， 31234532=+++F E E E E ， 41234663=+++F E E E E ，即1234123420561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭F F F F E E E E ，所以，基1234,,,E E E E 到基1234,,,F F F F 的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）显然11121111222132242122a a a a a a a a ⎛⎫==+++⎪⎝⎭M E E E E ，得到M 在基1234,,,E E E E 下的坐标为T 11122122(,,,)a a a a ．设M 在基1234,,,F F F F 下的坐标为T 1234(,,,)y y y y ，则111212342122(,,,)a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M E E E E 1122123412343344(,,,)(,,,)y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F F F F E E E E P ，得111112121213212142222411119391412327932712003371126279327y a a y a a y a a y a a -⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭P 1112212211122122112211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭．（3）解方程111221221111122122122111222211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭，得11122122a a a a ===-，所以11,011k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭A ．3. 设T 是四维线性空间V 的线性变换，T 在V 的基1234,,,αααα下的矩阵为1222265200120026----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A 求T 在V 的基11212323434,,,==-+=-+=-+βαβααβααβαα下的矩阵.解 12341234(,,,)(,,,)=P ββββαααα，其中1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P , 所求矩阵11300240000130024-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P AP . 4. 设12,,,n ααα是n R 的一个基．(1) 证明11212312,,,,n ++++++ααααααααα也是n R 的一个基；(2) 求由基12,,,n ααα到基11212312,,,,n ++++++ααααααααα的过渡矩阵；(3) 求向量α在基12,,,n ααα下的坐标T 12(,,,)n x x x 和在基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα下的坐标T 12(,,,)n y y y 间的变换公式.解 (1) 因为()()1121231212111011,,,,,,,001n n ⎛⎫⎪⎪++++++= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααα，所以111011001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，10=≠P ，P 可逆，从而向量组1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα与向量组12,,,n ααα等价，而12,,,n ααα是n R 的一个基，所以1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα也是n R 的一个基．(2) 由基12,,,n ααα到基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ． (3) 坐标变换公式为11111222211100000110001110010001100011000100001100001n n n n y x x x y x x x y x x x ---⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭P ． 5. 设12,,,n ααα是V 的一个基，且()()1212,,,,,,n n =A βββααα，证明12,,,n βββ是V的一个基的充分必要条件是矩阵A 为可逆矩阵．证明由于12,,,n ααα线性无关，注意到()()112211221212,,,,,,n n n n n n k k kkk k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ββββββααα，可得12,,,n βββ是V 的一个基⇔12,,,n βββ线性无关⇔1122n n k k k +++=0βββ时，必定有120n k k k ====⇔()1212,,,0n n k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ααα时，必定有120n k k k ====⇔12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0时，必定有120n k k k ====⇔齐次线性方程组=Ax 0只有零解 ⇔0≠A ⇔A 是可逆矩阵．6. 设12,V V 是线性空间V 的两个不同的子空间，且1V V ≠，2V V ≠，证明在V 中存在向量α，使得12,V V ∉∉αα同时成立．证明由于1V V ≠，2V V ≠，于是在V 中存在向量,αβ，使得12,V V ∉∉αβ成立．若2V ∉α，则α即为所求．若2V ∈α，则对任意数k ，有2k V +∉αβ．否则，由于2V ∈α和2k V +∈αβ，可得2()k k V +-=∈αβαβ，与假设矛盾．于是，取12k k ≠，则11k V +∈αβ与21k V +∈αβ不能同时成立，否则12121()()()k k k k V +-+=-∈αβαβα，有1V ∈α，矛盾．故11k V +∉αβ与21k V +∉αβ至少有一个成立，不妨设11k V +∉αβ，又12k V +∉αβ，因此1k +αβ即为所求． 7. 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两个基，证明（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合1V 是V 的子空间；（2）设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是P ，若()R r -=E P ，则1dim V n r =-；（3）若V 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则1122,,,n n ===αβαβαβ．证明（1）设1,V ∈αβ，即11221122n n n n x x x x x x =+++=+++ααααβββ， 11221122n n n n y y y y y y =+++=+++βαααβββ．则111222111222()()()()()()n n n n n n x y x y x y x y x y x y +=++++++=++++++αβαααβββ，1122n n k kx kx kx =+++αααα1122n n kx kx kx =+++βββ，即+αβ，k α在这两个基下的坐标也完全相同，于是1V +∈αβ，1k V ∈α，从而1V 是V 的子空间．（2）设α是1V 中任一向量，则12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭αββββββ1212(,,,)n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ααα．于是，α在两个基下的坐标存在关系=x Px ，T 12(,,,)n x x x =x ，即()-=E P x 0．由于()R r -=E P ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成n r -维空间，从而α的全体即1V 的维数是n r -．（3）i α(1,2,,)i n =在基12,,,n ααα下的坐标为T (0,0,,0,1,0,,0)（第i 个分量为1，余皆为0），即11100100i i i i n -+=++++++αααααα， 1,2,,i n =．而由条件，i α(1,2,,)i n =在基12,,,n βββ下的坐标也是T (0,0,,0,1,0,,0)，即11100100i i i i n -+=++++++αβββββ，1,2,,i n =，从而有i i =αβ，1,2,,i n =．。

高代第二版上册复习题知乎

高代第二版上册复习题知乎高等代数（第二版）上册复习题解答一、群论1. 群及其基本性质（1）群的定义及其基本性质群是指一个集合G，以及在G上定义的一种二元运算，满足以下四条性质：（i）封闭律。

对于任意的a、b∈G，a*b∈G。

（ii）结合律。

对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。

（iii）存在单位元素。

存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a。

（iv）存在逆元素。

对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

（2）群的例子一些典型的群包括：- 整数加法群(Z,+)- 整数乘法群(Z*,×)- 实数加法群(R,+)- 实数乘法群(R*,×)- 复数乘法群(C*,×)- 置换群S(n)（3）子群与陪集子群指的是群G的一个非空子集H，且H本身也是一个群。

陪集指的是在群G中，对于一个子群H和任意的元素a∈G，通过左陪集和右陪集的方式定义的集合。

2. 环论（1）环与域环是指一个非空集合R，以及定义在R上的两种二元运算+和×，满足以下性质：（i）封闭律。

对于任意的a、b∈R，a+b和a×b都属于R。

（ii）结合律。

对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)且(a×b)×c=a×(b×c)。

（iii）存在单位元素。

对于加法运算，存在元素0∈R，使得对于任意的a∈R，a+0=0+a=a；对于乘法运算，存在元素1∈R，使得对于任意的a∈R，a×1=1×a=a。

（iv）分配律。

对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c。

域是指一个非空集合F，以及定义在F上的两种二元运算+和×，满足以下性质：（i）加法和乘法都是可交换的。

即对于任意的a、b∈F，a+b=b+a，a×b=b×a。

高等代数1复习题答案

高等代数1复习题答案一、线性代数基础1. 向量空间的定义与性质- 向量空间是由向量集合和满足加法与标量乘法的运算构成的代数结构。

向量空间必须满足加法的封闭性、结合律、单位元存在性、逆元素存在性，以及标量乘法的分配律、结合律和单位元性质。

2. 基与维数- 向量空间的基是一组线性无关的向量，通过这组基可以唯一地表示空间中的任何向量。

向量空间的维数是指基中向量的数量。

3. 线性变换与矩阵表示- 线性变换是保持向量加法和标量乘法的函数。

矩阵是线性变换在给定基下的表示。

4. 特征值与特征向量- 线性变换的特征值是使得变换后向量与原向量成比例的标量，而特征向量是这个比例因子对应的向量。

5. 内积空间- 内积空间是向量空间，其中定义了一个满足正定性、对称性和线性的内积运算。

二、矩阵理论1. 矩阵的运算- 矩阵加法、数乘、乘法以及转置是矩阵的基本运算。

2. 矩阵的秩- 矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。

3. 矩阵的逆- 方阵的逆是满足\[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]的矩阵，其中\( I \)是单位矩阵。

4. 行列式- 行列式是方阵的一个标量值，可以用于计算矩阵的逆和线性方程组的解的存在性。

5. 矩阵分解- 矩阵分解是将矩阵表示为几个特定类型矩阵的乘积，如LU分解、QR分解等。

三、线性方程组1. 高斯消元法- 高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。

2. 克拉默法则- 克拉默法则提供了一种在系数矩阵可逆时求解线性方程组的方法。

3. 线性方程组的解的结构- 线性方程组的解可以是唯一的、无解的或者有无穷多解，这取决于系数矩阵和增广矩阵的秩。

四、多项式代数1. 多项式的定义与运算- 多项式是由变量和系数通过加法、乘法运算得到的代数表达式。

2. 多项式的根- 多项式的根是使得多项式等于零的变量值。

3. 多项式函数的性质- 多项式函数具有连续性、可微性等性质。

4. 多项式的因式分解- 因式分解是将多项式表示为其根的乘积。

高等代数第三版习题答案

高等代数第三版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构及其性质的数学分支。

第三版的高等代数教材通常会包含大量的习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和技巧。

以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题的答案需要根据实际的题目来确定。

第一章：线性空间习题1：判断下列集合是否构成线性空间，并说明理由。

- 解：集合\{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 1\}不构成线性空间，因为它不满足加法封闭性。

例如，取两个元素(1, 0)和(0, 1)，它们的和(1, 1)不在集合中。

习题2：证明线性空间的基具有唯一性。

- 解：设{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}是线性空间V的两个基。

根据基的定义，任何向量v ∈ V都可以唯一地表示为v =c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn和v = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm。

由于表示是唯一的，我们可以得出n = m，并且存在一个可逆矩阵P，使得[v1, v2, ..., vn] = [w1, w2, ..., wn]P。

这意味着两个基是等价的，从而证明了基的唯一性。

第二章：线性变换习题1：确定线性变换T: R^3 → R^3，定义为T(x, y, z) = (x + y, x - y, z)的核和像。

- 解：核N(T)是所有满足T(v) = 0的向量的集合。

设(x, y, z) ∈ N(T)，则(x + y, x - y, z) = (0, 0, 0)。

解这个方程组，我们得到x = 0，y = 0，z可以是任意实数。

因此，核是一维的，由向量(0, 0, 1)生成。

习题2：证明线性变换的复合是线性的。

- 解：设T: V → W和S: W → X是两个线性变换。

对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，我们需要证明(S ∘ T)(cv1 + v2) = c(S∘ T)(v1) + (S ∘ T)(v2)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a aa a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中的线性相关性.解设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中解设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3）已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪- ⎪∴=⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解 α.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=αβ-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,, （3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,,4παβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,α==, β==,β∴=.3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.解设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交,则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即（*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基.3．求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明:1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明也是V 的一组标准正交基. 证明由题知123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111（B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ）(){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 解因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆，所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.解因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ). (A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）. 7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵选（B ）(B)1．已知4R 的两组基（Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解（１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*）齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈．故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 ( 1 ) 由题有因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）.5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 ???是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T TE A αααα）（/2-=为正交矩阵.证明因为???是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T TT T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明因为A E E E A T T T T TTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=,所以A 为正交阵.证明因为, ,A B n 均为阶正交矩阵所以0T A A =≠且。