高考数学2013年高考天津卷(文)
春季高考历年真题天津市春季高考数学试卷
2013年天津市高等院校春季招生统一考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至9页，第Ⅱ卷10至12页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共75分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
—、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4，5,6}，A, ={1,2,3,6}， B={3, 5}，则B ∩=C u A= A.{5} B.{3,4,5} C.{3，4，5，6} D.{1,2,3,4,5,6}2.已知log a 4=-21，则a=A. 161B=2C.8 D=163.条件“χ=0”是结论“yx=0”的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)= 1)12lg(2-X -X 的定义域是A.（ 21 ，-∞）B.（ 21，1）∪（1，＋∞）C.（-1,1）∪（1，＋∞）D. （0,1）∪（1，+∞）第一页5.在数列{a n }中，若a 2=2，且满足a n =3n-1（n ≥2）,则α5=A.162B. 54C.17D. 146.若α=323π，则α是A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角 7.在下列函数中，周期为π的奇函数是A. f(x)=sinxB. f(x)=cosxC. f(x)=sin2xD. f(x)=cos2x 8.在ΔABC 中，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，则AC= A. 28 B.27 C. 76 D.2199.已知点A=（3,1），B=(1,2),C=(1，2),D=(2，1),则向量−−→−+−→−BD AC 2的坐标是A. (6，-3)B.(4，1)C. (-1，2)D.(3，0)10.若点M （1，2），N （-2,3），P(4,b)在同一条直线上，则b=A. 21B. 23C. 1D. -1 11.已知点a （-1,0），B(5，0),则线段AB 为直径的圆的标准方程是 A.（x-3）2+y 2=3 B. （x-3）2+y 2=9 C.（x-2）2+y 2=3 D. （x-2）2+y 2=9 12.顶点为坐标原点，准线为直线x=-1的抛物线的标准方程是 A. y 2=4x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-2x13.已知如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的直观图，应该为虚线的线段共有 A.1条 B.2条第二页C.3条D.4条14.从13名学生中选出两人担任正、副组长，不同的选举结果共有 A.26种 B.78种 C.156种 D.169种15.从不超过20的正整数中任取一个数恰好是3的倍数的概率为A.51B.41C.203D.103第三页2013年天津市高等院校春季招生统一考试数学第二卷（非选择题）注意事项；1.答第II 卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。
2013年天津高考数学(理科)试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z= y －2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)7：立体几何 )
2013年高考解析分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。
由三视图可知该几何体是个四棱柱。
棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。
所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。
所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。
上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3C．3D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH ⊥C 1O 于H ，连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =，显然2223a CH a ⨯===，所以223sin 3a CDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。
2013年天津市高考数学试卷(文科)及答案(word版)
2013 年一般高等学校招生全国一致考试 (天津卷 )文科数学本试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分 , 共 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷 3至 5页.答卷前 , 考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上 , 并在规定地点粘贴考试用条形码 . 答卷时 , 考生务势必答案凃写在答题卡上 , 答在试卷上的无效 . 考试结束后 , 将本试卷和答题卡一并交回 .祝各位考生考试顺利 !第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后 , 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需变动,用橡皮擦洁净后 , 再选凃其余答案标号 .2.本卷共 8小题, 每题 5分, 共40分.参照公式 :·假如事件 A, B 互斥 , 那么 P(A B) P(A) P( B)·棱柱的体积公式 V = Sh ， 此中 S 表示棱柱的底面面积 , h 表示棱柱的高 . ·假如事件 A, B 互相独立 , 那么 P( AB) P (A)P( B)·球的体积公式 V4R 3. 此中 R 表示球的半径 .3一．选择题 : 在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项切合题目要求的 .(1) 已知会合 A = {x ∈ R | | x| ≤ 2},B = {x ∈R | x ≤ 1},则 A B(A) ( ,2] (B) [1,2] (C) [－ 2,2] (D) [－ 2,1]3x y 6 0,(2) 设变量 x, y 知足拘束条件x y 2 0, 则目标函数 z = y － 2xy 30,的最小值为(A) －7 (B) － 4(C) 1(D) 2(3) 阅读右侧的程序框图 , 运转相应的程序 , 则输出 n 的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5(D) 4(4) 设 a, b R , 则 “(a b)a20 a b ”的”是 “(A) 充分而不用要条件(B) 必需而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不用要条件(5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x 1)2 y2 5相切, 且与直线 ax y 1 0 垂直 , 则 a(A) 1(B) 1 2(C) 2 (D) 1 2(6) 函数 f (x) sin 2 x 在区间0, 上的最小值是4 2(A) 1 (B)2 2(C) 2(D) 0 2(7) 已知函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0, ) 上单一递加. 若实数 a 知足f (log 2 a ) f (log1 a ) 2 f (1) , 则 a 的取值范围是2(A) [1,2] (B) 0,12(C)1(D) (0,2] ,22(8) 设函数f ( x) e x x 2, g( x) ln x x2 3 .若实数a, b知足 f (a) 0, g( b) 0 , 则(A) g (a) 0 f (b) (B) f (b) 0 g (a )(C) 0 g (a) f (b) (D) f (b ) g (a) 0。
(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题02 简易逻辑及其应用(测)(含解析)
（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题02 简易逻辑及其应用（测）（含解析）时间：45分钟 满分：100分一.选择题（每小题5分，共50分）1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R∈,都有200x ≥ D ．存在0x R∈,都有200x <2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( )A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉3 ．（2013年高考湖南（文））“1<x<2”是“x<2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2-<”是“a ba b a()0<”的( )4. ．（2013年高考天津卷（文））设,a b∈R, 则“A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. ．（2013年高考山东卷（文））给定两个命题qp,,p q⌝是的必要而不充分条件,则p q⌝是( )A．充分而不必要条 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.（2013年高考陕西卷（文））设z是复数, 则下列命题中的假命题是( )A．若20z≥, 则z是实数 B．若20z<, 则z是虚数C．若z是虚数, 则20z≥ D．若z是纯虚数, 则20z<7.（2013年高考福建卷（文））设点),(yxP,则“2=x且1-=y”是“点P在直线1:=++yxl上”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.（2013年上海高考数学试题（文科））钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件9.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是: ( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝10.（2013年高考湖北卷（文））在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．()p ⌝∨()q ⌝B p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q二.填空题（每小题5分，共20分）11. 已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2a x＋2－a＝0”．若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．12．下列四项中，p是q的必要不充分条件的是________(填序号)．①p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；②p：a>1，b>1，q：f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限；③p：x＝1，q：x2＝x；④p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．13. 设命题p：a2<a，命题q：对任意的x∈R，都有x2＋4a x＋1>0.若命题p与q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是________．14．（2013年高考山东卷（文））定义“正对数”:0(01)lnln(1)xxx x+<<⎧=⎨≥⎩，，,现有四个命题:①若,0>>ba,则aba b++=ln)(ln;②若,0>>ba,则baab++++=lnln)(ln③若0,0>>b a ,则ba b +++-=ln ln )(ln④若0,0>>b a ,则2ln ln ln )(ln ++≤++++b a b a 其中的真命题有____________ (写出所有真命题的序号)三.解答题（每小题15分，共30分）15.已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根， q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根． 若p 或q 为真，p 且q 为假．求实数m 的取值范围.16.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠.⑴若22a =,求1a 及na ;⑵若21a>-,求证:1()2n nS a a≤+,并给出等号成立的充要条件.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
2013年高考数学理(天津卷)WORD版有答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:的18; ③直线x + y + 1 = 0与圆2x 其中真命题的序号是:(A) ①②③(C) ②③ (5) 已知双曲线2222x y a b-=(0)p>的准线分别交于为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,△AOB则p =(B) 32 (C) 2(D) 3(6) ,3,4AB BC π=则sin BAC ∠ = (B) (C) (D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A)⎫⎪⎪⎝⎭(B)⎫⎪⎪⎝⎭(C)⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D)⎛-⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB= AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ的通项公式;(Ⅱ*), 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2012-2014年高考数学文科真题 三角函数
历年真题分类汇编（四）三角函数2012年一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）（A ） 向左平移1个单位（B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移12个单位 （D ） 向右平移12个单位 2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π43.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（ ） （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25246.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A）-B ）12-（C ）12 （D7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠= BCD[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=（ ） (A) -1 (B)11.【2012高考江西文4】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=（ ）A. -34B. 34C. -43D. 4312.【2012高考江西文9】已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=113.【2012高考湖南文8】 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于 A．2B.2C.2D.414.【2012高考湖北文8】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（ ） A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶415.【2012高考广东文6】在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A.B.C.D.16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A. x=4π B. x=2π C. x=-4π D. x=-2π17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（ ）（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2二、填空题18.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ．19.【2102高考北京文11】在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。
2013年高考文科数学天津卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：•如果事件A ,B 互斥,那么 •球的体积公式34π3V R =. ()()()P AB P A P B =+.•棱柱的体积公式V Sh =. 其中R 表示球的半径. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||2}A x x =∈≤R ,{|1}B x x =∈R ≤,则A B =( ) A .(,2]∞-B .[1,2]C .[]2,2-D .[12,]--2.设变量x ,y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( ) A .－7B .－4C .1D .23.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为( ) A .7 B .6 C .5D .44.设a ,b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且 与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A .12-B .1C .2D .126.函数π()sin(2)4f x x =-在区间π[0,]上的最小值为( )A .1-B . CD .07.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .1(0,]2C .1[,2]2D .(0,2]8.设函数()e 2x f x x =+-,2()ln 3g x x x =+-.若实数a ,b 满足()0f a =,()0g b =, 则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.i 是虚数单位,复数(3i)(12i)+-= .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .11.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .12.在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ∠=,E 为CD 的中点.若1AC BE =,则AB 的长为 .13.如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB DC ∥.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5AB AD ==,4BE =,则弦BD 的长为 .14.设2a b +=,0b >,则1||2||a a b+的最小值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 3sin b A c B =,3a =,2cos 3B =.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求πsin(2)3B -的值.17.（本小题满分13分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,11AC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ∥平面1A CD ； （Ⅱ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB +=,求k 的值.19.（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为*()n S n ∈N ,且22S -,3S ,44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明1136n n S S +≤（*n ∈N ）. 20.（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-,已知函数332(5),0,()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+⎪=⎨+-+>⎪⎩≤（Ⅰ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减,在区间()1,+∞内单调递增；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线相互平行,且1230x x x ≠. 证明12313x x x ++>-.{=∈RA B x，再利用数轴进行集合的交集运算.【解析】π0,2x ⎡∈⎢⎣π4=-时，【解析】12log f a ⎛ ⎝又上单调递增，【解析】()e f x '=是(0,)+∞上的增函数(1)2g =-【提示】先判定出零点【考点】利用导数解决不等式问题【解析】由已知得AC =AD AB +，12BE AD AB =-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-2111||22AB AD AB =+-211cos60||12AB AD AB ︒-=.1AB=.||【提示】用AB与AD用AC与BE表示，然后进行向量的数量积运算【考点】平面向量的应用15BE EC=+4(4，所以ABE△数学试卷第16页（共30页）ac B，cos cos5，进而得3数学试卷 第22页（共30页）所以AC DB ＋AD CB12222113,)(3,)(3,)3,y x y x y x y +--++--（）122y y3 1. 2n数学试卷第28页（共30页）。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3VR π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2)设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y+=相切.其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB, 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4A B B C A B C π∠===则sin B A C ∠ =(A)10(B)5(C)10(D)5(7) 函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A)02⎫⎪⎪⎝⎭(B)02⎫⎪⎪⎝⎭(C)022⎛⋃⎛ ⎝⎫ ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D)2⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10)6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭,则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60B A D ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1A D B E = ,则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin co s 2co s 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 16, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截3.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8A C DB A DC B += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 +a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1nn nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x=.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()sg t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t<<.- 11 -2013高考真题。
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。
2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
. 如需改动 , 用橡皮
参考公式 : ·如果事件 A, B 互斥 , 那么 P( A B) P( A) P( B)
·棱柱的体积公式 V=Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积 柱的高 .
, h 表示棱
·如果事件 A, B 相互独立 , 那么 P( AB) P( A) P( B)
·球的体积公式 V 4 R3. 3
(17) (本小题满分 13 分) 如图 , 四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中 , 侧棱 A1A ⊥底面 ABCD, AB// DC, AB⊥ AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 .
(Ⅰ ) 证明 B1C1⊥ CE;
(Ⅱ ) 求二面角 B1－ CE－ C1 的正弦值 .
二．填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分 .
(9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位 . 若 (a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
.
6
1
(10) x
的二项展开式中的常数项为
.
x
(11) 已知圆的极坐标方程为
4cos , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4, , 则| CP| =
(Ⅲ ) 设点 M 在线段 C1E 上 , 且直线 AM 与平面 ADD1A1
所成角的正弦值为
2 , 求线段 AM 的长 .
6
(18) (本小题满分
设椭圆
x2 a2
y2 b2
y2 2 px( p 0) 的准线分别交于
A, B 两点 , O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, △ AOB 的面积为 3 , 则 p =
2013年高考理科数学天津卷(含详细答案)
)(A B P A=棱柱的体积公式S表示棱柱的底面面积A B=]2,2C.1D.2x的值为1,()B.73D.585()B.①②D.②③22(0)px py=>的准线分别2,AOB△则p=()C.2D.33,则sin BAC∠=C DC.3D.4的不等式()()f x a f x+<的解集为A.若11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是()A.B.C.13(0,+D.(-∞第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(i)(1i)ia b++=,则ia b+=.10.6(x-的二项展开式中的常数项为.11.已知圆的极坐标方程为4cosρθ=,圆心为C,点P的极坐标为π(4,)3,||CP=.12.在平行四边形ABCD中,1AD=,60BAD︒∠=,E为CD的中点.若1AC BE=,则AB的长为.13.如图,ABC△为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD AC∥.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB AC=,6AE=,5BD=,则线段CF的长为.14.设2a b+=,0b>,则当a=时,1||2||aa b+取得最小值.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、k 的直线与椭圆交于C ,D 两若8AC DB AD CB +=,求k n 项和为(*)n S n ∈N ,且33S a +,.20.（本小题满分14分）已知函数2l ()n f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0t >,存在唯一的s ,使()t f s =；（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明：当2e t >时,有2ln ()15ln 2g t t <<.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由已知得{22}A x x =∈-≤≤R ，于是{21}AB x x =∈-≤≤R【提示】先化简集合A ，解绝对值不等式可求出集合A ，然后根据交集的定义求出A B 即可.【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】作出可行域，平移直线2y x =，当直线过可行域内的点(5,3)A 时，Z 有最小值，min 3257Z =-⨯=-.【提示】先根据条件作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 3.【答案】B【解析】10150295047350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，，，，，，，跳出循环，输出73S =. 【提示】直接执行程序框图中的语句求值. 【考点】循环结构的程序框图 4.【答案】C【解析】命题①，设球的半径为R ，则33414ππ3283R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；数学试卷 第10页（共39页）对于命题③，圆2212x y +=的圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离1222d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.【提示】对于①由球的体积公式可知命题正确；对于②通过举反例，如1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，故命题错误；对于③利用圆2212x y +=的圆心到直线10x y ++=的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可.【考点】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系 5.【答案】C【解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得3b a=，即渐近线方程为3y x =±.而抛物线的方程为2p x =-，于是3,22p p A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22p p B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而AOB △的面积为13=322pp，可得2p =. 【提示】求出双曲线的渐进方程和抛物线的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB △的面积为3，可求p 的值.【考点】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质 6.【答案】C【解析】由余弦定理可得2222cos 2922352AC BA BC BA BC ABC =+-∠=+-⨯⨯⨯=，于是由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，于是233102sin 105BAC ⨯∠==. 【提示】由已知条件，利用余弦定理求出AC 的长，再由正弦定理即可求出sin BAC ∠的值. 【考点】正弦定理，余弦定理 7.【答案】B【解析】令0.5()2|log |10xf x x =-=，可得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()|log |g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系下分别画出函数()g x ，()h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.【提示】函数的零点转化为两个函数图像的交点个数，作出函数的图象即可判断. 【考点】函数的图象，函数零点的判断 8.【答案】A 【解析】11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，()(0)f a f ∴<，(1||)0a a a ∴+<，解得10a -<<，可排除C ， 又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭10a -<<，115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭21524a ⎛⎫∴--+>- ⎪⎝⎭，21524a ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭，1502a -∴<<.排除B ，D ，应选A .【提示】由题目可知11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，将0x =带入()()f x a f x +<可得()(0)f a f <，解得10a -<<；将12x =-代入()()f x a f x +<解得1502a -<<.【考点】解含参的一元二次不等式第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】12i +【解析】由(i)(1i)i a b ++=可得(1)(1)i i a a b -++=，因此10a -=，1a b +=，解得1a =，2b =， 故i 12i a b +=+【提示】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a ，b 的值即可得到结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【答案】15【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为36621661(1)(1)rr r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故数学试卷 第16页（共39页）常数项为446(1)15C -=. 【提示】利用二项式展开式的通项公式36216(1)r rr r T C x-+=-中x 的幂指数为0即可求得答案.【考点】二项式定理 11.【答案】23【解析】由4cos ρθ=可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)，又点P 的直角坐标为(2,23)，因此||23CP =.【提示】求出圆的直角坐标方程，求出圆心坐标，化P 的极坐标为直角坐标，利用两点间的距离公式求出距离即可.【考点】坐标系与参数方程，两点间的距离公式12.【答案】12【解析】用AB ，AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC AD AB =+，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴221122AC BE AD AB AD AB AD AB =-+-2211111||1||||cos60||12222AB AD AB AB AD AB ︒=+-=+-=，∴12AB =.【提示】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积的运算即可得出.【考点】向量的线性运算，平面向量的数量积运算13.【答案】83【解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以ABC EAB ∠=∠，所以AE BC ∥.又因为AC DE ∥，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是26(5)EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4AC =，6BC =.又因为AFC DFB △∽△，所以456CF CF =-，解得83CF =. 【提示】证明四边形AEBC 是平行四边形，利用圆的切割线定理求出EB ，通过三角形相似求出CF 即可. 【考点】圆的切割线定理，三角形相似 14.【答案】2-【解析】由于2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b +≥=，因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=；当0a <时1||2||a a b +的最小值是13144-+=，故1||2||a a b +的最小值为34，此时||4||0ba ab a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，即2a =-. 【提示】由于2a b +=，从而1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b+≥=，由1||2||a a b +的最小值求a 的值. 【考点】基本不等式求最值 三、解答题 15.【答案】（Ⅰ）2ππ2T == （Ⅱ）()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-【解析】（Ⅰ）ππ()2sin 2cos2cos2sin 3sin 2cos244f x x x x x =--+-， π2sin 22cos222sin 24x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（Ⅱ）因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且(0)2f =-，3π228f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-.数学试卷 第22页（共39页）【提示】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式将πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得()2sin 22cos2f x x x =-，再利用辅助角公式化简得π()22sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用正弦函数的周期公式即可算出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）由()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】（Ⅰ）67（Ⅱ）175EX =【解析】（Ⅰ）记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==，故所求概率为67； （Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，4.33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，故X 的分布列如下表是： X 1 2 3 4 P1354352747其期望14241712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【提示】（Ⅰ）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有47C ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解；（Ⅱ）先判断随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列和期望值.【考点】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望17.【答案】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得(0,0,0)A ，(0,0,2)B ，(1,0,1)C ，1(0,2,2)B ，1(1,2,1)C，(0,1,0)E.（Ⅰ）易得11(1,0,1)B C=-，(1,1,1)CE=--，故11B C CE=，因此11B C CE⊥；（Ⅱ）1(1,2,1)B C=--，设(,,)n x y z=是平面1B CE的法向量，则1n B Cn CE⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20x y zx y z--=⎧⎨-+-=⎩，取1z=可得平面1B CE的一个法向量()3,2,1n=--；由（Ⅰ）11B C CE⊥，又111B C CC⊥，故11B C⊥平面1CEC，知11(1,0,1)B C=-为平面1CEC的一个法向量.故111111427cos,7142|n B Cn B Cn B C-<>===-⨯|，知1121sin,7n B C<>=，所以所求二面角的正弦值为217；（Ⅲ）(0,1,0)AE=，1(1,1,1)EC=，设1(,,)(01)EM ECλλλλλ==≤≤，则(,1,)AM AE EMλλλ=+=+.取(0,0,2)AB=为平面11ADD A的一个法向量，设θ为AM与平面11ADD A所成的角，则2||sin|cos,|||||321AM ABAM ABAM ABλθλλ=<>==++.于是226321λλλ=++，解得13λ=（负值舍去），所以2AM=.【提示】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出11B C和CE，由11B C CE=得到11B C CE⊥；（Ⅱ）求出平面1B CE和平面1CEC的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基数学试卷 第28页（共39页）本关系求出其正弦值，则二面角的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M 的坐标用E 和C 1的坐标及待求系数表示，求出平面11ADD A 的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM 的长可求.【考点】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用18.【答案】（Ⅰ）22=132x y + （Ⅱ）2k =±【解析】（Ⅰ）设(,0)F c -，用33c a =，知3a c =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆的方程有2222()1c y a b-+=，解得63y b =±，于是264333b =，解得2b =. 又222a cb -=，从而3a =，1c =，所以椭圆的方程为22=132x y +. （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，由方程组221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=，求解可得12x x +22623k k =-+，12x x =223623k k-+. 因为(3,0)A -，(3,0)B ， 所以AC DB AD CB +11222211(3,)(3,)(3,)(3,)x y x y x y x y =+--++--1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+- 22212623k k +=++.11 / 13由已知得222126823k k ++=+，解得2k =±. 【提示】（Ⅰ）由离心率为33，可求出a ，b ，c 的关系，根据椭圆的一般方程，令x c =-代入求出弦长等于433，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，直线CD 的方程为(1)y k x =+，由221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(23)6360k x k x k +++-=，再由韦达定理进行求解，求得AC DB AD CB +，利用8AC DB AD CB +=，即可求得k 的值.【考点】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系19.【答案】（Ⅰ）13(1)2n n n a -=- （Ⅱ）{}n T 的最大项为56，最小项为712- 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为33S a +，55S a +，44S a +成等差数列.所以55334455S a S a S a S a +--=+--，即534a a =，故25314a q a ==. 又{}n a 不是递减数列，且132a =，故12q =-， 故等比数列{n a }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭， （Ⅱ）由（Ⅰ）得12()11212()n n n n n S n --⎧+⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，故1312n S S <≤=，故1111506n n S S S S <-≤-=； 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，故2314n S S =≤<，故22117012n n S S S S >-≥-=-. 综上，{}n T 的最大项为56，最小项为712-. 【提示】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为32等比数列{n a }不是递减数列，求出q 值；数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得n S 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出1n nS S -在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案.【考点】等比数列的通项及性质，前n 项和 20.【答案】（Ⅰ）由题得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1ex =， 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表所示. x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' - 0+ ()f x极小值 因此，函数的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）证明：当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 在区间(1,)+∞单调递增，(1)0h t =-<，22(e )e lne (e 1)0t t t t h t t =-=->，故存在唯一的(1,)s ∈+∞，使得()t f s =成立；（Ⅲ）证明：因为()s g t =，由（Ⅱ）知()t f s =，且1s >，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u t f s s s s s u u====++，其中ln u s =， 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2u u <<. 当2e t >时，若()e s g t =≤，则由()f s 的单调性，有2()(e)e t f s f =≤=，矛盾.故e s >，即1u >，从而ln 0u >成立.另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，则11()2F u u '=-，令()0F u '=，得2u =， 当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<，故对1u >，()(2)0F u F ≤<，因此ln 2u u <成立.13 / 13综上，当2e t >时，有2ln ()15ln 2g t t <<. 【提示】（Ⅰ）求导可得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1e x =，由导数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的正负可得单调性； （Ⅱ）当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 的单调性，可得结论；（Ⅲ）令ln u s =，原题转化为0ln 2u u <<，一方面由()f s 的单调性可得1u >，从而ln 0u >成立；另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证. 【考点】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，不等式的证明。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文））函数21log (2)yx =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞【答案】C2 ．（2013年高考重庆卷（文））已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =（ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．4【答案】C3 ．（2013年高考大纲卷（文））函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（ ）A ．()1021x x >- B ．()1021xx ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A4 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D5 ．（2013年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==,则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A6 ．（2013年高考陕西卷（文））设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为（ ）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】B7 ．（2013年上海（文科））函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是（ ）AB．C．1D．1【答案】A 8 ．（2013年湖北（文））x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D9 ．（2013年高考四川卷（文））设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数).若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立,则a 的取值范围是（ ）A ．[1,]eB ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[0,1]【答案】A10．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（ ） A ．2216a a --B ．2216a a +-C ．16-D ．16【答案】C11．（2013年高考北京卷（文））下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．xy e -=C ．21y x =-+D ．lg ||y x =【答案】C12．（2013年高考福建卷（文））函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A13．（2013年高考浙江卷（文））已知a.b.c ∈R,函数f(x)=ax 2+bx+c .若f(0)=f(4)>f(1),则（ ）A ．a>0,4a+b=0B ．a<0,4a+b=0C ．a>0,2a+b=0D ．a<0,2a+b=0[来源:学+科+网]【答案】A14．（2013年高考山东卷（文））已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f （ ） A ．2B ．1C ．0D ．-2【答案】D15．（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 （ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【答案】C16．（2013年高考陕西卷（文））设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ）A ．·log log log a c c b a b =B ．·log lo log g a a a b a b = C ．()log g o lo g a a a b c bc =D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+【答案】B17．（2013年高考山东卷（文））函数()f x =的定义域为 （ ）A ．(-3,0]B ．(-3,1]C ．(,3)(3,0]-∞-- D ．(,3)(3,1]-∞--【答案】A 18．（2013年高考天津卷（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】C19．（2013年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4的图像的交点个数为______（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C20．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D;21．（2013年高考陕西卷（文））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有（ ）A ．[-x ] = -[x ]B ．[x +12] = [x ] C ．[2x ] = 2[x ] D ．1[][][2]2x x x ++= 【答案】D22．（2013年高考安徽（文））函数()y f x =的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===,则n 的取值范围为 （ ）A ．{}2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】B 23．（2013年湖北（文））小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【答案】C24．（2013年高考湖南（文））已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B二、填空题25．（2013年高考安徽（文））定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,()f x =________________.【答案】(1)()2x x f x +=-26．（2013年高考大纲卷（文））设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时，____________.【答案】-127．（2013年高考北京卷（文））函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________. 【答案】(-∞,2)28．（2013年高考安徽（文））函数1ln(1)y x=++的定义域为_____________. 【答案】(]0,129．（2013年高考浙江卷（文））已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3,则实数a= ____________.【答案】1030．（2013年高考福建卷（文））已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________ 【答案】2- .31．（2013年高考四川卷（文））___________.【答案】132．（2013年上海高考数学试题（文科））方程91331x x+=-的实数解为_______. 【答案】3log 4 三、解答题33．（2013年高考江西卷（文））设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩ a 为 常数且a ∈(0,1).(1) 当a=12时,求f(f(13)); (2) 若x 0满足f(f(x 0))= x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点,证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3) 对于(2)中x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为s(a),求s(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩当20x a ≤≤时,由21x x a =解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当2a x a <≤时由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =∙=≠-++-++-++-++故21ax a a =-++是f(x)的二阶周期点; [来源:Z,xx,]当21a x a a <<-+时,由21()(1)x a x a -=-解得12x a =-2(,1)a a a ∈-+因1111()(1)2122f a a a a =∙-=----故12x a=-不是f(x)的二阶周期点; 当211a a x -+≤≤时,1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+ 因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++故211x a a =-++是f(x)的二阶周期点. 因此,函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,121a x a a =-++,2211x a a =-++. (3)由(2)得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++ 则2322221(1)1(222)(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=∙=∙-++-++因为a 在[13,12]内,故()0s a '>,则11()[]32s a 在区间，上单调递增， 故111111()[]32333220s a 在区间，上最小值为s()=，最大值为s()=34．（2013年高考安徽（文））设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间{}|()0I x f x =>.(Ⅰ)求I 的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-;(Ⅱ)给定常数()0,1k ∈,当11k a k -≤≤+时,求I 长度的最小值.【答案】解:(1)令2()-10f x x a a x ⎡⎤=+=⎣⎦（）解得 10x = 221a x a =+ 2|01a I x x a ⎧⎫∴=<<⎨⎬+⎩⎭I ∴的长度212-1a x x a =+ (2) ()0,1k ∈ 则0112k a k <-≤≤+< 由 (1)21aI a =+ 2221'0(1)a I a -=>+,则01a << 故I 关于a 在(1,1)k -上单调递增,在(1,1)k +上单调递减. ()1221-1-2211-k kI k k k ==+++ 22111k I k +=++（） min 21-22k I k k =++。
2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)6：不等式 )
2013年高考解析分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（2013年高考四川卷（文8））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是（ ）A ．48B ．30C ．24D ．16【答案】C条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四顶点可知，当4=x ，4=y 时，16445m ax =-⨯==z a ，当8=x ，0=y 时，8805min -=-⨯==b ，所以24=-b a ，选C.2 ．（2013年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为 （ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0【答案】B本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文3）） 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。
作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4 ．（2013年高考福建卷（文））若122=+y x,则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞【答案】D本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当y x 22=，即y x =时取等号．5 ．（2013年高考江西卷（文6））下列选项中,使不等式x<1x<2x 成立的x 的取值范围是 （ ）A ．(,-1)B ．(-1,0)C ．0,1)D ．(1,+)【答案】A本题考查不等式的解法。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 -2013高考真题。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 （ ）A ．23B ．25C ．35D ．910【答案】D 2 ．（2013年高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某 产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6 【答案】B 3 ．（2013年高考湖南（文））已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为.21,则ADAB=____ （ ）A ．12 B ．14CD【答案】D 4 ．（2013年高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是 （ ）A ．23B ．13C ．12D ．16【答案】C 5 ．（2013年高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ （ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【答案】D 6 ．（2013年高考山东卷（文））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示:则7个剩余分数的方差为 （ ） A ．1169B ．367C ．36 D【答案】B 7 ．（2013年高考四川卷（文））某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是8 7 79 4 0 1 0 9 1x(B)(A)(C)(D)【答案】A8 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 （ ）A ．12B ．13C ．14 D ．16【答案】B9 ．（2013年高考陕西卷（文））对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 （ ） A ．0.09 B ．0.20 C ．0.25 D ．0.45 【答案】D 10．（2013年高考江西卷（文））总体编号为01,02,19,20的20个个体组成. 利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 （ ）A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D11．（2013年高考辽宁卷（文））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B12．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-; ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+; ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+; ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D. ①④【答案】D13．已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是( )A.a a b b'>'>ˆ,ˆ B.a a b b '<'>ˆ,ˆ C.a a b b '>'<ˆ,ˆ D.a a b b '<'<ˆ,ˆ 【答案】C二、填空题 14．（2013年高考浙江卷（文））从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_________.【答案】1515．（2013年高考湖北卷（文））在区间[2,4]-上随机地取一个数x ,若x 满足||x m ≤的概率为56,则m =__________. 【答案】3 16．（2013年高考福建卷（文））利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ,则事件“013<-a ”发生的概率为_______【答案】3117．（2013年高考重庆卷（文））若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________.【答案】2318．（2013年高考辽宁卷（文））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________. 【答案】10 19．（2013年上海高考数学试题（文科））某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________. 【答案】78 20．（2013年高考湖北卷（文））某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为__________; (Ⅱ)命中环数的标准差为__________.【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 21．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.【答案】1522．（2013年上海高考数学试题（文科））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】57三、解答题 23．（2013年高考江西卷（文））小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还 是去下棋.游戏规则为以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点 中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1) 写出数量积X 的所有可能取值；(2) 分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率 【答案】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1． (2)数量积为-2的只有25OA OA ∙一种数量积为-1的有15OA OA ∙,1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种 数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715p = 因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-= 24．（2013年高考陕西卷（文））有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数.从B 组100人中抽取6人,即从50人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人. (Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为32· B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为62· 现从抽样评委A 组3人,B 组6人中各自任选一人,则这2人都支持 1号歌手的概率926232=⋅=P . 所以,从A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌 手的概率为92. 25．（2013年高考四川卷（文））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24 个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【答案】解:(Ⅰ)变量x 是在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1=1/2； 当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2=1/3； 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3=1/6.所以输出y 的值为1的概率为1/2,输出y 的值为2的概率为1/3,输出y 的值为3的概率为1/6. (Ⅱ)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下,比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.26．（2013年高考辽宁卷（文））现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取3道题解答.试求:(I)所取的2道题都是甲类题的概率; (II)所取的2道题不是同一类题的概率.【答案】27．（2013年高考天津卷（文））某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.【答案】28．（2013年高考湖南（文））某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示:平均年收获量4615==u .(Ⅱ)在15株中,年收获量至少为48kg 的作物共有2+4=6个. 所以,15株中任选一个,它的年收获量至少为48k 的概率P=4.0156=. 29．（2013年高考安徽（文）） 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙 7 4 55 3 3 2 5 3 3 85 5 4 3 3 3 1 0 06 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 07 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 28 1 1 5 5 8 2 09 0（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.【答案】解:(1)30300.056000.05n n =⇒== ，255306p == (2)174013504246092670922805290230x +++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯==208430254014503176010337010208059030x +++⨯++⨯++⨯++⨯+==2069302120842069150.5303030x x ===--30．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.【答案】31．（2013年高考广东卷（文））从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.【答案】(1)重量在[)90,95的频率200.450==; (2)若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,则重量在[)80,85的个数541515=⨯=+; (3)设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ,在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况,其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种;设“抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ,则事件A 的概率31()62P A ==; 32．（2013年高考山东卷（文））某小组共有A B C D E 、、、、五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(2(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率【答案】33．（2013年高考北京卷（文））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】解:(I)在3月1日至3月13日这13天中,1日.2日.3日.7日.12日.13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为413.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.34．（2013年高考福建卷（文））某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22的列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附表:【答案】解:(Ⅰ)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名 所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.053⨯=(人), 记为1A ,2A ,3A ;25周岁以下组工人有400.052⨯=(人),记为1B ,2B 从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,他们是:12(,)A A ,13(,)A A ,23(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B其中,至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B .故所求的概率:710P =(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手:所以得:222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”35．（2013年高考大纲卷（文））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【答案】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”, 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”, A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12=A A A ∙. 12121()=P()()()4P A AA P A P A ∙==. (Ⅱ)记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”, 2B 表示事件“第2局乙参加比赛时,结果为乙胜”,3B 表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B 表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.则1312312B B B B B B B B =∙+∙∙+∙.1312312()()P B P B B B B B B B =∙+∙∙+∙1312312()()()P B B P B B B P B B =∙+∙∙+∙1312312()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B =∙+∙∙+∙111484=++58=. 36．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ),试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?【答案】(本小题满分共12分)(1) 设A 药观测数据的平均数为 ,B 药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得120x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, 1(0.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1202.4 2.5 2.6 2.73.2 1.6y =+++++++++++++++++++= 由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 9 8 7 7 6 5 4 3从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.37．(本小题满分13分,(Ⅰ)小问9分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各2分) 从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180i i x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑. (Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+;(Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑,a y bx =-, 其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 y bxa =+.。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
第Ⅰ卷
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 2．设变量x , y 满足约束条件360,
20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z y x =-的最小值为
(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
4．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =
(A) 12
-
(B) 1 (C) 2 (D)
12
6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是
(A) 1-
(B)
(C) (D) 0 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足
212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是
(A) [1,2]
(B) 10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
(D) (0,2]
8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<
(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
92
π
, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线2
8y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该
双曲线的方程为 .
12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·
1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =
4, 则弦BD 的长为 .
14．设a + b = 2, b >0, 则
1||2||a a b
+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)
某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中
(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.
16．(本小题满分13分)
在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3
B =. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 23B π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
17． (本小题满分13分)
如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;
(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
18．(本小题满分13分)
设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
19． (本小题满分14分) 已知首项为
3
2
的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13
*)6
1(n n S n S +≤∈N .
20．(本小题满分14分)
设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-
+>⎧⎪
=⎨⎪⎩
(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明1231
3
x x x ++>.
参考答案
一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．55i - 10
11．2
2
13
y x -=
12．12 13．152
14．3
4
15．
16．
17．
18．
19．
20．。