同位角相等,两直线平行
初一数学下册：平行线的性质相关知识点
1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：1、垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、平行线间的距离，处处相等。
3、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
4、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5、平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.平行线的性质书写(1)∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）(2)∵AB∥CD（已知）∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）(3)∵AB∥CD（已知）∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。
★要点提示★1.由性质1推导性质2，进一步导出性质3，再运用平行线的知识得出平行线的传递性，体现了几何演绎的思想和方法，要逐步领会和掌握.2.几何学习要注意“看图说话”、“用图说话”，要逐步学会文字语言、图形语言、符号语言的转换和各自功效.如平行线的传递性，可用符号语言表示为：对于直线a、b、c，如果a∥b，b∥c，则a∥c.3.有了平行线间的距离，至此就学了几何中的三种距离：两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离.两点间的距离是两点间线段的长度，后两种都可转化为两点间的距离.两平行线间的距离是一条直线上任意点到另一条直线的距离（点到直线的距离），而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，即点到垂足（点到点）的距离.。
证明平行的方法
证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
证明两条直线平行的方法有很多种，下面将介绍几种常见的证明方法。
1. 同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条第三条直线所切割时，位于这两条直线同侧的对应角。
如果两条直线被一条第三条直线所切割，而同位角相等，则可以证明这两条直线平行。
这是由于同位角相等是平行线的必要条件。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组同位角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
2. 转角相等法。
转角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的内部转角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
3. 垂直线法。
垂直线法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的交叉角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量交叉角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
4. 对应角相等法。
对应角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的对应角相等，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组对应角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。
5. 平行线性质法。
平行线性质法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的一组内部转角之和为180度，则可以证明这两条直线平行。
在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们之和为180度，则可以得出结论，这两条直线平行。
综上所述，证明两条直线平行的方法有同位角相等法、转角相等法、垂直线法、对应角相等法和平行线性质法等多种。
在实际操作中，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
希望本文介绍的方法能够对大家理解和掌握平行线的证明提供帮助。
中考数学复习资料 专题5 平行线与三角形
初三数学总复习辅导资料5 平行线与三角形 一、相关知识点复习： （一）平行线1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 判定：同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角相等，两直线平行。
垂直于同一直线的两直线平行。
3. 性质：(1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3) 两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
（二）三角形4. 一般三角形的性质(1) 角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2) 边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3) 边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4)5. (1) 等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
(2) 等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。
(3) 直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6. 三角形的面积 一般三角形：S △ =21a h （ h 是a 边上的高 ）直角三角形：S △ = 21a b = 21c h （a 、b 是直角边，c 是斜边，h 是斜边上的高）等边三角形： S △ =43a 2（ a 是边长 ）等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。
平行线是什么
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质：
1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
3.两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行。
4.平行线分三角形对应边成比例。
平行线的判定：
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
5、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行。
6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
初一几何平行线的性质及判定.
1第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． ba 4321若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． ba 4321若12∠=∠，则∥a b ； 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(c )b aA过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．c b a若∥，∥b a c a ，则∥b c ．模块一 平行的定义、性质及判定知识导航1平行的性质及判定2【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥(北京三帆中学期中)⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°(北京101中期中)⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°(北京八中期中)⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______21ba CBA(北京八十中期中)⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥夯实基础DCBA21edc baba 21DGF1E CB A3 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版(北京十三分期中)⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）12345A ．1B ．2C ．3D ．4(北京十三分期中)⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．21l 2l 1DCB A(北京一六一中期中)⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．21(北京一六一中期中)【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵AB CD ∥，∴180BAD D ∠+∠=°（ ）． ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12∠=∠（ ）．（北京市海淀区期末）⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分ADC ∠，∴∠3＝∠ （ ）21D C BA P D CBA43214∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.（北京市朝阳区期末）⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．4321FEDCBA解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B ∠；∥AD BC ；两直线平行，内错角相等⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等⑶ 已知；1∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，内错角相等；已知；2∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．【例3】 ⑴ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠ 的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： .⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =.能力提升ABC D E图3EDC B AF 4321EDCB A5第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版能说明AC BD ∥的条件有 .⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【解析】 ⑴ ∵AB CD ∥，115C ∠=°（已知），∴65BFC ∠=°（两直线平行，同旁内角互补） ∴65AFE BFC ∠=∠=°（对顶角相等）． ∵25A ∠=°（已知），∴90E ∠=°（三角形内角和）．⑵ EBD ACB ∠=∠（EBA BAC ∠=∠）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A ．【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠．⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．(北京八中期中)EDCBA21G F ED CB A图1 图2【解析】 ⑴ ∵DE BC ∥∴80EDC DCB ACB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠∴1402EDC DCB ACB ∠=∠=∠=︒⑵ 证明：∵1C ∠=∠（已知）∴BE CF ∥（同位角相等，两直线平行） 又∵BE FD ⊥（已知）∴90CFD EGD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等） ∴290BFD ∠+∠=︒（平角定义） 又∵290D ∠+∠=︒（已知） ∴BFD D ∠=∠（等量代换）∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：AE BG CDM H F12 3 N MH G FE DCBA6【解析】 ∵AB ∥CD ，∴AME CNE ∠=∠又∵MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠∴1122GME AME CNM HNE ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.模 型示例剖析ab21若∥a b ，则12∠=∠a bc321若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒ba 321若∥a b ，则123∠=∠+∠ab321若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【解析】 过点E 作∥EF AB ,∵∥EF AB ,∥AB CD （已知）∴∥EF CD （平行于同一条直线的两直线平行）夯实基础知识导航模块二 基本模型中平行线的证明F ABCDEED C BA7第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版∵∥EF AB ,（已知）∴B BEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵∥EF CD ,（已知）∴D DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵BED BEF DEF ∠=∠+∠∴BED B D ∠=∠+∠（等量代换）【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．【解析】 过点C 作CF AB ∥． ∵AB DE ∥且CF AB ∥（已知）∴CF AB DE ∥∥（平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB CF ∥且80ABC ∠=︒（已知）∴80BCF ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）∵DE CF ∥且140CDE ∠=︒（已知）∴180********DCF CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴804040BCD BCF DCF ∠=∠-∠=︒-︒=︒【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=o ，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．【解析】 如图延长CM 交直线AB 于点N∵3180DCB ∠+∠=o ，（已知）3ABC ∠=∠（对顶角相等）∴180ABC DCB ∠+∠=o （等量代换） ∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠，（已知） ∴24∠=∠（等量代换） ∴GE ∥CM ，（同位角相等，两直线平行）∴180CME GEM ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） ∵:4:5CME GEM ∠∠=， ∴80CME ∠=o【点评】通过辅助线将相关角联系起来.能力提升探索创新FED C B AA BC DE1243AB C DE GMN123ABC DE GM8 判断对错：图中1∠与2∠为同位角（）【解析】×_1∠和2∠不是被同一条直线所截判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（）【解析】×_易忘记大前提“在同一平面内”题号班次12345678基础班√√√√√提高班√√√√√尖子班√√√√√知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练【演练1】已知如图，1C∠=∠，2B∠=∠，MN与EF平行吗？为什么？NMF21EBAC【解析】∵1C∠=∠（已知），∴MN BC∥（内错角相等，两直线平行）∵2B∠=∠（已知），∴EF BC∥（同位角相等，两直线平行）∴MN EF∥（平行于同一条直线的两直线平行）【演练2】⑴如图1，AB CD∥，AD AC⊥，32ADC∠=°，则CAB∠的度数是．⑵如图2，直线l与直线a，b相交．若a b∥，170∠=°，则2∠的度数是．实战演练219第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C ．【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ②∵B BED ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③∵180B CEB ∠+∠=°（已知）∴AB CD ∥（ ）（北京市东城区期末）⑵ 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥证明：∵12∠=∠（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） ∴C CBE ∠=∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）⑶ 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB CE ∥（ ）【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． ⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．【演练4】 ⑴ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．(北京三帆中学期中)证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） 图1E D CBA 2112图3F3ED A DFA EB C 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A10∴3B ∠=∠（ ）⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整．(北京四中期中)解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ）又∵12∠=∠∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ）又∵70BAC ∠=°∴AGD ∠= ．【解析】 ⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ；BC ；内错角相等，两直线平行；EF ；BC ；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．⑵3∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；AGD ∠; 两直线平行，同旁内角互补；110°．【演练5】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥． 【解析】 ∵DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=° ∴180ADC BCD ∠+∠=°，∴AD ∥BC ，∴180DAB ABC ∠+∠=°∵DA AB ⊥，∴90ABC ∠=°，即BC AB ⊥【演练6】 如图，已知12180∠+∠=o ，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【解析】 法一：∵12180∠+∠=o ，∴2DFE ∠=∠ ∴AB ∥EF ，∴3ADE ∠=∠ ∵3B ∠=∠，∴B ADE ∠=∠ ∴DE ∥BC ，∴AED ACB ∠=∠法二：延长EF ，找2∠的同位角，证出AB ∥EF ，再找3∠的内错角，证出DE ∥BC 即可．知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练【演练7】 如图，已知AB ∥CD ，23ABF ABE ∠=∠，23CDF CDE ∠=∠，则:F E ∠∠= .【解析】 分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：:2:3F E ∠∠=.【演练8】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ABCDE F123A B D E F12A BC D E 图2132G A E B D FC11 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版 EDC B A【解析】 如图过点E 做∥EF AB ,∵∥EF AB∴B BEF ∠=∠,∵BED BEF DEF B DEF ∠=∠+∠=∠+∠ BED B D ∠=∠+∠∴DEF D ∠=∠∴∥EF CD又∵∥EF AB∴∥AB CDF A B C DE。
平行线的判定条件
平行线的判定条件平行线是在同一个平面上且永不相交的两条直线。
在几何学中，判定两条直线是否平行的条件有以下三种：1. 同位角相等定理：如果一条直线与两条平行直线相交，那么这两条平行直线上的同位角（同位角是指两条直线被截取的相对位置相同的两个角）相等。
为了更好地理解同位角相等定理，我们可以通过以下例子进行解释。
假设有两条平行线l和m，直线n与l和m相交，如图所示： n|l———————————————m根据同位角相等定理，角A等于角B，角C等于角D。
这意味着同一边两个对应的角度是相等的，如角A和角B，角C和角D。
2. 三角形内角定理：如果两条直线被一条第三条直线截取，并且该直线上的两个内角相等，那么这两条直线是平行的。
以一个三角形作为示例，如图所示：///a //// b----------/----------//// c如果线段a与线段b平行，那么线段c与线段b也平行。
3. 平行线的传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c 平行。
此定理在平行线的判定中起到重要作用。
它表示如果两条直线均与同一直线平行，那么这两条直线本身也是平行的。
总结：以上所述的三种判定条件可以帮助我们确定两条直线是否平行。
在几何学中，平行线的判定非常重要，并且可应用于解决各种相关问题，例如角度相等和直线的相对位置等。
需要注意的是，在判断平行线时，我们必须确保所讨论的直线都在同一个平面上。
如果两条直线不在同一个平面上，那么它们无法被判定为平行。
通过了解和应用这些判定条件，我们可以有效地判断两条直线是否平行，并在几何学问题中应用这些知识。
平行线的概念和判定条件在数学和物理学中均有广泛的应用，对于进一步理解和解决相关问题具有重要意义。
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线是几何学中的重要概念，它们具有独特的性质和判定方法。
本文将介绍平行线的性质，并详细阐述如何判定两条直线是否平行。
一、平行线的性质1. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一条横截线所截得的对应角。
当两条直线被一条横截线截得时，同位角具有以下性质：（1）同位角相等：同位角的对应角度相等，即如果∠A=∠C，则∠B=∠D。
（2）内错角相等：同位角的内错角相等，即如果∠A=∠B，则∠C=∠D。
（3）补角性质：同位角的补角之和为180度，即∠A+∠B=180度，∠C+∠D=180度。
2. 平行线及其截线性质：（1）平行线与横截线的交角为同位角。
（2）平行线被横截线所截得的对应线段相等。
（3）平行线间的任一条横截线，所截线段比例相等。
（4）平行线与平行线之间的距离相等。
二、平行线的判定判定两条直线是否平行有多种方法，下面将介绍三种常用的判定方法：1. 同位角判定法：通过测量两条直线上的同位角是否相等来判断其是否平行。
如果两条直线上的同位角相等，则这两条直线平行；反之，则不平行。
2. 夹角判定法：通过测量两条直线间的夹角是否为180度的补角来判断其是否平行。
如果两条直线间的夹角为180度的补角，则这两条直线平行；反之，则不平行。
3. 斜率判定法：通过测量两条直线的斜率是否相等来判断其是否平行。
斜率是直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；反之，则不平行。
三、示例应用为了更好地理解平行线的性质与判定方法，下面以一个应用场景为例进行说明。
假设有一条横截线m与两条直线A和B相交，现需要判断A与B是否平行。
首先，通过测量横截线m所截得的∠ACD和∠BCE是否相等，若相等，则可以初步判断A与B可能平行。
接下来，测量A和B的斜率，若斜率相等，则可以确认A与B是平行线；反之，若斜率不相等，则两条直线不平行。
最后，可以进一步验证同位角的性质。
在A和B都与横截线m相交的情况下，测量∠DCA和∠ECB是否相等，若相等，则确认A与B 是平行线；反之，则两条直线不平行。
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在几何学中，我们经常遇到两条直线之间的关系。
其中一种重要的关系是两条直线平行的情况。
而当两条直线平行时，它们之间的同位角具有一个特殊的性质，即同位角相等。
因此，研究同位角相等和直线平行之间的条件对于解决与直线相关的几何问题至关重要。
本文将探讨同位角的定义和性质，以及平行线的定义和性质。
进一步，我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析这些条件，我们可以更深入地理解直线之间的关系，并且能够在解题过程中运用这些条件。
首先，我们将介绍同位角的定义和性质。
同位角是指位于同一侧相交直线上两条直线所夹的角。
我们将讨论同位角的定义，并探究同位角的一些重要性质，例如同位角的和角、互补角和对顶角等。
这些性质有助于我们理解同位角的特点，并为后续讨论奠定基础。
接下来，我们将详细探讨平行线的定义和性质。
平行线是指在同一个平面上不相交的直线，它们在任意位置上的距离始终相等。
我们将探讨平行线的定义，并讨论平行线的一些重要性质，例如平行线的性质、平行线与转角的关系等。
这些性质将帮助我们更好地理解平行线的特点，并为进一步讨论提供所需的背景知识。
最后，我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析同位角相等的条件，我们可以确定两个直线平行的判定条件之一。
同时，我们还将讨论直线平行的条件，即确定直线是否平行所需满足的条件。
这些条件的理解和应用将有助于我们解决与直线平行和同位角相关的几何问题，以及在实际生活中应用几何知识时能够更准确地判断直线之间的关系。
通过本文的探讨，我们将能够更深入地理解同位角相等和直线平行的条件。
同时，我们还将学会如何应用这些条件解决与直线相关的几何问题。
这些知识将为我们在学习和应用几何学时提供有力的支持。
下一节将详细介绍同位角的定义和性质。
让我们一起深入研究吧！1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕同位角相等和两条直线平行的条件展开讨论。
平行线是什么意思
平行线的意思：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质：
1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
3.两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行。
4.平行线分三角形对应边成比例。
平行线的判定：
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
5、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行。
6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。
平行线的判定公理
平行线的判定公理（定理）（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简称“同位角相等，两直线平行”）．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简称“内错角相等，两直线平行”）．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简称“同旁内角互补，两直线平行”）．2．平行线的性质公理（定理）如果两条平行线被第三条直线所截，那么（1）同位角相等（简称“两直线平行，同位角相等”）．（2）内错角相等（简称“两直线平行，内错角相等”）．（3）同旁内角含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加〔或减〕同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。
则：〔1〕a+c＝b+c 〔2〕a-c＝b-c 等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的的数所得的结果仍是等式。
3若a=b,则b=a（等式的对称性）。
4若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
编辑本段一元一次方程人教版7年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到。
定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。
一般解法：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率。
⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
探索直线平行的条件教案
探索直线平行的条件教案探索直线平行的条件教案作为一位兢兢业业的人民教师，常常要写一份优秀的教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家整理的探索直线平行的条件教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
探索直线平行的条件教案1学习目标：1.经历探索直线平行的条件“同位角相等，两直线平行”，认识同位角.2.经历观察、操作、想象、说理、交流等数学活动，发展空间观念和有条理地表达能力.学习重点：1.会正确识别图形中的同位角.2.掌握直线平行的条件“同位角相等，两直线平行”.3.发展空间观念和有条理地表达能力.学习难点：有条理地表达出问题分析和解决的过程.导学过程：【预习交流】1.预习课本P6页到P8页，有哪些疑惑?2.下面的图形中，直线a、b被c所截，所标出的角中有哪些角是同位角?同位角一定相等吗?【点评释疑】1.课本P6操作.2.课本P6说一说.两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角.同位角的特征：①∠1、∠2分别在直线a、b的同侧(上方)，并且都在直线c的同旁.②基本形状是“F”型.想一想：在上面的图形中，还有没有其他的同位角?归纳：同位角相等，两直线平行.3.例1.如图：∠1=∠C，∠2=∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由.解：(1)AB∥CD∵∠1=∠C()∴AB∥CD()(2)AC∥BD∵∠2=∠C()∴AC∥BD()4.应用探究(1)如图，①∠2与∠4是直线、被直线所截成的同位角;②∠3与是同位角.(2)如图，直线c与直线a、b相交，∠1=50°，当∠2为多少度时，a∥b?并说明理由.解：当∠2=50°时，a∥b.∵∠2=50°(已知)∴∠3=∠2=50°()∵∠1=50°()∴∠=∠∴a∥b()你还有其它的说理方法吗?(3)如图，竖在地面上的两根旗杆，你能说明它们平行的道理吗?5.练习巩固课堂练习：课本P7到P8练习1、2.【达标检测】1.如图，图中∠AEF的同位角有哪几个?根据“同位角相等，两直线平行”，图中哪两个同位角相等，可得DE∥BC?哪两个同位角相等，可得EF∥BD?2.如图9，由三个相同的含30°的三角板拼接成的图形，请找出图中有哪些直线平行(不增添新的字母)?并说明理由.3.如图，∠1+∠2=180°，a与b平行吗?为什么?4.(1)如图1，给出一个条件，使AC∥DE;再给出一个条件，使CD∥EF，并说明理由.(2)如图2，∠DAC=130°,AE平分∠DAC，再给出一个条件，使AE∥BC，并说明理由.(3)如图3，∠2=∠3，直线a与直线b平行吗?为什么?【总结评价】1.两条直线平行的条件：同位角相等，两直线平行及认识同位角.2.合理、有条理的说明思维过程.【课后作业】课本P9到P10习题7.11、2、3、4.探索直线平行的条件教案2教学目标：1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力；2、会认由三线八角所成的同位角；3、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。
同位角相等,两直线平行是公理
同位角相等,两直线平行是公理1.引言1.1 概述同位角相等和两直线平行是几何学中的基本概念和公理，它们在我们研究平行直线和角度关系时起到了重要的作用。
同位角相等指的是具有相同顶点和公共边的两个角度，而两直线平行则表示两条直线在平面上永远不会相交。
在几何学中，我们经常需要研究线段、角度和直线的关系。
同位角相等和两直线平行的概念为我们提供了描述和解释这些关系的基础工具。
通过这些概念，我们可以更好地理解和推导几何学中的定理和推论。
同位角相等的概念告诉我们，如果两个角度具有相同的顶点和公共边，那么它们的度数也是相等的。
这个概念对于证明几何定理和推断几何关系非常重要。
例如，在证明两条直线平行时，我们经常需要利用同位角相等的性质。
而两直线平行的概念是几何学中最基础的公理之一。
它表明，如果两条直线在平面上永远不相交，那么它们是平行的。
这个概念对于研究角度和线段之间的关系至关重要。
在实际生活中，我们经常会用到平行直线的概念，比如在道路交通标志中，两条平行的线表示车道的分隔。
通过对同位角相等和两直线平行这两个基本概念的研究，我们可以推导出许多重要的几何定理和推论。
这些定理和推论在实际应用中具有广泛的意义，例如在建筑设计、地图制作和机械制造等领域中都有重要的应用价值。
总之，同位角相等和两直线平行的概念是几何学中的基本工具，它们对于研究和理解几何关系起到了重要的作用。
通过深入理解和应用这些概念，我们可以更好地掌握几何学知识，发展出更多的几何定理和推论，为实际生活和科学研究提供有力的支持。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍同位角相等的概念，包括定义和性质。
接着，我们将引入两直线平行的概念，并探讨其定义和相应的性质。
在正文部分，我们将详细讨论同位角相等与两直线平行的关系，尤其是它们之间的等价性。
最后，我们将强调公理在几何学中的重要性，并展示同位角相等和两直线平行作为公理的应用场景。
通过这样的结构，我们将全面而系统地阐述同位角相等和两直线平行的相关性，并加深对它们的理解。
平行线的判定和性质知识点详解
平行线的判定和性质知识点详解平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
在平行线的判定和性质中，我们会涉及到直线和角的相关概念以及它们之间的关系。
1.同位角平行线判定：如果两条直线与一条横截线相交，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
同位角是指两条直线被横截线所形成的内外两对相似角。
2.顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得内侧的两个顶角互补，则这两条直线是平行线。
顶角是指两条直线被截断所形成的内外两个相交角。
3.对顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得对顶角互补，则这两条直线是平行线。
对顶角是指两条直线被截断所形成的相对两侧的相交角。
平行线的性质如下：1.同位角性质：同位角是两条平行线被横截线所形成的内外两对相似角。
性质有：同位角相等；同位角的对应角相等；同位角的内外两个对顶角互补。
2.内错角性质：内部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。
3.外错角性质：外部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。
4.顶角性质：顶角是两条平行线被一条截断线所形成的内外两个相交角。
性质有：顶角相等；顶角的对应角相等；顶角的内外两个对位角互为补角。
5.对顶角性质：对顶角是两条平行线被一条截断线所形成的相对两侧的相交角。
性质有：对顶角互为补角。
6.互补角性质：互补角是指两个角的和为90度。
在平行线中，同位角和对位角都是互补角。
7.直角性质：如果一条直线垂直于一条平行线，则它与这条平行线的对位角都是直角。
8.平行线之间的距离性质：平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。
总结起来，平行线的判定方法包括同位角平行线判定、顶角平行线判定和对顶角平行线判定。
而平行线的性质包括同位角性质、内错角性质、外错角性质、顶角性质、对顶角性质、互补角性质、直角性质以及平行线之间的距离性质等。
这些性质可以帮助我们在解决平行线相关问题时更加便捷地推导和证明结论。
同位角相等两直线平行条件
同位角相等两直线平行条件同位角相等：两直线平行条件在几何学中，当两条直线被一条第三条直线（称为横断线）所交错时，便会形成八个角。
其中，与对应同边的角相等的角被称为同位角。
同位角相等是一个重要的几何性质，它与两条直线之间的平行性有着密切的关系。
具体来说，当两条直线被一条横断线所交错时，如果其中一对同位角相等，那么这两条直线必定平行。
这个性质得到了欧几里得几何中第五公理的支持，该公理指出：如果一条直线与另外两条直线相交，并且在同一边上形成的内角和小于两个直角，那么这两条直线将相交于该边。
同位角相等平行条件的应用十分广泛。
例如，在建筑学中，它被用来确保墙壁和天花板平行。
在工程学中，它用于设计平行梁和支架。
在测绘学中，它被用来绘制平行线和测量距离。
证明要证明同位角相等平行条件，我们可以使用反证法。
假设两条直线 l1 和 l2 被一条横断线 t 所交错，并且其中一对同位角∠1 和∠2 相等，但 l1 和 l2 不平行。
根据第五公理，l1 和 l2 将相交于线段 t 上的某一点 P。
但是，由于 l1 和 l2 不平行，因此它们之间的距离会随着我们沿着t 移动而不断变化。
当我们沿着 t 朝着 P 点移动时，l1 和 l2 之间的距离会减小。
然而，当我们沿着 t 远离 P 点移动时，l1 和 l2 之间的距离会增加。
这与同位角∠1 和∠2 相等的假设相矛盾。
因为如果 l1 和l2 相交于 P 点，那么∠1 和∠2 就不可能相等。
因此，我们的假设是错误的。
两条直线 l1 和 l2 必须平行。
应用同位角相等平行条件在现实生活中有着广泛的应用。
例如：建筑学：确保墙壁和天花板平行，以创建美观且结构稳定的建筑物。
工程学：设计平行梁和支架，以承受重物和抵抗应力。
测绘学：绘制平行线和测量距离，以创建准确的地图和图表。
机械制造：确保机器部件平行，以实现平稳可靠的操作。
制衣：创建平行接缝和褶皱，以制作合身且美观的服装。
(完整版)七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。
证明两条直线平行的方法
证明两条直线平行的方法两条直线平行的性质在几何学中是非常重要的，我们经常需要判断两条直线是否平行。
下面我将介绍几种证明两条直线平行的方法。
1.同位角相等法则。
同位角是指两条直线被一条横穿线所切割，而且在同一边的内角和外角。
如果两条直线被一条横穿线所切割，而且内角或外角相等，则这两条直线是平行的。
这是最常用的证明方法之一。
2.平行线的性质法。
平行线的性质是指如果两条直线分别与第三条直线相交，使得同位角相等，则这两条直线是平行的。
这个方法常常用于证明两条直线与一条横穿线的关系。
3.转角相等法则。
在平行线的情况下，如果两条直线被一条横穿线所切割，使得相邻角相等，则这两条直线是平行的。
这是另一种常用的证明方法。
4.利用平行线的性质证明。
平行线的性质还包括了平行线与平行线的关系。
如果两条直线分别与同一条直线相交，使得对应角相等，则这两条直线是平行的。
这个方法也可以用于证明两条直线的平行关系。
5.利用平行线的性质证明。
平行线的性质还包括了平行线与平行线的关系。
如果两条直线分别与同一条直线相交，使得内错角互补，则这两条直线是平行的。
这个方法也可以用于证明两条直线的平行关系。
6.利用平行线的性质证明。
平行线的性质还包括了平行线与平行线的关系。
如果两条直线分别与同一条直线相交，使得同旁内角互补，则这两条直线是平行的。
这个方法也可以用于证明两条直线的平行关系。
7.利用平行线的性质证明。
平行线的性质还包括了平行线与平行线的关系。
如果两条直线分别与同一条直线相交，使得同旁外角相等，则这两条直线是平行的。
这个方法也可以用于证明两条直线的平行关系。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来判断两条直线是否平行，因此掌握这些方法对于解题非常重要。
通过以上介绍，相信大家对于证明两条直线平行的方法有了更清晰的认识。
希望大家能够灵活运用这些方法，解决实际问题。
同位角相等两直线平行证明
同位角相等两直线平行证明《同位角相等两直线平行证明》“哎呀，这数学题也太难了吧！”我忍不住抱怨道。
那是一个阳光明媚的下午，我和我的好朋友小明还有学霸姐姐一起在房间里做作业。
房间里很安静，只有我们写字的沙沙声。
我正对着一道几何题发愁呢，脑袋都快想破了也没想出个所以然来。
我皱着眉头，咬着笔头，一脸的苦恼。
这时，小明凑过来问：“怎么啦？愁眉苦脸的。
”我指了指那道题，说：“就这个，同位角相等两直线平行，这咋证明啊？”小明看了看题，也是一脸茫然。
这时候学霸姐姐听到我们的对话，笑着说：“这有啥难的呀，来，我给你们讲讲。
”姐姐拿过纸笔，开始画图讲解：“你们看啊，就像这样，假设这两条直线被第三条直线所截，然后找到同位角……”我和小明眼睛一眨不眨地盯着姐姐的图和讲解，努力去理解。
“哎呀，好像有点明白了！”我兴奋地说。
小明也跟着点头：“嗯嗯，是这么个道理。
”姐姐笑着说：“对呀，其实数学没那么难，只要认真去思考，就会发现其中的乐趣。
就像我们走路一样，一步一步走，总能走到目的地。
同位角相等两直线平行不也是这样一个道理嘛！”我想了想，可不是嘛，学习就像走一条路，得一步一个脚印。
经过姐姐的讲解，我和小明终于搞懂了这个知识点。
我开心地说：“哈哈，这下我会啦！”小明也笑着说：“我也会啦！”我们三个相视一笑，继续愉快地做作业。
我觉得呀，学习虽然有时候会遇到困难，但只要有好朋友和姐姐一起探讨，一起努力，就一定能克服。
就像证明同位角相等两直线平行一样，只要我们认真去钻研，总能找到答案！同位角相等两直线平行，这就是真理呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
几何证明高中判定流程
几何证明高中判定流程几何证明在高中可是个很有趣又有点小头疼的事儿呢。
一、基本的判定定理。
1. 直线平行的判定。
- 同位角相等，两直线平行。
就像两条铁轨，如果有两个角在相同的位置而且大小一样，那这两条铁轨肯定是平行的呀。
比如说在一个图形里，你看到两个角，它们就像双胞胎一样，角度相同，那包含这两个角的直线肯定是平行的。
- 内错角相等，两直线平行。
这就好比两个人在一个交叉路口，一个往这边走一点，一个往那边走一点，但走的角度刚好能让两条线平行，这个角度就是内错角相等的时候。
- 同旁内角互补，两直线平行。
想象一下，两个角在同一侧，加起来是180度，就像两个小伙伴紧紧靠在一起，那这两条线肯定是平行的啦。
2. 三角形全等的判定。
- SSS（边边边）。
这就像是搭积木，如果三条边的长度都一样，那搭出来的两个三角形肯定是一模一样的呀。
比如说你有三根一样长的小木棍，不管你怎么摆，只要三边对应相等，三角形就是全等的。
- SAS（边角边）。
有两条边和它们的夹角相等的两个三角形全等。
就像两个人手拉手，胳膊的长度一样，手之间的夹角也一样，那这两个人站的姿势就和全等三角形一样啦。
- ASA（角边角）。
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
这就好比两个人的头的角度和中间连接的脖子长度一样，那这两个人的形状肯定是一样的呀。
- AAS（角角边）。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
这有点像先确定了两个人的头的角度，然后再确定其中一个人的脚到某个头的距离一样，那这两个三角形也是全等的。
- HL（斜边、直角边）。
这个是专门针对直角三角形的哦。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边相等，那它们就是全等的。
就像两个直角三角形的大长腿（斜边）和小短腿（直角边）一样长，那它们肯定是全等的啦。
二、证明流程。
1. 审题。
- 拿到一道几何证明题，先不要着急动手。
要好好看看题目里都给了我们哪些条件，就像探险家在寻宝之前，先看看手里的地图和工具一样。
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求证:∠1=∠2
l
1
l1
2
l2
l3
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线 中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于
点P.
l3
求证: l3与l2相交. 证明: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
P
l1
即____l3_∥_l_2 __.
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l3,l2∥l3,
这种证明方法叫做反证法.
（用反证法）
求证：在四边形中至少有一个角是 钝角或直角
Ａ
已知:（如图）四边形
ABCD中
D
求证：四边形ABCD B
中至少有一个角是钝
C
角或直角
反证法的一般步骤:
假设
假设命题结 论不成立
假设命题结 论反面成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 基本事实矛盾
假设不 成立
2、反证法的一般步骤:
假
设
引
命 题
从假设出发
出 矛
不
盾
成
立
假 设 不
得出结论
求 证 的 命
成 立
题 正
确
布置作业:
见数学作业本
1、写出下列各结论的反面：
（1）a//b
a∥b
（2）a≥0
a<0
（3）b是正数
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
( 5 ) 至少有一个 一个也没有
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
证明 假设所求证的结论不成立，即
Ｂ
∠Ａ＿＿＜６０°， ∠Ｂ＿＿＜６０°，∠Ｃ＿＿＜６０°
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 所以，所求证的结论成立．
假设“李子甜” 树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件 矛盾,或者与定义,基本事实,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立是错误的, 即所求证的命题正确.
l2
因为已知___l_1_∥_l2___,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_
_线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾.
所以假设不成立,即求证的命题正确. 所以 l3与l2相交.
总结回顾:
1、反证法的概念;
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
所证命 题成立
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线
平行,那么这两条直线也互相平行.
l
(1你)不首用先反会证选法择证哪明一种证明方法?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3பைடு நூலகம்
l3交于于点A，B，C。
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
c a b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
∴a∥b
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_° 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2 =∠3
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
求定证理:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
有人问王戎为什么，
从前有个聪明的孩
子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是: