平行线的判定公理同位角相等,两直线平行
平行线的性质和判定
平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。
平行线的判定和性质学案平行线的判...
平行线的判定和性质_学案平行线的判定、性质由平行线的画法，引出平行线的判定公理（同位角相等，两直线平行）．由公理推出：内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理．本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础．本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程．学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理．平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。
能用平行线的性质进行简单的推理和计算。
理解平行线的判定方法和性质区别。
点击一：平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线注意：（1）平行线特指在同一平面内的具有特殊位置关系的额两条直线，特殊在这两条直线没有交点（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在直线平行点击二：两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行点击三：平行线的基本性质：平行公理：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
点击四：平行线的判定方法同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．针对练习1:1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是毛A.平行或相交B.垂直或相交;C.垂直或平行D.平行、垂直或相交2.下列说法正确的是A.经过一点有一条直线与已知直线平行B.经过一点有无数条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列说法正确的有①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;③若线段AB与CD没有交点,则AB‖CD;④若a‖b,b‖c,则a与c不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个5.过一点画已知直线的平行线,则A.有且只有一条B.有两条;C.不存在D.不存在或只有一条6.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.7.若AB‖CD,AB‖EF,则_____‖______,理由是__________________.8.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个数是_________.9.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.10.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L 平行,则A,•B,C三点________,理论根据是___________________________.11.如图所示,已知∠1 ∠2,AC平分∠DAB,试说明DC‖AB.12.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF 600,∠E •30°,试说明AB‖CD.答案：1.A2.D3.C4.B5.D6.不相交的两条直线7.CD EF 平行于同一条直线的两条直线平行8.1个 0个9.0个或1个或2个或3个 10.在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行11. 解:∵AC平分∠DAB,∴∠1 ∠CAB,又∵∠1 ∠2,∴∠CAB ∠2,∴AB‖CD.12.解:∵EG⊥AB,∠E 30°,∴∠AKF ∠EKG 60°∠CHF,∴AB‖CD.点击五：平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．点击六：平行线的距离同时垂直于两条平行线并且夹在两条平行线间的线段的长度叫做平行线的距离。
【暑假分层作业】第02练 平行线的性质与判定-2022年七年级数学(人教版)(原卷)
第02练平行线的性质与判定知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a ∥b ，∴∠4+∠1=180°.知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.1．如图所示．点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB //CD 的是（ ）A ．3A ∠=∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D ACD ∠+∠=︒2．如图，AB //CD ，DB ⊥BC ，垂足为点B ，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°3．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点G ，H ．GM 平分∠BGH ，且∠GHM =48°，那么∠GMD 的度数为（ ）A ．96°B ．104°C ．114°D ．124°4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF ＝∠GFE ＝45°，∠H ＝60°，∠EFH ＝30°），满足点E 在AB 上，点F 在CD 上，AB ∥CD ，∠AEG ＝20°，则∠HFD 的大小是（ ）A ．70°B ．40°C ．35D ．65°5．如图，点E 在AC 的延长线上，对于下列给出的四个条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠A =∠DCE ；④∠D ＋∠ABD =180°．能判断AB ∥CD 的是__________．（填正确条件的序号）6．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，250∠=︒，若要使木条a 与b 平行，则1∠的度数应为______．7．如图，AB ∥CD ，∠ABE =120°，∠DCE =110°，则∠BEC =______°．8．如图，a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，13625'∠=︒，那么2∠=______．9．如图，∠1＝30°，∠B ＝60°，AB ⊥AC ．试说明AD //BC ．10．如图，已知AC ⊥BC 于点C ，∠B ＝70º，∠ACD ＝20º．(1)求证：AB //CD ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC //AD ．11．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在AB上，点G在BC上，且EF∥CD，∠1+∠2＝180°．(1)求证：GD∥CA；(2)若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．∠=∠．12．如图，在△ABC中，40B∠=，D，E分别是边BC，CA上的点，A DEC(1)求∠BDE的大小；(2)DF AC∥交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．1．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠4=∠6；③∠4+∠5=180°；④∠2+∠3=180°.其中能判定a∥b的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝_________．（用含α的式子表示）3．已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ 的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．。
第二十四章第3-5节平行线的判定定理;平行线的性质定理;三角形内角和定理
（3）在推理的过程中，已经推出的结论可以作为后面继续推证的依据.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一.选择题
1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线，有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）
又∵EF∥AB（已知），
∴∠EFC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）.
评析：本题关键是利用平行线的性质，来证明角度相等，要注意角的位置.
例4.如图所示，直线MN分别和直线AB、CD、EF相交于G、H、P，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：AB∥EF.
分析：要证AB∥EF，可先证AB∥CD和EF∥CD.根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥EF.
（1）∵CE∥AB（已知），
∴∠1＝∠B（）
（2）∵CE∥AB（已知），
∴∠2＝∠A（）
（3）∵∠1＝∠B，∠2＝∠A（已证），
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠A（）
即∠ACD＝∠B＋∠A（）
（4）∵BCD是一直线（已知），
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（）.
*2.如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA.
5.提示：因为∠BAC是△ACD的一个外角，所以∠BAC＞∠1.因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2.因为∠2是△BCD的一个外角，所以∠2＞∠B.所以∠BAC＞∠B.
3.提示：因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4.因为MG∥NH，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
4.提示：过点E作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
平行线判定的六种方法
平行线的判定方法6：
垂直于同一条直线的两条直线平行。 几何书写： ∵b⊥a且c⊥a
∴b∥c（垂直于同一条
直线的 两条直线平行。）
二．学会分析，应用方法
问题3 如图，当∠1=∠2时,AB 与CD平行吗？ 为什么？ 答： AB∥CD . 1 A B 理由如下： 3 ∵ ∠1=∠2， C D 2 又∵ ∠2=∠3 ， ∴ ∠1=∠3 . F ∵∠1和∠3是同位角， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
2.已知直线l1,l2被l3所截，1=45º ，2=135º ， 判断l1 与 l2 是否平行，并说明理由。 解： l1 // l2 理由如下： 由已知，得2+3=180º ， 2=135º
3=180º -2 =180º -135º =45 º
l3 2 1 l1
又∵ 1=45º ，
D A 2 1 E F 3 C B
二．学会分析，应用方法
问题2 在同一平面内，如果两条直线都垂 直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？ 为什么？ 已知条件： 直线b与直线c都垂直于 直线a.
要说明的结论： 直线b与直线c平行。
二．学会分析，应用方法
已知：b⊥a且c⊥a 说明：b∥c吗？ 答：b∥c 理由如下： ∵ b⊥a， 2 1 ∴ ∠1= 90°. 同理∠2= 90°. 你还能用其他方 ∴ ∠1=∠2. 法说明理由吗？ ∵ ∠1和∠2是同位角， ∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）.
D A 2 1 E F C 3 B
一．梳理旧知，归纳方法源自（2）结合图形回答问题： ②如果∠1=∠3，能判定哪两条直线平行？ 为什么？ 答： DE∥FB.根据同位角相等，两直线平 行．
D A 2 1 E F 3 C B
一．梳理旧知，归纳方法
5.4平行线的性质定理和判定定理
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形． 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙 述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 过程．
把你所悟到的 证明一个真命 题的方法,步骤, 书写格式以及 注意事项内化 为一种方法.
借助“同位角相等,两直线平行”这一基本事实,你还 能证明哪些熟悉的结论?
☞ 几何的三种语言
基本事实: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. a b a b a b
5.4平行线的性质定理和判定定理
在七年级下册我们探索了哪些平行线的性质 和判定方法？ 其中“两条直线被第三条直线所截，如果同 位角相等，那么两直线平行”作为基本事实、
言必有“据”
基本事实： 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等,那么这两条直线平行. 这一基本事实可以简单说成:同位角相等, 两直线平行. 利用这个基本事实,我们来证明下面的定理 定理 两条直线被第三条直线所截,如果同 旁内角互补,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:同旁内角互补,两 直线平行. 同学们请欣赏例题给出的证明思路及步骤:
1
平行线的 判定
c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
分析下面的两个命题，你发现他们的条件 和结论之间有什么关系？
(完整版)平行线知识点(初一)
平行线知识点
1. 平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记住a∥b.
2. 平行公理——平行线的存在性与唯一性：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3. 平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4. 同位角、内错角、同旁内角的判断（三线八角）
5.平行线的判定：（证明题常用）
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，两直线平行。
）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行。
）
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行。
）
（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
6. 平行线的性质(证明题常用)
(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等。
）
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等。
）
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补。
）
7. 图形的平移
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
8. 图形平移的性质：
平移不改变图形的形状和大小。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，∴AE⊥DE．【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．举一反三：【变式】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．【答案】140°．【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)类型三、尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案与解析】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．类型四、平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
判定平行的条件
判定平行的条件一、平行的定义和性质在平面几何中，平行是指两条直线或平面上的点、直线或面永远不会相交的关系。
平行的性质有以下几点：1. 平行的直线在平面上的任意点之间的距离是相等的。
2. 平行的直线与平面上的任意一条横切线的夹角是相等的。
3. 平行的直线与平面上的任意一条平面内的直线的夹角是相等的。
在平面几何中，我们可以通过以下条件来判定两条直线是否平行：1. 同位角相等定理：如果两条直线被一条横切线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理的应用非常广泛，可以用于证明平行四边形、相似三角形等定理。
2. 垂直定理的逆定理：如果两条直线互相垂直，则这两条直线是平行的。
这个定理可以通过垂直定理的逆定理进行证明。
三、平行的应用平行的概念和判定条件在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 平行四边形：如果四边形的对边是平行的，则这个四边形是平行四边形。
平行四边形具有一些特殊的性质，如对边相等、对角线平分等。
2. 相似三角形：如果两个三角形的对应边分别平行，则这两个三角形是相似的。
相似三角形具有对应角相等、对应边成比例等性质。
3. 平行线的判定：在解决几何问题中，判定两条直线是否平行是一个常见的任务。
通过应用判定条件，可以快速确定两条直线是否平行，从而简化问题的解决过程。
4. 平面的划分：在平面几何中，经常需要将平面划分成不同的区域。
通过判定直线的平行关系，可以将平面划分成不同的区域，从而方便进行后续的分析和计算。
总结：平行是几何学中的一个重要概念，指的是两条直线或平面永远不会相交。
我们可以通过同位角相等定理和垂直定理的逆定理来判定两条直线是否平行。
平行的概念和判定条件在解决几何问题中有广泛的应用，如平行四边形、相似三角形等。
掌握平行的定义和判定条件，能够帮助我们更好地理解和解决几何问题。
在实际应用中，我们可以利用平行的性质进行划分和分析，简化问题的解决过程。
通过学习和应用平行的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理，提高解决问题的能力。
平行线的性质定理
初中数学《平行线的性质定理》微课精讲+知识点+教案知识点：1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：1、垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、平行线间的距离，处处相等。
3、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
4、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5、平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.视频教学：练习：1.如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1=115°，则∠2的度数是( )A.55°B.65°C.75°D.85°2.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于( )A.120°B.130°C.140°D .40°3.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是( )A.16°B.33°C.49°D.66°4.如图，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，则须( )A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠1=∠4D.AB∥CD5.如图，AB∥CD∥EF，∠ABE=38°，∠ECD=110°，则∠BEC的度数为( )A.42°B.32°C.62°D.38°6.如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为( )A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图，∠BAC=40°，DE∥AB，交AC于点F，∠AFE的平分线FG交AB于点H，则正确的是( )A.∠AFG=70°B.∠AFG>∠AHFC.∠FHB=100° D.∠CFH =2∠EFG8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE∥AB，如果∠ADE=46°，那么∠B等于( )A.34°B.54°C. 46°D.44°9.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置.有下列结论：(1)∠1=∠2；(2)∠3=∠4；(3)∠2＋∠4=90°；(4)∠4＋∠5=180°.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.410.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是( )A.42°，138°B.都是10°C.42°，138°或42°，10° D.以上都不对课件：教案：在证明过程中,进一步理解证明的步骤,格式和方法.教学重难点重点:平行线三个性质的探究及运用.难点:平行线的性质定理与判定定理的区别及综合运用.教学活动设计课堂导入上一节课我们学习了平行线的判定,也就是说知道角的关系能够判断两条直线是否平行.可是老师从一张轻轨的图片和伸缩门的情景看到的却恰好是另一种有意思的情况,这种情况具有普遍意义吗?自学指导续表探索新知合作探究已知:如图,a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,求证:∠1和∠2互补.证明:因为a∥b,所以∠3=∠2(两直线平行,同位角相等),因为∠1+∠3=180°(平角的定义),所以∠1+∠2=180°(等量代换).简单说成:两直线平行,同旁内角互补.几何语言:因为a∥b,所以∠1+∠2=180°.教师指导(1)归纳两直线平行的判定与性质两直线平行(2)总结证明的一般思路及步骤当堂训练1. 如图所示,EL∥FK,PG∥QH.找出图中与∠1相等的角.2. 已知∠3=∠4,∠1=47°,求∠2的度数.3.如图,AB∥EF,∠ECD=∠E,试说明CD∥AB.板书设计平行线的性质定理两直线平行⇒教学反思语言是思维的工具,要学好证明,必须学会语言的表达和运用,初学几何证明题时,学生对于几何语言不很清楚,几何语言分为文字语言、符号语言和图形语言,老师有必要强调:将图形语言和符号语言相结合是学好证明的基本功,画图时按要求将符合题意的图形画出来.但要注意以下几点:(1)注意所画图形的多种情况.(2)能根据题意画出简单的图形,掌握“题”与“图”的对应关系,一般图形不要画成特殊图形,否则就意味着人为增加了已知条件,反之,特殊图形也不要画成一般图形,这两种做法都没有真实的表达题意.(3)图形力求准确,便于观察,有利于解题.。
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明
,
∴AD∥BE(
).
,即∠
栏目索引
=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
栏目索引
6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
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解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
栏目索引
3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
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解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .
平行线的判定定理
平行线的判定定理
首先,先理顺下关于平行线的判定所可能用到的公理、定理
公理：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（即：同位角相等,两直线平行）
定理：1、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行；
2、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行；
3、两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）.
既然是公理,也就是劳动人民在日常生活中总结出来的常识,这是不需要证明的.其他的几个定理,均是依托公理而展开,可以算是公理的特殊化、简单化、具体化.
另外,有关其他定理的证明,比如：如何将相等的内错角转换成相等的同位角,这需要做图,分析角.
最后,提醒下,关于平面几何方面的证明题目,一定要有规范的步骤,谨遵口诀：
条件：同位角相等结论：两直线平行。
条件：内错角相等结论：两直线平行。
条件：同旁内角互补结论：两直线平行。
八年级数学上册 平行线的性质 人教版
根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来， 如果两直线平行，同位角之间有什么关系呢？ 内错角、同旁内角之间又有什么关系呢？
1.两条平行直线被第三条直线所截，同位角是 相等的，那么内错角、同旁内角之间有什么关 系呢？
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、 b被直线c截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 证明：
2.如图所示，∠4=∠C，∠1=∠2，求证BD
平分∠ABC.
证明：∵∠4=∠C，
∴AD∥BC，∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，即BD平分
∠ABC.
3.如图所示，CD∥OB，EF∥AO，求证 ∠1=∠O.
证明：∵CD∥OB， ∴∠1=∠2， 又∵EF∥AO， ∴∠2=∠O， ∴∠1=∠O.
如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a,b,c被直线d所
截，且a∥b,c∥b，
求证：a∥c.
d a
b
c
(1)证明的一般步骤: ①理解题意；
完成一个定理的 证明，需要哪些
环节？
②根据题意正确画出图形；
③结合图形，写出“已知”和“求证”；源自④分析题意，探索证明的思路；
E
A
1
B
M2
C
N
D
F
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点M作直线GH，使
∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH
∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直
线AB和GH都与直线CD平行.
G A
E M1
N2 C
F
这与基本事实“过直
线外一点有且只有一条直 B 线与这条直线平行”相矛 H 盾. D 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不
平行线的性质
2.3平行线的性质平行线的判定与性质1.判定方法:(1) 同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.2.性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.3.相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。
4.区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。
它们是由“数”到“形”的判断。
平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。
它们是由“形”到“数”的说理。
平行公理I平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c，c ∥b∴a∥b。
1. 阅读填空：(1)如图，请你完成小颖和小明的说理过程：小颖：因为AD与BC是平行的，所以∠1=_____，理由是_____．小明：∠3=∠4→_____∥_____→∠A+_____=180°其中第一步的理由是_____第二步的理由是_____．2. 下列说法中，正确的是( )A.经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等C.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行3. 下列说法中，正确的是( )A.连接两点的线段就叫做两点的距离B.AB=BC，则点B是线段AC的中点C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D.过直线外一点有无数条直线与这条直线垂直4. 如果直线a∥b，则下列说法错误的是( )A.a与b之间距离处处相等B.若a∥c，则b∥cC.若a⊥c，则b⊥cD.a，b被第三条直线所截的同旁内角相等5. 已知：如图所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA=52°，求∠BEF 的度数．6. 如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=70°，则∠2的大小是( )A.20°B.50°C.70°D.110°7. 如图，直线a∥直线b，∠1=∠2，∠3=150°，∠4的大小( )A.60°B.40°C.50°D.30°8. 已知：如图，∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2．求证：∠3=∠B．证明：∵∠D=110°，∠EFD=70°(已知)∴∠D+∠EFD=180°∴_____∥_____又∵∠1=∠2(已知)∴_____∥_____∴_____∥_____∴∠3=∠B_____．9. 如图．已知AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠DNM，求证：MG∥NH．10. 如图，BC∥AD，∠1=∠E，若∠A=100°，求∠C的度数．11. 如图，B、C、D三点共线，CE∥AB，∠1=51°，∠2=46°，则∠A=_____°．12. 如图，直线AB∥DE，BC⊥CD，若∠1=25°，则∠2的度数是_____．13. 如果直线a∥b，直线b∥c，则直线a与c的关系是_____．14. 如图，已知AB∥DE，∠1=120°，∠2=110°，求∠3的度数．15. 如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：(1)试说明：OB∥AC；(2)如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；(3)在(2)的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；(4)在(3)的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．16. 如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．17. 如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是( )A.17°B.34°C.56°D.68°18. 如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( )A.40°B.60°C.80°D.120°19. 如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．(保留作图痕迹，不要求写画法)．20. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠C．(1)证明：AD∥EF；(2)猜想：∠2与∠3有怎样的关系，并说明理由．21. 如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°22. 如图，已知a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=65°，那么∠2是_____°．23. 如图，点D、E、F分别在△ABC的三边上，已知∠1=50°，DE∥AC，DF∥AB，则∠2=_____°．24. 如图，AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系是( )A.∠1+∠2+∠3=180°B.∠1+∠2+∠3=360°C.∠1+∠2-∠3=180°D.∠1-∠2+∠3=180°25. 如图，已知AB∥CD，EF∥CD，∠B=70°，∠E=135°，∠1等于_____．26. 如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为_____．27.如图，已知AB∥DM，BC∥EF，探求∠B与∠D数量关系，∠AEF与∠D数量关系，并说明理由．28.一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是( )A.先右转60°，再左转120°B.先左转120°，再右转120°C.先左转60°，再左转120°D.先右转60°，再右转60°29. 如图，AB∥CD，AD∥BC，若∠CBE=68°，则∠C=_____，∠D=_____．30. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部．试说明∠BPD=∠B-∠D；(2)将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明你的结论成立的理由；(3)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)31. 如图所示，把长方形ABCD的纸片，沿EF线折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C 分别落在D′、C′的位置上，若∠1=70°，求∠2、∠EFG的度数．32. 将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，当∠1：∠2=2：3，则∠2的度数为( )A.22.5°B.45°C.67.5°D.30°33.如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的4倍少30°，则∠α的度数是( )A.10°B.138°C.10°或138°D.以上都不对34. 如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E、F，FG平分∠CFE交AB 于点G，若∠BEF=70°，求∠AGF的度数．35. 已知：如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，∠B=60°，∠C=70°．则∠EDF=_____．36. 如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是( )A.84°B.106°C.96°D.104°37. 如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠CBE的度数是( )A.17°B.34°C.56°D.68°38. 如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．39. 如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=_____°．40. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于_____．。
两条直线平行的条件平行线的特征
两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2． 答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。
初一上下册数学公式
初一上下册数学公式．平行线的判定公理（定理）（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简称“同位角相等，两直线平行”）．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简称“内错角相等，两直线平行”）．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简称“同旁内角互补，两直线平行”）．2．平行线的性质公理（定理）如果两条平行线被第三条直线所截，那么（1）同位角相等（简称“两直线平行，同位角相等”）．（2）内错角相等（简称“两直线平行，内错角相等”）．（3）同旁内角互补（简称“两直线平行，同旁内角互补”）．常见的初中数学公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
两直线平行角的关系
两直线平行角的关系1. 引言在几何学中，直线是最基本的几何概念之一。
当我们研究直线的性质时，平行线是一个非常重要的概念。
平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
本文将探讨平行线之间的角度关系，特别是两直线平行角的性质和特点。
2. 平行线的定义和性质平行线的定义如下：如果两条直线在同一个平面内，且它们之间没有交点，那么这两条直线就是平行线。
平行线的性质包括以下几点：2.1 平行线的判定方法•直线与直线之间的夹角相等：如果两条直线之间的夹角等于180°，那么这两条直线是平行线。
•同位角相等：当一条直线与两条平行线相交时，同位角是指位于两条平行线同一侧的对应角，如果同位角相等，那么这两条直线是平行线。
2.2 平行线的性质•平行线的任意两条直线之间的夹角都相等。
•平行线的同位角相等。
•平行线的内错角互补，即内错角之和等于180°。
3. 两直线平行角的定义和性质两直线平行角是指两条平行线之间的角度。
在平行线中，有一些特殊的角度关系：3.1 对顶角对顶角是两条平行线之间的交叉角，它们的顶点位于两条平行线的交点处。
对顶角是相互对应的，即对顶角1和对顶角2互为对应角。
根据同位角的性质，对顶角是相等的。
3.2 内错角和外错角内错角是两条平行线之间的交叉角，它们的顶点位于两条平行线之间。
内错角是相互对应的，即内错角1和内错角2互为对应角。
根据内错角的性质，内错角之和等于180°。
外错角是两条平行线之间的交叉角，它们的顶点位于两条平行线的外侧。
外错角是相互对应的，即外错角1和外错角2互为对应角。
根据内错角和外错角的性质，内错角与外错角互补，即内错角与外错角之和等于180°。
4. 平行线角的应用平行线角的概念和性质在几何学中有广泛的应用，特别是在解决角度相关的问题时。
4.1 平行线角的测量通过测量平行线角，我们可以确定两条直线是否平行。
如果两个角度相等，那么可以推断出两条直线是平行的。
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A
1 F
2
B
CD
5.如图，CD⊥AB,GF⊥AB,D,F分别为垂足,G 在BC上, ∠1＝∠2，则DE∥BC,请说明理由
A
D
E
2
F
1
B
G
C
6.已知∠B=28°,∠C=56°,AD是高线， AE是∠BAC的平分线，则∠DAE等于几 度？
B
ED
C
7.已知如图,AB∥CD,∠B＝45°， ∠D＝60°，求∠BED的度数。
前提
条件
结论
平行公 无 经过直线 有且只有一条平行线
理
外一点
垂线基 在同一 经过一点 有且只有一条垂线 本性质 平面内
1.如图：∠B＝∠D，若BC∥DE，
则AB∥GD，试说明理由。
A
解：∵BC∥DE（已知）
∴∠1＝∠D
G （两直线平行，同位角相等） ∵∠B＝∠D（已知）
B
1
C ∴∠1＝∠B
F
∴AB∥DG
（三）平行线的判定公理
同位角相等，两直线平行
（四）平行线的性质公理
两直线平行，同位角相等。
区别判定公理和性质公理：
平行线的判定公理
条件 同位角相等
结论 两直线平行
平行线的性质公理 两直线平行
同位角相等
（五）平行公理
平行公理：经过直线外一点，有一条而 且只有一条直线和这条直线平行。 区别平行公理和垂线的基本性质：
A
B
E
C
D
D
E（同位角相等，两直线平行）
2.如图，AB⊥AF，GA⊥AE （1）∠FAE与∠BAD有何关系？ （2）若∠CDG与∠FAE互补，则 AB∥CD，试说明理由。
B C
F
A
D
G
E
3.图∠1＝∠2＝∠3，l2⊥l5已知∠4＝15°， 求∠5,∠1的度数。
l1 1
A
l2 2
l3
l4 3
5
4
M
C
l5
4.如图，CD是BC的延长线，AE是CA 的延长线，F在线段AB上，连接EF， 则∠2>∠1，请说明理由。
复习
（一）同位角、内错角、同旁内角
组成的 与被截直线的 与截线的位
图形 位置关系
置关系
同位角
F 被截直线的同 截线的同旁 一方向
内错角
Z 被截直线之间 截线的两旁
同旁内角 C 被截直线之间 截线的同旁
（二）平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线。
强调：1、在同一平面内 2、直线
平行线的判定：在同一平面内，垂直于同 一条直线的两条直线是平行线。