高一数学奇偶性
高一数学奇偶性
高一数学人必修件时函数奇偶性的应用
奇偶性在不等式证
04
明中应用
利用奇偶性证明不等式
偶函数的性质应用
对于偶函数$f(x) = f(-x)$，若$x > 0$时$f(x)$的性质已知，则可 以利用偶函数的性质推导出$x < 0$时$f(x)$的相应性质，从而证
明不等式。
奇函数的性质应用
对于奇函数$f(x) = -f(-x)$，若 $x > 0$时$f(x)$的性质已知，则 可以利用奇函数的性质推导出$x < 0$时$f(x)$的相应性质，从而
高一数学人必修件时函 数奇偶性的应用
汇报人：XX 20XX-01-21
目 录
• 函数奇偶性基本概念与性质 • 奇偶性在函数运算中应用 • 奇偶性在方程求解中应用 • 奇偶性在不等式证明中应用 • 拓展：其他相关领域中的奇偶性问题探讨 • 总结回顾与课堂互动环节
函数奇偶性基本概
01
念与性质
奇函数和偶函数定义
注意不等式的取等条件
在证明不等式时，需要注意取等条件。有时取等条件与函 数的奇偶性密切相关，需要特别注意。
拓展：其他相关领
05
域中的奇偶性问题
探讨
三角函数中的奇偶性问题
01 02
奇偶性判断
根据三角函数的定义，正弦函数和余切函数是奇函数，余弦函数和正切 函数是偶函数。通过判断函数的奇偶性，可以简化三角函数的运算和证 明过程。
等比数列中的奇偶项
在等比数列中，奇数项和偶数项同样具有特殊的性质。探讨这些性 质有助于理解等比数列的增长速度和求和公式。
数列求和中的奇偶性
在数列求和问题中，经常需要利用数列的奇偶性进行分组求和或错 位相减。掌握这些方法可以提高解题效率和准确性。
高一奇偶性知识点总结
高一奇偶性知识点总结高一阶段，奇偶性是数学中一个重要的概念。
了解奇偶性有助于我们更好地解决数学问题，尤其是在代数和图形方面。
本文将就高一奇偶性知识点进行总结，希望可以对大家的学习有所帮助。
一、奇数与偶数的定义首先，我们要了解奇数和偶数的定义。
奇数是指除以2余1的自然数，例如1、3、5等；而偶数是指能够被2整除的自然数，例如2、4、6等。
二、奇偶性性质1. 偶数加偶数等于偶数：当我们将两个偶数相加，其结果仍然是偶数。
因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其和也可以表示为2的倍数。
2. 奇数加奇数等于偶数：当我们将两个奇数相加，其结果是偶数。
因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即奇数加奇数的和是偶数。
3. 偶数加奇数等于奇数：当我们将一个偶数与一个奇数相加，其结果是奇数。
因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即偶数加奇数的和是奇数。
4. 偶数乘以偶数等于偶数：当我们将两个偶数相乘，其结果是偶数。
因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其积也可以表示为2的倍数。
5. 奇数乘以奇数等于奇数：当我们将两个奇数相乘，其结果是奇数。
因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数加1，即奇数乘以奇数的积是奇数。
6. 偶数乘以奇数等于偶数：当我们将一个偶数与一个奇数相乘，其结果是偶数。
因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数再加上偶数，即偶数乘以奇数的积是偶数。
三、应用奇偶性解题奇偶性可以帮助我们解答一些数学问题。
例如，我们可以通过奇偶性来判断一个数的因数个数。
如果一个整数可以被其他整数整除，那么这个整数一定是偶数，因为偶数可以被2整除。
而如果一个整数不能被其他整数整除，那么这个整数一定是奇数，因为奇数只能被1和自身整除。
此外，奇偶性还可以用于证明一些数学定理。
在代数方面，我们可以利用奇偶性证明某些等式的成立性。
高一数学知识点奇偶性
高一数学知识点奇偶性数学中的奇偶性是指数的特性，即一个数是奇数还是偶数。
本文将介绍高一数学中涉及到的奇偶性相关的知识点，包括奇数、偶数、奇偶校验和函数的奇偶性。
1. 奇数与偶数奇数是能被2整除余1的整数，例如1、3、5等。
而偶数则是能被2整除的整数，例如2、4、6等。
由此可见，奇数与偶数在除以2的余数上有明显的差异。
在高一数学中，奇偶数的性质非常常见且重要。
奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数。
偶数与偶数相加、相乘，结果同样为偶数。
而奇数与偶数相加，结果为奇数，相乘则为偶数。
这些性质在解题和证明中经常会用到，需要加以掌握。
2. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的信息传输校验方式，用来检测在传输过程中是否存在错误。
它利用了奇偶性的特性来实现校验。
奇偶校验的基本原理是：给定一个二进制数，统计其中1的个数，如果结果为偶数，则在数的最高位添加一个1，构成一个奇数；如果结果为奇数，则在数的最高位添加一个0，构成一个偶数。
这样，接收端在接收到数据后，再次进行奇偶校验，若结果与发送端的奇偶校验位相同，则说明传输没有错误。
奇偶校验在计算机领域中广泛应用，特别是在数据传输和存储方面。
了解奇偶校验的原理及其应用，对理解计算机相关知识具有重要的帮助。
3. 函数的奇偶性在高一数学中，函数的奇偶性也是一个重要的概念。
函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
对于一个函数f(x)，如果对于任意x，f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。
换句话说，偶函数在x轴上对称。
例如，y = x^2就是一个典型的偶函数。
另一方面，如果对于任意x，f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数。
奇函数关于坐标原点对称。
例如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
通过判断函数的奇偶性，我们可以简化函数图像的绘制过程，更好地理解和分析函数的性质。
总结：奇偶性是高一数学中重要的知识点。
掌握奇数与偶数的性质，了解奇偶校验的原理和应用，以及函数的奇偶性对于解题和理解数学概念都具有重要的作用。
高一数学知识点：函数奇偶性的定义
高一数学学问点2019：函数奇偶性的定义进入到中学阶段，大家的学习压力都是呈直线上升的，因此平常的积累也显得尤为重要，高一数学学问点2019为大家总结了高一年级各版本及各单元的素有学问点内容，希望大家能谨记呦！！一般地，对于函数f(x)(1)假如对于函数定义域内的随意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)假如对于函数定义域内的随意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)假如对于函数定义域内的随意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)假如对于函数定义域内的随意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域肯定关于原点对称，假如一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数肯定不是奇(或偶)函数。
(分析：推断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格依据奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)③推断或证明函数是否具有奇偶性的依据是定义做好复习和总结工作1、做好刚好的复习。
课完课的当天，必需做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是实行回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。
然后打开笔记与书本，比照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。
学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法也同刚好复习一样，实行回忆式复习，而后与书、笔记相比照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
高一数学奇偶性
1.3.2函数的奇偶性
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2
2 例如，函数 f ( x) x 1, f ( x) x 2 1 都是偶 函数，
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x (3) f ( x) 5 (5) f ( x) x 1
(2) f ( x) x 1
2
(4) f ( x) 0 (6) f ( x) x , x [1,3]
2
3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么就称这个函数为偶函数.
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x ) x
4 5
(2) f ( x ) x
1 (3) f ( x ) x x 1 (4) f ( x) 2 x
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关 于原点对称）．
高一数学函数的奇偶性(经典复习资料)
〖一方教育〗函数的奇偶性一、函数奇偶性的判断：1、定义域关于原点对称；2、奇函数()()x f x f -=-，偶函数()()x f x f =-；3、奇函数图像关于原点对称、偶函数图像关于y 轴对称。
1、奇偶性的判断①242)(x x x f +=; ②]1,1(,2)(3-∈+=x x x x f ; ③32)(2++=x x x f ;④24)(---=x x x f ;⑤2)(=x f ;⑥]2,1(,0)(-∈=x x f .⑦22)(34--=x x x x f ; ⑧|1||1|)(++-=x x x f ; ⑨xx x x f -+-=11)1()(; ⑩作出函数32)(2--=x x x f ;的图像.并判断函数)(x f 奇偶性（11）.求证：函数⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 是奇函数。
二、奇偶性的性质2、求值①已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．②已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．③已知f(x)=x 5+2x 3+3x-8, f(-2)=10, f(2)=④若(),155,8)(57-=-+++=f cx bx ax x f 求)5(f . ⑤设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f = 。
⑥已知函数y=()f x 是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-4x,试求方程f(x)=-3的解集。
3、求解析式①已知函数)(x f y =在R 上是奇函数,且在),0(+∞x x x f 2)(2-=,求)(x f 解析式.②已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x |x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．③已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。
高一数学 函数的奇偶性
奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称.梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.梳理函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，才能进一步判断f (－x )与f (x )的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f (－1)无定义，自然也谈不上是否与f (1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.梳理 一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.类型一 证明函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性 例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数.证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数. (2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数.(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数.又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域. 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数.证明 (1)由2＋x2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数.(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数. 命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)的奇偶性.解 由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )； 当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x ). 综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)是偶函数.反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x ，是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))，只不过对于不同的x ，f (x )有不同的表达式，要逐段验证是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x )).跟踪训练2 证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数.证明 定义域为{x |x ≠0}. 若x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝x 2，f (x )＝－x 2， ∴f (－x )＝－f (x )； 若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2＝－x 2，f (x )＝x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x ). ∴f (x )为奇函数.命题角度3 证明抽象函数的奇偶性例3 f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，试判断y ＝f (x )＋g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性. 解 ∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数. f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数. f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数.反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x ，看总的结果.跟踪训练3 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f (x )g (x )是偶函数 B.|f (x )|g (x )是奇函数 C.f (x )|g (x )|是奇函数 D.|f (x )g (x )|是奇函数 答案 C解析 A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错. B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错.C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确.D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错.类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合. 解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D . 分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5). 命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值例5 若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________. 答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13，f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1.又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝13(－x )2＋b (－x )＋b ＋1＝f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1，对定义域内任意x 恒成立，即2bx ＝0对任意x ∈[－23，23]恒成立，∴b ＝0.综上，a ＝13，b ＝0.反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x ，恒有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x 进行赋值.跟踪训练5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0.1.下列函数为偶函数的是()A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x答案D解析D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.2.函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案C3.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于()A.－1B.1C.－5D.5答案D解析函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等.∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故选D.4.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A.1B.2C.3D.4答案B5.下列说法错误的个数是()①图象关于原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).A.4B.3C.2D.0答案B1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.课时作业一、选择题1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a ，b }，则a ＋b 等于( ) A.－1 B.1 C.0 D.2 答案 A解析 因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a ，b }， 根据奇函数的定义域关于原点对称， 所以a 与b 有一个等于1，一个等于－2， 所以a ＋b ＝1＋(－2)＝－1， 故选A.2.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数， 当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A.f (x )＋|g (x )|是偶函数 B.f (x )－|g (x )|是奇函数 C.|f (x )|＋g (x )是偶函数 D.|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数.4.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13 C.12 D.－12答案 B解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5.函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( ) A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数 答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数.又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数.6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( )A.(－3,0)∪(3，＋∞)B.(－3,0)∪(0,3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0,3) 答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数， ∴f (x )－f (－x )2＝f (x )>0， ①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞). 二、填空题7.已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________. 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 8.若函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________. 答案 a >1解析 ∵函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数， ∴f (－x )＝f (x )且f (－x )≠－f (x ).又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1.当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且为奇函数， 故a >1.9.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________.(填“奇函数”或“偶函数”)答案 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x 5； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数. (2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数. (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数. 12.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值. 解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |， ∴a ＝0.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数. 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]. 四、探究与拓展14.设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________.答案 [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3).又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3).综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3). 15.已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即b1＋02＝0，∴b ＝0.又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25， ∴a ＝1，∴f (x )＝x1＋x 2.第2课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.理解函数的奇偶性的推广——对称性.知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数f (x )在区间[a ，b ]上的解析式与该区间函数图象上的点(x ，y )有什么关系？答案 点(x ，y )满足y ＝f (x ).梳理 一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求；②图象上任意一点均满足该式.特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，想求对称区间[－b ，－a ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ，－y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式.知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函数y ＝x 2与奇函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 答案 偶函数y ＝x 2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.梳理 一般地，若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性. 知识点三 奇偶性的推广思考 对于定义域内任意x ，若f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的图象关于(0,0)对称，那么若f (1－x )＝－f (1＋x )，函数f (x )的图象又有什么特点？答案 设1－x ＝x 1,1＋x ＝x 2，则有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1，f (x 1)＋f (x 2)2＝0， 即点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))关于点(1,0)对称. 梳理 一般地，对于定义域内任意x ， (1)若f (a －x )＝2b －f (a ＋x )，则f (x )图象关于点(a ，b )对称.当a ＝b ＝0时，即为奇函数定义. (2)若f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )图象关于直线x ＝a 对称，当a ＝0时，即为偶函数定义.类型一 用奇偶性求解析式命题角度1 已知区间[a ，b ]上的解析式，求[－b ，－a ]上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式.解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，f (x )＝－x －1.反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1 已知y ＝f (x )是定义在 R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －x 2.求y ＝f (x )的解析式. 解 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－(－x )2]＝2x ＋x 2.因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0. 命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式. 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝1x －1. ① 用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1， ∴f (x )－g (x )＝1－x －1， ② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1； (①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1. 反思与感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x . 因为f (x )，g (x )一奇一偶，才能把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x ).跟踪训练2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式.解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2. ①用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f (x )－g (x )＝－2x ＋x 2， ②(①＋②)÷2，得f (x )＝x 2；(①－②)÷2，得g (x )＝2x .类型二 奇偶性对单调性的影响命题角度1 由x 的取值情况推导f (x )的取值情况例3 设f (x )是偶函数，在区间[a ，b ]上是减函数，试证f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数.证明 设x 1，x 2是区间[－b ，－a ]上任意两个值，且有x 1＜x 2.∵－b ≤x 1＜x 2≤－a ，∴a ≤－x 2＜－x 1≤b .∵f (x )在[a ，b ]上是减函数，∴f (－x 2)＞f (－x 1).∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴f (－x 2)＝f (x 2)，f (－x 1)＝f (x 1).∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)＜f (x 2).∴函数f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数.引申探究区间[a ，b ]和[－b ，－a ]关于原点对称.(1)若f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上有最________值________.(2)若f (x )为奇函数，f (x )＋2在[a ，b ]上有最大值M ，则f (x )＋2在[－b ，－a ]上有最________值________. 答案 (1)小 －M (2)小 －M ＋4解析 (1)设x ∈[－b ，－a ]，则－x ∈[a ，b ]，∴f (－x )≤M 且存在x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝M .∵f (x )为奇函数，∴－f (x )≤M ，f (x )≥－M ，且存在－x 0∈[－b ，－a ]，使f (－x 0)＝－M .∴f (x )在[－b ，－a ]上有最小值－M .(2)由(1)知，f (x )在[a ，b ]上有最大值M －2时，f (x )在[－b ，－a ]上有最小值－M ＋2.∴f (x )＋2在[－b ，－a ]上有最小值－M ＋4.反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x 1，x 2属于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x 属于哪个区间.跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，有f (x )＝x ＋1x ＋2，则当x ∈[－4，－1]时，求函数f (x )的值域.解 设1≤x 1<x 2≤4，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1＋2－x 2＋1x 2＋2＝(x 1＋1)(x 2＋2)－(x 1＋2)(x 2＋1)(x 1＋2)(x 2＋2) ＝x 1－x 2(x 1＋2)(x 2＋2). 因为1≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，所以x 1－x 2(x 1＋2)(x 2＋2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 所以f (x 1)<f (x 2).故函数f (x )在[1,4]上是增函数，所以当x ∈[1,4]时，函数f (x )的值域是[23，56]. 因为y ＝f (x )是偶函数，所以当x ∈[－4，－1]时，函数f (x )的值域也是[23，56]. 命题角度2 由f (x )的取值情况推导x 的取值情况例4 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 答案 (－1,3)解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x －1)＝f (|x －1|)，又f (2)＝0，∴f (x －1)>0，即f (|x －1|)>f (2)，∵|x －1|,2∈[0，＋∞)，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减.∴|x －1|<2，即－2<x －1<2，∴x 的取值范围为(－1,3).反思与感悟 若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则x 1，x 2∈[a ，b ]时，可由f (x 1)<f (x 2)推知x 1<x 2.但是如果不知道x 1或x 2是否在[a ，b ]内呢？这时如果已知函数奇偶性，可以借助奇偶性把x 1，x 2转化为在已知区间[a ，b ]内，如本例中x －1是否属于[0，＋∞)不确定，但是|x －1|∈[0，＋∞).跟踪训练4 奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，解不等式f (x －1)＋f (2x ＋3)>0.解 ∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减且为奇函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (x －1)＋f (2x ＋3)>0⇔f (x －1)>－f (2x ＋3)＝f (－2x －3)⇔x －1<－2x －3，解得x <－23，∴原不等式解集为{x |x <－23}. 类型三 对称问题例5 定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x －4)＝－f (x )，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x ，试画出f (x )的图象. 解 ∵f (x )是奇函数，∴f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，∴f(x)关于直线x＝－2对称.反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：反思与感悟奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似.跟踪训练5定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象.解∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称.反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：1.f(x)＝x2＋|x|()A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D.是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数答案D2.已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于()A.x＋1B.x－1C.－x－1D.－x＋1答案A3.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是()A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数答案B4.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得()A.a<bB.a>bC.|a|<|b|D.0≤a<b或a>b≥0答案C5.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于()A.1B.－1C.2D.－2答案D1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.课时作业一、选择题1.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是()A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(0,1)D.[－1,1)答案A解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.故选A.2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于()A.x2B.2x2C.2x2＋2D.x2＋1答案D解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，∴f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋1.②由①②联立，得f (x )＝x 2＋1.3.若函数f (x )是R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )A.f (－3)>f (0)>f (1)B.f (－3)>f (1)>f (0)C.f (1)>f (0)>f (－3)D.f (1)>f (－3)>f (0)答案 B解析 ∵f (－3)＝f (3)，且f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f (－3)>f (1)>f (0).4.设f (x )是奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤m (m <0)，则f (x )的值域是( )A.[m ，－m ]B.(－∞，m ]C.[－m ，＋∞)D.(－∞，m ]∪[－m ，＋∞)答案 D解析 当x ≥0时，f (x )≤m ；当x ≤0时，－x ≥0，所以f (－x )≤m ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )≤m ，即f (x )≥－m .5.定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，则( )A.f (－1)＜f (3)B.f (0)＞f (3)C.f (－1)＝f (3)D.f (0)＝f (3)答案 A解析 f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，由于f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)＜f (1)＝f (3).6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( ) A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(0,1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x ＜0，即f (x )x＜0， ∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x ＞1时，f (x )＜0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x ＜－1时，f (x )＞0.综上使f (x )x＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 二、填空题7.若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________.答案 [0，＋∞)解析 利用函数f (x )是偶函数，得k －1＝0，k ＝1，所以f (x )＝－x 2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞).8.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是________. 答案 (13，23) 解析 由于f (x )是偶函数，因此f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性， 得|2x －1|<13，解得13<x <23. 9.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.10.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g (x )，x ＜0为奇函数，则f [g (－1)]＝________. 答案 －15解析 当x ＜0时，则－x ＞0，由f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x .即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f [g (－1)]＝f (－3)＝－9－6＝－15.三、解答题11.已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.(1)试求f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1).12.设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围.解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0， 且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. ∴实数a 的取值范围是a ＞23. 13.已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明.解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12. 综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x. 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数. 证明如下：任取0<x 1<x 2<12， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<12， ∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数. 四、探究与拓展14.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________. 答案 (－7,3)解析 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)，则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5，则|x ＋2|2－4|x ＋2|<5，即(|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)的解集是(－7,3).15.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax .(1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围. 解 (1)当x <0时，－x >0，又∵f (x )为奇函数，且a ＝－2，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2－2x ，x ≥0. (2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a 2≤0， ∴f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0，∴当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数.当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a 2，＋∞)上单调递减，不合题意. ∴函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为a ≤0.②∵f (m －1)＋f (m 2＋t )<0，∴f (m －1)<－f (m 2＋t )，又∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (－t －m 2)，又∵f (x )为R 上的单调减函数，∴m －1>－t －m 2恒成立，∴t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54恒成立， ∴t >54.。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳25
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定
06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性，但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义， 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法：通过反函数判断其奇偶 性
图像法：通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法：通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法：通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数：关于原点对称，图像关于y轴对称 偶函数：关于y轴对称，图像关于x轴对称 非奇非偶函数：既不关于原点对称，也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响：决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数：f(-x)=-f(x)，函数值关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)，函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关 于y轴对称，非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
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目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
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在解决实际问题中的应用
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
高一数学 函数的奇偶性
1.3.2 奇偶性Q 情景引入ing jing yin ru大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？X 新知导学in zhi dao xue函数的奇偶性由于f (x )和f (－x )必须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． Y 预习自测u xi zi ce1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( B )[解析] A 、C 、D 中的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，B 中的图象关于y 轴对称，是偶函数．2．下列函数为偶函数的是( B ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝x 3[解析] y ＝x ＋1为非奇非偶函数；y ＝x 2＋x 为非奇非偶函数；令f (x )＝x 2，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数；令g (x )＝x 3，g (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．3．(2019·南阳市高一期中测试)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b 的值为( B )A ．0B ．13C ．1D ．2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝134．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝__－2__.[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 5．已知函数f (x )＝x －ax 的图象经过点(2,1)．(1)求a 的值； (2)判断f (x )的奇偶性．[解析] (1)∵点(2,1)在函数f (x )的图象上， ∴1＝2－a2，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x －2x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f (－x )＝－x －2(－x )＝－x ＋2x ＝－(x －2x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨函数奇偶性的判断典例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ； (3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)－12x 2－1(x ＜0).[思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？ (2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？[解析] (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0，∴定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝－12(－x )2－1＝－(12x 2＋1)＝－f (x )；①当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－(－12x 2－1)＝－f (x )．②综上可知，函数f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)－12x 2－1(x ＜0)是奇函数．[注意] ①由于这里的－x ＜0，因此应将－x 代入f (x )＝－12x 2－1；②由于这里的－x ＞0，因此应将－x 代入f (x )＝12x 2＋1.『规律方法』 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝－3x 2＋1；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)x －x 2(x >0)； (4)f (x )＝0； (5)f (x )＝2x ＋1； (6)f (x )＝x 3－x 2x －1.[解析] (1)函数f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x是奇函数．(2)函数f (x )＝－3x 2＋1的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )＝－3(－x )2＋1＝－3x 2＋1＝f (x )，∴f (x )＝－3x 2＋1是偶函数．(3)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． (4)由于f (－x )＝0＝f (x )，且f (－x )＝0＝－f (x )， ∴f (x )＝0既是奇函数，又是偶函数．(5)函数f (x )＝2x ＋1的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (1)＝3，f (－1)＝－1，－f (1)＝－3，∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．命题方向2⇨奇、偶函数图象的应用典例2已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．[思路分析]∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y ＝f(x)在x>0时的图象．[解析](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．『规律方法』 1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．〔跟踪练习2〕如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值．[解析] 奇函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，则补全的图象如图，易知f (3)＝－2.命题方向3 ⇨利用函数的奇偶性求解析式典例3 已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.试求f (x )在R 上的表达式．[思路分析] (1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？ (2)奇函数f (x )在x ＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．[解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)－x 2－2x －3 (x ＜0).『规律方法』 利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．〔跟踪练习3〕已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式 .[解析] 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1＝x 2－x －1， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2－x －1. ∴当x ∈(－∞，0)时， f (x )＝x 2－x －1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误典例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x －1)x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2.[错解] (1)f (x )＝(x －1)·x ＋1x －1＝x 2－1. ∵f (－x )＝(－x 2)－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (2)f (－x )＝1－(－x )2|－x ＋2|－2＝1－x 2|x －2|－2，∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数．[错因分析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．[正解] (1)由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f (x )定义域关于原点不对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0，得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．[警示] 1.函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式． X 学科核心素养ue ke he xin su yang逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立； (2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M, f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．典例5 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( A )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10[思路分析] 只有一个条件f (－2)＝10，两个待定系数a ，b ，不能通过列方程组方法求出a ，b .由f (－2)求f (2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f (x )的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f (2)?[解析] 解法一：令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数，从而g (－2)＝－g (2)，又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18，∴g (2)＝－g (－2)＝－18.∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8 ①f (2)＝25＋a ·23＋b ·2－8 ②，①＋②得f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10，∴f (2)＝－26. K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由题意得－1＋a ＝0，∴a ＝1. 2．已知函数f (x )＝ax 2(a >0)，则必有( B ) A ．f (a )<f (－a ) B ．f (a )＝f (－a ) C ．f (a )>f (－a )D ．f (a )＝f (a ＋1) [解析] ∵f (－x )＝a (－x )2＝ax 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，∴f (a )＝f (－a )．3．对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，都有( C ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0 [解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0， ∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故选C ．4．函数f (x )＝x 2－2mx ＋4是偶函数，则实数m ＝__0__. [解析] f (x )为偶函数，则对称轴为x ＝m ＝0.5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解析](1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)＝|x|＋1是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．2．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(D) A．(a，－f(a))B．(－a，－f(－a))C．(－a, f(a))D．(－a，－f(a))[解析]∵－f(a)＝f(－a)，∴点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上，故选D．3．下列说法正确的是(B)A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(D)A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数[解析]令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F2(x)＝f(x)|f(－x)|，F3(x)＝f(x)－f(－x)，F4(x)＝f(x)＋f(－x)，则F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)为偶函数；F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，即F2(x)为非奇非偶函数；F3(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F3(x)，即F3(x)为奇函数；F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，即F4(x)为偶函数．结合选项知D正确．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(C)A．－2B．－1C．1D．2[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.6．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为(A)A．4B．0C．2m D．－m＋4[解析]由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·52＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.∴f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．二、填空题7．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝__－x＋1__.[解析]设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x＋1.∴x>0时，f(x)＝－x＋1.8．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__12__.[解析]∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，11又∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－12，∴f (2)＝12.三、解答题9．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .B 级 素养提升一、选择题1．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( C )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称[解析] ∵f (x )＝1x －x (x ≠0)，∴f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，所以f (x )＝1x －x 的图象关于原点对称，故选C ．2．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( A )A ．12B ．23C ．34D ．1[解析] 解法一：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－x(－2x ＋1)(－x －a )＝－x(2x ＋1)(x －a )，即(2x －1)(x ＋a )＝(2x ＋1)(x －a )恒成立，整理得(2a －1)x ＝0，∴必须有2a －1＝0，∴a ＝12，故选A ．解法二：由于函数f (x )是奇函数，所以必有f (－1)＝－f (1)，即1－1－a ＝－13(1－a )，即1＋a ＝3(1－a )，解得a ＝12，故选A ．123．已知f (x )＝x 5－2ax 3＋3bx ＋2，且f (－2)＝－3，则f (2)＝( C )A ．3B ．5C ．7D ．－1[解析] 令g (x )＝x 5－2ax 3＋3bx ，则g (x )为奇函数，∴f (x )＝g (x )＋2，f (－2)＝g (－2)＋2＝－g (2)＋2＝－3，∴g (2)＝5，f (2)＝g (2)＋2＝7.4．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( A )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)[解析] ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，即f (－π)>f (3)>f (－2)．二、填空题5．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为__5__.[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a ×(－3)＝－6，解得a ＝5.6．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为__[－6，－3)∪(0,3)__.[解析] 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．三、解答题7．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25，求函数f (x )的解析式． [解析] ∵f (x )是(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝0，又f (12)＝25，∴12a 1＋(12)2＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2.13 8．奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )<0，求实数m 的取值范围．[解析] 原不等式化为f (m －1)<－f (3－2m )．∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (2m －3)．∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1<1－1<2m －3<1m －1>2m －3，解得1<m <2，故实数m 的取值范围是(1,2)．9．已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析] ∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14， ∴当x ∈[－3，－1]时，f (x )min ＝f (－32)＝－14，f (x )max ＝f (－3)＝2. ∵f (x )为奇函数，∴f (x )在x ∈[1,3]上的最小值和最大值分别是－2，14， ∴m ＝14，n ＝－2. ∴m －n ＝14－(－2)＝94， 即m －n 的值为94.。
高一数学必修一函数专题：奇偶性
高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：n x x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。
第二种：n x x f =)(（n 为奇数） 例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。
第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。
第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。
常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(xx x f ==-。
第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。
第三种：)cos()(x A x f ϖ= 例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。
第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。
两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f ex g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。
第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数 例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g x x x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。
高一数学教案函数的奇偶性5篇
高一数学教案函数的奇偶性5篇使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数奇偶性的方法.高一数学教案函数的奇偶性1一、内容与解析 (一)内容：基本初等函数习题课(一)。
(二)解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的基本方法，在此基础上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的'掌握.二、目标及其解析：(一)教学目标(1)掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质及其奇偶性.(二)解析(1)基本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的办法.(2)每类基本初类函数的性质差别比较大，学习时要有一个有效的区分.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。
四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用P5高一数学教案函数的奇偶性2【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。
高一数学--奇偶性
高一数学第四讲 函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，（3）简单性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇二、基础练习：1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x .3.设函数若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在x<0上f (x )的表达式为5.设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是三、例题精讲：题型1： 函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：① x x x x f -+-=11)1()(,②29|4||3|x y x x -=++-,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩④2211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。
高一数学函数的奇偶性
1．一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)，当 k>0 时为增函数，k<0 时为减函数，在闭区间[m，n]上的两端点取得最值； 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)．a>0 时，在(－∞， b b － ]上为减函数，在[－ ，＋∞)上为增函数，a<0 时相反； 2a 2a b 在闭区间[m，n]上，既有最大值也有最小值，当－ ∉[m，n] 2a
b b 时，在两端点取最值，当－2a∈[m，n]时，f－2a为其一个
最值，f(m)与 f(n)中的一个为另一最值．要熟练结合其图象进 行讨论．
பைடு நூலகம்
[解析]
3 ∵2>1，∴f(x)在[－1,1]上为减函数，
2－3x在[－1,1]上的最大值为 • [例∴ 1] f ( x ) ＝ x 最大值为 f(－1)＝4.故填 4. ________．
• 4．y＝x2＋|x|的大致图象是 ( )
• [解析] 此函数为偶函数，排除C、D；又 y≥0，排除B，故选A.
1 1 5．已知 f(x)为 R 上的增函数，则满足 f(|x |)<f(2)的实数 x 的取值范围是
• A．(－2,2) B．(0,2) • C．(－2,0)∪(0,2) D ． ( － ∞ ，－ 2)∪(2 ， ＋∞) 1 1 • [答案 ] D [解析] ∵f(x)是 R 上的增函数，且 f(| |)<f( )，
1 1 A.－2，2 1 B.0，2
(
)
C．[0,1]
D．[0，＋∞)
• [答案] B
[解析] ∴y＝
x－1≥0 由 x≠0
得，x≥1，
高一奇偶性知识点大全
高一奇偶性知识点大全在数学学科中，奇偶性是一个基本的概念，对于高一学生来说，了解和掌握奇偶性的知识点对于解题非常重要。
本文将为大家介绍一些高一奇偶性的知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
一、奇偶数的定义奇数和偶数是自然数的两个基本分类。
奇数是指不能被2整除的自然数，例如1、3、5等；偶数是指可以被2整除的自然数，例如2、4、6等。
奇数除以2会有余数，而偶数除以2得到的商是整数。
二、奇偶性的运算法则1. 奇数和奇数相加得到偶数。
例如，3 + 5 = 8。
2. 奇数和偶数相加得到奇数。
例如，3 + 4 = 7。
3. 偶数和偶数相加得到偶数。
例如，4 + 6 = 10。
4. 偶数乘以任意数得到偶数。
例如，2 × 3 = 6。
5. 奇数乘以奇数得到奇数。
例如，3 × 3 = 9。
三、奇偶性的应用1. 奇偶数的相加相减(1) 奇数与奇数相减得到偶数。
例如，5 - 3 = 2。
(2) 奇数与偶数相减得到奇数。
例如，7 - 4 = 3。
(3) 偶数与偶数相减得到偶数。
例如，8 - 2 = 6。
2. 奇偶数的乘积(1) 偶数与任意数相乘得到偶数。
例如，2 × 5 = 10。
(2) 奇数与3的乘积一定是奇数。
例如，3 × 9 = 27。
3. 奇偶数的除法在除法运算中，有一个基本原则：一个奇数除以另一个奇数，或者一个偶数除以另一个偶数，结果一定是奇数；而一个奇数除以偶数的结果一定是偶数。
四、奇偶数在排列组合中的应用1. 偶数次排列的奇数当我们在计算排列组合问题时，如果有奇数个元素需要排列，那么排列的结果一定是奇数个。
例如，对于A、B、C三个元素的排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共有6个排列结果。
2. 奇数次排列的偶数相反地，当我们有偶数个元素需要排列时，排列的结果一定是偶数个。
例如，对于A、B、C、D四个元素的排列：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB、BACD、BADC、BCAD、BCDA、BDAC、BDCA、CABD、CADB、CBAD、CBDA、CDAB、CDBA、DABC、DACB、DBAC、DBCA、DCAB、DCBA，共有24个排列结果。
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