高一数学《函数奇偶性》教案

第三节 函数奇偶性（高一秋季班组第五次课10.05）

一．教学目标

1.了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性；

2.奇偶性的应用

3.奇偶性与单调性综合

二．教学内容

1.偶函数：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

奇函数：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数。

奇偶性：如果函数)(x f 是奇函数或偶函数，那么就说明函数)(x f 具有奇偶性。

正确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，那么-x 也必然在定义域中，因此，函数)(x f y =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。

无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。 两个奇偶函数四则运算的性质：

①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数； ④两个偶函数的积是偶函数； ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

例1.判别下列函数的奇偶性：

f(x)＝|x ＋1|+|x －1| ; f(x)＝

23x ; f(x)＝x ＋x 1 ; f(x)＝21x

x + ; f(x)＝x 2,x ∈[-2,3] 思考：f(x)=0的奇偶性？

练习1.判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x 2－|x|＋1，x ∈[－1,4]；(2)f(x)＝1－x 2

|x ＋2|－2； (3)f(x)＝(x －1)1＋x 1－x ； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋x x>0，x 2＋x x<0. 2．奇函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像必过点( C )

A ．(a ，f(－a))

B ．(－a ，f(a))

C ．(－a ，－f(a))

D ．(a ，f(1a

)) 解析 ∵f(－a)＝－f(a)，即当x ＝－a 时，函数值y ＝－f(a)，∴必过点(－a ，－f(a))．

3．已知f(x)为奇函数，则f(x)－x 为( A )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既不是奇函数又不是偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

解析 令g(x)＝f(x)－x ，g(－x)＝f(－x)＋x ＝－f(x)＋x ＝－g(x)．

4．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( A )

A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数

B ．f(x)－|g(x)|是奇函数

C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数

D ．|f(x)|－g(x)是奇函数

解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)．

由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．

5.设f(x)＝ax 7

＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝11+x ，求f(x)、g(x)。 7．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝1x －1

，则f(x)＝________，g(x)＝________. 答案 1x 2－1，x x 2－1

解析 ∵f(x)＋g(x)＝1x －1， ①∴f(－x)＋g(－x)＝1－x －1

.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－

g(x)＝1－x －1. ②①＋②，得f(x)＝1x 2－1，①－②，得g(x)＝x x 2－1.

8.已知函数f(x)，对任意实数x 、y ，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。

9.已知f(x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7，-3]上是 函数，且最 值是 。

10.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

11.设函数(1)()()x x a f x x

++=为奇函数，则a = ． 12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)＝________.

答案 －0.5

13．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2＋1，则f(－2)＝________.

答案 －5解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝ 22＋1＝5.∴f(－2)＝－5.

2.奇函数、偶函数的图像的性质：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论：如果奇函数)(x f 的定义域为R 时，那么必有0)0(=f 。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。f(x)＝f(|x|)

例2.)(x f y =是偶函数，图像与x 轴有四个交点，则方程0)(=x f 所有实根之和是（）

（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0

练习1.若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(

（A ）)2,(-∞ （B ）),2(+∞ （C ）),2()2,(+∞--∞ （D ）（－2，2）

2.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x

--<的解集为（ ） （A ）(10)(1)-+∞，，（B ）(1)(01)-∞-，，（C ）(1)(1)-∞-+∞，，

（D ）(10)(01)-，， 3.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

1=

x 对称， 则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=________________． 4.已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）

（A ）)7()6(f f > （B ）)9()6(f f > （C ）)9()7(f f > （D ）)10()7(f f >

5.下面四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( a )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3.函数的奇偶性与单调性之间的关系：

一般地，若)(x f 为奇函数，则)(x f 在],[b a 和],[a b --上具有相同的单调性；若)(x f 为偶函数，则)(x f 在],[b a 和],[a b --上具有相反的单调性。

若奇函数f(x)在[a ，b]上是增函数，且有最大值M ，则f(x)在[－b ，－a]上增函数，且有最小值-M .

例3.定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值

范围。

练习1．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)

答案 m ∈[－1，12

)