人教新课标版数学高一- 人教B版必修1 3.3 幂函数 教案
1.数学：3.3《幂函数》教案(新人教B版必修1)
幂函数教学设计一、教学目标1.知识与技能 理解、掌握幂函数的图象与性质，并进一步掌握研究函数的一般方法。
2.过程与方法 渗透分类讨论、数形结合的思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力。
3.情感态度价值观 培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 二、教学重、难点本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法。
相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点。
学情分析及教学内容分析 三、学情分析 1.知识储备方面学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难. 2. 思维水平方面所授课班级是理科实验9班，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，对课堂教学有较高需求. 四. 教学内容分析1.幂函数在教材中的地位幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质. 2.幂函数的作用新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用： 1.是幂函数在实际中的应用.2.学生在初中已经学习了x y =、2x y =、1-=x y 三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.3.幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.组织探究二、幂函数的定义自然地，给出幂函数定义（板书，学生打开课本）一般地，形如：αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数．（由上面的式子可以看出幂函数和幂联系紧密，由于根式推广时，我们仅推广到有理数的情况，所以仅研究有理数）。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
人教版高中必修一《幂函数》教案
人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。
二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。
2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。
3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。
4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。
5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。
四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。
五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。
六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。
七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。
高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数 学案
§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质． 难点：幂函数图象的位置和形状变化． 三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解 因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点， 所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析 先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评 以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考． 一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解 选A ，或选C ，或选D剖析 错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数． 正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析 在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象． 三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解 由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析 求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解 由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去． 故所求实数m 的取值集合为{－1}． 四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解 考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析 函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解 考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0， 解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数 解析 要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数． 答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析 首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1； 如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析 结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评 以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析 利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解 分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏． 二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解 因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解 由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0， 这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0， 又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0， 由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评 从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解 由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析 根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析 性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析 设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2， 所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析 不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析 要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。
人教版高中必修1(B版)3.3幂函数课程设计
人教版高中必修1(B版)3.3幂函数课程设计一、背景与目的幂函数作为数学分析中的一种基本函数，是大学教育中非常重要的课程内容，但是在高中数学中，尤其是在必修课中，幂函数的教学并不够充分。
因此，本课程设计旨在通过引导学生深入探究幂函数的性质与应用，提升学生对幂函数的认识与理解，为大学数学课程打下更加牢固的基础。
二、教学内容与方法1. 教学内容本课程设计主要围绕以下内容展开：1.幂函数的定义与性质；2.幂函数的图像与变化趋势；3.幂函数与指数函数的关系；4.幂函数的应用：指数函数模型。
2. 教学方法1.探究式教学法。
此方法通过引导学生自主学习、自主探究的方式，让学生体验到数学发现的乐趣，增强他们对知识的掌握及运用能力。
在本课程设计中，可以让学生通过编写程序或利用数学软件，探究幂函数的各种性质与变化趋势。
2.讨论式教学法。
此方法通过给学生一定的问题或案例，引导学生进行思考和探讨，培养学生的合作意识、批判思维和创造力。
在本课程设计中，可以通过案例分析的方式，让学生探讨幂函数在生活中的应用，并结合实际问题进行计算与解答。
三、教学过程1. 课前准备1.设备：计算机、投影仪、数学软件等；2.材料：教材相关内容、探究性课题、案例等；3.学生：提前学习幂函数基本知识，具备使用数学软件的能力。
2. 教学步骤第一步：幂函数的定义与性质1.进行知识普及，回顾幂函数的定义；2.引导学生自主探究幂函数性质：奇偶性、单调性、零点、渐进线、极值点等；3.通过数学软件绘制幂函数图像，让学生了解幂函数在不同情况下的变化趋势和特点。
第二步：幂函数与指数函数的关系1.回顾指数函数的定义与性质；2.引导学生探究幂函数与指数函数的关系，并解释幂函数的性质对其图像的影响。
第三步：幂函数的应用1.结合生活实际问题，引导学生运用幂函数进行模型构建与解答；2.通过案例分析，让学生掌握幂函数在实际问题中的应用。
四、课程评估1. 教学成果评估1.以小组形式完成探究性课题的撰写与汇报，评选出优秀课题；2.编写课程设计反思材料，评价本课程设计的教学效果。
3.3幂函数课件人教新课标B版
学生活动二：
以小组为单位，结合表格，讨论幂函数的性质.
思考:（随着 值不同性质也不相同）
（1）幂函数的图象可能在第四象限吗？
哪个象限可能有幂函数的图象？
（2）恒过哪个定点？为什么？
（3）当 取不同范围时（在第一象限中），
图象有什么不同？单调性有什么不同？
（4）若能确定第一象限的图象就能确定整个
数学
人教B版 ·必修1
路其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
3.3
幂函数
第三章
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1
复习导入
3
例题讲授
2
课堂自主探究
4
课 时 作 业
第三章
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定义域的图象吗？为什么？
教师几何画板展示
第三章
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幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在
(0,+∞)都有定义，并
且图象都通过点(1,
1);
(2) 如果α＞０，则
幂函数图象通过（0
，0），并且在区间
[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内
谢谢大家！
第三章
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2．给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂
式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性
高一数学《§3.3幂函数》教学案例
高一数学《§3.3幂函数》教学案例作者：连秀斌来源：《中文信息》2019年第01期摘要：幂函数的定义、图象及性质的教学过程关键词：幂函数定义图象性质中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）01-0-01一、基本信息设计者：连秀斌，抚顺二中教材：高中数学（人教B版）必修一课时：1课时（共1课时）二、教材内容分析幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，教材是从学生已经掌握的最简单的函数、、、…等函数出发引出幂函数的定义。
将其放在指数函数和对数函数之后，采用类比的学习方法来探究幂函数的图象及其性质，在教学过程中，继续渗透分类讨论及数形结合的数学思想，注重培养学生的归纳、概括的能力。
三、教学目标1.知识与技能：了解幂函数的定义，会画常见幂函数的图象，能结合这些幂函数的图象概括其函数性质。
2.过程与方法：通过对几个常见的幂函数作图，观察、总结幂函数的性质，培养学生的作图能力，观察问题、分析问题及归纳总结的能力，并在教学过程中渗透数形结合的思想.3.情感态度与价值观：通过学生熟悉的函数引出幂函数的定义，降低问题难度，来幫助学生树立信心，体验轻松学习的喜悦，降低畏难情绪，激发学生的学习兴趣。
四、教学重点及难点本小节的重点：幂函数的定义、图象及性质.本小节的难点：将幂函数图象从感性认识上升到理性认识，并归纳概括出幂函数的性质，从而应用性质解决相关的简单问题。
五、教学的方法与手段遵循“以学生为主体，教师为主导”的教学准则，充分调动学生的积极性、主动性和有效地渗透数学思想方法，努力去提高学生素质。
因此，本节主要采用探究法、演示法、发现法、讲授法等教学方法，及探究学习和合作学习等学习方法。
六、教学过程七、板书设计八、教学设计反思与自我评价首先我由几个实例引入，概念过渡自然，学生易于接受。
我引导学生从实例出发类比指数函数的定义自己观察、归纳、总结概括出幂函数的定义。
人教新课标版数学高一人教B版必修1精品教学设计 3.3 幂函数
3．3 幂函数整体设计教学分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝21x 等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．三维目标1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象．2．通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．3．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质． 4．通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．5．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力． 6．了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质． 教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小． 课时安排 1课时 教学过程导入新课思路1.(1)如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系？根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数．(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． (3)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数． (4)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝21S ，这里a 是S 的函数． (5)如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v ＝t －1 km/s ，这里v 是t 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)．(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数)． 思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．推进新课新知探究 提出问题问题①：给出下列函数：y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？问题②：根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论．问题③：我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？问题④：画出y＝x，y＝x 12，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格．问题⑤：通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？问题⑥：通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如y＝xα(x∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．如y ＝x 2，y ＝21x ，y ＝x 3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．③我们研究指对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．④学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y ＝x ，y ＝21x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x－1的图象．列表：描点、连线．画出以上五个函数的图象，如下图．让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．通过观察图象，完成表格．⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断．⑥幂函数y＝xα的性质．(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x＝1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．特别地，当α＞1时，x∈(0,1)，y＝x2的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．当0＜α＜1时，x∈(0,1)，y＝x2的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴．应用示例思路1例1比较下列两个代数式值的大小：(1)(a ＋1)1.5，a 1.5；(2)(2＋a 2)－23，2－23.解：(1)考察幂函数y ＝x 1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数． 因为a ＋1＞a ，所以(a ＋1)1.5＞a 1.5. (2)考察幂函数y ＝23－x ，在区间[0，＋∞)上是单调减函数．因为2＋a 2≥2，所以(2＋a 2)－23≤2－23. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.例2讨论函数y ＝32x 的定义域、奇偶性，作出它的图象．并根据图象说明函数的增减性．解：函数y ＝32x ＝3x 2，定义域是实数集R . 因为f(－x)＝32)(x －＝[(－x)2]＝(x 2)＝32x ， 所以函数y ＝x 23是偶函数．因此函数的图象关于y 轴对称． 列出函数在[0，＋∞)上的对应值表：作这个函数在[0，＋∞)上的图象，再根据这个函数的图象关于y 轴对称，作出它在(－∞，0]上的图象，如下图所示．由它的图象可以看出，这个函数在区间(－∞，0]上是减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．变式训练证明幂函数f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性． 证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以x 1－x 2x 1＋x 2＜0.所以f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数．思路2例1判断下列函数哪些是幂函数．①y ＝0.2x ；②y ＝x －3；③y ＝x －2；④y ＝51x .活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y ＝x α(x ∈R )的函数称为幂函数，变量x 的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．解：①y ＝0.2x 的底数是0.2，因此不是幂函数； ②y ＝x －3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； ③y ＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；④y ＝51x 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数． 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.例2函数y ＝(x 2－2x)21－的定义域是( )A ．{x|x≠0或x≠2}B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．(0,2)解析：函数y ＝(x 2－2x)21－化为y ＝1x 2－2x，要使函数有意义需x 2－2x ＞0，即x ＞2或x ＜0，所以函数的定义域为{x|x ＞2或x ＜0}．答案：B点评：注意换元法在解题中的应用.知能训练1．下列函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝2x2．下列结论正确的是( ) A ．幂函数的图象一定过原点B ．当α＜0时，幂函数y ＝x α是减函数C ．当α＞0时，幂函数y ＝x α是增函数D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数 3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝23x4．已知某幂函数的图象经过点(2，2)，则这个函数的解析式为__________． 答案：1.C 2.D 3.A 4.y ＝21x拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系． ①y ＝x －1，y ＝x －2，y ＝x －3；②y ＝x 21－，y ＝x31－；③y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3；④y ＝21x ，y ＝x.活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示． 解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如下图甲、乙、丙、丁．甲乙丙丁①观察上图甲得到：函数y ＝x －1、y ＝x －2、y ＝x －3的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴，指数越小，向右无限接近x 轴的图象在下方，向上离y 轴越远．②观察上图乙得到：函数y ＝x 21－、y ＝x 31－的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴，指数越小，向右无限接近x 轴的图象在下方，向上离y 轴越远．③观察上图丙得到：函数y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3的图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，在第一象限来看，图象向上离y 轴近，向下离y 轴近．④观察上图丁得到：函数y ＝21x 、y ＝x 的图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象上凸越大，在第一象限来看，图象在点(1,1)的左边离y 轴近，在点(1,1)的右边离x 轴近．根据上述规律可以判断函数图象的分布情况． 课堂小结1．幂函数的概念．2．幂函数的性质．3．幂函数的性质的应用．作业课本习题3—3 A 3、4.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解．备课资料历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算方面的三大发明吗？这就是阿拉伯数字、十进制和对数．研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明．在商代中期的甲骨文中已有十进制，其中最大的数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所接受．十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚地表示出来．16世纪前半叶，由于实际的需要，对计算技术的改进提出了前所未有的要求．这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法．苏格兰数学家纳皮尔(Napier ，J.1550～1617)在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法，对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs，H.1561～1630)所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始，微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命．”一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，L.1707～1783)才发现了指数与对数的关系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们所接受．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 3.3 幂函数》6
课题：§幂函数
北票高级中学 陈 宇
一、教学目标：
1、 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况。
2、 过程与方法：使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法。
3、情感、态度与价值观：通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点。
二、教学重点：
重点：幂函数的概念、图象和性质。
难点：将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质。
三、教学程序与环节设计：
四、教学设计：
问题引入．
幂函数的图象和性质．
幂函数性质的初步应用．
．
．
.这些函数的表达式有什么共同的特征？这类
生：共同特征：底数可变而指数不变，即：均是以幂的底数为自变量，指数为常数的函数。
学生小组讨论交流、
答，教师板演。
人教B版高中高一数学幂函数教案设计
人教B版高中高一数学幂函数教案设计一、教学目标1.了解幂函数的定义及其性质；2.掌握幂函数的图像变换；3.能够通过图像和函数式子相互转换；4.能够应用幂函数解决实际问题。
二、教学重点1.幂函数的定义及其性质；2.幂函数的图像变换。
三、教学难点1.幂函数的图像解析；2.幂函数与实际问题的综合应用。
四、教学过程设计1. 导入环节教师通过展示一张幂函数的图像，让学生通过观察来了解幂函数的定义。
2. 概念讲解1.幂函数的定义及其性质•定义：设a>0且a eq1，则函数y=a x称为幂函数。
•性质：当a>1时，幂函数y=a x呈增长趋势；当0<a<1时，幂函数y=a x呈下降趋势。
2.幂函数的图像变换•左移/右移：$y=a^{x \\pm k}$ 的图像向左/右平移k个单位；•上移/下移：$y=a^x \\pm k$ 的图像向上/下平移k个单位；•拉伸/压缩：y=a kx的图像沿x轴缩短/拉长k倍，沿y 轴拉长/缩短k倍。
3. 综合练习1.求函数f(x)=2x在点(1,2)的切线方程；2.已知函数g(x)=2−x，求g(1)和g(−1)的值；3.某村庄的归化指数是每年按 $1.2\\%$ 的速度递增，已知该村庄在2010年的归化指数为k，问在2020年底该村庄的归化指数是多少？4. 结论总结幂函数是一种常见的函数类型，通过图像可直观了解函数的增减趋势，通过函数式子可推导出函数的性质、图像变换等。
五、教学反思通过本次课程，学生们掌握了幂函数的定义及其性质，掌握了幂函数的图像变换，学会了将图像和函数式子相互转换，能够应用幂函数解决实际问题。
但是在教学中，有些学生对幂函数的图像变换还不是很理解，需要更多的练习和巩固。
后面需要进行相关习题训练，帮助学生更加深入地理解幂函数的概念和应用。
《幂函数》教案
3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增（-∞，0）减 递增[0，+∞）增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x 是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=《幂函数》教案说明教材：普通高中课程标准试验教科书 数学1（必修）B 版 人民教育出版社 章节：3.3幂函数 一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一3.3《幂函数》3教案.doc
a = 4,b = 3.借幕函数比较大小比较大小问题是幕函数中的一种常见题型.下面介绍几种方法，供同学们学习时参考.一、直接法当幕指数相同时，可直接利用幕函数的单调性来比较. 例1比较下列各组中两个值的大小：(1) 0.7",0.6"；(2) 2.2玄 1.8丐.解析：题中两组值都是幕运算的结果，且指数相同，因此可以利用幕函数的性质来判断它 们的大小.(1) •.•幕函数,y = x"在［0, +oo )上为增函数，又0.7>0.6,0.715 > 0.615 ；(2) ■/幕函数y = 在(0, +8)上为减函数，又2.2>1.8,2.2 彳 >1.83.例2函数f(x) = (a-b)x 3 +b-3是幕函数，比较/(a) lj f(b)的大小.解析：/(%)是幕函数,a-b = 1•••幕函数y = 在(°, +8)上单调递减,T 函数/(x) = x 3在(0, +°°)上是增函数，且a>b>0,二、转化法当幕指数■不同时可先转化为相同幕指数，再运用单调性比较大小.例3 比较(—血)亍,(4).7)丐1.1丐的大小.,(—0.7) 3 =0.7 3, 1.1 3 =1.21 3.2 逅\ 32:.0.7 3 > — >1.21 3. 2 2 2 _4(—0.7)丐 > (-72)3 >i.f3 .三、 中间值法当底数不同且幕指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小 的两数分别比较，从而达到比较大小的目的.例4 比较0.& 3与0.9 3的大小.解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小.注丄丄意到这两个数的特点，中间值应选0.9亍或0.8「 1 1••• —>0, 幕函数y = x 2在(0, +8)上是.增函数.2£又 0.8V0.9, .-.0.8 2 <0.9 2 .1 1 1 -1又0V0.9C1,指数函数y = 0.9A 在(0, +8)上是减函数，且A0.92 <0.93.综上可得0.8 2 <0.9 3.四、 模型函数法若函数y = /(x)满足性质：/(xy) = f (%) f (y), 则可以认为其模型函(y 丿 f(y)数为幕函数/(x) = x a .对•于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原 型函数来求-解.解析：(-届=上是减函数，f (填 “>、=、V”). 解析：/'(x)的原型函数是f(x) = x a (a 为常数)， X/ (8) =4,・：4 = 8" ,32 于是/(x) -,显然该函数是偶函数，且在区间(0 , +-)上是增函数，在(一®, 0 ) (、 X =^~,且/(8)=4,则y 9 f b f(y) 0 < 例5 已知函数/(x)满足于。
高中数学 33幂函数教案 新人教B版必修1 教案
人民教育出版高中数学B版必修一◆3.3《幂函数》教学设计2.教学过程设计函数的教师通过电脑投影演示)(R x y ∈=αα的标准图象，幂函数的图象随指数α的变化图象的变化情况。
观察教师的演示过程，直观感受幂函数图象特点，函数因变量y 随自变量x 的变化过程，进一步验证小组合作的探究成果。
让学生从静态观察函数图象到动态生成函数图象，感受函数变量对应变化，实现由感性认知到理性认知的跨越。
请学生根据观察出的图象特征，归纳出幂函数的性质。
学生小组合作完成下表，上台展示：函数)(R x y ∈=αα指数 1>α 10<<α 0<α图象过定点单调性函数值特点完善表格，形成知识脉络，突破难点.例1、 比较下列两个代数式值的大小 （1）5.15.1)1(a a + （2）21219.01.1-- 练习:比较下列两个代数式的大小：(1)119.08.0--（2）43434.23.2（3）22)43()32(-- （4）2121)31()21(学生思考，口头回答 教师引导学生总结比较大小的方法。
幂函数概念的应用，加深幂函数性质的理解。
例2：讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性。
学生自主完成，选取代表板演。
教师启发引导学生总结研究幂函数性质的规律方法。
例2研究幂函数的性质，培养学生数形结合的思想方法和应用能力，提高思维的严谨性，进一步加深对幂函数图象和性质的理解。
=α 生成新 知典 例剖析六、板书设计[设计意图]板书呈现整堂课的内容与方法，突出本节重难点，体现教学进程，启迪学生思维.设计理念：1.本节课以：“教什么”、“怎么教”，“为什么这样教”与学生的“学什么”、“怎么学”，“为什么这样学”的有机结合为教学设计出发点.2.在教学过程中，从实际问题入手，设置探究题，引导学生自主、合作学习，渗透数学思想方法为教学设计的落脚点.3.在问题解决过程中，以数学应用意识的培养，解决问题能力的提高为教学设计的最终目的.§3.3 幂函数。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 3.3 幂函数》695
幂函数教学设计一．教学目标1知识技能：了解幂函数定义，掌握一些常见幂函数的图像及性质和一般幂函数第一象限内图像特点2过程与方法：通过形式来定义幂函数，比较幂函数和指数函数得出其特有的形式特点，观察图像归纳总结出其函数性质，数形结合找规律3情感、态度和价值观：函数图像直接反应函数性质，同样由函数性质也能大致画出其图像，对图像与性质之间的关系进行探索体会二．重难点重点：幂函数的定义，常见幂函数的图像和性质，一般幂函数第一象限的大致图像再利用其性质得到整体图像难点：其一般的性质分析，再由性质得到一般图像三．教学方法和用具方法：归纳总结，数形结合，分析验证用具：幻灯片，黑板四．教学过程（幻灯片见附件）1设置问题情境，找出所得函数的共同形式，由形式给出幂函数的定义（幻灯片3幻灯片4）（板书）2利用定义的形式，判断所给函数是否是幂函数，并得出判断依据（幻灯片5）3画常见的6种幂函数的图像，让学生用描点法画，找学生在黑板上画4用幻灯片演示这6个幂函数的图像，观察图像，完成书中幂函数的函数性质的表格，并分析得出更一般的结论（板书）5直观观察6个幂函数的图像，寻求第一象限幂函数图像的大致走向（幻灯片16）6例2例3给出几个幂函数，利用所得规律直接画出第一象限图像，再利用其定义域，奇偶性画出整体大致图像，（幻灯片19）（幻灯片23）7例题4比较幂值大小（幻灯片29）8练习：幂函数图像和解析式配对，从而对幂函数进行分类研究（幻灯片30）9小结（幻灯片31）五．教学反思1要注意课堂上学生的反应，老师要迅速对其作出判断。
例如：判断=2是不是幂函数，学生说不是，因为它是二次函数。
这时老师就应该迅速反应，要反驳学生，二次函数=2也是幂函数。
2幻灯片的制作时要注意，用白色的字有时在后排反光看不太清楚，一般多用红色，蓝色的。
再就是幻灯片只是一个教学辅助工具，不要过多依赖，有一些必要的板书还是要有的。
3知识讲述和让学生思考动手的时间要分配好，衔接要自然连贯。
人教B版高中数学必修一教案-3.3 幂函数
教学过程设计：
组织探究
材料二：常见幂函数的图像和性质
在同一个坐标系下作出下列函数的图象：
（1）x
y=；（2）2
1
x
y=；（3）2x
y=；
（4）1-
=x
y；（5）3x
y=．
[解] ○1列表（略）
○2图象
生：利用所学知识和
方法尝试作出五个具
体幂函数的图象，观
察所图象，体会幂函
数的变化规律．
师：引导学生应用画
函数的性质画图象，
如：定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调
画图象易犯的错误．
组织探究
材料三：幂函数图象画法
例2先分析函数
2
3
y x
＝
的性质，再画出其图象.
分析：奇偶性、幂指数与1的大小、分析第一象限内的
图像
师生共同总结：幂函
数αx
y=在第一象
限内的图象第一象
限，按交点从下到上
的顺序，幂指数按从
小到大的顺序排列．
，则0.5a,5a,5－a的大小关系是（<0.5a B.5a<0.5
收获与体会
1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的
奇偶性、单调性之间的关系？
2．幂函数图像及其特征
3．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方
面？
师：引导学生独立队
本节课的内容进行总
结归纳
作业1.教材第110页：习题3-3A第1，3题，
2.习题3-B第1-4题
板书设计2.3 幂函数例题1：
（一）概念
学生板演1 学生板演3
学生板演2
教师板
演区。
人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》教学设计
引入
问题1：回忆指数函数概念
写出下列y关于x的函数解析式：
学生：独立完成
教师：引导定义.
设计意图：培养学生自主归纳性质.
新知
探究
问题2：以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,具有的共同特征？
(1)底数为自变量x，系数为1；(2)指数为常数；
(3)均是以自变量为底的幂.
定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.
课题
幂函数
3.3.1幂函数
课型
新
课时
1
《3.3幂函数》教学设计
知识与技能：
掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
过程与方法：
加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。
情感态度与价值观：
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上Байду номын сангаас增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
学生：全体学生回答
2.比较大小
学生：独立完成
教师：让学生演示，并进行点评.
设计意图：结合概念和性质进行应用.
归纳
总结
本节课你都学会哪些知识？
（1）幂函数的定义；
（2）幂函数的图像和性质
学生：学生回忆
教师：教师补充
分层
作业
教材P110习题A中1，2和3；
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3.3幂函数
教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学课时：1课时
教学过程：
1、 概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、 本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。
选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。
（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。
两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。
当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。
（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。
（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。
4、提问思考。
根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。
要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n ＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。
再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。
课堂练习：教材第118页练习题3-3A、3-3B
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。