浅谈初中数学中的“分类思想”

浅谈初中数学中的“分类思想”

作者：沈小英

来源：《新课程·教育学术》2010年第08期

《数学新课程标准》中明确要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程,不宜集中体现”,这就要求我们教师在教学中应注重对学生的观察、操作、分析、思考能力的培养,更应不断地渗透数学思想方法,并将此作为教学的核心,为学生以后的学习打下坚实的基础,从而让学生终生受益。

初中数学中体现出来的数学思想有很多,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和数学建模思想等。其中,分类讨论思想是初中数学中体现比较多的一种既重要又应用广泛的数学思想。

分类是根据教学对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段,在教学中如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有系统性和条理性。

初中数学教材在不少问题的处理上都是采用分类讨论的思想来加以叙述的。例如,代数中,实数分为有理数和无理数;整式分为单项式和多项式;方程分为整式方程和分式方程,整式方程又分为一元一次方程、一元二次方程等;函数分为一次函数、二次函数和反比例函数;投影分为平行投影与中心投影。几何中,角分为平角、周角、直角、锐角、钝角;三角形按角分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形,按边分为等边三角形、等腰三角形(有两边相等)和不等边三角形(三边都不等);点与圆的位置关系分为点在圆外、点在圆上、点在圆内;直线与圆的位置关系分为直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交;圆与圆的位置关系也分为五种等等,都渗透着分类讨论的数学思想,我们在平时的练习中也随处可见。

例1.若m-n=n-m,且m=4,n=3,则(m+n)2= 。

分析:绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念。

(1)因为m-n=n-m,所以当m-n为负数或零时成立,所以m-n≤0

(2)m=4,n=3,以m=±4,n=±3

得正确答案:(1)m=-4,n=3 (2)m=-4,n=-3

∴(m+n)2=1或49

例2.已知相切两圆的半径分别为5cm和4cm,这两个圆的圆心距是。

分析:由圆与圆的位置关系知道,相切分为外切和内切,所以这两个圆的圆心距是9cm或

1cm。

我们在平时的教学中要注意以下两点:首先要指出分类讨论的必要性,培养学生讨论的习惯。其次,要特别向学生指出,当面临的问题不止一个方面时,这时就要分类讨论。

另外,题目中含有不确定的参数时,常因参数取值范围的不同,使运算、结论都受到影响,而遇到这类情况时就必须分类讨论。在平时的学习中往往有的学生对所学知识概念不清,领会不够深刻,导致分类不精确,答题不完整,这种例子很多。

例3.已知(a-1)x

分析:由题意,不等式两边同时除以(a-1),根据不等式的性质“不等式的两边同乘或同除以不为零的负数,不等号的方向要改变”,而此题中(a-1)的符号不能确定,所以要对(a-1)的正负进行分类讨论。

例.关于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解),则a的值为()

A.0

B.2

C.1

D.0或2

分析:本题学生往往只考虑方程有两个相等的实数根,容易受思维固定,导致漏解,没有综合考虑一元一次方程的情况,本题应该考虑该方程可以是一元一次方程或一元二次方程两种情况进行分类讨论,即a=0和a≠0两种情况,选D。

我们在研究函数时也可以根据问题中待定参数的变化进行讨论,如讨论一次函数

y=kx+b(k≠0)的增减性,要分k>0和k

在日常解题过程中,许多同学往往受平时学习中习惯性思维的影响,导致解题不全面。求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性时,往往容易遗漏。

例4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值

()

A.只有1个

B.可以有2个

C.有2个以上,但有限

D.有无数个

分析:本题学生容易误认为两条直角边长就是6和8,认为另一个与它相似的直角三角形也是直角边长分别是3和4,造成漏解.本题应该考虑:(1)若直角三角形的两条直角边长分别是6和8,那么斜边是10,则x可以作为直角边,也可以作为斜边;(2)若直角三角形的两条边长分别是6和8,其中8作为斜边,则x可以作为直角边,也可以作为斜边,所以选择C。

某些不确定的图形的形状或位置要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。有的题目在题设条件下图形可能有几种情形,因此要对每种情况进行分类讨论求解,否则就可能漏解,这类问题多在几何中出现。

例5.已知△ABC中,AB=10,AC=12,BC边上的高AD=8,则BC=__________。

分析:此题很容易漏解,原因是对数学中的基本图形掌握不够熟练,缺乏分类标准,因此在解题时要画图考虑各种可能的情况,考虑BC边上的高AD在三角形内还是在三角形外。

应用分类讨论思想解决有关问题,关键是正确地进行分类,而分类一般有以下几个原则:首先,要有明确的分类标准;其次,对讨论对象分类时要不重复、不遗漏,任意两个类别之间不出现交叉;另外,当讨论的对象不止一种时,应分层次进行,以避免混乱,分类时有一个统一的标准。把一个数学问题的研究对象按一定的标准分成几个部分或几种情况,化整为零,一一解决,实际上是一种“分而治之,各个击破”的策略。其操作步骤主要可分为以下四步:1.确立分类讨论的对象;2.进行合理的分类讨论;3.逐类逐级分类讨论;4.综合归纳结论。

分类讨论是一种常用的数学思维方法和解题策略,也是一种重要的数学思想,这种数学思想对人的思维发展起着重要的影响。在中考复习阶段,展开分类讨论的专题复习,对培养学生思维的条理性、缜密性,提高学生全面、周密地分析问题和解决问题的能力有着十分关键的作用,可达到事半功倍的效果。

作者单位:江苏省南通市海安县白甸初中