《数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题

一、填空题：

1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

⎰≈3

1

_________

)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25

2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为 ，拉

格朗日插值多项式为 。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

=+

5、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为

( 1

2+-n a b )；

8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1

d )(x

x f ≈(

⎰++-≈1

)]

321

3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度

为( 5 )；

12、 为了使计算

32)1(6)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达

式改写为

11

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999

2001-改写为

199920012

+ 。

13、 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为

0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、 计算积分⎰1

5

.0d x

x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用

辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值

多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、 求积公式⎰∑=≈b

a

k n

k k x f A x x f )(d )(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有

( 12+n )次代数精度。

17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求⎰5

1

d )(x

x f ≈( 12 )。

18、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。

19、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

20、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( 3 )，b =（ 3 ），c =（ 1 ）。

21、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

0)(( 1 )，∑==

n

k k j

k x l

x 0

)((

j

x )，当2≥n 时

=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n k k

( 32

4++x x )。

22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

23、改变函数f x x x ()=+-1 (x >

>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=

11

。

24、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

25、设

()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,22

3

3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。

26、若用复化梯形公式计算⎰1

0dx

e x ，要求误差不超过6

10-，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。

27、若4

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。

28、数值积分公式1

12

18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++⎰的代数精度为 2 。

选择题

1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。

A ． 2

B ．5

C ． 3

D ． 4 2、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6

B ． 5

C ． 4

D ． 7 4、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。

A ． 模型

B ． 观测

C ． 截断

D ． 舍入

5、用1+3x

近似表示3

1x +所产生的误差是( D )误差。

A ． 舍入

B ． 观测

C ． 模型

D ． 截断 6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8

7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 9、( D )的3位有效数字是0.236×102。