Bresenham算法

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任意斜率bresenham算法

任意斜率bresenham算法Bresenham算法是一种经典的计算机图形学算法，用于在计算机屏幕上绘制直线。

它的主要特点是高效快速，并且不需要浮点数运算。

本文将介绍任意斜率下的Bresenham算法原理及实现方法。

一、原理介绍Bresenham算法的核心思想是利用整数计算代替浮点数计算，从而提高计算速度。

算法的基本原理是通过在直线路径上的每个像素点处做决策，选择最接近直线路径的像素点来绘制线段。

二、实现步骤1. 输入起点坐标(x0, y0)和终点坐标(x1, y1)；2. 计算斜率的绝对值的倒数：dx = x1 - x0，dy = y1 - y0，abs(dx) > abs(dy)时，倒数为1/abs(dx)，否则为1/abs(dy)；3. 初始化误差项：e = -1/2；4. 初始化绘制点坐标：x = x0，y = y0；5. 进行循环，直到绘制到终点坐标：- 绘制当前点(x, y)；- 更新误差项：e = e + abs(dy/dx)；- 若误差项大于等于1，则纵坐标y加1，并更新误差项：e = e - 1；- 横坐标x加1；6. 绘制终点坐标。

三、代码实现下面是使用C语言实现任意斜率Bresenham算法的代码示例：```c#include <stdio.h>void drawLine(int x0, int y0, int x1, int y1) {int dx = x1 - x0;int dy = y1 - y0;int stepx = (dx > 0) ? 1 : -1;int stepy = (dy > 0) ? 1 : -1;dx = abs(dx);dy = abs(dy);int e = 0;int x = x0;int y = y0;if (dx > dy) {for (int i = 0; i <= dx; i++) {// 绘制当前点(x, y)if (e >= 0) {y += stepy;e -= dx;}x += stepx;e += dy;}} else {for (int i = 0; i <= dy; i++) { // 绘制当前点(x, y)if (e >= 0) {x += stepx;e -= dy;}y += stepy;e += dx;}}}int main() {int x0 = 0, y0 = 0;int x1 = 10, y1 = 5;drawLine(x0, y0, x1, y1);return 0;}```四、实例分析以起点坐标(0, 0)和终点坐标(10, 5)为例，通过Bresenham算法计算得到的直线路径如下图所示：```(0,0) (1,0) (2,1) (3,1) (4,2) (5,2) (6,3) (7,3) (8,4) (9,4) (10,5)```五、总结Bresenham算法是一种高效快速绘制直线的算法，通过利用整数计算代替浮点数计算，避免了浮点数运算的开销。

分别解释直线生成算法dda法,中点画线法和bresenham法的基本原理

分别解释直线生成算法dda法,中点画线法和
bresenham法的基本原理
直线生成算法DDA法、中点画线法和Bresenham法的基本原理如下：
1. DDA直线生成算法：基于差分运算的直线生成算法。

通过将直线分割成
若干个相邻的像素点，并按照一定的步长进行逐点绘制，实现直线的绘制。

算法主要涉及到线性插值的思想，即根据已知的两点坐标，通过计算它们之间的差值，然后根据这个差值和步长来确定新的像素点的位置。

2. 中点画线法：一种线段绘制算法，从线段的起点和终点出发，按照一定的规则向终点逐步逼近，并在途中以控制变量的方式得出每个像素点的坐标，从而绘制出所需的线条。

具体实现中，通过计算线段斜率的变化情况，分为斜率小于1和大于等于1两种情况，并采用Bresenham的对称性原理，以中点的颜色来控制每个像素点的生长方向，从而获得较高的绘制效率和图像质量表现。

3. Bresenham算法：通过一系列的迭代来确定一个像素点是否应该被绘制。

对于一条从点(x1,y1)到点(x2,y2)的直线，首先计算出斜率k。

然后，通过比较每个像素点的y值到直线上的y值，来决定哪些像素点应该被绘制。

当斜率k大于等于1时，在x方向上迭代，而对于每个x值，计算出y值，并将像素点(x,y)绘制。

当斜率k小于1时，在y方向上迭代，而对于每个y值，计算出x值，并将像素点(x,y)绘制。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。

bresenham圆生成算法

bresenham圆生成算法Bresenham圆生成算法是一种经典的计算机图形学算法，用于在计算机屏幕上绘制圆形。

该算法是由美国计算机科学家Jack E. Bresenham于1965年发明的。

这个算法非常简单，但是它却非常有效，因为它只需要使用整数运算。

Bresenham圆生成算法的基本思想是使用一个叫做“决策参数”的变量来决定下一个像素点的位置。

该变量根据当前像素点到圆心的距离和半径之间的差异进行调整。

如果该差异小于0，则移动到右上方的像素点；否则，移动到右上方和正上方之间的像素点。

具体来说，Bresenham圆生成算法可以通过以下步骤来实现：1. 输入圆心坐标和半径。

2. 初始化x和y坐标为0，并计算出初始决策参数d=3-2r。

3. 在每个步骤中，检查当前像素点是否在圆内。

如果是，则将该像素点绘制出来；否则，不绘制。

4. 计算下一个像素点的位置。

如果d小于0，则移动到右上方；否则，移动到右上方和正上方之间。

5. 更新决策参数d。

Bresenham圆生成算法的优点是它非常快速和有效。

它只需要使用整数运算，因此可以在计算机上非常快速地执行。

此外，该算法还可以轻松地扩展到三维空间中的球体和其他形状。

尽管Bresenham圆生成算法已经有几十年的历史了，但它仍然是计算机图形学中最常用的算法之一。

它被广泛应用于游戏开发、计算机辅助设计、虚拟现实等领域。

此外，该算法还被用于许多其他领域，如数字信号处理和图像处理。

总之，Bresenham圆生成算法是一种简单而有效的计算机图形学算法。

它可以快速地绘制出圆形，并且可以轻松地扩展到其他形状。

尽管这个算法已经有几十年的历史了，但它仍然是计算机图形学中最常用的算法之一，并且在许多其他领域也得到了广泛应用。

直线的Bresenham算法

直线的Bresenham算法本算法由Bresenham在1965年提出。

设直线从起点（x1, y1）到终点（x2, y2）。

直线可表示为方程y=mx+b。

其中b = y1 - m * x1,我们的讨论先将直线方向限于1a象限（图2.1.1）在这种情况下，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元，即xi+1=xi+1而y的相应增加应当小于1。

为了光栅化，yi+1只可能选择如下两种位置之一（图2.1.2）。

图2.1.2 yi+1的位置选择yi-1=yi 或者yi+1=yi+1选择的原则是看精确值y与yi及yi+1的距离d1及d2的大小而定。

计算式为：y=m(xi+1)+b (2.1.1)d1=y-yi (2.1.2)d2=yi+1-y (2.1.3)如果d1-d2>0，则yi+1=yi+1，否则yi+1=yi。

因此算法的关键在于简便地求出d1-d2的符号。

将式（2.1.1）、（2.1.2）、（2.1.3）代入d1-d2，得用dx乘等式两边，并以Pi=dx(d1-d2)代入上述等式，得Pi=2xidy-2yidx+2dy+dx(2b-1) (2.1.4)d1-d2是我们用以判断符号的误差。

由于在1a象限，dx总大于0，所以Pi仍旧可以用作判断符号的误差。

Pi+1为：Pi+1=Pi+2dy-2dx(yi+1-yi) (2.1.5)误差的初值P1，可将x1, y1，和b代入式（2.1.4）中的xi, yi而得到：P1=2dy-dx综述上面的推导，第1a象限内的直线Bresenham算法思想如下：1、画点(x1, y2); dx=x2-x1; dy=y2-y1；计算误差初值P1=2dy-dx; i=1；2、求直线的下一点位置：xi+1=xi+1；if Pi>0 则yi+1=yi+1；否则yi+1=yi；3、画点（xi+1, yi-1）；4、求下一个误差Pi+1；if Pi>0 则Pi+1=Pi+2dy-2dx;否则Pi+1=Pi+2dy；5、i=i+1; if i<dx+1则转2；否则end。

Bresenham算法

Bresenham算法1 算法原理基本原理从某处摘得：设直线⽅程为y i+1=y i+k(x i+1-x i)+k。

假设列坐标象素已经确定为x i，其⾏坐标为y i。

那么下⼀个象素的列坐标为x i＋1，⽽⾏坐标要么为y i，要么递增1为y i＋1。

是否增1取决于误差项d的值。

误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。

⼀旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。

当d≥0.5时，直线与垂线x=x i＋1交点最接近于当前象素(x i，y i)的右上⽅象素(x i＋1，y i＋1)；⽽当d<0.5时，更接近于右⽅象素(x i＋1，y i)。

为⽅便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。

当e≥0时，取当前象素(x i，y i)的右上⽅象素(x i＋1，y i＋1)；⽽当e<0时，取(x i，y i)右⽅象素(x i＋1，y i)。

由于显⽰直线的像素点只能取整数值坐标,可以假设直线上第i个像素点的坐标为(X i,Y i),它是直线上点(X i,Y i)最佳近似,并且X i=X i(假设m<1),如下图所⽰.那么直线上下⼀个像素点的可能位置是(X i+1,Y i)或者(X i+1,Y i+1).由图可知：在x=X i+1处，直线上的点y的值是：y=m(X i+1)+b，该点离像素点(X i+1,Y i)和像素点(X i+1,Y i+1)的距离分别为d1和d2。

d1 = Y - Y i = m(X i+1)+b - Y i; (1) d2 = (Y i+1) - Y = (Y i+1) - m(X i+1) - b; (2) 两个距离的差是： d1-d2 = 2m(X i+1) - 2Y i + 2b -1; (3) 对于公式(3)： a：当此值为正时，d1>d2,说明直线上理论点离(X i+1,Y i+1)像素较近，下⼀个像素点应取(X i+1,Y i+1)； b：当此值为负时，d1<d2,说明直线上理论点离(X i+1,Y i)像素较近，下⼀个像素点赢取(X i+1,Y i)； c：当此值为零时，d1=d2,说明直线上理论点离上、下两个像素点的距离相等，取那个点都⾏，假设算法规定这种情况下取(X i+1,Y i+1)作为下⼀个像素点。

生成圆的bresenham算法原理描述详细

生成圆的bresenham算法原理描述详细Bresenham算法是计算机图形学中非常重要的算法之一，可以生成各种形状的图像。

其中，生成圆形图像的Bresenham算法也是应用比较广泛的算法之一。

本文将详细描述生成圆的Bresenham算法原理。

1. 圆的数学表示圆是一个几何图形，其数学表示为：x² + y² = r²，其中，x、y是圆上点的坐标，r是圆的半径。

因此，生成圆的Bresenham算法需要计算出符合该数学表示的所有点的坐标。

2. Bresenham算法的核心思想Bresenham算法的核心思想是利用对称性和递推式来快速计算出每个点的坐标。

对于圆而言，其有四分之一的区域可以通过对称性计算出来，而另外四分之三的区域可以通过递推式来得出。

3. 圆的对称性对于圆而言，其具有对称性，即当坐标为（x,y）在圆上时，也必然存在（y,x）、（y,-x）、（x,-y）、(-x,-y)、(-y,-x)、(-y,x)、(-x,y)在圆上的点，也就是说，直接通过圆的对称性可以得到大约四分之一的在圆上的点。

4. 圆的递推式对于圆的另外四分之三的部分，我们可以使用递推式来获得。

根据圆的坐标表示式x² + y² = r²，我们可以得到下届式：x² + y² - r² = 0根据这个方程，可以计算出下一个点的坐标为：x + 1, y 或 x + 1, y - 1如果采用当前点（x,y）的对称点来计算，比如（y,x），那么坐标可以改成：y + 1, x 或 y + 1, x - 1通过这种方式，就可以逐个计算出每个点的坐标了。

5. 算法步骤生成圆的Bresenham算法的步骤如下：1）确定圆的中心点的坐标和半径；2）以圆心为原点建立坐标系，以x轴为基准线向右，y轴向上；3）通过圆的对称性计算出直径上的点的坐标；4）使用递推式计算出剩余的坐标；5）根据得到的坐标渲染圆的边缘。

画圆形（Bresenham算法）

画圆形（Bresenham算法）下⾯先简要介绍常⽤的画圆算法（Bresenham算法），然后再具体阐述笔者对该算法的改进。

⼀个圆，如果画出了圆上的某⼀点，那么可以利⽤对称性计算余下的七段圆弧：Plot(x，y)，Plot(y，x)，Plot(y，-x)，Plot(x，-y)，Plot(-x，-y)，Plot(-y，-x)，Plot(-y，x)，Plot(-x，y)。

1、Bresenham 画圆算法。

Bresenham算法的主要思想是：以坐标原点（0，0）为圆⼼的圆可以通过0度到45°的弧计算得到，即x从0增加到半径，然后利⽤对称性计算余下的七段圆弧。

当x从0增加到时，y从R递减到。

设圆的半径为R，则圆的⽅程为：f(x，y)＝(x+1)2+y2-R2＝0 (1)假设当前列（x=xi列）中最接近圆弧的像素已经取为P(xi，yi)，根据第⼆卦限1/8圆的⾛向，下⼀列（x=xi+1列）中最接近圆弧的像素只能在P的正右⽅点H(xi+1，yi)或右下⽅点L(xi+1，yi-1)中选择，如图1所⽰。

Bresenham画圆算法采⽤点T(x，y)到圆⼼的距离平⽅与半径平⽅之差D(T)作为选择标准，即D(T)=(x+1)2+y2-R2 (2)通过⽐较H、L两点各⾃对实圆弧上点的距离⼤⼩，即根据误差⼤⼩来选取，具有最⼩误差的点为绘制点。

根据公式(2)得：对H(xi+1，yi)点有：D(H)=(xi+1)2+yi2-R2；对L(xi+1，yi-1)点有：D(L)=(xi+1)2+(yi-1)2-R2；根据Bresenham画圆算法，则选择的标准是：如果|D(H)|<|D(L)|，那么下⼀点选取H(xi+1，yi)；如果|D(H)|>|D(L)|，那么下⼀点选取L(xi+1，yi-1)；如果|D(H)|=|D(L)|，那么下⼀点可以取L(xi+1，yi-1)，也可以选取H(xi+1，yi)，我们约定选取H(xi+1，yi)。

任意斜率bresenham算法

任意斜率bresenham算法Bresenham算法是一种用于计算线段上像素点的算法，它的特点是具有高效和简单的特点，特别适合在计算机图形学中使用。

它可以根据给定的斜率，通过递增的方式计算出线段上的所有像素点。

本文将详细介绍Bresenham算法的原理和具体实现步骤。

一、Bresenham算法的原理Bresenham算法的核心思想是通过递增的方式计算出线段上的所有像素点，以实现高效的绘制线段的目的。

它基于以下两个关键观察：1. 如果直线斜率大于1，则将直线沿y轴方向递增，否则沿x轴方向递增。

2. 对于每个递增的步骤，根据当前像素点的位置和理想的线段位置之间的距离，选择最接近理想位置的像素点。

二、Bresenham算法的实现步骤Bresenham算法的实现步骤如下：1. 根据起点和终点的坐标，计算出线段的斜率。

如果斜率大于1，则将直线沿y轴方向递增，否则沿x轴方向递增。

2. 根据起点的坐标，计算出第一个像素点的位置，并将其绘制出来。

3. 计算出理想位置和当前像素点位置之间的距离，并记录下来。

4. 根据距离的大小，判断下一个像素点的位置。

如果距离小于等于0.5，则选择当前像素点的下一个位置作为下一个像素点；否则选择当前像素点的下一个位置的上方或右方作为下一个像素点。

5. 重复步骤4，直到绘制到终点的像素点为止。

三、Bresenham算法的优势相比于其他绘制线段的算法，Bresenham算法具有以下优势：1. 算法简单：Bresenham算法只需要进行简单的递增和判断操作，而没有复杂的计算和判断过程。

2. 高效性：Bresenham算法通过选择最接近理想位置的像素点，减少了不必要的计算和绘制，从而提高了绘制线段的效率。

3. 精度高：Bresenham算法通过选择最接近理想位置的像素点，可以实现精确绘制线段，避免了像素点之间的缺失或重叠现象。

四、Bresenham算法的应用领域Bresenham算法在计算机图形学中有着广泛的应用，特别是在线段绘制和扫描转换等方面。

Bresenham画椭圆算法

这里不仔细讲原理，只是把我写的算法发出来，跟大家分享下，如果有错误的话，还请大家告诉我，如果写的不好，也请指出来，一起讨论进步。

算法步骤:(1) 输入椭圆的长半轴a和短半轴b。

(2) 计算初始值d = b*b + a * a * (-b + 0.25）， x = 0, y = b。

(3) 绘制点(x, y)及其在四分象限上的另外3个对称点。

(4) 判断d的符号。

若d <= 0，则先将d更新为d + b * b * (2 * x + 3)，再将(x, y)更新为(x+1, y)；否则先将d更新为d + b * b * (2 * x + 3) + a * a (-2 * y + 2)，再将(x, y)更新为(x+1, y-1)。

(5) 当b*b * (x+1) < a * a * (y - 0.5)时，重复步骤(3)和(4)，否则转到步骤(6)。

(6) 用上半部分计算的最后点(x, y)来计算下半部分中d的初值: d = b * b * (x + 0.5) * (x + 0.5) + a * a * (y - 1) * (y - 1) - a * a * b * b。

(7) 绘制点(x, y)及其在四分象限上的另外3个对称点。

(8) 判断d的符号。

若d <= 0，则先将d更新为d + b * b * (2 * xi + 2) + a *a * (-2 * yi + 3), 再将(x, y)更新为(x+1, y-1)；否则先将d更新为d + a * a * (-2 * yi + 3)，再将(x, y)更新为(x, y-1)。

(9) 当y >= 0，重复步骤(7)和(8)，否则结束。

下面是算法:#include <GL/freeglut.h>void init (void){glClearColor (0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);}void drawEllipse (int a, int b, int xLoc, int yLoc){glPushMatrix ();int x, y;float d1, d2, aa, bb;aa = a * a;bb = b * b;d1 = bb + aa * (-b + 0.25);glTranslatef ((GLfloat) xLoc, (GLfloat) yLoc, 0.0f);x = 0;y = b;glBegin (GL_POINTS);glVertex2i ( x, y);glVertex2i (-x, y);glVertex2i (-x, -y);glVertex2i ( x, -y);while (bb * (x + 1) < aa * (y - 0.5)){if (d1 <= -0.000001){d1 += bb * ((x << 1) + 3);}else{d1 += bb * ((x << 1) + 3) + aa * (2 - (y << 1));-- y;}++ x;glVertex2i ( x, y);glVertex2i (-x, y);glVertex2i (-x, -y);glVertex2i ( x, -y);}d2 = bb * (0.25 * x) + aa * (1 - (y << 1));while (y > 0){if (d2 <= -0.000001){++ x;d2 += bb * ((x + 1) << 1) + aa * (3 - (y << 1));}else{d2 += aa * (3 - (y << 1));}-- y;glVertex2i ( x, y);glVertex2i (-x, -y);glVertex2i (-x, y);glVertex2i ( x, -y);}glEnd ();glPopMatrix ();}void display (void){glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);glLoadIdentity ();glColor3f (1.0f, 0.0f, 0.0f);// draw a ellipsedrawEllipse (200, 300, 50, 50);glutSwapBuffers ();}void reshape (int w, int h){glViewport (0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);glMatrixMode (GL_PROJECTION);glLoadIdentity ();if (w <= h){gluOrtho2D (-600.0, 600.0, -600.0 * (GLfloat) h / (GL float) w, 600.0 * (GLfloat) h / (GLfloat) w);}else{gluOrtho2D (-600.0 * (GLfloat) w / (GLfloat) h,600.0 * (GLfloat) w / (GLfloat) h, -600.0, 600.0);}glMatrixMode (GL_MODELVIEW);glLoadIdentity ();}void keyboard (unsigned char key, int x, int y){switch (key){case 27: // 'VK_ESCAPE'exit (0);break;default:break;}}int main (int argc, char ** argv){glutInit (&argc, argv);glutInitDisplayMode (GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB);glutInitWindowSize (600, 600);glutCreateWindow ("Bresenham ellipse");init ();glutReshapeFunc (reshape);glutDisplayFunc (display);glutKeyboardFunc (keyboard);glutMainLoop ();return 0;}努力不一定有结果，但不努力一定没结果。

bresenham算法计算步骤

bresenham算法计算步骤Bresenham算法是一种经典的线段生成算法，其原理是利用递增的整数计算来逼近直线的路径，从而快速高效地绘制线段。

本文将详细介绍Bresenham算法的计算步骤。

1. 确定起点和终点我们需要确定线段的起点和终点的坐标。

假设起点为(x0, y0)，终点为(x1, y1)。

2. 计算斜率接下来，我们需要计算线段的斜率。

斜率可以通过以下公式来计算：m = (y1 - y0) / (x1 - x0)其中m表示斜率。

3. 判断斜率绝对值是否小于1判断斜率的绝对值是否小于1，如果小于1，则说明直线在x方向上变化的幅度更大；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则说明直线在y方向上变化的幅度更大。

4. 计算增量根据斜率的值，我们可以计算出在每个步骤中需要增加的x和y的值。

如果斜率的绝对值小于1，则每次x增加1，y增加斜率m；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则每次y增加1，x增加1/斜率m。

5. 计算初始误差计算初始误差值，初始误差值为0。

初始误差用于判断应该向x方向还是y方向进行绘制。

6. 迭代绘制线段根据初始误差值和增量，使用迭代的方式来绘制线段。

具体步骤如下：- 根据初始误差值，判断当前点应该绘制在哪个像素上。

如果误差大于等于0，则绘制在下一个像素上，同时误差减去1；反之，如果误差小于0，则绘制在当前像素上。

- 根据斜率的绝对值大小，更新初始误差的值。

如果斜率的绝对值小于1，则初始误差加上y的增量；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则初始误差加上x的增量。

- 根据斜率的绝对值大小，更新x和y的值。

如果斜率的绝对值小于1，则x加上1；反之，如果斜率的绝对值大于等于1，则y加上1。

7. 绘制结果将线段绘制在屏幕上，直到终点被绘制到。

通过以上步骤，我们可以使用Bresenham算法快速高效地绘制直线。

这个算法的优点是计算简单、速度快，并且不需要浮点运算，因此非常适合在计算能力较弱的设备上使用。

Bresenham算法(转)

Bresenham算法1.直线光栅化直线光栅化是指用像素点来模拟直线. 比如下图中用蓝色的像素点来模拟红色的直线. 图中坐标系是显示器上的坐标系: x轴向右, y轴向下.设deltaX = endX –startX, deltaY = endY –startY. 那么斜率为k = deltaY / deltaX. 我们先考虑简单的情况: 当0 < k < 1即直线更贴近x轴. 在这种情况下deltaY < deltaX, 所以在光栅化的过程中, 在y轴上描的点比在x轴上描点少. 那么就有一个很直观的光栅化算法:line_bresenham(startX, startY, endX, endY){deltaX = endX - startX;deltaY = endY - startY;k = deltaY / deltaX;for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x){if (满足一定条件){++y;}drawPixel(x, y);}}2.基于斜率/ 距离的两个简单直线光栅化算法好了，貌似很简单, 就剩一个问题: “满足一定条件”是什么? 可以用斜率判断, 也可以用上图中直线与光栅线交点 (红点) 与光栅点 (蓝点)的距离来判断. 继续用伪代码讲解:// 算法1: 用斜率判断void line_bresenham_k(startX, startY, endX, endY){deltaX = endX - startX;deltaY = endY - startY;k = deltaY / deltaX;for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x){if (x - startX != 0){currentK = (y - startY) / (x - startX); // 计算当前斜率if (currentK < k) // 如果当前斜率< k, 则增加y坐标{++y}}drawPixel(x, y);}}// 算法2: 用距离判断. 计算直线与光栅线交点y坐标我们需要用到// 直线方程y = k (x - startX) + startYline_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY){deltaX = endX - startX;deltaY = endY - startY;k = deltaY / deltaX;for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x){// 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离ptY = k * (x - startX) + startY;dist = ptY - y;// 如果距离> 0.5或者< -0.5,需要增加y以将距离的绝对值控制在0.5之类if (dist > 0.5 || dist < -0.5){++y;}drawPixel(x, y);}}3.消灭浮点数以上都是很直观的算法, 下面不直观的来了–上面的算法都需要在循环体内执行乘法, 准确的说, 是进行浮点数的乘法. 我们怎么能减少这些浮点数的乘法开销呢? 以基于距离的算法2为例: 首先, k是一个浮点数, 0.5也是浮点数. 我们可以通过将这些表达式都乘以2 * deltaX (整数) 来解决浮点数的问题. 伪代码:// 算法3: 在算法2的基础上消灭浮点数!line_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY){deltaX = endX - startX;deltaY = endY - startY;for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x){// 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离ptY1 = deltaY * (x - startX) + startY * deltaX;dist1 = ptY1 - y * deltaX;dist1 = dist1 << 1; // dist1 = dist1 * 2// 如果距离> 0.5或者< -0.5, 说明我们需要增加y以// 将距离的绝对值控制在0.5之类if (dist1 > deltaX || dist < -deltaX){++y;}drawPixel(x, y);}}4.消灭乘法圆满解决浮点数运算问题! 不过…乘法运算还在. 消灭乘法问题的办法比较不直观, 让我们想一想: 还有什么办法能简化运算. 直线方程已经不能再简化, 所以唯一的突破口就是能不能利用递推，用上一次循环的计算结果推导下一次循环的计算结果.首先我们来看看在算法2的基础上 (因为算法2计算红点蓝点之间的距离, 比较直观), 怎么通过第n – 1次循环计算出的dist值 (设为d1) 来推导出第n次循环的dist值 (设为d2). 先回顾一下: dist = 直线与光栅线交点的y坐标–相应光栅点的y坐标. 我们从几何上直观地考虑: 在第n次循环中, 我们先根据上一次循环所计算出来的d1, 暂时令d2 = d1 + k（x每次递增1，所以直线方程，相当于每次增加一个K）, 因为我们要保证-0.5 < d2 < 0.5, 而d1 + k满足d1 + k > –0.5, 所以我们只需要考虑当d1 + k > 0.5时, 我们需要将光栅点y坐标增加1, 并且将d2减去1. 显然, 设y1是第n – 1次循环中光栅点的y坐标, y2是第n次循环中光栅点的y坐标. 我们有1) d2 = d1 + k – (y2 – y1)2) 当d1 + k > 0.5时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1我们已经能根据上面的两个关系式写出算法, 不过为了消除乘法和浮点数, 我们将这两个关系式两端同时乘以2 * deltaX, 并且设e = 2 * deltaX * d, 则我们有：3) e2 = e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)4) 当e1 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1终于, 没有了乘法 (2 * deltaY在循环体外计算且被简化为左移一位的运算), 没有了浮点数, 根据关系式3) 和 4), 写出算法:// 算法4: 在算法2, 3的基础上利用递推消灭乘法和浮点数!line_bresenham(startX, startY, endX, endY){deltaX = endX - startX;deltaY = endY - startY;e = 0;deltaX2 = deltaX << 1;deltaY2 = deltaY << 1;drawPixel(startX, startY);for (x = startX + 1, y = startY; x <= endX; ++x){// 关系式3) e2 = e1 + 2 * deltaY –2 * deltaX * (y2 –y1)// 关系式4) 当e2 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1e += deltaY2;if (e > deltaX){e -= deltaX2;++y;}drawPixel(x, y);}}上面递推关系的推导过程是从图形上“直观”地分析得来的, 但是不严密. 我们能不能形式化地证明关系式1), 2), 3), 4)呢? 因为关系式3), 4)和1), 2)能互相推导, 我们只证明3), 4)如下:在算法3的基础上设第n –1次循环计算出的dist1值为e1, 对应的y值为y1, 第n次循环计算出的dist1值为e2, 对应的y值为y2. 根据算法3,dist1 = 2 * deltaY * (x –startX) + 2 * startY * deltaX –2 * y * deltaX, 则e2 – e1= 2 * deltaY * (x – startX) + 2 * startY * deltaX – 2 * y2 * deltaX – [2 * deltaY * (x – 1 – startX) + 2 * startY * deltaX – 2 * y1 * deltaX ]= – 2 * y2 * deltaX + 2 * deltaY + 2 * y1 * deltaX= 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)所以e2 = e1 + deltaY –deltaX * (y2 –y1). 所以我们有关系式1) e2 = e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)2) –deltaX < e1 < deltaX3) –deltaX < e2 < deltaX4) y2 –y1 = 0 或者1我们根据e1 + 2 * deltaY的取值范围进行讨论. 首先, 因为不等式6), 我们有2 * deltaY – deltaX < e1 + 2 * deltaY < 2 * deltaY + deltaX情况1: 如果2 * deltaY –deltaX < e1 + 2 * deltaY < deltaX, 则2 * deltaY – deltaX – 2 * deltaX * (y2 – y1) < e2 < deltaX– 2 * deltaX * (y2 – y1)反证: 若y2 –y1 = 1, 则2 * deltaY –deltaX –2 * deltaX < e2 < deltaX –2 * deltaX = -deltaX, 所以y2 –y1 = 1不成立. 即情况1中y2 = y1.情况2: 如果deltaX < e1 + 2 * deltaY < 2 * deltaY + deltaX, 则deltaX – 2 * deltaX * (y2 – y1) < e2 < 2 * deltaY + deltaX – 2 * deltaX * (y2 – y1)反证: 若y2 –y1 = 0, 则deltaX < e2 < 2 * deltaY + deltaX 所以y2 –y1 = 0不成立. 即情况2中y2 = y1 + 1.打了这么多字, 累…以上就是当0 < k < 1的情况, 剩余几种情况(k > 1, –1 < k < 0, k <–1. 不要挑剔我不用“>=”这种符号…) 都可以通过简单的x, y交换以及正负交换来搞定.。

中点bresenham算法的基本原理与递推公式

中点Bresenham算法是一种用于绘制直线的光栅化算法，它可以在计算机图形学中高效地绘制直线，尤其适用于嵌入式系统和低性能设备。

本文将介绍中点Bresenham算法的基本原理和递推公式。

一、中点Bresenham算法的基本原理1.1 数值方式直线的差值算法在了解中点Bresenham算法之前，我们需要先了解数值方式直线的差值算法。

通过计算两个端点的坐标差值，可以得到直线的斜率和步长，从而在光栅化的像素网格上绘制直线。

然而，这种算法需要进行浮点数运算，对于嵌入式系统和低性能设备来说，性能较差。

1.2 中点Bresenham算法的优势中点Bresenham算法通过整数运算和递推公式来高效地绘制直线，避免了浮点数运算的开销，因此在嵌入式系统和低性能设备上具有很高的应用价值。

它利用了直线的对称性和整数坐标的特点，通过逐个像素的递推计算来实现直线的绘制。

1.3 算法的基本思想中点Bresenham算法的基本思想是从直线的起点到终点，在每一步选择最接近直线的像素作为下一个像素，从而逐步绘制整条直线。

通过比较像素的位置和理想直线的位置关系，选择最接近直线的像素进行绘制，从而得到了中点Bresenham算法的递推过程。

二、中点Bresenham算法的递推公式2.1 直线斜率的计算我们需要计算直线的斜率m。

对于给定的两个端点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，直线的斜率可以通过以下公式计算得到：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2.2 中点Bresenham算法的关键递推公式中点Bresenham算法通过比较像素的位置和理想直线的位置关系，选择最接近直线的像素进行绘制。

其关键递推公式如下：对于斜率0 ≤ m ≤ 1的直线：d = 2 * (y - y0) - (x - x0)若d < 0，则选择(x, y)为下一个像素，d = d + 2 * (y1 - y0)若d ≥ 0，则选择(x, y)为下一个像素，d = d + 2 * (y1 - y0) - 2 * (x1 - x0)对于斜率m > 1的直线：d = 2 * (x - x0) - (y - y0)若d < 0，则选择(x, y)为下一个像素，d = d + 2 * (x1 - x0)若d ≥ 0，则选择(x, y)为下一个像素，d = d + 2 * (x1 - x0) - 2 * (y1 - y0)2.3 递推过程通过以上递推公式，我们可以在每一步选择最接近直线的像素进行绘制，从而逐步绘制整条直线。

Bresenham算法

Bresenham算法Bresenham算法Bresenham算法的思想主要是通过判断y+1和y+0与直线上的点的距离远近来决定下⼀个像素点的y值到底是y还是y+1。

设直线y=kx+b，假设我第⼀点为(x,y)，第⼆点为(x+1,y2)那么第⼆点我通过判断y+1和y哪个距离y2更近来选择下⼀个像素点的位置。

设y+1与y2的距离为D1,y与y2的距离为D2。

D1=y+1-y2=y+1-k(x+1)-b;D2=y2-y=k(x+1)+b-y我们通过判断D2-D1的符号来判断哪个距离更近D2-D1=k(x+1)+b-y-(y+1-k(x+1)+b)=2k(x+1)+2b-2y-1通过判断这个式⼦的符号即可知道我们要取哪个值。

但现在有⼀问题，就是这个式⼦中出现了k，k不是⼀个整数。

为了去掉k，我们可以通过把这个式⼦乘上▲x(k=▲y/▲x)，⽽且设k为正数，即▲x为正)p=▲x(D2-D1)=2▲y*x-2▲x*y+c (c=2▲y+▲x(2b-1)，是⼀个常量)通过判断p的符号我们即可选择绘制y+1还是y。

使⽤增量思想为了减少运算，我们使⽤增量思想，通过p i把p i+1推导出来p i+1=2▲y(x+1)-2▲x*y i+1+cp i=2▲y*x-2▲x*y i+cp i+1=p i+2▲y-2▲x(y i+1-y i)其中y i+1-y i是0或1，根据p i的符号来确定。

p0=2▲y*x0-2▲x((▲y/▲x)(x0+b))+2▲y+▲x(2b-1)=2▲y-▲x最后算法步骤如下：1.输⼊端点2.画出第⼀个点3.计算常量▲x,▲y,p0=2▲y-▲x4.判断p的符号，如果p<0绘制点（x+1,y)p next=p+2▲y否则，绘制点(x+1,y+1)p next=p+2▲y-2▲x5.重复第四步，共▲x-1次讨论k值其他情况关于▲x和▲y的问题补充说明:我们可以注意到，▲x是必定⼤于0的（因为我们总是⽤右边的点减左边的点⽽▲y则不⼀定，当|k|<1时不需要处理，因为都是乘以▲x，但是当|k|>1时要注意，k为负数时要改为乘以-▲y当-1<k<0时推导过程如下：结论:p0=-▲x-2▲yp i+1=p i-2▲y-2▲x(y i+1-y i)当1<k时推导过程如下：结论:p0=2▲x-▲yp i+1=p i+2▲x-2▲y(x i+1-x i)当<k<-1时推导过程如下：修改:应该从y0开始，每次-1.结论:p0=2▲x+▲yp i+1=p i+2▲x+2▲y(x i+1-x i)。

Bresenham算法

Bresenham算法⼀ Bresenham 绘直线使⽤ Bresenham 算法，可以在显⽰器上绘制⼀直线段。

该算法主要思想如下：1 给出直线段上两个端点，根据端点求出直线在X,Y⽅向上变化速率；2 当时，X ⽅向上变化速率快于 Y ⽅向上变化速率，选择在 X ⽅向上迭代，在每次迭代中计算 Y 轴上变化；当时，Y ⽅向上变化速率快于 X ⽅向上变化速率，选择在 Y ⽅向上迭代，在每次迭代中计算 X 轴上变化；3 现在仅考虑情形，在情况下仅需要交换变量即可。

直线斜率，当 d = 0 时，为⼀条⽔平直线，当 d > 0 或 d < 0 时，需要分开讨论，如下图：⼆ Bresenham 绘圆使⽤ Bresenham 绘制圆形，只需要绘制四分之⼀圆即可，其他部分通过翻转图形即可得到。

假设圆⼼位于 (0, 0) 点，半径为 R，绘制第⼀象限四分之⼀圆形，如下图：根据图形可知，从出发，下⼀个可能的选择分别为：1）⽔平⽅向上；2）对⾓⽅向上；3）垂直⽅向上；下⾯计算，根据差值可判断⼤致圆弧位置：1）当时，圆环落在与之间，进⼀步计算圆弧到与的距离以判断应该落在哪个点上；2），由于，，上式可化简为，，将改写为得：，已知，可根据上式快速求解出，当时，下⼀点落在上，当时，下⼀点落在上；3）当时，圆环落在与之间，进⼀步计算圆弧到和的距离以判断应该落在哪个点上；4），可化简为：，将改写为得：，已知，可根据上式快速求解出，当时，下⼀点落在上，当时，下⼀点落在上；5）以上推导中，已知可以快速求解，同时，已知也可以快速推导出，以下分类讨论：a. 当时，有：，进⼀步整理得：；b. 当时，有：，进⼀步整理得：；c. 当时，有：，进⼀步整理得：。

以下给出 Bresenham 绘圆实现：1void Bresenham_Circle(PairS center, int radius, std::vector<PairS>& circle)2 {3 PairS start(0, radius);4int Delta = (start.x + 1) * (start.x + 1) +5 (start.y - 1) * (start.y - 1) - radius * radius;67 std::vector<PairS> tmp;8 tmp.push_back(start);910while (start.y > 0)11 {12int state = -1;1314if (Delta < 0)15 {16int delta = (Delta + start.y) * 2 - 1;17if (delta < 0)18 {19 start.x += 1;20 state = 0;21 }22else23 {24 start.x += 1;25 start.y -= 1;26 state = 1;27 }28 }29else30 {31int delta = (Delta - start.x) * 2 - 1;32if (delta < 0)33 {34 start.x += 1;35 start.y -= 1;36 state = 1;37 }38else39 {40 start.y -= 1;41 state = 2;42 }43 }4445if (state == 0)46 Delta = Delta + start.x * 2 + 1;47else if (state == 1)48 Delta = Delta + start.x * 2 - start.y * 2, +2;49else if (state == 2)50 Delta = Delta - start.y * 2 + 1;51else52break;5354 tmp.push_back(start);55 }5657 std::vector<PairS> tmp2;58for (int i = 0; i < tmp.size(); ++i)59 {60 PairS p(tmp[i].x, tmp[i].y);61 tmp2.push_back(p);62 }63for (int i = tmp.size() - 1; i >= 0; --i)64 {65 PairS p(tmp[i].x, -tmp[i].y);66 tmp2.push_back(p);67 }68for (int i = 0; i < tmp2.size(); ++i)69 {70 PairS p(tmp2[i].x, tmp2[i].y);71 circle.push_back(p);72 }7374for (int i = tmp2.size() - 1; i >= 0; --i)75 {76 PairS p(-tmp2[i].x, tmp2[i].y);77 circle.push_back(p);78 }7980for (int i = 0; i < circle.size(); ++i)81 {82 circle[i].x += center.x;83 circle[i].y += center.y;84 }85 }参考资料计算机图形学得算法基础 David E Rogers。

Bresenham快速画直线算法

Bresenham快速画直线算法⼀、算法原理简介：算法原理的详细描述及部分实现可参考： Fig. 1假设以(x, y)为绘制起点，⼀般情况下的直观想法是先求m = dy /dx（即x每增加1， y的增量），然后逐步递增x, 设新的点为x1 = x + j,则y1 = round(y + j * m)。

可以看到，这个过程涉及⼤量的浮点运算，效率上是⽐较低的（特别是在嵌⼊式应⽤中，DSP可以⼀周期内完成2次乘法，⼀次浮点却要上百个周期）。

下⾯，我们来看⼀下Bresenham算法，如Fig. 1,(x, y +ε)的下⼀个点为(x, y + ε + m)，这⾥ε为累加误差。

可以看出，当ε+m < 0.5时，绘制(x + 1, y)点，否则绘制(x + 1, y + 1)点。

每次绘制后，ε将更新为新值：ε = ε + m ,如果(ε + m) <０.５ (或表⽰为2*(ε + m) < 1)ε = ε + m – 1, 其他情况将上述公式都乘以dx, 并将ε*dx⽤新符号ξ表⽰，可得ξ = ξ + dy, 如果2*(ξ + dy) < dxξ = ξ + dy – dx, 其他情况可以看到，此时运算已经全变为整数了。

以下为算法的伪代码：ξ← 0, y ← y1For x ← x1 to x2 doPlot Point at (x, y)If (2(ξ + dy) < dx)ξ←ξ + dyElsey ← y + 1,ξ←ξ + dy – dxEnd IfEnd For⼆、算法的注意点：Fig. 2在实际应⽤中，我们会发现，当dy > dx或出现Fig.2 右图情况时时，便得不到想要的结果，这是由于我们只考虑dx > dy，且x, y的增量均为正的情况所致。

经过分析，需要考虑8种不同的情况，如Fig. 3所⽰：(Fig. 3)当然，如果直接在算法中对8种情况分别枚举，那重复代码便会显得⼗分臃肿，因此在设计算法时必须充分考虑上述各种情况的共性，后⾯将给出考虑了所有情况的实现代码。

1.论述直线的bresenham算法的原理,方法和步骤。

论述直线的bresenham算法的原理,方法和步骤。

Bresenham算法是一种用于计算直线段的算法，它是一种基于中点画线思想的折线逼近算法。

该算法可以在二维平面中以最小的误差逼近直线。

B resenham算法的主要优点是它只需要计算整数坐标，而不需要使用浮点数计算，因此运行速度快，精度高。

Bresenham算法的原理是：从直线的一个端点开始，按照一定的方向和步长绘制一系列点，直到另一个端点为止。

这些点之间的间距逐渐减小，使得视觉效果上形成一条直线。

在这个过程中，通过计算每个点的坐标，可以得到一条近似于直线的折线。

Bresenham算法的方法如下：1. 初始化参数：设定直线的两个端点坐标（x1，y1）和（x2，y2），以及画线的方向变量k。

初始方向k等于两点横坐标之差与纵坐标之差的比值，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

2. 计算第一个点：根据初始方向k，计算第一个点的坐标。

第一个点的横坐标为x1 + k/2，纵坐标为y1。

3. 迭代计算后续点：从第二个点开始，每次迭代都将当前点的横坐标加上k，纵坐标加上1/k。

同时，检查当前点的横坐标是否超过终点坐标x2，如果是，则结束绘制。

4. 输出结果：将计算出的所有点按照顺序连接起来，形成一条折线，这条折线近似于原始直线。

Bresenham算法的步骤如下：1. 初始化参数：设置直线的两个端点坐标和方向k。

2. 计算第一个点：根据方向k，计算第一个点的坐标。

3. 迭代计算后续点：按照迭代公式，依次计算出所有点的位置。

4. 输出结果：将计算出的所有点连接起来，形成一条折线。

5. 终止条件：当计算出的点的横坐标超过终点坐标时，绘制过程结束。

通过以上方法和步骤，Bresenham算法可以高效地绘制出直线段，适用于各种图形绘制和计算场景。

在实际应用中，可以根据需要调整算法的参数和精度，以满足不同的需求。

bresenham圆弧算法

bresenham圆弧算法Bresenham圆弧算法Bresenham圆弧算法是一种用于绘制圆弧的算法，该算法基于Bresenham直线算法，通过在二维平面上绘制一系列点的方式来逼近圆弧的形状。

与传统的圆弧绘制算法相比，Bresenham圆弧算法具有较高的效率和精度。

Bresenham圆弧算法的核心思想是利用圆的对称性，将圆弧的绘制问题转化为直线的绘制问题。

通过逐步迭代，计算出每个绘制点的坐标，从而绘制出整个圆弧。

该算法在绘制过程中，只需进行简单的加减运算和比较判断，不需要复杂的三角函数运算，因此具有较高的效率。

其基本原理是：首先确定圆弧的起点和终点，然后计算圆弧所在的圆的半径和圆心坐标。

接下来，在一个辅助的正方形区域内，按照Bresenham直线算法的思想，逐步迭代计算出每个绘制点的坐标。

通过判断与圆弧的距离，确定每个点应该绘制在圆弧内还是外部。

最后，根据需要，可以进行平移、旋转和缩放等变换操作，以实现对圆弧的精确绘制。

Bresenham圆弧算法的优点在于其简洁性和高效性。

由于该算法只需进行简单的加减运算和比较判断，因此在计算机中的实现非常方便。

而且，该算法的绘制结果具有较高的精度，可以满足大部分绘制需求。

此外，由于Bresenham圆弧算法基于对称性，因此可以减少计算量，提高绘制速度，特别适用于实时绘制和动画效果的生成。

然而，Bresenham圆弧算法也存在一些局限性。

首先，该算法只适用于绘制位于正方形区域内的圆弧，无法直接绘制超出该区域的圆弧。

其次，由于该算法是通过逼近的方式来绘制圆弧，因此在绘制过程中可能会产生一些误差。

特别是对于较大的圆弧或高分辨率要求较高的场景，这种误差可能会导致绘制结果的不准确。

Bresenham圆弧算法是一种简洁高效的圆弧绘制算法，通过利用圆的对称性和Bresenham直线算法的思想，可以快速、准确地绘制圆弧。

该算法在计算机图形学和计算机游戏等领域得到广泛应用，为实时绘制和动画效果的生成提供了重要的支持。

通用整数bresenham算法

通用整数bresenham算法
Bresenham算法是一种用于在计算机屏幕上绘制直线、圆和其
他形状的算法。

在这里，我将重点介绍通用整数Bresenham算法，
用于绘制直线。

通用整数Bresenham算法是一种用于在计算机屏幕上绘制直线
的算法。

它是一种基于整数运算的算法，因此在计算机上执行速度
很快。

该算法通过在每个步骤中选择最接近直线路径的像素来绘制
直线。

该算法的基本原理是利用斜率来确定下一个要绘制的像素。

在
每一步中，根据直线斜率的大小来决定是向横坐标方向移动一个像
素还是向纵坐标方向移动一个像素。

通过适当的取整和判断，Bresenham算法能够以非常高效的方式绘制直线。

通用整数Bresenham算法的优点之一是它不需要使用浮点运算，这使得它非常适合于嵌入式系统和其他资源受限的环境。

此外，该
算法的实现比较简单，适用于各种编程语言和平台。

然而，通用整数Bresenham算法也有一些局限性。

例如，当直
线的斜率非常大或非常小的时候，该算法可能会出现绘制的直线与实际直线有所偏差。

此外，对于对角线上的像素，该算法可能不够精确。

总的来说，通用整数Bresenham算法是一种高效的直线绘制算法，特别适合于需要在计算机屏幕上绘制直线的应用程序。

它的简单性和高效性使得它成为计算机图形学中常用的算法之一。