高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法

N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n

-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n

-非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集 B

x ∈A A

=∅=∅A B A

⊆B B ⊆ B

{|x x x ∈A A =

A ∅=

B A ⊇

A B B

⊇

补集{|,}

x x U x A

∈∉

且

%1（

%1

%1

%1

%1

⑼集合的运算律：

交换律：.

;A

B

B

A

A

B

B

A

=

=

结合律:)

(

)

(

);

(

)

(C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

=

=

分配律:)

(

)

(

)

(

);

(

)

(

)

(C

A

B

A

C

B

A

C

A

B

A

C

B

A

=

=

0-1律：,,,

A A A U A A U A U

Φ=ΦΦ===

等幂律：.

,A

A

A

A

A

A=

=

求补律：A∩ A∪=U

反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)

第二章函数

§1函数的概念及其表示

一、映射

1．映射：设A、B是两个集合；如果按照某种对应关系f；对于集合A中的元素；在集合B中都有元素和它对应；这样的对应叫做到的映射；记作 .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射；那么和A中的元素a对应的叫做象；叫做原象.

二、函数

1．定义：设A、B是；f:A→B是从A到B的一个映射；则映射f:A→B 叫做A到B的；记作 .

2．函数的三要素为、、；两个函数当且仅当分别相

同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .

§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式；就是 .

② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.

③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：

1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.

2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性

法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）

例如：① 形如y ＝

2

21x +；可采用 法；② y ＝)3

2(2

312-≠++x x x ；可采用

法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －

x

-1；可采用 法；⑤ y ＝x －2

1x -；可采用 法；⑥ y ＝

x

x cos 2sin -可采用 法等.

§3函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、

若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .

2．判断单调性的方法：

(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .

(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论

1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；

4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .

5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：

1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为