高中数学-数量积典例精析
高中数学两个向量的数量积知识点解析
§3.1 空间向量及其运算
3.1.3 两个向量的数量积
XUEXIMUBIAO
学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判 断向量的共线与垂直.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
→ → 解析 易知①②正确；AD1与A1B的夹角为 120° ，
∴③不正确.故选B.
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2 4.已知 a， b 为两个非零空间向量， 若|a|＝2 2， |b|＝ 2 ， a· b＝－ 2， 则 〈a， b〉 3π 4 ＝______.
a· b 2 3π 解析 cos〈a，b〉＝ ＝－ 2 ，∴〈a，b〉＝ 4 . |a||b|
→ → (3)EF· DC； → → 1→ → 解 EF· DC＝2BD· DC 1→ → → → ＝2|BD|· |DC|cos〈BD，DC〉 1 1 ＝2cos 120° ＝－4. → → (4)AB· CD. → → → → → → → → → 解 AB· CD＝AB· (AD－AC)＝AB· AD－AB· AC
k (3)空间向量没有除法运算：即若 a· b＝k，没有 a＝ . b
跟踪训练1
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面
AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
→ → (1)BC· ED1；
解 → → 如图，设AB＝a，AD＝b，
→ AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a· b＝b· c＝c· a＝0.
1 → → 2 2 c － a ＋ b BC· ED1＝b· ＝ | b | ＝ 4 ＝16. 2
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积)
第三节 平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向； 当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b| cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a·b 的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a|＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2； (2)(a±b)2＝a 2±2a·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一 平面向量的数量积的运算[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m·n ＝( ) A ．0 B ．4 C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172.(2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a·b ＝0， ∵|a|＝2，|b|＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b)·(－b)＝－a·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a·(b ＋a)＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a|＝5， 由a·(b ＋a)＝2，可得a·b ＋a 2＝2， ∴a·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14. 答案：14考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c|的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a|＝3，∴a·(a ＋b)＝a 2＋a·b ＝|a||a ＋b|cos π4，∴|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b)(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c|≥32，∴|a ＋c|的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b|＝ 3.又(a ＋2b)·b ＝a·b ＋2|b|2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝a ＋2b ·b|a ＋2b||b|＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b|cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a|＝12＋32＝2，所以a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b|＝32＋－332＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a|＝223|b|，(a －b)⊥(3a ＋2b)， 所以(a －b)·(3a ＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b ＝83|b|2－2|b|2－223|b|2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→ ·BC ―→＝0，即AP ―→ ·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→ )·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b ＝|a|×1×12＝|a|2，∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a|·|b|＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b·(2a －b)等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a·b ＝－3，b·(2a －b)＝2a·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b)·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，则|a －b|＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，所以|a －b|2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b|＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 因为(a ＋c)∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )， 即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b)，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b|＝|a －b|，∴|a ＋b|2＝|a －b|2，∴a·b ＝0.又|a ＋b|＝2|b |，∴|a ＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b |a ＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6.7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，则a·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b|＝1＋m ＋n2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a·b 的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a·(a ＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa ＋b)⊥(a －2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b)⊥(a －2b)，∴(λa ＋b)·(a －2b)＝0，即(λa ＋b)·(a －2b)＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3， ∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3， ∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→ ·(OB ―→－OA ―→ )＝(OA ―→＋AC ―→ )·AB ―→＝OA ―→ ·AB ―→＋AC ―→ ·AB ―→＝ 2 c os 3π4＋24 ×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a －b|＝ 5. (1)求|2a －3b|的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4－4a·b ＋1＝5，∴a·b ＝0， ∴|2a －3b|＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝3a －b ·a －2b |3a －b||a －2b|＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。
高中数学讲义 向量的数量积——寻找合适的基底
微专题36 向量的数量积——寻找合适的基底在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量,a b r r数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b r r 模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b r r两个向量表示出来，进而进行运算。
这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法 一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量12e e u r u r，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a r ，均存在唯一一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+r u r u r 。
其中12e e u r u r ，成为平面向量的一组基底。
（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量积运算cos a b a b θ⋅=⋅r r r r，其中θ为向量,a b r r 的夹角3、向量夹角的确定：向量,a b r r 的夹角θ指的是将,a b r r的起点重合所成的角，[]0,θπ∈其中0θ=：同向 θπ=：反向 2πθ=：a b ⊥r r4、数量积运算法则：（1）交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r（2）系数结合律：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈r r r r r r（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：例如：()2222a ba ab b ±=±⋅+r rr r r r ()()0a b a b +⋅-=r r r r5、若11221122+,+a e e b e e λλμμ==r u r u r r u r u r，则()()()2211221122111222122112++=a b e e e e e e e e λλμμλμλμλμλμ⋅=⋅+++⋅r r u r u r u r u r u r u r u r u r由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将,a b r r 用基底表示出来，则可计算a b ⋅r r（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.3平面向量的数量积课件 理 新人教B版
【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量 a=(1,2),b =(1,-1), 则2 a b 与 a b 的夹角等于 (
1 2 AD AB AC ， AE AB AC AB BE ， 2 3 1 2 ADBE (AB AC) ( AC AB) 2 3 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 3 2 6
量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难
点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识 点交汇则以解答题为主.
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角 非零向量 ①定义：如图，已知两个________ a 和 b ，作 OA＝a,OB b，
则向量 a与 b的夹角是_________ ,记作〈 a, b〉. θ 或∠AOB
答案：-140
【反思·感悟】向量的数量积运算是向量之间的一种运算，结 果是一个数量.平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法.在 进行数量积运算时，要认清向量的模和夹角，正确地进行数量 积的运算，避免错用公式，如 | ab｜ | a || b | . ≠
平面向量的垂直问题
【方法点睛】 两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则a ⊥b ab =0；若非零向量
a=(x1,y1),b =(x2,y2),则 a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性
运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可 用来解决几何中的线线垂直问题.
1 3 【例2】已知 a=(- , )， = a b,OB a b, 若△AOB是以O为直 OA 2 2
空间向量的数量积运算 高中数学新教材人教A版
若 ∙ =k，能不能写成 =
(或
解析：由 ∙ =k，不能写成 =
有除法运算
= )的形式?
(或 = )的形式，即向量没
知识点一 空间向量的投影
思考5
对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)．
对于向量，，，( − )=( − ）成立吗?为什么?
(3)因为AA’ · AD=5×3×cos
2
15
60°= ，AD
2
· AB=3×4×cos 90°=0
所以 =(++’)
= 2 + 2 + ’ 2 +2(·+·’+’·)
15
2
=42 ＋32 +52 +2(0+10+ )=85，所以 = 85.
= + .
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
⋅ = ⋅ + ⋅ ,
因为 ⋅ =0， ⋅ =0(为什么?)，所以 ⋅ =0.所以 ⊥ .
这就证明了直线垂直于平面α内的任意一条直线，所以 ⊥平面α.
课堂检测
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与
在平面β上的投影向量．这时，向量，A′B′的夹角就是向量α所在直线
与平面β所成的角.
β
’
图
(3)
’
空间向量的数量积满足如下的运算律:
()·=(·)，∈R
·=·(交换律)
·(＋)=·+·(分配律)
知识点一 空间向量的投影
思考3
高三数学数量积及其应用试题答案及解析
高三数学数量积及其应用试题答案及解析1.已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】因为所以解得，故选B.【考点】平面向量的数量积、模与夹角.2.设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．【考点】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．3.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则A．B．C．D．【答案】C．【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．【考点】1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．4.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，若实数t满足(－t)·＝0，则t的值为()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由题设知＝(3,5)，＝(－2，－1)，则－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.5.若，，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即（其中为与的夹角），即，由于，解得，故选D.【考点】平面向量数量积6.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.（1）求椭圆C的方程；（2）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设知椭圆中心在原点，一个焦点坐标为，且过点，于是可设出其标准方程,并用待定系数法求出的值进而确定椭圆的方程.（2）当直线的斜率存在且不为零时，由题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立组成方程组消去并结合韦达定理得到，据此可将化成关于的函数而求解.注意对直线的斜率不存在及斜率为零的情况，要单独说明.解：（1）抛物线的准线方程为： 1分设椭圆的方程为，则依题意得，解得，.所以椭圆的方程为. 3分（2）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. 5分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然时，不符合题意.由得. 6分则. 7分直线，的方程分别为：，令，则.所以，. 9分所以. 11分因为，所以，所以，即.综上所述，的取值范围是. 13分【考点】1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆位置关系综合问题.7.对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=A．B．C．1D．【答案】D【解析】由条件知: ===,===,因为和都在集合中，且与的夹角，故可取,=得: =,故选D.【考点】本题是创新题,理解给定的信息是解决好本题的关键.8.在中,是的中点,(1) .(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是 .【答案】（1）；（2）【解析】(1).以C为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，所以，,则；(2).设点，则，故，设，变形为，当直线分别过时，取到最大值和最小值，即，故的取值范围是．【考点】1、向量数量积运算；2、线性规划.9.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为 ()A．0B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即向量夹角为，选D.10.在直角三角形中，，，则__________．【答案】【解析】．【考点】向量的数量积．11.已知，与的夹角为.（1）；（2）若向量与垂直，则k的值为 .【答案】（1）1 （2）-5【解析】（1）.（2）∵向量与垂直，∴，∴，解得.【考点】向量的数量积、向量垂直的充要条件.12.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.【答案】.【解析】解法一：以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以，，因此；解法二：如下图所示，则，，所以.【考点】1.平面向量的线性表示；2.平面向量的数量积13.为边,为对角线的矩形中,,,则实数____________.【答案】4【解析】由题意，又，所以.【考点】垂直向量.14.在△ABC中，，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得.化简可得...所以.【考点】1.向量的数量积.2.三角不等式.3.归纳转化的数学思想.15.平面向量与的夹角为，，则_______.【答案】【解析】因为，则，所以.【考点】向量的数量积、向量的综合应用.16.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】设a与b的夹角为θ,则(2a+b)·b=2a·b+b2="2|a||b|cos" θ+|b|2=|b|2(2cos θ+1)=0,又b为非零向量,∴2cos θ+1=0,∴cos θ=-,∴θ=120°.故选C.17.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于()A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】∵8a-b=(6,3),∴(8a-b)·c=18+3x=30,x=4,故选C.18.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】得,选D【考点】向量内积垂直19.若函数f(x)＝2sin (－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·＝________.【答案】32【解析】由题意知，点A(4,0)，根据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(＋)·＝8×4＝32.20.如图，在直角三角形ABC中，AC＝，BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P 是△ABC(包括边界)内任一点，则·的取值范围为________．【答案】【解析】以点C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立如图所示直角坐标系，设P(x，y)，则由题可知B(1,0)，A(0，)，N，M，所以＝，＝，所以·＝－－y＋＝－y＋，直线AB的方程为x＋y－＝0.由题可知由线性规划知识可知，当直线－y＋－z＝0过点A时有最小值－，过点B时有最大值.21.已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此【考点】1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.22. A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则▪的取值范围为．【答案】【解析】根据题意可得，则，由，得：，可求得．【考点】向量的数量积23.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.24.对正整数，有抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，设数列中，，且，则数列的前项和( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线方程为，代入抛物线方程得，设，则①，由根与系数的关系得，，代入①式得，故（），故数列的前项和.【考点】1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.25.已知向量 .【答案】-3【解析】依题意，，又易知，，.【考点】数量积的坐标表示26.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且，,则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】，，而，,，，故当时，取最大值.【考点】平面向量的减法、平面向量的数量积、二次函数27.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是（）A．若a与b共线，则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2【答案】B【解析】对于A．若a与b共线，则a⊙b = mq－np =0，成立，对于B．a⊙b =b⊙a不成立，对于C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）成立，对于D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2成立，故选B.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积，属于基础题。
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
高中数学-平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-教材分析
教材分析
1.平面向量的数量积，教材将其分为两部分．本节为第二部分平面向量的数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，是平面向量坐标运算的深化，是平面向量数量积几何表示与代数表示的连接点，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
同时平面向量数量积坐标表示是高二研究空间向量坐标运算的基础，它为研究空间向量垂直、平行与空间距离提供了借鉴与类比的模型。
2.前面学习了平面向量数量积、平面向量的坐标表示．利用平面向量坐标表示和坐标运算，结合平面向量和平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积、模、夹角的坐标表示。
通过本节课的学习，我们将加深对数学内涵及其知识间联系的领悟，更深刻地理解数形结合、转化化归等数学思想，初步领略数学的完美和谐，感受数学美。
专题83平面向量的数量积(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视
专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】 直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=， 因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】 设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =， 所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+， 即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（ ）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-， 故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中 （1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==； （2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-． 如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==． （2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅． 即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（ ） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =， 而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。
高中数学专题练习：关于平面向量数量积运算的三类经典题型
高中数学专题练习：关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望] 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.常考题型精析题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)(·石家庄模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3D.2π3题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________. 点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解. (2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. 变式训练3 (·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.高考题型精练1.(·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD→ 等于( )A.－32a 2 B.－34a 2 C.34a 2D.32a 22.(·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52]B.(52，72]C.(52，2]D.(72，2]6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB→等于( )A.2B.3C.4D.67.(·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.08.(·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________.10.(·湖南衡阳八中第六次月考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3.若AO →＝xAB →＋yAC →，则6x ＋9y ＝________. 11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值;(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围.12.(·黄冈模拟)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD→＝511DB →. (1)求|AB→－AC →|; (2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.答案精析关于平面向量数量积运算的三类经典题型 常考题型精析 例1 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →) ＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC→ ＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ， 则tan θ2＝1x ，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3， 当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号， 故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|P A →|＝|PB→|＝1tan θ2. P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tan θ2)2cos θ ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1， 则P A →·PB→＝(1－x )(1－2x )x ＝2x ＋1x －3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号. 故P A →·PB→的最小值为22－3. 方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)， 则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21.由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0，又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3. 变式训练1 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA→|2＋0＝32＝9. 例2 (1)A (2)D解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a·b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a·b )≤0，解得a·b ≤－14|a |2，因为a·b ＝|a||b |·cos θ，且|a |＝2|b |≠0， 所以|a||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.变式训练2 A解析 方法一 由已知，得|a ＋b |＝|a －b |，将等式两边分别平方，整理可得a ·b ＝0.①由已知，得|a ＋b |＝2|a |，将等式两边分别平方，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.②将①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |. 而b ·(a ＋b )＝a ·b ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·(a ＋b )|b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a 23|a |·2|a |＝32.又〈b ，a ＋b 〉∈[0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6. 故选A.方法二 如图，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b . 由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 可得|OC→|＝|BA →|＝2|OA →|， 所以平行四边形OACB 是矩形， BC→＝OA →＝a .从而|OC →|＝2|BC →|. 在Rt △BOC 中，|OB→|＝|OC→|2－|BC →|2＝3|BC →|， 故cos ∠BOC ＝|OB →||OC →|＝32，所以∠BOC ＝π6.从而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6，故选A. 例3 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120° ＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB→|的最小值为5. 方法二 设DP→＝xDC →(0<x <1)，∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA→－DP →＝DA →－xDC →， PB→＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →， ∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC→，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC→2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.变式训练3 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 高考题型精练1.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]2.D [由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2;当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2;当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.]3.B [∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC→＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]4.A [以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0. 设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.]5.D [由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA→|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72， 故选D.]6.C [在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.] 7.B [设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2;②S ＝4a ·b ;③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.]8.22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. 9.π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.5解析 如图，设点O 在AB ，AC 上的射影是点D ，E ，它们分别为AB ，AC 的中点，连接OD ，OE .由数量积的几何意义，可得AB →·AO →＝|AB →|·|AD →|＝32，AC →·AO →＝|AC →|·|AE →|＝72，依题意有AB →·AO→＝xAB →2＋yAC →·AB →＝64x ＋48y ＝32，即4x ＋3y ＝2，AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72，即2x ＋6y ＝3，将两式相加可得6x ＋9y ＝5.11.解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin B b ＝3×632＝22.所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12]. 所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11. 在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB→－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12. 由x ＝AB→＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB→＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB→＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。
高考数学一轮复习3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理1．向量的夹角(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°.特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．当θ＝180°时，a与b共线反向．当θ＝90°时，a与b互相垂直．2．向量的数量积(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．(2)数量积的几何意义条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．结论几何表示坐标表示向量的模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21夹角余弦cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x2＋y2a⊥b充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y2常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．常见误区1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33D ．3解析：选B.a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6.3．(多选)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－2，4)，则( ) A ．a ∥b B ．(a ＋b )·a ＝－5 C ．b ⊥(a －b )D ．2|a |＝|b |解析：选ABD.因为1×4＝－2×(－2)，所以a ∥b ，又a ＋b ＝(－1，2)，所以(a ＋b )·a ＝－5.a －b ＝(3，－6)，b ·(a －b )≠0，所以C 错误，|a |＝5，|b |＝25，2|a |＝|b |，故选ABD.4．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ＝________． 解析：cos θ＝a·b |a||b|＝－632×6＝－32，又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6. 答案：5π65．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝12，因为a ⊥(a －λb )，所以a ·(a －λb )＝|a |2－λa ·b ＝1－λ2＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(1)(2021·内蒙古赤峰二中、呼市二中月考)已知向量a ，b 的夹角为π3，若c ＝a |a|，d ＝b |b|，则c ·d ＝( ) A.14B ．12 C.32 D ．34(2)(多选)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB→|，下列结论正确的是( ) A.CA→在CB →方向上的投影长为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA→在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC→ 【解析】 (1)c ·d ＝a |a|·b |b|＝|a||b|cos a ，b |a||b|＝cos π3＝12.故选B.(2)由OA→＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB→|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB→＝OA →·AC →＝－2，OB →·AB →＝OC →·AC→＝2，故B ，D 正确．【答案】 (1)B (2)BCD计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．1．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1，2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55 B ．－55 C ．－255D ．－355解析：选D.由a ＝(1，2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2，所以a ·b ＝－3，所以向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.故选D.2．(2020·重庆第一中学月考)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a ，c 的数量积为( )A ．0B ．－2a 2C ．2a 2D ．－a 2解析：选A.由非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，所以a ·c ＝a ·[－(a ＋b )]＝－a 2－a ·b ＝－a 2－|a |·|b |·cosa ，b．由于a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，所以a ·c ＝－a 2－|a |·|b |cos 120°＝－|a |2－2|a |2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.故选A.3．(一题多解)(2020·武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝π2，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上一点，且BP ＝2P A ，那么CP →·CA →＋CP →·CB→＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D.通解：由已知得|CA →|＝|CB →|＝2，CA →·CB→＝0，AP →＝13(CB →－CA →)，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(CA →＋AP →)·CA →＋(CA →＋AP →)·CB →＝|CA →|2＋AP →·CA →＋CA →·CB →＋AP →·CB →＝|CA →|2＋13(CB →－CA →)·(CB→＋CA →)＝|CA →|2＋13|CB →|2－13|CA →|2＝22＋13×22－13×22＝4. 优解：由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，2)，设P (x ，y )．因为BP ＝2P A ，所以BP →＝2P A →，所以(x ，y －2)＝2(2－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝23，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(43，23)·(2，0)＋(43，23)·(0，2)＝4.故选D.平面向量数量积的应用角度一 求两平面向量的夹角(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935 C.1735D ．1935(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉＝( )A.73 B ．23 C.79D ．29【解析】 (1)由题意，得a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝25－6＝19，|a ＋b |＝a2＋2a·b ＋b2＝25－12＋36＝7，所以cosa ，a ＋b＝a·（a ＋b ）|a||a ＋b|＝195×7＝1935，故选D.(2)因为a ，b 是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.又因为a ·b ＝0，c ＝7a ＋2b ，所以|c |＝（7a ＋2b ）2＝3，a ·c ＝a ·(7a ＋2b )＝7， 所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝73.因为〈a ，c 〉∈[0，π]，所以sin 〈a ，c 〉＝23.故选B. 【答案】 (1)D (2)B求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系．(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2x21＋y 21·x 2＋y 2.角度二 求平面向量的模(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB →与AC →的夹角为60°，则|MA→|＝________．【解析】 因为M 为BC 的中点，所以AM→＝12(AB →＋AC →)，所以|MA→|2＝14(AB →＋AC →)2 ＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝134， 所以|MA→|＝132. 【答案】 132求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a |＝a2＝a·a ，|a ±b |＝（a±b ）2＝a2±2a·b ＋b2. (2)坐标法：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x2＋y2.(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．[提醒] (1)求形如m a ＋n b 的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算． (2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．角度三 两平面向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP→＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， 所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】 712有关平面向量垂直的两类题型根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |＝( ) A ．22 B ．25 C.17D ．15解析：选 C.因为a －b ＝(3，2)，所以|a －b |＝5，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5－2a ·b ＝5，则a ·b ＝0，所以|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选C.2．(多选)设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 解析：选ABD.对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题； 对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |， 得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题． 对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0， 因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |， 所以D 不正确． 故选ABD.3．(一题多解)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE→，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________． 解析：方法一：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.方法二：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010向量数量积的综合应用在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．【解】 (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． Ｋ在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3. (2)由AD→＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD→＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD→|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝23.核心素养系列4 逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”三角形的“四心”：设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA→＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔a OA→＋b OB →＋c OC →＝0. 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP→＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC→]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点【解析】 取AB 的中点D ，则2OD→＝OA →＋OB →， 因为OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， 所以OP→＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 【答案】 C类型二 平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP→＝xOB →＋yOC→，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463 C ．43D ．62【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463. 【答案】 B类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC→|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．【答案】 B类型四 平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO→＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫45，35 B ．⎝⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－35，45【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC→， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB→. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB→＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB→＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB2→， 所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[A 级 基础练]1．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D ．32解析：选A.c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，所以k ＝－32.2．若向量OF1→＝(1，1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10 B ．25 C.5D ．15解析：选 C.由于F 1＋F 2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝（－2）2＋（－1）2＝5.3．(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.109 B ．259 C.269D ．89解析：选A.方法一：因为|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即∠BAC ＝90°.所以AE →·AF →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13（AC →－AB →）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →－13（AC →－AB →）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB→＋13AC →·(23AC →＋13AB →)＝29AB →2＋29AC →2＝109，故选A.方法二：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即AB→⊥AC →，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，1)，E (23，23)，F (43，13)，所以AE →·AF →＝(23，23)·(43，13)＝89＋29＝109，故选A.4．(多选)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A.AB→－AC →＝BC →B.AB→＋BC →＋CA →＝0 C ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形D ．若AC→·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形 解析：选BC.由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →；AB →＋BC →＋CA →＝0，故A 错，B对；因为(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB→|2＝|AC →|2，即AB ＝AC ， 所以△ABC 为等腰三角形，故C 对；因为AC →·AB →>0，所以角A 为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC. 5．(2020·安徽示范高中名校月考)已知a ，b ，c 均为单位向量，a 与b 的夹角为60°，则(c ＋a )·(c －2b )的最大值为( )A.32 B ．3 C ．2D ．3解析：选B.设c 与a －2b 的夹角为θ.因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，所以|a －2b |＝3，所以(c ＋a )·(c －2b )＝c 2＋c ·(a －2b )－2a ·b ＝1＋|c ||a －2b |cos θ－1＝3cos θ，所以(c ＋a )·(c －2b )的最大值为3，此时cos θ＝1.故选B.6．(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，a ·(a －b )＝16，则|b |＝________． 解析：因为|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，所以a ·(a －b )＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.答案：27．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：因为|a |＝|a ＋2b |， 所以|a |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2， 所以a ·b ＝－|b |2， 令a 与b 的夹角为θ.所以cos θ＝a·b |a||b|＝－|b|23|b||b|＝－13. 答案：－138．(2020·新高考卷改编)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB→的取值范围是________． 解析：AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影，所以结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小．又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP →·AB→∈(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝52.(2)由题意得，a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3，所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 的夹角是π4.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC→＝0，求t 的值．解：(1)由题设知，AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)方法一：由题设知，OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.方法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115. [B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE→＋OC →＝0 C ．|OA→＋OB →＋OC →|＝32 D.ED→在BC →方向上的投影为76 解析：选BCD.由题意知E 为AB 的中点，则CE ⊥AB ，以E 为原点，EA ，EC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO→＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，因为BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ， 解得y ＝32，即O 是CE 的中点，则OE→＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA→＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确； 因为CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，所以选项A 错误；ED→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)． 故ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．故选BCD.12．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP→＝m AC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为( )A. 2 B ．43 C ．3D ． 3解析：选 D.令CP→＝k CD →(0<k <1)，则AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋k CD →＝AC →＋k (AD →－AC →)＝AC →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－AC →＝2k 3AB →＋(1－k )AC→＝m AC →＋12AB →，所以1－k ＝m ，2k 3＝12，所以m ＝14，因为△ABC 的面积为23，所以12|AC →|·|AB →|·32＝23，所以|AC →|·|AB→|＝8，所以|AP →|＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋18|AC →||AB →|＝1＋116|AC →|2＋16|AC →|2≥3，当且仅当|AC→|＝4时取“＝”，所以|AP →|的最小值为 3.故选D.13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB→⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →； (2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB→＝(n －8，t )， 因为AB→⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又因为5|OA →|＝|AB →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB→＝(24，8)或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC→＝(k sin θ－8，t )，因为AC→与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k . 因为k >4，所以0<4k <1，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ， 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)， 所以OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.14．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC→＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC→＋OD →|有最小值，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC→＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以当θ＝π8时，m ·n 取得最小值，为1－2.[C 级 创新练]15．在Rt △ABC 中，∠C 是直角，CA ＝4，CB ＝3，△ABC 的内切圆与CA ，CB分别切于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CP →＝xCD →＋yCE →，则x ＋y 的值可以是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B.设△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为r ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，所以3－r ＋4－r ＝5，解得r ＝1，故CD ＝CE ＝1，连接DE ，则当x ＋y ＝1时，P 在线段DE 上，但线段DE 均不在阴影区域内，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得CM ＝2CD ，CN ＝2CE ，连接MN ，所以CP→＝x 2CM →＋y2CN→，则当点P 在线段MN 上时，x 2＋y 2＝1，故x ＋y ＝2.同理，当x ＋y ＝4或x ＋y ＝8时，点P 不在△ABC 内部，排除C ，D ，故选B.16．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin a ，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ，则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ>0，则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是________．解析：①恒成立，②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin a ，b，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sina ，b，当λ<0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立，③a ＝λb ，则sin a ，b＝0，故a ⊗b ＝0恒成立，④a ＝λb ，且λ>0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin b，c＋|b|·|c|sin b，c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．答案：①③④。
空间向量的数量积运算-高中数学知识点讲解
空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角→→→已知两个非零向量푎、푏，在空间中任取一点O，作푂퐴=→→푎，푂퐵=→→→→푏，则∠AOB叫做向量푎与푏的夹角，记作＜푎，→푏＞．2．空间向量的数量积→→→→→→→→→→→→→→（1）定义：已知两个非零向量푎、푏，则|푎||푏|cos＜푎，푏＞叫做向量푎与푏的数量积，记作푎•푏，即푎•푏=|푎||푏|cos→→푎，푏＞ ＜→→→→→→→→→→→（2）几何意义：푎与푏的数量积等于푎的长度|푎|与푏在푎的方向上的投影|푏|cosθ的乘积，或푏的长度|푏|与푎在푏的方→向上的投影|푎|cosθ的乘积．3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．→（1）交换律：(휆푎)⋅→→푏=λ（푎⋅→푏）=→→푎•（휆푏）→푎⋅→푏=→푏⋅→푎→→（2）分配律：푎⋅(푏+→푐)=→푎⋅→푏+→푎⋅→푐．4．数量积的理解→（1）书写向量的数量积时，只能用符号푎⋅→→푏，而不能用符号푎×→→→푏，也不能用푎푏（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．→（3）当푎≠→→0时，由푎⋅→→→→→푏= 0不能推出푏一定是零向量，这是因为任一个与푎垂直的非零向量푏，都有푎⋅→푏=0【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：1/ 3利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，→将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|푎| =→푎⋅→푎求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．利用数量积证明垂直关系：→（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断푎⊥→→푏时，须指明푎≠→→0，푏≠→0；→→→（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量푎，푏，푐的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．→例：已知 2푎+→→→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），则푎•푏=﹣7→分析：通过 2푎+→→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），求出向量푎的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．→解答：∵2푎+→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），→∴푎=（1，﹣3，1），→→∴푎•푏= 1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；2/ 3故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．3/ 3。
向量与几何的经典例题精析
向量与几何的经典例题精析向量与几何是高中数学中的重要内容之一，它们之间的关系密切。
下面我们将通过经典例题的分析来深入理解向量与几何的相关知识。
例题一：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, -1, 2)，求向量a与向量b的数量积与向量积。
解析：首先，我们来求向量a与向量b的数量积。
数量积的计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b的夹角。
向量a和向量b的模可以通过求解向量的长度来得到。
向量的长度的计算公式为：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)，其中a1、a2、a3分别表示向量a的三个分量。
所以，我们可以计算出向量a的模为：|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √14，向量b的模为：|b| = √(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = √21。
接下来，我们需要计算向量a和向量b的夹角θ。
夹角θ可以通过数量积的计算公式来求解。
我们已知向量a和向量b的数量积为：a·b = 1×4 + 2×(-1) + 3×2 = 4 - 2 + 6 = 8。
代入数量积的计算公式，我们可以得到：8 = √14 × √21 × cosθ。
由此可得：cosθ = 8 / ( √14 × √21) ≈ 0.654。
通过反余弦函数，我们可以得到夹角θ的近似值为：θ ≈ arccos(0.654) ≈ 48.43°。
综上所述，向量a与向量b的数量积为8，夹角θ约为48.43°。
接下来，我们来求向量a与向量b的向量积。
向量积的计算公式为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
代入向量a和向量b的值，我们可以得到：a × b = (2×2 - 3×(-1), 3×4 - 1×2, 1×(-1) - 2×4) = (7, 10, -9)。
高中数学讲义微专题38 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
PE PQ AP PC 。考虑与已知条件联系求出直径 AC 上的各段
B
E
线段长度。由射影定理可得： AO CO OB 2 8 ，且 AO CO AC 6 ，所以解得
AO 2, OC 4 ， 再 由 P 为 OA 的 中 点 可 得 AP 1, PC 5 ， 所 以
PE PQ AP PC 5 ，进而 PD PE PE PQ 5
量上的投影，即 a b b （记 为 a 在 b 上的投影）
ab
ab
（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：
ab
a b b
即数量积除以被投影向量的模长
5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量
问题
（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投
答案： 5
例 10 ： 已 知 C 为 线 段 AB 上 一 点 ， P 为 直 线 AB 外 一 点 ， I 为 PC 上 一 点 ， 满 足
PA PB 4 ，
PA PB 10 ，
PAPC PBPC ， 且
P
PA
PB
BI
BA
AC
AP
0 ，则 BIBA 的值为（
例 2：如图，在 ABC 中， AB BC 4, ABC 30 ， AD 是边 BC 上的高，则 AD AC
的值等于（ ）
A．0
B．4
C．8
D． 4
2
思路：由图中垂直可得： AC 在 AD 上的投影为 AD ，所以 AD AC AD ，只需求出
2 ABC 的高即可。由已知可得 AD AB sin ABC 2 ，所以 AD AC AD 4
人教版高中数学-由一道高考题窥数量积的求法
由一道高考题窥数量积的求法题目 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |＝3, ||BC ＝4, |CA |＝5，则AB BC BC CA CA AB ++的值等于________.这道高考题看似平凡，仔细品味，发现是一道不可多得的好题．由于它同时具备数与形的性质，故通过不同角度的挖掘和探究，不仅能很好地复习平面向量有关知识，而且能培养学生的观察能力、运算能力及逻辑推理能力．下面加以剖析：一、定义法由于是数量积问题，显然想到的是数量积的定义，即a •b ＝|a |•|b |cos θ(其中θ为向量a 与b 的夹角)．在本题中两向量的夹角应取内角的补角．如：向量AB 与BC 的夹角是π－B ，而不是角B (向量BA 与BC 的夹角才是B )，此点应注意，而内角运用余弦定理可解决．解法1：||||cos()12cos AB BC AB BC B B π•=•-=-＝－12×222345234+-⨯⨯＝0． ||||cos()20cos BC CA BC CA C C π•=•-=-＝－20×222453245+-⨯⨯＝－16． ||||cos()15cos CA AB CA AB A A π•=•-=-＝－15×2225342+-⨯5⨯3＝－9． 以上三式相加，得AB BC BC CA CA AB ++＝－25，故填－25．二、坐标法由数量积的坐标运算知，若 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则有a •b ＝x 1x 2＋y 1y 2，故可建立坐标系，利用坐标解决此题．解法2：由条件可知平面内三点A ，B ，C 构成以B 为直角顶点的直角三角形，故可建立以B 为原点，分别以边AB 、BC 所在直线为坐标轴的直角坐标系，如图所示，则A (0，3)，B (0，0)，C (4，0)．AB ＝(0，－3)，BC ＝(4，0)，CA ＝(－4，3)．∴ AB BC •＝0＋0＝0．BC CA •＝－16＋0＝－16．CA AB •＝0＋(－9)＝－9．以上三式相加，得AB BC BC CA CA AB ++＝－25，故填－25．三、整体处理联想到对于2(ab ＋bc ＋ca )可整体地表示为(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)，故本题可整体求出数量积的和，即看AB BC BC CA CA AB ++为一整体．解法3：∵(AB BC CA ++)2＝222||||||AB BC CA ++＋2(AB BC •＋BC CA •＋CA AB •)，即0＝9＋16＋25＋2(AB BC BC CA CA AB ++)，得AB BC BC CA CA AB ++＝－25，故填－25．注：利用此解法法还可将本题推广为：已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=a , ||BC =b , |CA |=c ，则AB BC BC CA CA AB ++=－21(a 2＋b 2＋c 2)． 四、叠加法联想到对于形如“证明不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ”，我们常用用叠加法，即a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，以上三式叠加即可．这里可模仿叠加原理，得以解决．解法4： AB BC •＋BC CA •＝()BC CA AB BC CB •+=• 22||16BC BC =-=-=-．同理，得2()25BC CA CA AB CA BC AB CA •+•=•+=-=-． 29CA AB AB BC AB •+•=-=-．以上三式叠加，得2(AB BC BC CA CA AB ++)＝－50，即AB BC BC CA CA AB ++＝－25，故填－25．五、化归法利用向量的加减法运算及数量积的运算律，以及a 与b 垂直⇔a •b ＝0等，直接化归为可利用已知条件为止．解法5：由平面上三点A ，B ，C 构成以B 为直角顶点的直角三角形，故有AB BC •＝0，故AB BC BC CA CA AB BC CA CA AB •+•+•=•+•＝()CA BC AB •+=CA AC •225CA =-=-．六、平方法由(a ＋b )2＝|a |2＋2a •b ＋|b |2及a 2＝|a |2等．故平方法是解决模问题的有效手段． 解法6：由AB BC AC +=，有22()AB BC AC +=，即222||2||||AB AB BC BC AC +•+=，故得AB BC •＝0． 同理，BC CA BA +=，平方并整理，得BC CA •＝－9．CA AB CB +=，平方，得CA AB •＝－16．故AB BC BC CA CA AB ++＝－25，故填－25．。
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数量积典例精析
例1 平面内有向量，点X为直线OP上的一个动点。
（1）当的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。
分析：因为点X在直线OP上，向量共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据的最小值，求得；而cosAXB是向量夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决。
解：（1）设
又
于是
由二次函数的知识，可知当y＝2时，有最小值-8。
此时；
（2）当，即y＝2时，有，，。
说明：由于X是OP上的动点，则向量均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积也处在不确定的状态，这个数量积由的模及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数。
另外，求出的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。
例2 设平面内有两个向量。
（1）证明；
（2）若两个向量与的模相等，求。
分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到，即可证明（1），再利用||与||相等，确定的值。
证明：（1）
（2）
由已知，可得到
注意到
于是（*）式化为。
由于
说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知时，a与b的夹角为，因此。
故，又，有（为a与b的夹角）。
这时。
此时由a 及b为邻边组成的四边形是正方形。