高中数学课件：2.1.2《求曲线的方程》(新人教A选修2-1)

教师用书

配套课性

24 2

求曲线的方程

一、坐标法和解析几何

1.__________________________ 坐标法:坐标法是指借助于_________________________________ ,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.

2.解析几何:解析几何是指数鬱臓的知识形成的

研究几何图形

学科.

坐标法

3.解析几何研究的主要问题：

⑴曲线研究方程:根据已知条件,求出—

(2)方程研究曲线:通过曲线的方程，研究思考:用坐标法研究解析几何问题的前提示:用坐标法研究解析几何

面直问题时首先角坐标系，这样，点有了坐

标，曲线也就有了宿覊胸艳费

判断：(正确的打“V”，错误的打“X")

⑴在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系.( )

⑵化简方程“ IX冃y I"为“尸X”是恒等变形.()

(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.()

提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志.

⑵错误・|x| = |y|化简的形式为y二士X・

(3)错误•一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求

解.化简过程中极易产生増解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确. 答案:⑴“ (2)x (3)x

【知识点拨】

1 •平面直角坐标系的选取原则

(1) 以已知走点为原点.

(2) 以已知走直线为坐标轴(x轴或y轴)•

(3) 以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点・

⑸如果曲线（或轨迹）有对称中心通常以对称中心为原点.

（6）如果曲线（或轨迹）有对称轴,通常以对称轴为坐标轴（x轴或y轴）.

（7）号可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在坐标轴上.

2•对求曲线方程的五个步骤的(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单• ⑵第二步是求方程的重要一环•要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M 有关的等量关系，列出几何等式•此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标

⑶在化简的过程电注意运算的合理性与准确性，尽量避免

"失解〃或"增解〃•

⑷第五步的说明可以省略不写如有特殊情况，可以适当说明. 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上，可以通过限走方程中X（或

y）的取值予以剔除

3•对求曲线方程的三点说明

(1) 求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同•

(2) —般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(X"),而不设成(Xo"o)或(X]M).

⑶化简方程眩一般将方程f(x,y)二0化成关于x"的整式形式, 并且要保证化简过程的恒等性.

类型-・直接法求曲线方程

【典型例题】

1.已知动点M到A(2, 0)的距离等于它到直线x=-l的距离的2倍, 则点M的轨迹方程为________ •

2.(2013•珠海高二检测)已知点A(-2, 0),B(2, 0),直线AP与

直线BP相交于点P,它们的斜率之积为-，求点P的轨迹方程.

【解题探究】1•从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系?

2•在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示：

1•因题1中已知A(2,0)f故不需要建立平面直角坐标系. 2•—般地,当动点满足的条件非常明显，可以很容易地建立条件等式，这时一般可采用直接法求曲线的方程.

【解析】1•设M(x,y)•由题鳶得

花简得■ 3x2 ■ 12x+y2 二O f

0Jy2 二3 答案:y2=3x2+12x

2•设点P(x f y)f

直线AP的斜率％二直线BP的斜率咯二(XH2),根据已知"有：y (x^±2)f

化简得：+y2=l()cr^).

y

x-2

x + 2 x-2 4

4

2•“轨迹方程"与〃轨迹"的辨析

【变式训练】已知点M到X轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程.

【解析】设动点M的坐标为（X f y）,则点M到X轴.y轴的距离分别为|y|」x|•由题意知

|y| = 2|x|f^®gy=±2x.

•点M的轨迹方程为y=±2x.

类型二代入法求曲线的方程

【典型例题】

1. 设圆c： (x-l)2+y2=l,过原点0作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程是__________

2•设定点M(-3, 4),动点N在

x2+y2=4上运动，以OM, ON

为两边

作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.

【孵題球兖】丄•有匕知D（X1"1）十2（X2“2人则我段卩十2甲庶卩的坐标是什么？

2•题2哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方徨，借助什么方法可用这些点表示点P的坐标？

探究提示：

1•据中鉅标公式知中点P的坐标为（）•

2•从题目的已知条件可知，点M与点O的坐标已知，点N满足已知曲线的方程，可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同表示出点P的坐标•

22

X1+X2 yi+y2

2

2 【解析】1•设OQ 为过O 的一条弦,P (x,y)为其中点,

Q(X V Y I )>

X ］二 2x ，

又J(x 1-S)2+y^2=l -(2x-l)2+4y 2=l(0

答料列曲書(。<3