高等数学课程描述

《高等数学》课程描述

高等数学是工科类职业教育中的一门必修的重要基础课，为学习后继课程(如：工程数学等)和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

通过教学，一方面使学生掌握微积分、常微分方程等基本知识，能熟练地运用其分析计算方法处理一些实际问题；另一方面通过各个教学环节，培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力、自学能力及综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力。鉴于工科类职业技术教育的特点，教学中应以分析和运算方法的掌握为重点，并注重与各专业的实际应用结合起来，同时对基本理论应择重有所了解。使学生具备专业要求的数学基础，又便于提高进一步学习数学知识及应用数学知识解决实际问题的能力

一、教学内容

本课程要求学生通过学习获得： 1)一元函数微积分学； 2)向量代数和空间解析几何；

3)多元函数微积分学；4)无穷级数；5)常微分方程等方面的基本概念、基本理论和比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决实际问题的能力。

本课程具有抽象性与科学性、较强的逻辑性及应用的广泛性的特点。

第一章：函数、极限与连续函数

主要内容：

1．函数的概念(定义、表示法)，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数。

2. 数列极限的概念，函数极限的概念(x→xo与x→∞时函数的极限)，函数极限与无穷小的关系，无穷小性质，极限四则运算法则，两个极限存在准则：夹逼准则和单调有界准则，

两个重要极限的结果：lim

x→0sin x

x

=1，lim

x→∞

()

1

1

+

x

x=e，无穷小量的比较。

3. 连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的四则运算，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(叙述)。

教学时数12课时

第二章：导数与微分

主要内容：

1．导数的概念(定义、几何意义、几何应用)，函数可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的导数，复合函数与反函数的导数，基本初等函数的导数公式，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数求导法,对数求导法。

2．微分的概念，微分运算法则，微分在近似计算中的应用。

教学时数16课时

第三章：中值定理与导数的应用

主要内容：

1．中值定理(罗尔、拉格朗日、柯西定理),洛必达法则,泰勒中值定理.

2．导数的应用:函数单调性的判定法，函数的极值，判断函数图形的凹凸性，求拐点，最大值与最小值问题及其求法，描绘函数的图形(包括水平与垂直渐近线)。

教学时数10课时

第四章：不定积分

主要内容：

1．原函数与不定积分的定义，不定积分性质、基本积分公式.

2．换元积分法，分部积分法,有理函数及三角函数有理式积分的举例，积分表用法。

教学时数20课时

第五章：定积分及其应用

主要内容：

1．定积分的概念与性质，定积分中值定理.

2. 定积分作为变上限的函数及其求导定理，牛顿—莱布尼茨公式。

3．定积分的换元法与分部积分法，

4．定积分在几何上的应用(如面积、体积和弧长等求法)。

5．定积分在物理上的应用(如功、水压力、引力等求法)。

教学时数12课时

第六章：微分方程

主要内容：

1．微分方程的基本概念。

2．一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程，线性方程。

3．可降阶的高阶微分方程：y n()＝f(x)，y”＝f(x，y’)，y”＝f(y，y’)。

4．二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

教学时数10课时

第七章：向量代数与空间解析几何

主要内容：

1．空间直角坐标系，两点间距离，向量的概念，向量的坐标表示，向量的运算（加减法与数乘，数量积与向量积），向量模，单位向量，方向余弦，两向量平行与垂直的充要条件。

2．平面方程 (点法式、一般式、截距式)，直线方程 (点向式、参数式、一般式)。

3．曲面方程的概念，旋转曲面(包括圆锥面)与二次曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线作为两曲面交线，空间曲线的参数方程。

教学时数10课时

第八章：多元函数微分法及其应用

主要内容：

1．多元函数的概念(定义、二元函数的几何意义)，二元函数的极限与连续，有界闭区域上连续函数的性质(叙述)。

2．偏导数的概念(定义、二元函数偏导数的几何意义、求法)，高阶偏导数，混合偏导数可交换求导次序的条件(叙述)，全微分的概念〔定义、全微分存在的充分条件〕，可导、可微与连续函数之间的关系，全微分在近似计算中的应用。多元复合函数的求导法则，全导数、隐函数求导法。

3．偏导数的几何应用(空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线)，多元函数的极值及其求法，最大值与最小值问题，条件极值。

教学时数16课时

第九章：重积分

主要内容：

1．二重积分的概念(定义、性质)。

2．二重积分的计算(直角坐标、极坐标)。

3． 二重积分的应用(立体体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等)。

教学时数12课时

第十章：无穷级数

主要内容：

1．常数项无穷级数的概念(收敛与发散的定义)，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数、调和级数，p 级数，正项级数的比较审敛法、比值审敛法，极限审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛。

2．幂级数的概念，幂级数的收敛半径与收敛区间及其求法，幂级数的四则运算，幂级数和函数的连续性、逐项微分与逐项积分，函数展开成幂级数， 函数e x

、sinx 、cosx 、1n(1+x)、α)1(x +等幂级数展开式。

教学时数10课时

说明：少数专业对基本要求及时数可适当调整，但必须适应后续课程学习需要及学生基本数学素养培养的要求。

二．教学方法及教学建议

1.本课程在教学过程中要尽量改变传统教学模式中教师讲学生听的教学形式，让学生参与到课堂讲授中来，教师针对某一内容和知识点，灵活运用启发式、讨论式、研究式等教学方法，以此实现学习由“要我学”向“我要学”的方向转变。