种群增长特征模型

详解逻辑斯蒂增长模型

详解逻辑斯蒂增长模型
逻辑斯蒂增长模型（Logistic Growth Model）是一种描述某一种生物种群、经济市场或其他类型的增长过程的数学模型。

该模型基于逻辑斯蒂方程，通过考虑资源约束和环境影响来解释种群或市场的增长趋势。

逻辑斯蒂增长模型的方程可以表示为：
\[ \frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right) \]
\(N\)表示种群或市场的规模，\(t\)表示时间，\(r\)是增长率，\(K\)是系统的容量极限。

该方程有两个部分，第一部分\(rN\)表示无资源限制情况下的指数增长率。

第二部分\(\left(1 - \frac{N}{K}\right)\)表示资源的稀缺性，它限制了增长率，并且当种群或市场接近极限 \(K\) 时，增长率趋近于零。

逻辑斯蒂增长模型的解析解可以通过分离变量和积分得到：
\[ N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right) e^{-rt}} \]
\(N_0\)表示初始规模，这里表示时间 \(t=0\) 时刻的规模。

逻辑斯蒂增长模型的重要特征是饱和增长。

在初始阶段，种群或市场增长迅速，但随着时间的推移，增长率逐渐减小，直到趋于稳定。

这是由资源的有限性所导致的。

逻辑斯蒂增长模型是一种广泛应用于生态学、经济学和社会科学研究中的模型。

它可以帮助我们理解和预测种群或市场的增长趋势，并指导相关决策和政策制定。

逻辑斯蒂增长模型也可以通过拟合观测数据来估计出模型的参数，并进一步对未来的增长进行预测。

种群增长和竞争的数学模型

种群增长和竞争的数学模型摘要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。

为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。

本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。

一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。

种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。

1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。

马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。

令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。

查1700年至1961年共260年的人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。

种群增长j型曲线的公式

种群增长j型曲线的公式
对于种群增长的j型曲线，我们可以使用Logistic方程来描述
其增长模式。

Logistic方程是一个常见的种群增长模型，其公式如
下所示：
\[ \frac{dN}{dt} = rN \left(1 \frac{N}{K}\right) \]
在这个公式中，\( \frac{dN}{dt} \) 表示种群数量随时间的
变化率，\( r \) 是种群的内禀增长率，\( N \) 是种群数量，
\( K \) 是环境容纳量。

种群增长的j型曲线通常描述了一种增长模式，即种群数量开
始以指数增长，然后随着种群数量接近环境容纳量而逐渐趋于稳定。

这种曲线在生态学和种群生物学中具有重要的意义，能够帮助我们
理解种群数量的动态变化以及环境对种群增长的影响。

在实际应用中，Logistic方程和j型曲线的模型可以帮助我们
预测种群数量的增长趋势，评估环境对种群增长的影响，以及制定
保护和管理措施来维持种群的健康和稳定。

总之，种群增长的j型曲线及其对应的Logistic方程为我们提
供了一种重要的工具，帮助我们理解和预测自然界中种群数量的动
态变化，为保护生物多样性和生态平衡提供了理论基础和实践指导。

种群增长率

种群的增长速率曲线和增长率曲线再探讨浙江省绍兴县柯桥中学叶建伟摘要到目前为止，种群增长率曲线和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法，本文就种群增长率曲线和增长速率曲线进行了探讨。

关键词种群增长速率曲线增长率曲线探讨种群的增长方式包括指数增长（“J”型增长）和逻辑斯谛增长（“S”型增长），前者是在理想状态下，即资源无限、空间无限和不受其他生物制约的条件下产生的，后者是在现实状态下，即资源有限、空间有限和受其他生物制约的条件下产生的。

若以时间为横坐标，种群中个体数量为纵坐标，那么两种增长曲线如图1所示。

对于上述两种增长方式，需要区别种群增长率和增长速率的变化，但是到目前为止，对于种群增长率和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法，对此，笔者查阅相关资料，同时结合自己多年的教学实践，谈谈自己的看法。

1 种群增长速率和增长率的定义种群增长速率是指种群在单位时间内增加的个体数量，其计算公式为：增长速率 =（现有个体数－原有个体数）／增长时间，单位可以用“个/年”表示。

种群增长率指种群在单位时间内净增加的个体数占原个体总数的比率，其计算公式为：增长率 =（现有个体数－原有个体数）／（原有个体数·增长时间），单位可以用“个/个·年”表示。

种群的出生率减去死亡率就是种群的自然增长率[1]。

2 指数增长的增长速率和增长率种群在理想条件下呈指数增长，其增长曲线符合指数函数N t=N0λt或N t+1=N tλ（N为种群个体数，N 0为起始种群个体数，t为时间，λ为种群周限增长率，下同），其中λ具有开始和结束时间，它表示种群大小在开始和结束时的比率。

若以年为时间单位，指数增长种群的增长速率为：（N0λt+1－N0λt）个/年=N0λt（λ－1）个/年，所以指数增长种群的增长速率随时间变化呈等比数列，公比为λ，其通项公式为：= N0（λ－1）λt（表示种群增长速率）。

种群增长模型

具密度效应旳种群离散增长最简朴旳模型是：
Nt+1=[1.0-B(Nt-Neq)]Nt
模型旳行为特征，用变化参数值旳措施来检验：
设Neq=100，B=0.011，N0=10， N1=[1.0-0.011(10-100)]10=19.9 N2=[1.0-0.011(19.9-100)]19.9=37.4 N3=63.1 N4=88.7 N5=99.7
与密度有关
种群离散增长模型种群连续增长模型
（一）与密度无关旳种群增长模型 1、种群离散增长模型（差分方程）
假设：①种群在无限环境中增长,增长率不变 ②世代之间不重叠，增长不连续 ③种群没有迁入、迁出 ④种群没有年龄构造
N t+1=λNt 或
Nt=N0 λt lgNt=lgN0+(lgλ)t
式中：N —— 种群大小； t —— 时间； λ—— 种群旳周限增长率。
§1、种群旳概念
§2、种群动态种群统计学
密度初级种群参数次级种群参数生命表和存活曲线种群增长率
三、种群增长模型
研究种群旳目旳：阐明自然种群动态规律及调整机制。
归纳法（搜集资料、解释、归纳）
措施
自然种群
演绎法（假设、搜集资料、检验）
试验种群
种群增长模型
与密度无关
种群离散增长模型种群连续增长模型
按此方程，种群增长将不再是“J”字型，而是“S”型。“S”型曲线有两个特点：
①曲线渐近于K值，即平衡密度； ② 曲线上升是平滑旳。
草履虫（Paramecium caudatum）种群旳S型增长（Gause,1934）
逻缉斯谛曲线常划分为5个时期： ① 开始期，种群个体数极少，密度增长缓慢； ② 加速期，随个体数增长，密度增长逐渐加紧； ③ 转折期，当个体数到达饱和密度旳二分之一（即 K/2时），密度增长最快； ④ 减速期，个体超出 K/2 后来，增长变慢； ⑤ 饱和期，种群个体数到达 K 值而饱和。

种群增长模型最新PPT课件

驯鹿引入圣保罗岛，种群呈“J”型增长，到27年后才由于过度利用栖息地资源而数量骤然下降。
?模型的两个参数，r 和 K，均具有重要的生物学意义。
r 表示物种的潜在增殖能力， K表示环境容纳量，即物种在特定环境中的平衡密度。
?逻辑斯谛增长模型的重要意义是：
①它是许多两个相互作用种群增长模型的基础； ②它也是渔捞、林业、农业等实践领域中，确定
t eq
?根据以上叙述，具密度效应的种群离散增
长最简单模型是：
?N =［1.0-B（N -N ）］N
t+1
t eq
t
? 此模型试验结
果的生物学意义在于：即使在外界环境条件不变的情况下，只有种群内部特征（即种内竞争对出生率和死亡率的影响特点）就足以出现种群动态的种种类型，包括种群平衡、周期性波动、不规则波动及至种群消亡等等。
17பைடு நூலகம்。
?栅列藻、小球藻等低等植物的种群增长，同样具典型的“ S”型增长特点。
四、自然种群的数量变动
?一种生物的进入和占领新栖息地，首先经过种群增长和建立种群，以后可出现不规则的或规则的（即周期性的）波动，也可能比较长期地表现为平坦的相对稳定；许多种类有时还会出现骤然的数量猛增，称为大发生，随后又是大崩溃；有时种群数量会出现长时期的下降，称为衰落，甚至灭亡。
／K）。
生态学发展史中著名的逻辑斯谛方程（logistic
。 equation，或译阻滞方程）
种群增长将不再是“J”字型，而是“S”型的。“S” 型曲线同样有两特点：
①曲线渐近于K值，即平衡密度；
②曲线上升是平滑的。
积分式为：
新出现的参数α，其值取决于 N ，是表示曲线对原点的相

种群增长模型及其适用范围

种群增长模型及其适用范围
种群增长模型是用来描述种群数量随时间变化的数学模型。

常见的种群增长模型包括指数增长模型、逻辑斯蒂增长模型和修正的逻辑斯蒂增长模型。

1. 指数增长模型：假设在理想条件下，种群数量以固定的增长率（r）呈指数增长。

该模型适用于种群初始数量较小、资源无限、无竞争和捕食者等限制因素的情况。

但在实际情况下，由于资源有限和环境容纳量的限制，指数增长模型通常不能长期适用。

2. 逻辑斯蒂增长模型：考虑了环境容纳量（K）对种群增长的限制。

该模型假设种群增长率随种群数量的增加而逐渐降低，当种群数量达到环境容纳量时，增长率降为零。

逻辑斯蒂增长模型适用于资源有限的情况，能够更好地描述种群数量的实际增长情况。

3. 修正的逻辑斯蒂增长模型：在逻辑斯蒂增长模型的基础上，考虑了种群的密度依存性和环境变化等因素。

该模型可以更好地适应实际情况下种群增长的复杂性。

这些模型的适用范围取决于具体情况，例如种群的特征、环境条件、资源限制等。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的模型，并结合实际数据进行验证和调整。

种群增长的J型曲线

技术发展
监测技术的发展
利用现代技术手段，如卫星遥感、 GIS等，实现对种群分布、数量和动态的实时监测。
数学模型与计算机
模拟
发展更精确的数学模型和计算机模拟技术，以预测种群动态变化，为资源管理和环境保护提供科学依据。
数据处理与分析
利用大数据和人工智能技术，对海量数据进行高效处理和分析，揭示种群增长的内在规律。
实际应用前景
01
02
03
生态恢复与保护
利用种群增长J型曲线理论，制定科学的生态恢复和保护方案，保护濒危物种和生态系统。
资源管理
指导合理利用和保护自然资源，如渔业资源、野生动物等，实现资源的可持续利用。
公共卫生
研究人类流行病的传播规律，制定有效的防控策略，降低疾病传播风险。
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02
J型曲线通常表示种群数量随时间呈指数增长，不受环境容量或资源限制的影响，是一种理论上的增长方式。
研究意义
J型曲线的研究有助于理解种群增长机制和生态学过程，对于保护生物多样性和生态平衡具有重要意义。
J型曲线模型在生态学、生物学、环境科学等领域有广泛应用，对于预测种群数量变化、制定保护策略和资源管理方案等具有指导作用。
研究方向
1 2
深入研究种群增长机制
进一步探索种群增长J型曲线的形成机制，包括环境因素、遗传因素等对种群增长的影响。
种群动态与生态系统相互作用
研究种群增长J型曲线与生态系统其他组成部分的相互作用种群增长J型曲线与种群遗传学和进化的关系，以及种群增长模式对物种适应和进化的影响。
特征
种群数量随时间呈几何级数增长，增长率保持恒定，增长速率先增后减。

第五章种群增长

受天气的强烈影响…...…气候学派生物因子对种群调节起决定作用...生物学派种内成员的异质性………..…..自动调节学派 ➢ 社群的等级和领域性……..…..行为调节学说 ➢ 激素分泌的反馈调节机制….内分泌调节学说 ➢ 遗传多态…………………...…..遗传调节学说种群调节的新理论
调和学派
米尔恩的观点：
➢ 密度制约和非密度制约因素都具环境
有决定种群密度的作用，只是前者在种群高密度区起作用，而后者在种群低密度区起作用。
有利
非密度制约作用
密度制约作用
赫夫克和梅辛杰的观点：
环境不利
自动调节学派
自动调节学派的三个共同特点： ➢ 自动调节学派强调种群调节的内源性因素；注重
模型的行为：
➢ 0<rT<e-1 ：种群单调地趋向一个平衡点，或称为单调的阻尼稳定点（monotonically damped stable point）；
➢ e-1<rT< π/2 ：种群减幅振荡并回到平衡水平，或称为振荡的阻尼稳定点（oscillatorilly damped stable point）；
第五章种群增长
种群增长模型自然种群数量变动种群调节
思考题
种群数量在时间过程中的动态
第一节种群增长模型
种群的离散增长模型（差分方程）种群的连续增长模型（微分方程）具时滞的种群增长模型种群增长的随机模型
数学模型研究中，生态学工作者最感兴趣的不是特定公式的数学细节，而是模型的结构，因此，我们的注意力应首先集中于数学模型中各个量的生物学意义，而不是其数学推导细节，否则就会出现只见“数目” ，不见“森林”的危险。
➢ 0< BNeq<0.25: 种群表现为稳定的平衡，不产生振荡；

普通生态学第四章种群生态学总结

普通生态学第四章种群生态学总结第四章生物种群：在一定的时间内，占据特定空间的同种生物个体的总和。

种群特征：数量特征:种群具有的密度、出生率、死亡率、迁入率和迁出率；空间分布特征：种群有一定的分布区域和分布方式；遗传特征：具有一定的遗传组成-进化、适应能力种群生态学：就以生物种群及其环境为研究对象，研究这些群体属性，包括种群的基本特征、种群的统计特征、数量动态及调节规律、种群内个体分布及种内、种间关系。

生物种群的基本特征：1.种群大小(Size):一个种群的全体数目多少。

密度(Density):单位面积或单位容积内某个种群的个体数目；相对密度公式：D=n/a·t 粗密度(Crude Density)：是指单位空间内的个体数（或生物量）；生态密度(Ecological Density)：是指单位栖息空间（种群实际所占据的有用面积或空间）内的个体数（或生物量）。

密度的测定：绝对密度：(1)普查法:如人口普查2)取样调查法：木本:n/10m2；草本及农作物:n/1m2；水体：n/15ml；动物:标记重捕；相对密度：盖度，频度，丰度…影响种群密度的因素：(1)环境中可利用的物质和能量的多少;(2)种群对物质和能量利用效率的高低;(3)生物种群营养级的高低;(4)种群本身的生物学特性（如同化能力的高低等）“饱和点”和最适密度：当环境中拥有可利用的物质和能量最丰富、环境条件最适应时，某种群可达到该环境下的最大密度，这个密度称为“饱和点”。

维持种群最佳状况的密度，称为最适密度。

拥挤效应：在这个拥挤的环境里，虽然食物、饮水和筑巢材料很丰富，但动物的行为发生了异常。

引起拥挤效应。

2.年龄结构:各个年龄或年龄组在整个种群中都占有一定的比例，形成一定的年龄结构；研究种群的年龄结构对分析种群动态和进行预测预报具有重要价值从生态学的角度，种群的年龄结构可以分为三种类型：增长型种群、稳定型种群和衰退型种群。

(1)增长型：种群的年龄结构含有大量的幼年个体和较少的老年个体，幼中年个体除了补充死亡的老年个体外还有剩余，所以这类种群的数量呈上升趋势。

种群的数量变化

答案： (1) “S”型增长 (2）能能在这一环境中所能承载的这一种群的最大数量（密度），即这一环境所能养活的种群的最大数量。 (3）对珍稀动物的保护最根本的措施是保护它的生存环境，使该种动物的环境容纳量有所提高，这个种群的数量自然会增长。草原的放牧量应该控制在接近环境容纳量为宜，如果过多放牧会影响牛羊的生长以及草原的恢复。如果破坏了环境，还会造成环境容纳量的降低。
①产生条件：存在环境阻力：
自然条件（现实状态）——食物等资源和空间总是有限的，种内竞争不断加剧，捕食者数量不断增加。导致该种群的出生率降低，死亡率增高．
当出生率与出生率相等时，种群的增长就会停止，
有时会稳定在一定的水平．
[例]生态学家高斯的实验：
得出一个大草履虫种群的增长曲线。
种群增长的“S”型曲线
下图一示某森林植物的景观，图二示物种数与面积的关系。
某森林物种数与样方面积的关系研究( (1)物种组成是决定群落性质的最重要因素。为了登记群落的植物种类组成，在群落的中心部位选取样地，用随机法取样，首先要确定样方面积。．系列取样统计结果如上图二。 ①试写出该研究的课题名称。这种研究方法叫样方法做。 ②图二显示：在一定范围内，随样方面积的增大，。 So 调查该森林物种数的样方面积最好是 m2。 ③若选取3个合适的样方对某种乔木计数的结果分别是n1、n2、 n3，则该乔木的种群密度为株／m2。
一．构建种群增长模型的方法
数学模型：用来描述一个系统或它的性质的数学形
式．建立数学模型一般包括以下步骤：观察研究对象，提出问题
提出合理的假设
根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达通过进一步的实验或观察等，对模型进行检验或修正

生态学

种群增长的三种模型及其生态学意义非密度制约种群增长模型（J 型）和密度制约种群增长模型（S 型）建立动植物种群动态数学模型的目的，是阐明自然种群动态的规律及其调节机制，帮助理解各种生物和非生物因素是怎样影响种群动态的。

1. 非密度制约种群增长模型（J 型）——在假设的、理想的无限环境（排除不利的气候条件，提供充足和理想的食物，排除天敌与疾病的袭击等），种群的增长不受密度制约。

A. 种群离散增长模型——种群增长是无界的，世代不重叠，无迁入迁出，无年龄结构 1t t N N λ+= 或0t t N N λ=1t N +——世代t+1的种群大小t N ——世代t 的种群大小λ——种群的周限增长率0N ——初始时的种群大小t ——时间例题P55λ（种群的周限增长率）是种群离散增长模型的主要参数，λ的四种情况：1λ> 种群上升1λ= 种群稳定01λ<< 种群下降0λ= 雌体没有繁殖，种群在下一代灭亡2.种群连续增长模型——世代彼此重叠，种群增长是连续方式的，其他各点同离散世代/dN dt rt = 其积分式0rt t N N e =/dN dt ——种群变化率e ——自然对数的底，取e =2.71828r ——种群的瞬时增长率0r > 种群上升0r = 种群稳定0r < 种群下降例题P56例题：根据模型求人口增长率。

1949年我国人口5.4亿，1978年为9.5亿，求29年来人口增长率。

解： 0rtt N N e = 0ln ln t N N rt =+0(ln ln )/t r N N t =-则：(ln9.5ln5.4)/(19781949)0.0195r =--=表示我国增长率为1.95% 。

周限增长率λ ：0.0195 1.0197r e e λ===即每年人口是前一年的1.0197倍。

2. 密度制约种群增长模型（S 型）——种群在有限环境中的逻辑斯谛增长逻辑斯谛增长的概念：种群在有限环境中的一种最简单的增长形式，在现实有限环境中，种群不可能始终保持指数上升，而是随着种群密度上升，种群增长率不断下降，直至停止增长，这种增长形式称为逻辑斯谛增长密度制约种群增长模型同样有离散和连续的两类。

生物种群

Wisconsin绿湾中藻类数量随环境的年变化（Mackenzie，etal，1998）
1913—1961 年东亚飞蝗洪泽湖蝗区的种群动态曲线（马世骏，丁宕钦，1965）
（三）种群的数量变动
2.周期性波动
n
种群数量变动随时间呈现出有规律的、周而复始的
波动现象,这种数量波动的特点与种群自身的遗传特性
种群年龄分布--2
白橡树（Quercus alba）种群的年龄分布 (自M.C.Molles,Jr,1999)
13
种群年龄分布--3
仙人掌雀（Geospiza conirostris）1983年的年龄分布
(自M.C.Molles,Jr,1999) 14
（一）种群的群体特征
2.种群结构和性比
n （2）性比
有关。
北方的啮齿动物旅鼠、姬鼠、田鼠，以及北极狐和雪鸽等
北美的美洲兔与加拿大猞猁90年间数量周期（Bush，1997）
3.季节波动 n 季节波动（消长）是指
种群数量在一年四季中的变化规律。了解动物的季节性波动规律是控制其危害的生态学基础。
北点地梅8年间的种群数量变动（Begon，1986）
4.种群的暴发
（一）种群的群体特征
1.种群密度 n 密度通常表示单位面积（或空间）上的个体数目，但也
有用每片叶子、每个植株、每个宿主为单位的。
除采用单位面积（或空间）上的个体数目来表示种群密度外，也有因生物的特征不同而采用的其他表示方法。
（一）种群的群体特征
2.种群结构和性比
n （1）种群结构
l 种群的年龄结构是指不同年龄组的个体在种群内的比例和配置情况。研究种群的年龄结构和性别比例对深入分析种群动态和进行预测预报具有重要价值。

第四章第3节种群的增长模型

λ是种群离散增长模型中的重要参数， λ 〉 1，种群上升， λ =1，种群稳定，0< λ <1 ，种群下降， λ =0 雌体没有繁殖，种群在下一代灭亡。
2 种群连续增长模型
假定在很短的时间dt内种群的瞬时出生率为b, 死亡率为d, 种群大小为N，则种群增长率 r = b-d，它与密度无关。即： dN/dt = (b-d)N = rN 其积分式为：Nt = N0 ert ln Nt = lnN0 + rt
最大持续产量原理的前提假设：（1）一个恒定不变的环境和一条不变的补充量曲线（符合逻辑斯迪增长模型）；（2）忽略种群的年龄结构，不考虑存活率和繁殖力随年龄的变化
MSY的计算：在中等种群密度下，种群增加量最大，这是S-曲线的拐点，相当于N = K/2的水平，这时种群的增加量dN/dt 最大。将N = K/2代入逻辑斯谛方程式，得 d(K/2)/dt = rK/2 (1-K/2K) = rK/4。因此, MSY的估算公式为：MSY = rK/4
调节收获努力可以减少配额限制带来的潜在危险, 该方法即努力限制。因为一般来说，猎物种群数量减少后，收获者势必要增加收获努力来获取正在降低中的数量。在一定的收获努力条件下，收获量随种群大小而改变。
四、自然种群的数量变动
野外种群不可能长期地、连续地增长。只有在一种生物被引入或占据某些新栖息地后，才出现由少数个体开始而装满‘空’环境的种群增长。种群经过增长和建立后，既可出现不规则的或规则的（周期性的）波动，也可能较长期地保持相对稳定。许多种类有时会出现骤然的数量猛增，即大发生，随后又是大崩溃。有时种群数量会出现长时期的下降，称为衰落，甚至灭亡。
（b）草履虫
实际种群的增长。

种群的逻辑斯蒂增长模型

华南师范大学实验报告学生姓名学号专业年级、班级课程名称生态学实验实验项目种群的逻辑斯蒂增长模型实验类型验证 □设计□综合实验时间年月日实验指导老师实验评分种群的逻辑斯蒂增长模型1 实验目的1.1 了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用；1.2 学习种群密度的检测，种群增长模型的建立，参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术； 1.3 加深对逻辑斯蒂增长模型的特征及其模型中两个参数r 、k 的理解。

2 材料与方法2.1 材料与试剂草履虫、干稻草、鲁哥氏固定液2.2 实验仪器六孔培养皿、量筒、解剖镜、锥形瓶、烧杯、锥形瓶2.3 实验方法2.3.1 配制人工海水按表1配制30‰人工海水的人工海水，再将30‰人工海水加矿泉水稀释为20‰的人工海水。

表1 30‰人工海水配方（1升水）药品含量 NaCL 28.000g KCL 0.800g MgCl 2·6H 2O 25.000g CaCl 2·H 2O1.200g2.3.2 接种红色伪角毛虫在六孔平板中的两个孔滴加5ml20‰人工海水，两个孔滴加5ml30‰人工海水→做好标记→每孔分别放两粒米粒→分别在解剖镜中吸取50只红色伪角毛虫→常温下培养→实验开始的7天内，每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。

（每次计数至少重复3次）2.3.3 Logistic 增长模型的拟合种群在有限环境中的连续增长表现为Logistic 增长，其增长曲线呈S 型。

Logistic 增长数学模型为：）（K N K N N -r dt d =或）（KNN N -1r dt d = 式中：dtd N为种群的增长；N 为种群大小；t 为时间；r 为种群的瞬时增长率；K 为环境容纳量；）（KN-1为“剩余空间”。

因此，Logistic 模型的积分公式为：rt-a e 1+=KN式中：a 与初始数量0N 有关的常数；e 为自然对数的底。