简单迭代法流程图
迭代公式的建立ppt课件
0.4x2(k)
2
9
迭代计算
x(0) 0 [0, 0, 0]T
x(1) 1
0.3
x (1) 2
1.5
x1(k x2(k
1) 1)
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3
0.2x1(k )
0.1x3(k) 1.5
x3(k
1)
0.2x1(k )
将L+U= A - D代入
x(k1) D1b D1(D A) x(k ) (I D1A) x(k) D1b
写成
x(k1) Gx(k ) d
雅可比迭代矩阵
G I D1A
d D1b
27
雅可比迭代的矩阵形式为 x(k1) Gx(k) d
第五章 线性代数方程组的迭代法
5.1 迭代公式的建立 5.2 向量和矩阵的范数 5.3 迭代过程的收敛性
1
5.1 迭代公式的建立 设线性代数方程组
写成矩阵形式 Ax=b 其中
2
迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
基本思想：对给定的方程组 Ax b ，写成等价的形式
x Gx d
a x ( k 1) ij j j 1
n
a
ij
x
( j
k
)
)
j i 1
参数 称为松弛因子。
可以证明，为了保证迭代过程收敛，必须要求
0 2。
20
迭代-加速的形式
x ( k 1) i
(1 ) xi( k )
aii
( bi
迭代法
double F1(double x); //要求解的函数
double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0;
3．五只猴子一起摘了一堆桃子,因为太累了,它们商量决定,先睡一觉再分.一会其中的一只猴子来了,它见别的猴子没来,便将这堆桃子平均分成5份,结果多了一个,就将多的这个吃了,并拿走其中的一份.一会儿,第2只猴子来了,他不知道已经有一个同伴来过,还以为自己是第一个到的呢,于是将地上的桃子堆起来,再一次平均分成5份,发现也多了一个,同样吃了这1个,并拿走其中一份.接着来的第3,第4,第5只猴子都是这样做的.......,
}
double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数
{
return -sin(x) - 1;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
{
第三章 迭代法s4 解线性方程组的迭代法
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
( x1( k 1) (1 ) x1( k ) 1 x2k ) 2 ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) x2 (1 ) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( ( x3 (1 ) x3k ) 5 x2k 1) 2
( k ( k 在计算 xi( k 1) 时，如果用 x1 k1) ,, xi(11) 代替 x1 k ) ,, xi(1) ，则 可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22
解得
x
x ( k 1) (1 ) x ( k ) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
D L
1
1
(1 ) D U x
(k )
D L b
1
GS D L
Jacobi 迭代 x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b
M = D, N = M – A = -(L + U)
GS 迭代
x
( k 1)
L D Ux
1
(k )
C语言迭代法详细讲解
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。
2.2 迭代法
x k +1 = 3 x k + 1
计算结果如下: 计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
计算方法
k 0 1 2 3 4
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k 5 6 7 8
xk
1.32476 1.32473 1.32Байду номын сангаас72 1.32472
精确到小数点后五位
x = 1.32472
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
证: 由于 ϕ ′( x * ) = 0 * ′( x* ) < 1 , 即在 x 邻域 ϕ ϕ ( xk ) 在 x * 处 有局部收敛性, 所以 xk+1 = ϕ( xk ) 有局部收敛性, 将 泰勒展开
计算方法
一、迭代法的基本思想: 迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于 的根， 为求解非线性方程 的根 迭代的等价方程
x = ϕ ( x)
的连续函数。 其中ϕ ( x ) 为x的连续函数。 的连续函数
(2.3)
计算方法
即如果数 α 使 f(x)=0, 则也有 α = ϕ (α ) , 反之, 反之, 若α = ϕ (α ) ,则也有 f (α ) = 0 的右端, 任取一个初值 x ,代入式 x = ϕ ( x ) 的右端, 得到 0
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
第4章方程求根的迭代法.ppt.ppt
相应地可得到两个迭代公式
3 x x ( x ) k 1 1 k k 1 3 x ( x ) x 1 k 1 2 k k
如果取初始值 x 0 ＝1.5，用上述两个迭代公 式分别迭代，计算结果
3 （ 1 ） x 1 . 5 ， x , ( k 0 , 1 , 2 ,) . 0 k 1 x k1
仍平方收敛可将迭代法改为牛顿法不是平方收敛重根情形仍平方收敛用牛顿法得用上述三种方法求的二重根151458333333143660714314254976191514166666671414215686141421356215141176470614142114381414213562牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点但每迭代一次都要计算导数比较复杂时不仅每次计算带来很多不便而且还可能十分麻烦如果用不计算导数的迭代方法往往只有线性收敛的速度
条件
* ( x) 1 2 a 5 1
1 1 2 a5 1
2 2 a5 0
所以
1 5
a0
(x ) 已知方程 x 在 a, b内有根 x *,且在 a, b 上满足 ,利用 ( x) 构造一个迭代函数 g ( x) (x )31
*
* * ( x ) x 当
* (x ) L 1
x x*
,使成立
( x ) ( x ) ( )( x x )
*
故有
( x ) x L x x x x
* * *
x
( x k 1 k) 对于任意的 x 都收敛 由定理1知 x 0
k 0 1 2 3 4 5 6 7
xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
计算方法迭代法PPT课件
不动点原理(迭代过程收敛)
•定理3.1 (不动点原理) 设映射g(x)在[a,b]上有连 续的一阶导数且满足
1o 封闭性：x [a,b], g(x) [a,b] ,
2o 压缩性： L (0,1)使对x [a,b], |g'(x)|L,
则 在 [a,b] 上 存 在 唯 一 的 不 动 点 x* ， 且 对 x0
1 x j 1
g~mj 0 g~mj 0
x 1
G~
n g~mj
j 1
n g~mj x j
j 1
max
1in
n j 1
g~ij x j
G~x
第27页/共33页
Gauss-Seidel迭代收敛性证明
记 那么 存在k使得
，其中y迭代G矩~阵x y D1(Ly Ux)
G~ (L D)1U
x x(k ) k 0
第19页/共33页
2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代
• 例3.7
• 解：变形
1x01x1
x2 2x3 7.2 10x2 2x3 8.3
x1 x2 5x3 4.2
x1 x2
0.72 0.1x2 0.83 0.1x1
0.2x3 0.2x3
第24页/共33页
3 迭代的收敛性
• 定理3.4 设G的某种范数||G||<1，则x=Gx+f存在唯一解，且对任意初值，迭代序列 x(k)= Gx (k-1) + f
收敛于x*，进一步有误差估计式
k
x x G x x G • 证明思路：(1)解的存在唯一(k性) ; (2)解的收敛性;((3k))误差估(k计1式) (习题)。
方程求根的迭代法
§4.1 引 言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。
§4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。
迭代法求根分两步：1） 猜测初值 2）迭代如求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==用梯形公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ （1） 看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得)],(),([2)0(11)1(1+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 若)1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2)(11)1(1k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++= （2） 一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式()x x ϕ= （3）式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。
先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。
如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞→=lim *就是方程（3）的根。
几何意义P127图4-1为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'<=k x ϕ。
几何意义P127图4-2,3,4,5。
§4.1.3 压缩映像原理设*x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理 ))(()()(*'*1*k k k x x x x x x -=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得],[b a x ∈有()k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*1*'ϕ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。
迭代法—搜狗百科
迭代法—搜狗百科例1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 = 1 ，u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ，u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）对应 u n 和 u(n － 1），定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。
参考程序如下：clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend例 2 ：阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。
将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。
已知容器最多可以装阿米巴220,220个。
试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。
分析：根据题意，阿米巴每3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到45 分钟后充满容器，需要分裂45/3=15 次。
而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”，即阿米巴分裂15 次以后得到的个数是 2^20。
题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2^20 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。
第六章 迭代法 北京化工大学.
2.102599958448522 2.094749937881704 2.094556446501749 2.094551657513653 2.094551538972266 2.094551536038016
x=2.5 10 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 15 endif 15 x=2.5 goto 10 20 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) x=1.15*x+(1.0-1.15)*y if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 30 endif goto 20 30 end
简化牛顿法： 目的：避免计算迭代格式中的导数 f ( xk ) 方法：将牛顿迭代中导数取为某个定点的值，如 f ( x0 )， 按如下格式 迭代
f ( xk ) xk 1 xk f ( x0 ) ( f ( xk ) 0)
几何意义 如图
进一步，取任意常数 c 代替迭代公式中的导数值，迭代公式为
2 * k
3、插xk x xk 1 y xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
x xk x xk 1 x xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
xk 1 xk 1 xk 2 x xk 1 2 xk xk 1
x ( x) ，可以通过迭代求解。
定理： ( x) 满足下面条件时，为压缩映射：
（1）当 x [a, b] 时， ( x) [a, b]
（2）存在正数 L < 1，使得
x [a, b] , ( x) L 1
则方程在区间上有唯一解，且解可以用下面迭代得到。
简单迭代法
(1)当迭代函数(x)满足什么条件时，相应的迭代公式 xk+1=(xk)才收敛？
(2)当迭代收敛时，迭代值的误差如何估计？ 我们也不能无穷迭代下去，只能迭代有限次，所以需 要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代。
迭代格式有多种，如何选择迭代函数才能保证迭 代法的数列收敛？有如下定理：
计式，得：
x* xk
Lk 1 L
x1 x0
计算方法二③
16/32
注1：定理2.1给出了一个收敛的迭代数列{xk}的误差 估计式。利用它，在给定精度ε>0后，只要计算到
L 1 L
|
xk
xk 1
|
就有：|x*-xk|<ε
即：只要前后两次迭代值的差值足够小，就 可使近似值xk达到任意的精度要求。
计算方法二③
记 x3=(x2) 如此反复计算…… xk+1=(xk) ，(k=0,1,2,…)
8/32
当{xk}收敛于a，而(x)是连续函数时，那么a
就是所求方程的根x* 。这是因为
a
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
(a)
a即是(x)的不动点。 即：x*=a
一般地，我们称(x)为方程f(x)=0的迭代函数，上
述求根的方法，称为简单迭代法。
迭代函数(x)的构造方法是多种多样的。
计算方法二③
5/32
例1 用迭代法求方程x3-x-1=0在x=1. 5附近的根。 解：先将原方程改写为如下两种等价形式：
x=1(x) 3 x 1
第二章(1) 二分法与简单迭代法
定理2.1： f(x)在[a ,b]内连续，α 是方程f(x)在隔根区间[a ,b] 内的根，则由二分法产生的数列{xn}收敛于方程的根α ,且有 误差估计式 ba | xn | n ( n 0,1,)
2
控制误差ε常用的方法如下： (1)先计算对分次数再对分。由
ba ba 计算得 n l og2 2k
( x0 ,( x0 ))
0
x2
x1
x0
x
0
x0 x1
x2
x
数值分析
y p1 p0
y=x y=φ(x)
y p0
y=x
x x0 y x1 x* y=x y y=φ(x) p0 x0 x* y=φ(x)
p1 y=φ(x) x x1 y=x
p0 p1
x x0 x*
p1
x
数值分析
x1 x0 x*
例22求方程32190832基本思想二分法就是将方程的有根区间对分然后再选择比原来区间缩小一半的有根区间如此继续下去直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法
第二章 方程的近似解法
在科学技术的数学问题中，经常遇到求解一元函数方程 f(x)=0 (2.1) 的问题。 这里f(x)是单变量x 的函数，它可以是代数多项式
(1)描图法
画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位臵。也可将f(x)=0等价变形为g1(x)=g2(x)的 形式，y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在的 子区间即为含根区间。 例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。 将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与y=cosx 的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
第3节 简单迭代法
求
y x
分别就下列四种情况说明几何意义： 从点 p0 ( x0 , g( x0 )) 出发,作平行于x轴 的直线交y=x于点 ( g( x0 ), g( x0 )), 过该点 说明两点： { xk } 中 xk 的产生。 作平行于y 轴的直线交y =g(x)于点 (1) { xk } 何时收敛,何时发散。 p1 ( g( x0 ), g( g( x0 ))), 即 p1 ( x1 , g( x1 )). （2）
* x 0 x0 x1 x2 x g ( x ) 1 y=g(x)
g( x ) 1
*
* 0 x0 x2 x x1 p
0
x
p0 p1 x1 x0 x*
迭代法不收敛
x x0 x*
p1
y=g(x)
x
x1
定理 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]； ( II ) 0 L < 1 使得 | g’(x) | L < 1 对 x[a, b] 成立。 则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 x k 0 收 k 敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：
| xk 1 xk | | x * xk ( x * xk 1 ) | | x * xk | | x * xk 1 | | x * xk | L | x * xk | 可用 | xk 1 xk | 来 Lk 控制收敛精度 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk |
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * xk | | g( x*) g( xk 1 ) | | g(ξ k 1 ) | | x * xk 1 |