简单空间几何体的知识点汇总
(完整版)高中数学空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征1．柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。
（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
注：棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。
空间几何体知识点归纳总结（超详细）（精华版）
空间几何体一：棱柱1，定义有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做“棱柱”2，分类斜棱柱棱柱；正棱柱（侧棱垂直于底）其他棱柱面，且底面是正多边形）直棱柱（侧棱与底面垂直3，底面：两个可以重合的多边形4，侧面：平行四边形5，侧面积6，表面积7，体积二：棱锥1，“棱锥”定义有一个面是多边形，锥；2，分类“正棱锥”定义其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱假如一个棱锥的底面是正多边形，棱锥；否就它是斜棱锥；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正PCOBAD三：棱台1，“棱台”定义用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台；2，分类“正棱台”定义由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积留意：棱台常常补成棱锥讨论四：圆柱1，定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫“圆柱”；五：圆锥1，定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， “圆锥”；该直角边叫圆锥的轴； 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做六：圆台1，定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做“圆台” 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积；七：空间几何体的体积与表面积 1，多面体的面积和体积公式名称 侧面积 (S 侧 ) 全面积 (S 全)体 积 (V)S 底 ·h=S 直截面 ·h 棱柱直截面周长 ×l棱 柱S 侧+2S 底S 底 ·h直棱柱 ch 棱锥 各侧面积之和棱 锥1 底 ·hS 3S 侧+S 12底正棱锥 ch ′ 棱台 各侧面面积之和1 棱 台上底 +S 下底 + h(S 3)侧+S 上底 +S 下底1 2S S 下S 下正棱台(c+c ′h )′表中 S 表示面积， c ′， c 分别表示上，下底面周长， h 表示高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长；2，旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球2πrl πrl π(r1+r2)lS 侧222 2πr(l+r ) πr(l +r ) π(r1+r 2)l+π(r 1+r 2)4πR S 全1 31343222322πr hπh(r 1+r1r 2+r 2)πR πr h( 即πr l)V表中l ，h 分别表示母线，高，r 表示圆柱，圆锥与球冠的底半径，r 1，r 2 分别表示圆台上，下底面半径，R表示半径；八：空间几何体的三视图与直观图1，正视图光线从几何体的前面对后面正投影，得到投影图；2，侧视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；3，俯视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；九，“斜二测”画法.正六面形的斜二测画法示意图xoy 901：在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，（即取）；o ' x ', o' y' ，取x ' o' y ' 45 (or135 ) ，它们确定的平2：画直观图时，把它画成对应的轴面表示水平平面；x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于3：在坐标系x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半；24结论：一般地，采纳斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.。
空间几何体知识点
空间几何体知识点空间几何体是数学中一个重要的概念，它描述了我们所处的三维空间中的物体形状和结构。
在日常生活中，我们经常接触到各种不同的空间几何体，比如立方体、圆柱体、球体等等。
在本文中，我将为大家介绍一些常见的空间几何体的知识点，希望可以帮助大家更好地理解和应用这些概念。
一、点、线、面点、线、面是空间几何体的基本要素。
点是空间中的最简单的对象，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
线是由无穷多个点组成的，它具有长度但没有宽度和高度。
面是由无穷多条线组成的，它具有长度和宽度但没有高度。
点、线、面是构成空间几何体的基础，它们是我们研究和描述空间中物体形状和结构的起点。
二、立方体立方体是一种常见的空间几何体，它具有六个面、八个顶点和十二条边。
每个面都是一个正方形，而且它们之间相互垂直。
立方体的特点是所有的面都是相等的，角度是直角。
立方体在日常生活中的应用非常广泛，比如盒子、冰箱等都是立方体的例子。
我们可以通过计算立方体的体积和表面积来研究它的特性和性质。
三、圆柱体圆柱体是由两个平行的圆底面和连结两个底面的曲面组成的。
它具有三个面、两个底面、一个侧面、两个顶点和一个轴线。
圆柱体的特点是顶面和底面都是圆形的，且相互平行。
圆柱体也是我们日常生活中常见的物体，比如水杯、筒形笔筒等。
通过计算圆柱体的体积和表面积，我们可以了解到它的容量和外部包裹面积。
四、球体球体是由无穷多个离一个固定点距离相等的点所组成的。
球体具有一个表面、一个中心以及无数个半径。
球体的特点是任意两点之间的距离都等于半径的长度，表面上任意一点与中心点的连线都与表面相切成直角。
在日常生活中，我们经常使用球体的概念来描述球、篮球、地球等物体。
球体的体积和表面积计算方法与其他几何体略有不同，但同样可以帮助我们了解球体的性质和特性。
通过以上的介绍，我们可以看到空间几何体在我们生活中的重要性和常见性。
它们不仅仅是数学中的概念和定义，更是我们日常生活中的实际对象和工具。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
空间立体几何知识点归纳
第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图投影：中心投影 平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
《空间几何体》基础的知识点
《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其 中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。
空间几何体知识点归纳及基础练习
空间几何体知识点归纳及基础练习It was last revised on January 2, 2021第一章空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底 ③台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（ ④球体的体积343V R π= 二、巩固练习： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；222r rl S ππ+=正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，故选D.答案：D2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )A ．角的水平放置的直观图不一定是角B ．相等的角在直观图中仍然相等C ．相等的线段在直观图中仍然相等D ．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B 、C ，故选D.3．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）B倍 B.42倍 C.22倍 D.21倍 4．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（ B ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:275．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为（ B ）A ．π12B ．π24C ．π36D ．π486）（A ） 圆锥 (B)棱柱 （C ）圆柱 (D)棱锥答案 C.7．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的 正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为A ．π3B ．π2C ．π23D ．π4 答案 C. 8．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ A ）A. 3B. 23C. 33D. 439．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ B ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对10.三角形ABC 中，AB=32，BC=4，︒=∠120ABC ，现将三角形ABC 绕BC 旋转一周，所得简单组合体的体积为（ ）CA ．π4 B.π)34(3+ π D.π)34(+11．下图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为( D )A.15πB.18πC.22πD.33π 12．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( B ) A ．32 B ．16162+ C ．48D ．16322+13．设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为主视图俯视图左视图侧(左)视图4 4 正(主)视图 212题（ C ）A ．π38B ．2πC ．4πD ．π34 14．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的表面积为 ( ) D A .π7 B .π14 C .π21 D .π2815．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。
空间几何体(知识点汇总)大全
数学必修（2）第一章《空间几何体》1．空间几何体的类型（1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
（2）旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
2.几种空间几何体的结构特征（1）棱柱的结构特征①棱柱的定义：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五图1-1 棱柱棱柱……②棱柱的分类③棱柱的性质<1>侧棱都相等，侧面是平行四边形；<2>两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；<3>过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；<4>直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
④长方体的性质长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12⑤正棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
⑥棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧面= c·h (c为底面周长，h为棱柱的高)S直棱柱全= c·h+ 2S底V棱柱= S底·h（2）圆柱的结构特征①圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
图1-3 圆柱②圆柱的性质<1>上、下底及平行于底面的截面都是等圆；<2>过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
空间几何体知识点
空间几何体知识点一、知识概述《空间几何体知识点》①基本定义：空间几何体呢，说白了就是在空间里由一些面啊或者线啊啥的围成的形状。
像我们常见的正方体、球体、圆柱体之类的都是空间几何体。
正方体有六个正方形的面，每个顶点都连接着三条棱；球体就像个超级圆的球，表面上每一点到球心的距离都相等；圆柱体有两个底面是一样大的圆，侧面是个长方形卷起来的样子。
②重要程度：在几何这个学科里，空间几何体可是基础中的基础。
往后学的好多几何知识都是建立在对空间几何体的认识和理解之上的。
就好比建房子，空间几何体就是那些一块块的砖头，要是砖头都不认识，房子可就没法好好建了。
③前置知识：那在学空间几何体之前呢，得先对平面图形有点基础了解，像长方形、三角形、圆这些。
你想啊，如果连平面的图形都搞不清楚，又怎么能明白由这些平面图形组合或者变形变成的空间几何体呢。
④应用价值：实际应用可不少呢。
在建筑领域，很多建筑的设计形状都是空间几何体的变形或者组合。
像鸟巢体育场，就有点像个扭曲的正方体；还有水立方，有点像个很规则的长方体和一些特殊几何体的组合。
在工业制造上，一些容器的设计也和空间几何体有关，比如装油的圆柱罐子。
二、知识体系①知识图谱：空间几何体在几何学科里就像树根一样，其他很多知识像解析几何、立体几何计算之类的都是从这儿长出去的枝叶。
它往上能和立体几何证明、计算联系起来，往下与平面几何的一些知识也有千丝万缕的关系。
②关联知识：它和角度的知识有关系啊。
比如说正方体的各个面之间的夹角，还有棱之间的夹角等。
跟面积体积计算也联系紧密，要计算空间几何体的体积和表面积就得知道它的形状特点。
和投影知识也有关，从不同方向投影一个空间几何体就会得到不同的平面图形。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，空间想象能力是个难点。
很多同学刚学的时候，在脑海里很难构造出那些几何体的样子。
像那种斜着切正方体得到的截面形状，就很难想象。
- 关键点：得抓住各个几何体的特征，就是那些区别于其他几何体的地方。
空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结一、点、线、面的基本概念点是空间中最基本的几何概念，没有长度、宽度和高度，只有位置；线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度；面是由无数个线连成的，具有长度和宽度但没有高度。
二、空间几何体的分类1. 点：一个点在空间中没有长度、宽度和高度，只有位置。
点是空间中最基本的几何概念，可以用一个大写字母表示，如A、B、C等。
2. 线：线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。
直线是两个方向相同的无穷远的点连成的，可以用一条直线符号表示。
线段是两个有限点连成的，可以用两个点的大写字母表示。
3. 面：面是由无数个线连成的，具有长度和宽度但没有高度。
平面是一个无限大的二维空间，可以用一个大写字母表示，如P、Q、R等。
多边形是由多条线段连成的，可以用多个点的大写字母表示。
4. 体：体是由无数个面连成的，具有长度、宽度和高度。
立体是一个有限的三维空间，可以用一个大写字母表示，如S、T、U等。
多面体是由多个面组成的，可以用多个面的大写字母表示。
三、常见的空间几何体1. 点：点是最基本的几何体，没有长度、宽度和高度，只有位置。
在空间中，我们可以找到无数个点。
2. 线：线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。
直线是两个方向相同的无穷远的点连成的，可以用一条直线符号表示。
线段是两个有限点连成的，可以用两个点的大写字母表示。
3. 面：面是由无数个线连成的，具有长度和宽度但没有高度。
平面是一个无限大的二维空间，可以用一个大写字母表示，如P、Q、R等。
多边形是由多条线段连成的，可以用多个点的大写字母表示。
4. 体：体是由无数个面连成的，具有长度、宽度和高度。
立体是一个有限的三维空间，可以用一个大写字母表示，如S、T、U等。
多面体是由多个面组成的，可以用多个面的大写字母表示。
四、空间几何体的性质1. 点：点没有长度、宽度和高度，只有位置。
点之间可以比较距离和位置关系，如相等、相邻等。
2. 线：线具有长度但没有宽度和高度。
空间立体几何知识点
空间立体几何知识点1. 空间几何基础- 点、线、面在空间中的关系- 空间直角坐标系- 向量的概念与运算- 向量的加法、数乘、向量积（叉乘）、点积（内积） - 向量的模、方向余弦、单位向量- 向量方程及其应用2. 平面与直线- 平面的方程- 点法式方程- 一般式方程- 截距式方程- 直线的方程- 点向式方程- 两点式方程- 一般式方程- 投影与斜线- 平面与直线的关系- 平面内直线的方程- 平面与直线的交点- 平面与直线的夹角- 直线与直线的关系- 异面直线- 相交直线- 平行直线3. 多面体- 多面体的定义与分类- 棱柱、棱锥的结构与性质- 多面体的表面积与体积计算- 正多面体- 正四面体- 正六面体- 正十二面体、正二十面体4. 旋转体- 旋转体的定义与分类- 圆柱、圆锥、圆台的结构与性质 - 球的结构与性质- 旋转体的表面积与体积计算5. 空间曲线- 空间曲线的方程- 空间曲线的参数方程- 空间曲线的切线与法线- 螺旋线的性质与方程6. 坐标系变换与二次曲面- 坐标变换- 旋转变换- 平移变换- 二次曲面的一般方程- 常见二次曲面- 椭球面- 抛物面- 双曲面- 椭圆锥面7. 空间几何的度量- 空间中的距离公式- 点到直线、点到平面的距离- 直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的距离- 空间角的计算- 两条直线间的夹角- 直线与平面的夹角- 两个平面间的夹角8. 空间几何的应用- 空间几何在建筑学中的应用- 空间几何在工程学中的应用- 空间几何在物理学中的应用- 空间几何在计算机图形学中的应用以上是空间立体几何的主要知识点概述。
在实际应用中，这些知识点需要通过具体的数学公式和图形来深入理解和掌握。
教学时，通常会结合图形演示、实际测量和计算练习来加深学生对空间立体几何概念的理解。
在解决具体问题时，还需要运用逻辑推理和空间想象能力，以及熟练掌握相关的数学工具和计算方法。
第一章空间几何体知识点总结
第一章 空间几何体一、圆锥、圆台侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是扇环二、球体球体的几何特征：①球的截面是圆② 球面上任意一点到球心的距离等于球的半径 ③如图，用一个平面截球，球心到此平面的距离为22R d r -=几何体的外接球、内切球的几个常用结论：①长方体的外接球直径是长方体的对角线 ②正四面体的外接球的半径是正四面体高的43；内切球的半径是正四面体高的41 三、空间几何体的三视图三视图遵循基本特征：长对正，高平齐，宽相等四、空间几何体直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x '平行且长度不变②原来与y 轴平行的线段仍然与y '平行，长度为原来的一半 ③原来与z 轴平行的线段仍然与z '平行且长度不变 42s s =原图形直观图 五、空间几何体的表面积和体积 表面积：几何体的表面积为几何体各个面的面积之和 圆柱：rl ππ2r 2s s 2s 2+=+=侧底表圆锥： l r s s s r 2ππ+=+=侧面底面表圆台：)''(''r s s s s 2222rl l r r r rl l r r +++=+++=++=πππππ侧下底上底表 锥台柱s s r 0'r 'r s ==→←体积：h s v =柱 （s 为底面积，h 为柱体的高）sh 31v =锥 （s 为底面积，h 为锥体的高） h s ss ）（台''s 31v ++= （s ’,s 分别为上、下底面积，h 为台体的高）锥台柱v v v 0s's'→←==s球体： 334v R π=球 24R s π=球面。
【知识点全扫描 立体几何篇】知识点1 简单空间几何体的几何特征
【知识全扫描：立体几何篇】知识点1 认识简单的空间几何体1.【空间几何体】(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. (2)多面体与旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.旋转体：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
2.【几种常见的多面体】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多如图可记作：棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多如图可记作， 棱锥S －ABCD底面公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之如图可记作：棱台 ABCD －A ′B ′C ′D ′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上共顶点3.【棱柱、棱锥、棱台的关系】在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).4.【各种棱柱之间的关系】 （1）棱柱的分类⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧面）斜棱柱（侧棱不垂直底一般的直棱柱形）正棱柱（底面是正多边）直棱柱（侧棱垂直底面棱柱 （2）常见的几种四棱柱之间的转化关系(3)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：【温馨提醒】正四面体是所有棱长相等的特殊的正三棱锥。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
5.【旋转体】(1)圆柱①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.②相关概念(图1)③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.(2)圆锥①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.②相关概念(图2)③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②相关概念(图3)③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.(4)球①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.②相关概念(图4)③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.（5）圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.6.【简单组合体】(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.【典型题型】【探索1】空间几何体的辨别【例1-1】(1)下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.【练习1-1】下列几何体是台体的是()【解析】台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C 是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.【练习1-2】如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度（倾斜角度较小），则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.【解析】由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.【练习1-3】直角梯形ABCD如图所示，以DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．【解析】以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．【探索2】空间几何体概念特征的理解【例1-2】下列说法正确的有________(填序号).①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面.【解析】棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.【答案】①②④⑤【练习1-4】判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解】(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.【探索3】简单几何体的相关元素问题【例1-3】在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A.20B.15C.12D.10【解析】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.【答案】D【练习1-5】过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是()A.有且只有一个B.一个或无穷多个C.无数个D.以上均不正确【解析】当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.【答案】 B【探索4】球的相关问题【例1-4】（1）在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25πcm2，求球心到截面的距离.【解】设截面圆半径为r cm，∵πr2＝25π，∴r＝5(cm).设球心到截面的距离为d cm，球的半径为R cm，则d＝R2－r2＝132－52＝12(cm).故球心到截面的距离为12 cm.（2） 一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求： ①圆台的高；②截得此圆台的圆锥的母线长.【解】如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm ，截得该圆台的圆锥的母线为x cm ，由条件可得圆台上底半径r ′＝2 cm ，下底半径r ＝5 cm.①由勾股定理得h ＝122－（5－2）2＝315(cm). ②由三角形相似得：x －12x ＝25，解得x ＝20(cm).答：圆台的高为315 cm ，截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.【练习1-6】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.0.5 【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3. 【探索5】空间与平面的转化【例1-5】某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )【解析】两个☆不能并列相邻，B 、D 错误；两个※不能并列相邻，C 错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.【答案】A【练习1-7】如图，在4×3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗？【解】【探索6】空间几何体画一画【例1-6】画出一个三棱柱和一个四棱台．【解析】(1)画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线)．(2)画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线)．【反思】在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线．在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线．作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确．【练习1-8】画一个六面体．(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是由两个三棱锥组成；(3)使它是五棱锥．【解析】如图所示：图1是一个四棱柱，图2是一个由两个三棱锥组成的几何体，图3是一个五棱锥．【练习1-9】画一个圆锥.【解析】如图①先画一个椭圆（表示底面圆面），里面的弧画成虚线，。
简单空间几何体的知识点汇总
1
V台
(S 3
SS S )h
侧面展开图是矩形 侧面展开图是扇形
S柱侧 ch
= 2 rl
1
S锥侧
ch 2
= rl
S S底 S侧 S 2 r (r l )
V圆柱 Sh r 2h
S S底 S侧 S r (r l )
V圆锥
1 r2h 3
1
侧面展开图是扇 形 S台侧
(c c )h
2
的部分
= (r r )l
S S底 S侧
一顶点，一相等，一个底面 ①有无数条母线，长度相等且交于顶 点； ②底面为圆面。
基本量
①底面边长 ②侧棱 ③高 ④斜高 ①底面边长 ②侧棱 ③高 ④斜高
①底面边长 ②侧棱 ③高 ④斜高
①底面半径 ②母线 ③高
①底面半径 ②母线 ③高（轴）
①底面；
圆 ②轴；
台 ③侧面；
④母线。
一个顶点，一相等，一个平行且相似 ①无数条母线，长度相等且交于一点； ②上下底面互相平行且为不等的圆。
①底面半径 ②母线 ③高（轴）
①球心； ②半径；
球 ③直径；
④大圆； ⑤小圆。
①半径
基本图形
①平等四边形 ②矩形 ③直角三角形
①三角形 ②等腰三角形 ③直角三角形
①梯形 ②直角梯形 ③等腰梯形 ④直角三角形 ①圆 ②矩形 ③直角三角形
①圆 ②等腰三角形 ③直角三角形
①圆 ②直角梯形 ③等腰梯形 ④直角三角形
①圆 ②矩形 ③直角三角形
侧面展开图
① 一般棱柱侧面展 开图是平行四边形； ②直 棱柱的侧面展 开图是矩形。
侧面积公式
S侧 ch
共顶点的多个三角 形的拼接
1 S侧 ch
空间几何体知识归纳
一、几何图形的识读与描绘1．现实生活中接触到的各种物体，大多是由柱、锥、台、球形状的物体组成，我们研究空间几何体，不仅要了解其结构，从复杂的几何体中分解出我们熟悉的简单几何体，而且要画出三视图和直观图，定量研究需要计算的面积和体积．通过侧面展开，计算空间几何体表面积，体现出转化的思想．由空间几何体画出其三视图和直观图，或由三视图和直观图想象出空间几何体，两者之间相互转化，可以培养我们几何直观能力、空间想象能力．2．图形的画法几何图形主要有三种画法：一是斜二测画法，二是三视图画法，三是中心投影法．(1)斜二测画法主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．(2)三视图画法它包括正视图、侧视图，俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．(3)中心投影法一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影．立体几何中的图形很少用中心投影画法．画效果图时，主要用中心投影画法．识画图形是立体几何的一项重要基本功．通过本章的学习，要能够熟练进行三视图、直观图和实物的相互转化，熟练识读图形和画出图形．[例1]一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图(不写画法)，并求其表面积．[例2] 一个不透明的正四面体物体被一束垂直于桌面的平行光线照射，则此正四面体在桌面上的正投影可能是下列的__________．(要求把可能图形的序号都填上)①正三角形 ②正方形③等腰梯形 ④对角线不相等的菱形二、柱、锥、台、球的表面积与体积1．①棱柱的所有侧面面积的和为棱柱的侧面积，侧面积与两底面积的和为棱柱的表面积，特别地S 直棱柱侧＝ch (其中c 、h 分别为直棱柱的底面周长和高)S 正n 棱柱侧＝nah (a 、h 分别为正n 棱柱的底面边长和高)②圆柱的侧面积S 圆柱侧＝2πrl ，表面积S 表＝2πr (r ＋l )(其中r 、l 分别为圆柱底面半径和母线长)③柱体的体积V ＝sh (其中s 、h 分别为柱体的底面积和高)V 圆柱＝πr 2h (r 、h 分别为圆柱底面半径和高)2．①棱锥的所有侧面面积的和为棱锥的侧面积，棱锥的侧面积与底面积的和为棱锥的表面积．S 正n 棱锥侧＝12nah ′(其中a 、h ′分别为棱锥的底面边长和侧面等腰三角形的高(即斜高)) ②S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(其中r 、l 分别为圆锥底面半径和母线长)③V 锥＝13Sh (其中S 、h 分别为锥体底面面积和高) V 圆锥＝13πr 2h (其中r 、h 分别为圆锥底面半径和高) 3．①棱台可视作棱锥用平行于底面的截面截得的．棱台的表面积等于两底面积与侧面积的和．②S 正n 棱台侧＝12n (a ′＋a )h ′＝12(c ＋c ′)h ′(其中a ′、a 、h ′、c ′、c 分别为正棱台两底面边长．斜高和两底面的周长)③S 圆台侧＝π(R ＋r )l ，S 圆台表＝π(R 2＋Rl ＋rl ＋r 2)(其中R 、r 、l 分别为圆台两底面半径和母线长)④V 台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)(其中S 、S ′、h 分别为台体的上、下底面积和高) ⑤V 圆台＝13πh (r 2＋rR ＋R 2)(其中r 、R 、h 分别为圆台两底面半径和高) 4．①球的表面积S 球＝4πR 2②球的体积V 球＝43πR 3(其中R 为球半径) 5．①计算空间几何体的侧面积(或表面积)一般采用侧(或表)面展开的方法．②空间几何体的体积计算的基本原理即理论基础是祖暅原理，要特别注意．等底等高的三角形(平行四边形)的面积相等；等底面积、等高的两个柱体(锥体)的体积相等．一切几何体的面积、体积计算都以熟记常见简单几何体(即柱、锥、台、球)的面积、体积公式为基础，记熟公式是解题的前提．[例3] 如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？三、折、展、卷、转、割补、等积变换是立体几何解决问题的特有技巧、方法和题型．应细细揣摩体会、把握．[例4] (1)把边长为6π和4π的矩形卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为________．(2)把半径为2的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的体积为________．[例5] 圆柱形钢锭的轴截面是边长为5m 的正方形ABCD ，从A 到C 拉一条绳子，则最短绳长为( )A ．10m B.52π2＋4m C ．52m D ．5π2＋1m[例6] 如图，一扇形半径为4，中心角为240°，沿实线AB 、BC 、CD 、DA ′将阴影部分剪去，再沿虚线折成一个四棱锥O －ABCD ，则四棱锥的体积为________．[例7]一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥容器内取出后，圆锥容器内水面的高是多少？[例8]把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正方体的体积．[解析]设熔制后的大铜球半径为r，4 3π(33＋43＋53)＝43πr3，∴r＝6(cm)，据题意：此正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体对角线的长，故正方体的棱长a＝2r3＝123＝43(cm)．∴V正方体＝a3＝(43)3＝1923(cm3)．。
高中数学立体几何知识点
高中数学立体几何知识点（大全）一、【空间几何体结构】1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。
2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。
棱柱(1)：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。
底面是几边形就叫做几棱柱。
(2)：棱柱中除底面的各个面。
(3)：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
(4)：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。
如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱(1)：旋转轴叫做圆柱的轴。
(2)：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。
(3)：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。
(4)：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O（注：棱柱与圆柱统称为柱体）5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥(1)：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。
(2)：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。
(3)：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
(4)：作为旋转轴的直角边与斜边的交点。
(5)：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。
圆锥可以用它的轴来表示。
如：圆锥SO（注：棱锥与圆锥统称为锥体）二、【棱台和圆台的结构特征】1.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。
棱台(1)：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
空间几何体 - 简单 - 讲义
空间几何体知识讲解一、构成空间几何体的基本元素1.几何体的概念概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C L ，，来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l L ，，或用直线上两个点AB PQ L ，表示； 一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；DCBAα其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγL ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．二、多面体的结构特征1.多面体1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2.棱柱1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．D C BAHA 'D 'B 'C'2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体3.棱锥1）棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．对角面SACE高侧棱侧面底面ABCDEHSDCBA3）棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．4.棱台1）棱台的定义棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．HH'O'OC'B'A'CBA右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．三、旋转体的结构与特征1.圆柱、圆锥和圆台定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．SOO'OAA'A2.球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．四、三视图1.投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMlF 'M '2.平行投影定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3.正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．4.中心投影定义：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．5.三视图1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）.2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）.3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图.将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图主视图5.三视图的对应关系关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．五、直观图1.定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法2.斜二测画法规则1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） 2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 3）已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．五、简单空间几何体的表面积和体积1.直棱柱与圆柱的侧面积()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；4.球面面积：24πS R =球，R 为球的半径．5.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7.台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =+台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8.球的体积公式：34π3V R 球，R 为球的半径典型例题一．选择题（共8小题）1．（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．2．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．3．（2018•郑州一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．4．（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C． D．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．5．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．6．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．7．（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．8．（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．二．填空题（共4小题）9．（2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．10．（2011•南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为11．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．12．（2015•盐城校级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．【解答】解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．三．解答题（共3小题）13．（1965•全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．【解答】解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为2a．底面边长为a，故底面积，棱锥的高，故正六棱锥的体积，，=．14．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．【解答】解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，∴外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则，∴r=a∴表面积为4πr2=．15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．【解答】解：（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，由各个侧面都是矩形，得出侧棱垂直于底面，是直棱柱；所以这样的几何体是正六棱柱；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形，这样的几何体是正四棱锥．。
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③侧面；
④母线；
⑤顶点。
一顶点，一相等，一个底面
①有无数条母线，长度相等且交于顶点；
②底面为圆面。
①底面半径
②母线
③高（轴）
①圆
②等腰三角形
③直角三角形
侧面展开图是扇形
=
圆
台
①底面；
②轴；
③侧面；
④母线。
一个顶点，一相等，一个平行且相似
①无数条母线，长度相等且交于一点；
②上下底面互相平行且为不等的圆。
②侧面；
③侧棱；
④顶点。
一顶点、一多边形，多三角形。
①仅有一顶点，它是各侧面的公共点。
②有一个面是多边形；
③其余各面（侧面）是共顶点的三角形。
①底面边长
②侧棱
③高
④斜高
①三角形
②等腰三角形
③直角三角形
共顶点的多个三角形的拼接
棱
台
①底面；
②侧面；
③侧棱；
④顶点；
一顶点，一平行且相似
①各侧棱延长交于一点；
①底面半径
②母线
③高（轴）
①圆
②直角梯形
③等腰梯形
④直角三角形
侧面展开图是扇形的部分
=
球
①球心；
②半径；
③直径；
④大圆；
⑤小圆。
①半径
①圆
②矩形
③直角三角形
无侧面展开图
一、简单空间几何体的知识点汇总
类型
组成
结构特征
基本量
基本图形
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
体积公式
棱
柱
①底（面）；
②侧面；
③侧棱；
④顶点。
两平行、两相等。
①两个底面的对应边平行且相等；
②所有侧棱平行且相等。
①底面边长
②侧棱
③高
④斜高
①平等四边形
②矩形
③直角三角形
①一般棱柱侧面展开图是平行四边形；
②直棱柱的侧面展开图是矩形。
棱
锥
①底（面）；
②两个底面的对应边平行，上下底面相似；
①底面边长
②侧棱
③高
④斜高
①梯形
②直角梯形
③等腰梯形
④直角三角形
共顶点的多个ห้องสมุดไป่ตู้形的拼接
圆
柱
①轴；
②底面；
③侧面；
④母线。
两平行、两相等。
①两个底面平行且为等圆；
②有无数条母线，长度相等且平行；
①底面半径
②母线
③高
①圆
②矩形
③直角三角形
侧面展开图是矩形
=
圆
锥
①轴；