高中数学 1.1.4 投影与直观图2教案 北师大版必修2
高中数学 第1章 立体几何初步2直观图同步教学案 北师大版必修2
高中数学第1章立体几何初步2直观图同步教学案北师大版必修2【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．一、选择题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有( )A．①② B．①④ C．③④ D．①③④2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )A．等腰梯形 B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2二、填空题7．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题10．如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．能力提升12．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．§2直观图答案作业设计1．B [由斜二测画法的规则判断．] 2．B 3．A [根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形， OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．]4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．] 5．C6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．]图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A′C′＝3，BC ＝2B′C′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ．在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm ．(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．11．解 先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a ．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a ．∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2． 12．解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形ABCD 中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2， AC ＝A′C′＝2，∴S 四边形ABCD ＝AC·AD＝22．。
人教版数学高一B版必修2学案 1.1.4 投影与直观图
1.1.4投影与直观图学习目标：1.了解投影的概念．(重点) 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点) 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)[自主预习·探新知]1．投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．(2)投影线：光线．(3)投影面：留下影子的屏幕．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()[解析]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.]图1-1-463．如图1-1-46所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC的形状是________.【导学号：90662033】[解析]因为A′B′∥y′轴，A′C′在x轴上，所以原图中AB⊥AC，所以△ABC 是直角三角形．[答案]直角三角形[合作探究·攻重难]画平面图形的直观图按图1-1-47的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．图1-1-47[思路探究]按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．[规律方法]1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[跟踪训练]1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1-1-48所示．图1-1-48[解]画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.①②(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【导学号：90662034】[思路探究]画轴→画底面→画顶点→成图[解]画法：(1)画轴：①②画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.[规律方法]1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．直观图的还原和计算问题[探究问题]1．如图1-1-49，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？图1-1-49[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？[提示]原三角形面积为S＝12a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝12h·sin 45°＝24h，S′＝12a′·h′＝12a·24h＝24×12a·h＝24S.如图1-1-50所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.【导学号：90662035】图1-1-50[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．母题探究：1.如图1-1-51所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．图1-1-51[解析]如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．＝23C由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3， 直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.[规律方法] (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S .1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]2．如图1-1-53所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()【导学号：90662036】图1-1-53A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形D[因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．]3．如图1-1-54所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．图1-1-54[解析]画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为2 2.[答案]2 24．如图1-1-55所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.【导学号：90662037】图1-1-55[解析]由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB ＝12OA·OB＝6.[答案] 65．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．[解](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝34cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．。
人教版高中必修2(B版)1.1.4投影与直观图教学设计
人教版高中必修2(B版)1.1.4投影与直观图教学设计一、教学目标1.了解画直观图的方法。
2.掌握投影与图形的关系，熟练掌握投影的绘制方法。
3.能够应用所学知识识别图形的种类、大小、形态等特征。
二、教学重点1.投影的绘制方法。
2.图形的种类、大小、形态等特征的识别。
三、教学难点1.投影与直观图的联系、区别。
2.多图形的组合绘制。
四、教学过程1.导入（约5分钟）通过展示投影和直观图的样例，引出本次课程的主题。
2.讲解（约10分钟）通过投影，我们可以将一个三维立体图形在二维平面上表示出来。
这种绘制方法有助于我们更好地观察和认识图形。
而直观图，则是应用这些绘制方法，把三维立体图形的特征表现在二维平面上。
我们可以在实际生活中看到很多具有投影和直观图特征的图形。
3.练习（约35分钟）练习1请在黑板上绘制一个简单的图形，让学生通过投影的方法，画出这个图形的相对位置和形态。
如果学生不是很熟悉投影的绘制方法，可以提供一些指导，但要鼓励他们自己动手尝试。
练习2请学生在自己的作业本上，运用所学绘制出以形的投影和直观图：图形1图形24.总结（约5分钟）让学生展示自己绘制的投影和直观图，并对他们的作品进行点评和指导。
五、作业请学生在作业本上完成以下题目：1.绘制出三个图形的投影和直观图。
2.在家里观察实际生活中的一些具有投影和直观图特征的图形，并写下自己的观察和感受。
六、教学反思本节课以绘制投影和直观图为主要内容，是一节比较实践性的课程。
通过练习，学生能够更好地掌握投影的绘制方法，同时了解到不同种类的图形有着不同的投影特征。
作业的布置能够帮助学生进一步巩固练习成果，并多接触实际生活中的场景，增强对课程内容的理解和应用。
在教学中，我注重培养学生的动手实践能力，重视学习过程中的互动和师生互动，在引导学生掌握知识的同时，激发他们的学习热情和主动性。
高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图教案新人教B版必修2
投影与直观图示范教案整体设计教学分析在教学中，要引导学生体会画水平放置多边形直观图关键是确定多边形顶点位置．因为多边形顶点位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图画法可以归结为确定点位置画法．而在平面上确定点位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点坐标就可以确定点位置．因此，画水平放置平面直角坐标系应当是学生首先要掌握方法．值得注意是直观图教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影以下图形还是中心投影以下图形．三维目标1．通过用斜二测画法画水平放置平面图形与空间几何体直观图，提高学生识图与画图能力，培养探究精神与意识，以及转化与化归数学思想方法．2．了解平行投影与中心投影性质，提高实践能力．重点难点教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图．教学难点：将直观图复原为实物图．课时安排教学过程导入新课设计1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要局部位置关系与度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图．设计2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图直观性较差，因此绘制物体直观图一般采用斜投影或中心投影．中心投影虽然可以显示空间图形直观形象，但作图方法比拟复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影方法来画空间图形直观图．把空间图形画在纸上，是要用一个平面图形来表示空间图形，这样表达不是空间图形真实形状，而是它直观图．推进新课新知探究提出问题1阅读教材，什么是平行投影？2平行投影有什么性质？讨论结果：(1)图形F，直线l与平面α相交(以下图)．过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，那么点M′叫做点M在平面α内关于直线l平行投影(或象)．如果图形F上所有点在平面α内关于直线l平行投影构成图形F′，那么F′叫做图形F在α内关于直线l平行投影．平面α叫做投射面，l叫做投射线．(2)当图形中直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性①直线或线段平行投影仍是直线或线段；②平行直线平行投影是平行或重合直线；③平行于投射面线段，它投影与这条线段平行且等长；如左上图中，A′B′AB，C′D′CD.④与投射面平行平面图形，它投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影比等于这两条线段比(右上图)．事实上，如果线段AB在平面α内关于直线l平行投影是A′B′(右上图)，点M在AB上，且AM∶MB＝m∶n，那么点M平行投影M′在A′B′上，由初中所学知识可以得出A′M′∶M′B′＝m∶n.提出问题1如何用斜二测画法画水平放置正六边形直观图？2上述画直观图方法称为斜二测画法，请总结其步骤.3探求空间几何体直观图画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm长方体ABCD—A′B′C′D′直观图. (4)用斜二测画法画水平放置平面图形与几何体直观图有什么不同？并总结画几何体直观图步骤．讨论结果：(1)画法：①如以下图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在以下图(2)中，画相应x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.②在以下图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD ，在y′轴上取M′N′＝12MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC ；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. ③连结A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴与y′轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置直观图A′B′C′D′E′F′〔以下图(3)〕．(2)步骤是：①在图形中取互相垂直x 轴与y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定平面表示水平面．②图形中平行于x 轴或y 轴线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴线段．③图形中平行于x 轴线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴线段，长度为原来一半．(3)画法：①画轴．如以下图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 与N 作y 轴平行线，过点P 与Q 作x 轴平行线，设它们交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是长方体底面．③画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长线段AA′、BB′、CC′、DD′.④成图．顺次连结A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡局部改为虚线)，就得到长方体直观图．点评：画几何体直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适中选取，用斜二测画法画图角度也可以自定，但是要求图形具有一定立体感．(4)画几何体直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形直观图实际上建立是平面直角坐标系．画几何体直观图步骤是：①在图形所在空间中取水平平面，作互相垂直轴Ox、Oy，再作Oz 轴，使∠xOy＝90°，∠yOz＝90°.②画出与Ox、Oy、Oz对应轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°，∠y′O′z′＝90°，x′O′y′所确定平面表示水平平面．③图形中，平行于x轴、y轴与z轴线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴与z′轴线段，并使它们在所画坐标轴中位置关系与图形中相应线段与原坐标轴位置关系一样．④图形中平行于x轴与z轴线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴线段，长度为原来一半．⑤擦去作为辅助线坐标轴，就得到了空间图形直观图．斜二测画法作图技巧：①在图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形对称直线为坐标轴或图形对称点为原点或利用原有垂直正交直线为坐标轴等．②在原图中与x轴或y轴平行线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行线段可以先画出线段端点再连线，画端点时作坐标轴平行线为辅助线．原图中曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中相应点后，用平滑曲线连结而画出．③在画一个水平放置平面时，由于平面是无限延展，通常我们只画出它一局部表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面直观图．提出问题阅读教材，说一下中心投影性质.讨论结果：中心投影投影线交于一点．空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交直线．中心投影后图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人视觉效果一致，最像原来物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．应用例如思路1例1用斜二测画法画水平放置圆直观图．解：画法：(1)如以下图(1)，在⊙O 上取互相垂直直径AB 、CD ，分别以它们所在直线为x 轴与y 轴，将线段AB n 等分．过各分点分别作y 轴平行线，交⊙O 于E ，F ，G ，H ，…，画对应x′轴与y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如上图(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′＝AB ，在y′轴上取C′D′＝12CD ，将A′B′ n 等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行线段E′F′，G′H′，…，使E′F′＝12EF ，G′H′＝12GH ，…. (3)用光滑曲线顺次连结A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆水平放置直观图〔上图(3)〕． 点评：此题主要考察用斜二测画法画水平放置平面图形直观图． 变式训练关于“斜二测画法〞，以下说法不正确是( )A ．原图形中平行于x 轴线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来12C ．在画与直角坐标系xOy 对应x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同解析：在画与直角坐标系xOy 对应x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°.答案：C例2画正五棱锥直观图．分析：回忆斜二测画法规那么，指明其关键是确定关键点位置．解：画法：(1)画底面(根据平面图形直观图画法)(以下图)；(2)画z′轴(z′轴与x′轴交角为90°)，并画高线(与原长相等)，连线成图(以下图)；(3)擦去辅助线，被遮线画虚线．点评：画简单几何体直观图时，通常先画下部，按从下到上顺序，依次画出．变式训练画圆柱直观图．解：如以下图所示，步骤略．思路2例3如以下图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它直观图.活动：利用斜二测画法作该梯形直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过D作出该点在x轴垂足，那么对应地可以作出线段DE直观图，进而作出整个梯形直观图．解：步骤是：(1)如以下图(1)所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如以下图(2)所示，画出对应x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.(2)如以下图(1)所示，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323 cm≈2.598 cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ＝12×32＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD ＝2 cm.(1) (2) (3)(3)连结A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，上图(3)所示，那么四边形A′B′C′D′就是所求作直观图．点评：此题考察利用斜二测画法画空间图形直观图．在画水平放置平面图形直观图时，选取适当直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多顶点在坐标轴上，便于画点；原图中共线点，在直观图中仍是共线点；原图中共点线，在直观图中仍是共点线；原图中平行线，在直观图中仍是平行线．此题中，关键在于点D′位置确定，这里我们采用作垂线方法，先找到垂足E′，再去确定D′位置． 变式训练1.如以下图所示，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，且AD ＞BC ，该梯形绕边AD 所在直线EF 旋转一周得一几何体，画出该几何体直观图．答案：该几何体是由一个圆锥与一个圆柱拼接而成简单组合体，其直观图如以下图所示．2．一个正方形直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，那么此正方形面积是( )A．16 B．64C．16或64 D．都不对解析：根据直观图画法，平行于x轴线段长度不变，平行于y轴线段变为原来一半，于是长为4边如果平行于x轴，那么正方形边长为4，面积为16，边长为4边如果平行于y轴，那么正方形边长为8，面积是64.答案：C知能训练1．利用斜二测画法画直观图时：①三角形直观图是三角形；②平行四边形直观图是平行四边形；③正方形直观图是正方形；④菱形直观图是菱形．以上结论中，正确是__________．解析：斜二测画法保持平行性与相交性不变，即平行直线直观图还是平行直线，相交直线直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴线段，在直观图中长度为原来一半，那么正方形直观图不是正方形，菱形直观图不是菱形，所以③④错．答案：①②2．一个三角形用斜二测画法画出来直观图是边长为2正三角形，那么原三角形面积是( )A ．2 6B ．46 C. 3 D ．都不对解析：根据斜二测画法规那么，正三角形边长是原三角形底边长，原三角形高是正三角形高22倍，而正三角形高是3，所以原三角形高为26，于是其面积为12×2×26＝2 6. 答案：A3．一个水平放置平面图形直观图是一个底角为45°，腰与上底长均为1等腰梯形，那么该平面图形面积等于( )A.12＋22 B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋2解析：平面图形是上底长为1，下底长为1＋2，高为2直角梯形．计算得面积为2＋ 2.答案：D4．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中点M(4,4)在直观图中对应点是M′，那么点M′找法是__________．解析：在x′轴正方向上取点M 1，使O′M 1＝4，在y′轴上取点M 2，使O′M 2＝2，过M 1与M 2分别作平行于y′轴与x′轴直线交点就是M′.答案：在x′O′y′中，过点(4,0)与y′轴平行直线与过(0,2)与x′轴平行直线交点即是．拓展提升画一几何体直观图，该几何体是由一个长方体与一个以直四棱柱上底面为底面四棱锥拼接而成．解：步骤是：(1)作出长方体直观图ABCD—A1B1C1D1，如以下图(1)所示．(2)再以上底面A1B1C1D1对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如以下图(2)所示，在z′上取点V′，使得V′O′长度为棱锥高，连结V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥直观图，如以下图(2)．(3)擦去辅助线与坐标轴，遮住局部用虚线表示，得到几何体直观图，如以下图(3)．课堂小结本节课学习了：1．平行投影、中心投影、直观图概念；2．直观图画法；3．规律总结：用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置平面图形直观图画法，而画水平放置平面图形关键是确定多边形顶点．因为多边形顶点位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图画法就可归结为确定点位置画法．作业本节练习A 3,4题．设计感想由于直观图画法可以灵活多变，尺寸不作严格要求．因此本节教学设计中没有设计过多地严格按步骤画直观图题目，这要引起我们注意．特别是高考中很少见直接考察画直观图题目，并且高考试题关于立体几何解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生空间想象能力，以及画图与识图能力．备课资料备选习题【例】假设一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，那么其直观图面积是原来三角形面积( )A.24倍B．2倍C.22倍 D.2倍解析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上高发生变化．直观图中公共边上高是原三角形中公共边上高24，那么直观图面积是原来三角形面积24倍．答案：A知识拓展直观图概念与分类按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要局部位置关系与度量关系(主要是长、宽、高三个方面)，我们把这种投影图叫做直观图．用平行投影法把物体连同直角坐标系一起投影到一个投影面上所得投影图，叫做轴测投影图(简称轴测图)，这种投影画法称为轴测投影法．轴测投影按投影线与轴测投影面斜交或垂直，可分为斜轴测投影与正轴测投影．按三轴方向变形系数大小关系，又可分为等轴测投影(三轴方向变形系数都相等)、二轴测投影(有两轴方向变形系数相等)与三轴测投影(三轴方向变形系数都不相等)．事实上，轴测投影种类很多，但在实际应用中，常用是斜二轴测投影(即斜二测画法)与正等轴测投影．第一种直观图画法——斜二轴测投影，简称斜二测．就是投影线与投影面斜交，有两轴方向变形系数相等轴测投影．第二种直观图画法——正等轴测投影．就是投影线与投影面垂直，各轴变形系数都相等轴测投影．斜二测与正等测各有优点，用斜二测画出直观图能使一个面(直立于我们面前那个面)保持原来形状与大小，用正等测画出来直观图可以将三个面均匀地表达出来．。
课件2：1.1.4 投影与直观图
y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
江苏省邳州市第二中学高中数学1.1.4投影与直观图教案 北师大版必修2
江苏省邳州市第二中学高一数学《1.1.4投影与直观图》教案北师大版必修2教学过程：一、投影法物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。
人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。
这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。
工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。
二、投影法分类1.中心投影法投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
图1—1 投影法图1—2 中心投影法2.平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。
其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。
(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影图1—3 平行投影法应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。
工程图样就是用正投影法绘制的。
三、平行投影的基本特性平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。
1.点的投影仍为点如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。
2.直线的投影一般仍为直线如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。
图1—4 点的投影图1—5 直线的投影3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。
4.直线上两线段之比，等于其投影之比从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则AM∶MB=ɑm∶ mb。
因位于同一平面的两直线(AB及ɑb)被若干平行直线所截，则被截各段成比例。
《直观图》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《直观图》教学设计教材分析:三视图的直观图是空间几何体的重要的起始课，是学习立体几何的基础之一．学好三视图的直观图有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，为高中的后续学习打下基础．因此将从投影的角度加深对三视图概念的理解和会画简单几何体的三视图作为本节课的重点.可以培养学生的直观感受能力、作图能力、空间想象能力，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，所以在人们的日常生活中有着重要义，所以直观图也不可忽视.教学目标：【知识与能力目标】1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.2.通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力.【过程与方法】学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.【情感态度与价值观】1.提高空间想象力与直观感受能力，培养探究精神和意识；2.体会对比转化在学习中的作用，以及化归的数学思想方法；3.感受几何作图在生产活动中的应用.教学重难点：【教学重点】空间几何体直观图的画法--斜二测画法：能由直观图想出其对应的几何体，并能由几何体的三视图画出其直观图，顺利由三视图到空间几何体再到直观图的互化.【教学难点】用斜二测画法画空间几何值的直观图时，如何选择合适的坐标系.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：三视图能从细节上刻画空间几何体的结构，我们可以得到一个精确的几何体，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，且作图方法比较复杂，又不易度量.那么有没有一种画法，既能对空间几何体整体刻画，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图.因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.二、新课探究：1. 斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．2.立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在z轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．3.已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．第二步：利用斜二测画法画出直观图．当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．三、知识应用：题型一画出几何体的直观图例1．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．【答案】22解:四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．【设计意图】斜二测画法的作图技巧：1．在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2．在原图中平行于x轴和y轴的线段在直观图中仍然平行于x'轴和y'轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；'''垂直的z'轴，平行于z' 3．画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面x O y轴的线段长度保持不变．题型二确定直观图与实际的图形的关系例2. 已知正角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ＇B ＇C ＇的面积为（ ）A ．234aB ．238aC ．268aD ．2616a 【答案】D解：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ＇B ＇C ＇的边长及夹角求解．如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图．由图（2）可知，A ＇B ＇=AB =a ，13''24O C OC a ==，在图（2）中作C ＇D ＇⊥A ＇B ＇于D ＇，则26''''28C D C a ==． ∴2'''1166''''22816A B C S A B C D a a a ∆=⋅=⨯⨯=． 【设计意图】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．教学反思：培养学生的直观感受能力、作图能力、空间想象能力.只有会画图才对认识图、理解立体关系能有更深的体会与感觉，才能更好地增加空间想象能力.。
2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步2直观图(教师用书)教案北师大版必修2
①斜二测画法是绘制直观图的一种常用方法，通过画出斜二测视图来表示三维图形。
②绘制直观图的步骤包括：确定视点、画出主视图、画出侧视图、连接主视图和侧视图的顶点、整理图形等。
③绘制直观图时需要注意的问题：保持图形的比例关系、避免出现错误的线条和角度等。
3.直观图在立体几何中的应用
①直观图可以用来解决立体几何中的计算问题，如计算体积、表面积等。
3.情感态度与价值观：学生们在绘制直观图的过程中，体验到了数学的乐趣和实际应用的价值。他们更加积极主动地参与课堂讨论和实践活动，提高了学习数学的兴趣和自信心。
4.合作与交流：学生们在小组讨论和课堂练习中，培养了团队合作和交流沟通能力。他们学会了与他人分享自己的想法和解决问题的方法，提高了自己的表达和倾听能力。
（2）直观图绘制方法的掌握：学生对于如何正确地绘制直观图存在困难，特别是对于一些复杂的三维图形，学生难以准确地绘制其直观图。
（3）直观图在实际问题中的应用：学生难以将直观图应用于解决实际问题，如计算立体图形的体积、表面积等。教师需要通过具体的案例，引导学生理解和掌握直观图在实际问题中的应用。
教学资源
（1）画出一个水平的矩形，代表立方体的底面。
（2）在底面的左右两侧，分别画出两个垂直于底面的矩形，代表立方体的侧面。
（3）连接底面和侧面的顶点，得到立方体的直观图。
2.题型二：直观图与原图形的对应关系
题目：给出一个直观图，判断其对应的原图形是什么。
解答：根据直观图的性质，我们可以通过观察和分析直观图来推断原图形的形状。具体步骤如下：
（2）根据交点的位置关系，判断直观图与坐标轴的平行、垂直或斜交等关系。
（3）根据判断结果，得出直观图与坐标轴的具体关系。
(课堂设计)2020高中数学 1.1.4 投影与直观图学案 新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图自主学习学习目标1．初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质．2．了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图．自学导引1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是________或________；(2)平行直线的平行投影是________或________的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．2．水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的__________，叫做空间图形的直观图．(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的________，再借助于所作的__________确定端点在直观图中的位置．3．中心投影一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．对点讲练知识点一平行投影的概念性质例1下列命题中正确的个数为( )①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②矩形的平行投影一定是矩形；③两条相交直线的投影可能平行；④如果△ABC在一投影面内的平行投影是△A′B′C′，则△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′一定是△A′B′C′的重心．A．1 B．2 C．3 D．4点评本题必须明白平行直线(与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比．一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形．变式训练1 关于直角AOB在某平面内的平行投影有如下判断：①可能是0°角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________．知识点二水平放置的平面图形的直观图例2用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．点评此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．变式训练2将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中还一样吗？知识点三将直观图恢复为原平面图形例3如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定．变式训练3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.62a 2D.6a 21．直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍． 3．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.课时作业一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将( ) A ．逐渐变短 B ．逐渐变长 C ．不变 D ．以上都不对2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a23.如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )4．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为______．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题8．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．9.如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【答案解析】 自学导引1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于 2．(1)平面图形 (2)平行 不变 一半 (3)平行线 平行线 3．点光源 对点讲练例1 A [命题①错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题②错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题③错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题④正确，重心的平行投影仍是重心．]变式训练1 ①②③④⑤例2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ，在y′轴上截取O′A′＝12OA ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．变式训练2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．显然与例2中既不全等也不相似．例3 解 画法：(1)以点C 为原点，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O′A′，即CA ＝C′A′；(2)在图1中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x 轴上取OD ＝O′D′，过D 作DB∥y 轴，并使DB ＝2D′B′.(3)连接AB 、BC ，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图2.变式训练3 C [画△ABC 直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a ，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a. 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示， AO ＝2A′O′＝6a ，BC ＝B′C′＝a ， ∴S △ABC ＝12BC·AO＝62a 2.]课时作业1．B [中心投影的性质．]2．D [先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a.过A′作A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a. ∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2.]3．A 4.C 5.C 6.2.5 7.22解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22. 8．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2.598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm.(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．9．解 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1.由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝12OD ，梯形的高D′E′＝24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S ＝12×(1＋2)×24＝328.。
高中数学人教B版必修二学案：1.1.4 投影与直观图
1.1.4 投影与直观图[学习目标] 1.了解中心投影与平行投影.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.[知识链接]1.三角形的面积S ＝12ah (其中a 为底边长，h 为底边上的高).2.梯形的面积S ＝12(a ＋b )h (其中a 、b 为两底长，h 为高).[预习导引] 1.平行投影已知图形F ，直线l 与平面α相交.过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影(或象).如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影. 2.平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； (4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 3.中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.4.水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.(3)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线，再借助于所作的平行线确定端点在直观图中的位置.要点一 中心投影与平行投影 例1 下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种说法都正确.规律方法 1.考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影也会改变.3.中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断.跟踪演练1 如图所示，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距离地面1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地面上阴影部分的面积为________(忽略桌脚).答案 0.81π m 2解析 设地面阴影圆的半径为x ，则有0.6x ＝23，∴x ＝0.9，∴阴影圆的面积为S ＝πx 2＝0.81π m 2.要点二画水平放置的平面图形的直观图例2画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.跟踪演练2用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.要点三由直观图还原平面图形例3如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.24a2 B.22a2C.a2D.2a2答案 B解析由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.跟踪演练3一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()A.2B. 2C.2 2D.4答案 D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍，梯形O′A′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.要点四空间几何体的直观图例4画一个正五棱柱的直观图(尺寸自定)解(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的高.(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”跟踪演练4画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2).1.一条直线在平面上的正投影是()A.直线B.点C.线段D.直线或点答案 D解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线.2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形答案 D解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.答案 6解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝1 2OA·OB＝6.1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为S直S原＝24.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.。
4《投影与直观图》教案.doc
1.1.4投影与直观图教学目标：1、了解表示空间图形的投影方法原理2、掌握斜二测画法3、了解中心投影方法教学重点：掌握斜二测画法教学过程：一、投影法物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。
人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。
这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。
工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。
二、投影法分类1.中心投影法投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
图1—1 投影法图1—2 中心投影法2.平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。
其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。
(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影图1—3 平行投影法应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。
工程图样就是用正投影法绘制的。
三、平行投影的基本特性平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。
1.点的投影仍为点如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。
2.直线的投影一般仍为直线如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。
图1—4 点的投影图1—5 直线的投影3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。
4.直线上两线段之比，等于其投影之比从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则A M∶MB=ɑm∶ mb。
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2015年高中数学 1.1.4 投影与直观图2教案北师大版必修2整幅画，基本上是从一个视点且只向一个方向看时的统一景物，才能叫做。
透视画。
，现存最古的透视画大概是庞贝的壁画。
人们还不明白当时的画家是怎样画出的。
与庞贝城建筑的同时，罗马的建筑家维特鲁威写了《建筑十书》，其中有所谓。
斯卡伊诺哥拉菲亚。
，可解释成：剧场舞台背景透视画与庞贝的壁画不谋而合的说法可能是正确的。
在维特鲁威的书里的很多地方能看到关于光学和视觉的叙述，因此欧几里德有同样说法是可理解的。
虽然中世纪的学者阿尔哈真和培卡姆，也有与欧几里德相似的叙述，遗憾的是那一时期的透视图，除了朴素透视画以外几乎没有留下别的。
课程学习目标［课程目标］目标重点：平行投影的性质和斜二测画法。
目标难点：正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。
［学法关键］画水平放置的空间图形的直观图，一般采用斜二测画法。
对于斜二测画法，应当牢固掌握画法的规则，再认真地画几个常见图形的直观图，从中领会斜二测画法的要领。
对三视图的学习要紧密地结合实际应用。
可以到工厂去考察机器零件的实物和图纸，要认真完成教材中的实习作业，可以利用课外活动时间探索与研究本节后面提出的问题，看一看旋转体的三视图中是否一定有两个视图相同，这两个相同的视图中是否都包含有这个旋转体的轴截面。
研习教材重难点研习点1. 平行投影1．点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则M’叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或像）.2．图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投射线。
3．平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比。
联想质疑：为什么平行投影的比例性质不变？事实上，如果线段AB在平面α内关于直线l的平行投影是A’B’ （如图），点M在AB上，且AM:MB=m:n ，则点M的平行投影M’在A’B’上，由平行线分线段成比例定理得A’M’:M’B’=m:n研习点2．空间图形的直观图1．概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.2．斜二测画法：国家规定的统一的画直观图的一种方法，它的规则是：（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.（2）画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O’x’、O’y’、O’z’，使∠x’O’y’=45°（或135°），∠x’O’z’=90°，x’O’y’所确定的平面表示水平平面;（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴或z’轴的线段. 并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同；（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来长度的一半；（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图联想质疑：如何理解斜二测画法？1．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法；2．斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度3.正等测画法：正等测画法的依据仍然是平行投影的性质，不过这时的投影线和人的视线平行，并且投射线与投射影垂直；正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的直观图，它的画法步骤同斜二测画法.研习点3．水平放置的平面图形的直观图的画法水平放置的平面图形的直观图的画法与空间图形的直观图的画法类似，其具体的画法步骤是：（1）在已知图形中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，使Ox⊥Oy；（2）画直观图时，把轴Ox、Oy画成对应的轴Ox’、Oy’，使∠x’Oy’=45°（或135°），x’Oy’所确定的平面表示水平平面；（3）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴，y’轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同；（4）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来长度的一半；（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图。
研习点4．中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影。
联想质疑：平行投影与中心投影的关系是什么？1．平行投影与中心投影的本质区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一点发出的；2．中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下一节要学习的三视图，中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；3．画实际效果图时，一般采用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法；探究解题新思路基础拓展型题型1. 考查基本概念例1. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（）（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段（B）平行直线的平行投影仍是平行的直线（C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等（D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比【探究】根据平行投影的概念和性质进行判断。
【研析】根据平行投影的性质可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线，所以B不正确，选B.【反思·领悟】理解并熟记平行投影的概念及其五条性质是解好此类判断题的关键1．有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。
其中正确的命题个数是（ B ）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个小结：此类题通过选择题或填空题的形式来考查平行投影的概念及相应性质，多为判断题，解决此类题目的关键是熟练掌握平行投影的概念和性质，注意各条性质间的关系。
题型2．用斜二测画法画直观图1．水平放置的直观图的画法：例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。
【探究】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图。
【研析】（1）如图所示，在已知五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O 与y 轴垂直的是x 轴，分别过B 、E 作GB//y 轴，HE//y 轴，与x 轴分别交于点G 、H, 画对应的轴O ’x ’、O ’y ’，使∠x ’O ’y ’=45°,（2）如图所示：以点O ’为中点，在x ’轴上取G ’H ’=GH ，分别过G ’，H ’在x ’轴的上方，作G ’B ’//y ’轴，使G ’B ’=21GB ；作H ’E ’//y ’轴，使H ’E ’=21HE ；在y ’轴的点O ’上方取O ’A ’=21OA ，在点O ’下方取O ’F ’=21OF ，并且以点F ’为中点，画C ’D ’//x 轴，且使C ’D ’=CD,（3）连结A ’B ’、B ’C ’、C ’D ’、D ’E ’，E ’A ’所得正五边形A ’B ’C ’D ’E ’就是正五边形ABCDE 的直观图，如图所示。
【反思·领悟】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点。
【拓展·变式】2. 画出一个锐角为45°的平行四边形的直观图。
2．空间图形直观图的画法：例3．已知一个正四棱台的上底面边长为2cm ，下底面边长为6cm ，高为4cm ，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【探究】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.【研析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD 的中心为坐标原点，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于O ，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.（2）画下底面. 以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF=AB=6cm ，在y 轴上取线段GH ，使得GH=21AB ，再过G ，H 分别作AB //EF ，CD //EF ，且使得CD 的中点为H ，AB 的中点为G ，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图.（3）画上底面. 在z 轴上截取线段OO1=4cm ，过O1点作O1x ’//Ox 、O1y ’//Oy ，使∠x ’O1y ’=45°，建立坐标系x ’O1y ’，在x ’O1y ’中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（4）连结B1C1，A1D1，再连结AA1、BB1，CC1，DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图。
【反思·领悟】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解。
【拓展·变式】3．画出一个上、下底面及高分别为1cm、2cm和2cm的正三棱台的直观图.教考动向·演练[1. 直线的平行投影可能是（ A ）（A）点（B）线段（C）射线（D）曲线2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ D ）（A）两条平行线. （B）一点和一条直线（C）两条相交直线（D）两个点3. 如图为水平放置的△OAB的直观图，由图判断原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的顺序为OD<B D<AB=OB .综合创新型题型1. 创新应用题例4 如图为一个平面图形的直观图，请画出它的实际形状.【探究】先建立45°角的坐标系，再建立直角坐标系，然后还原成实际图形.【研析】在图中建立如图所示的坐标系x’A’y’，再建立一个直角坐标系，如图所示.在x轴截取线段AB=A’B’，在y轴上截取线段AD，使AD=2A’D’.过B作BC//AD，过D作CD//AB，则四边形ABCD 即为A’B’C’D’的实际图形.【反思·领悟】还原图形的过程是画直观图的逆过程，它主要包括平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的2倍4. 下图表示水平放置图形的直观图，画出它原来的图形.题型2. 开放探究题例5. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）（A ）2+2 （B ）1+2（C ）21(2+2) （D ）21(1+2)【探究】 此题是斜二测画法的逆用，根据画法原则还原求解【研析】由题意可得下底为1+2，而由斜二测画法知一腰垂直于底边，且腰长为2，于是面积为1[(12)1]2222++⨯=+，故选C 。