高中数学 1.1.4 投影与直观图2教案 北师大版必修2

2015年高中数学 1.1.4 投影与直观图2教案北师大版必修2

整幅画，基本上是从一个视点且只向一个方向看时的统一景物，才能叫做。透视画。，现存最古的透视画大概是庞贝的壁画。人们还不明白当时的画家是怎样画出的。与庞贝城建筑的同时，罗马的建筑家维特鲁威写了《建筑十书》，其中有所谓。斯卡伊诺哥拉菲亚。，可解释成：剧场舞台背景透视画与庞贝的壁画不谋而合的说法可能是正确的。在维特鲁威的书里的很多地方能看到关于光学和视觉的叙述，因此欧几里德有同样说法是可理解的。

虽然中世纪的学者阿尔哈真和培卡姆，也有与欧几里德相似的叙述，遗憾的是那一时期的透视图，除了朴素透视画以外几乎没有留下别的。

课程学习目标

［课程目标］

目标重点：平行投影的性质和斜二测画法。

目标难点：正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。

［学法关键］

画水平放置的空间图形的直观图，一般采用斜二测画法。对于斜二测画法，应当牢固掌握画法的规则，再认真地画几个常见图形的直观图，从中领会斜二测画法的要领。

对三视图的学习要紧密地结合实际应用。可以到工厂去考察机器零件的实物和图纸，要认真完成教材中的实习作业，可以利用课外活动时间探索与研究本节后面提出的问题，看一看旋转体的三视图中是否一定有两个视图相同，这两个相同的视图中是否都包含有这个旋转体的轴截面。

研习教材重难点

研习点1. 平行投影

1．点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一

点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则M’叫做点M在平面α

内关于直线l的平行投影（或像）.

2．图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l

的平行投影构成图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l的平行投

影，平面α叫做投射面，l叫做投射线。

3．平行投影的性质：

当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：

1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比。

联想质疑：

为什么平行投影的比例性质不变？

事实上，如果线段AB在平面α内关于直线l的平行投影是A’B’ （如图），点M在AB上，且AM:MB=m:n ，则点M的平行投影M’在A’B’上，由平行线分线段成比例定理得A’M’:M’B’=m:n

研习点2．空间图形的直观图

1．概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.

2．斜二测画法：国家规定的统一的画直观图的一种方法，它的规则是：

（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.

（2）画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O’x’、O’y’、O’z’，使∠x’O’y’=45°（或135°），∠x’O’z’=90°，x’O’y’所确定的平面表示水平平面;

（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴或z’轴的线段. 并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同；

（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来长度的一半；

（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图

联想质疑：

如何理解斜二测画法？

1．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法；

2．斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度

3.正等测画法：正等测画法的依据仍然是平行投影的性质，不过这时的投影线和人的视线平行，并且投射线与投射影垂直；

正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的直观图，它的画法步骤同斜二测画法.

研习点3．水平放置的平面图形的直观图的画法

水平放置的平面图形的直观图的画法与空间图形的直观图的画法类似，其具体的画法步骤是：

（1）在已知图形中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，使Ox⊥Oy；

（2）画直观图时，把轴Ox、Oy画成对应的轴Ox’、Oy’，使∠x’Oy’=45°（或135°），x’Oy’所确定的平面表示水平平面；

（3）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴，y’轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同；（4）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来长度的一半；

（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图。

研习点4．中心投影

一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的

中心投影。

联想质疑：

平行投影与中心投影的关系是什么？

1．平行投影与中心投影的本质区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影

的投射线是由同一点发出的；

2．中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下一节要学习的三视图，中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；

3．画实际效果图时，一般采用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法；

探究解题新思路

基础拓展型

题型1. 考查基本概念

例1. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（）

（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段

（B）平行直线的平行投影仍是平行的直线

（C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

（D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

【探究】根据平行投影的概念和性质进行判断。

【研析】根据平行投影的性质可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线，所以B不正确，选B.

【反思·领悟】

理解并熟记平行投影的概念及其五条性质是解好此类判断题的关键

1．有下列说法：

①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；

②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；

③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；

④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。

其中正确的命题个数是（ B ）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

小结：此类题通过选择题或填空题的形式来考查平行投影的概念及相应性质，多为判断题，解决此类题目的关键是熟练掌握平行投影的概念和性质，注意各条性质间的关系。

题型2．用斜二测画法画直观图

1．水平放置的直观图的画法：

例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。

【探究】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图。

【研析】（1）如图所示，在已知五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，