哈工大概率论和数理统计第五章习题课

n
（i 1,2,, n）,则Xi ~ N (50,2.52 ), Xi ~ N (50n,2.52 n) i 1
故P{ X > 2000} 1 P{ X 2000} 1 (2000 50n) 2.5 n
0.05,即(2000 50n) 0.95， 2.5 n
颗炮弹击中目标的概率。
解：由中心极限定理得：
100
Xi近似服从正态分布N (400,225)
i 1
则P{380 X 420} (420 400) (380 400)
225
225
2(1.33) 1 0.82
10.某车间有200台车床，它们都各自独立工作，每台车床的 开工率均为0.6，车床工作时需耗电1千瓦，利用中心极限定 理求供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概 率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产。
查表得 2000 50n 1.65,解得n 39.7,取n 39 2.5 n
8松.设分布Xi，(i利 1用,2中,心,5极0)限相定互理独计立算且P服{从50 参Xi数> 为3}0。.03的泊 i 1
解：Xi ~ P(0.03) EXi DXi 0.03
由中心极限定理
50
Xi ~ N (1.5,1.5)
i 1
50
50
P{ Xi > 3} 1 P{ Xi 3}
i 1
i 1
1 (3 1.5) 1 (1.22) 0.11 1.5
9.某炮兵部队对敌方阵地进行100次炮击，每次炮击命
中的炮弹数为 Xi (i 1,2,,100).已知EX i 4,DX i 2.25 试利用中心极限定理计算100次炮击中，有380到420
第五章 大数定律与中心极限定理 §3 习题课
习题 1.设随机变量的方差为25，则根据契比雪夫不等式 P{ X E( X ) 10}
解： 由契比雪夫不等式P{ X E( X ) } 1 DX
2 令 10，则P{ X X ) 10} 1 25 3
解：设供电所至少需供给这个车间n千瓦电力,并设X 表示200台车床中开工的车床数，则X ~ b(200,0.6) 有中心极限定理知X近似服从正态分布 N (200 0.6,200 0.6 0.4),即X ~ N (120,48) P{这个车间不会因供电不足而影响生产}
P{X n} P{0 X n} (n 120) (0 120)
解：设X "1000次独立重复试验中，事 件A发生的次数"
则X ~ b(1000,0.5), EX 500, DX 250
由契比雪夫不等式有：
P { 400

X

600}

P{
X

500

100}

1
DX 100 2
0.975 > 0.97
故可用大于 0.97的概率确信事件 A发生的次数在
P{ X Y 6} P{ X Y E( X Y ) 6} D(X Y ) 1 36 12
4.设在一次试验中，事件A发生在概率为0.5，利用契 比雪夫不等式估计是否可以有大于0.97的概率确信， 在1000次独立重复实验中，事件A发生的次数是在400 到600的范围内。
3. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分 别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据契比雪夫不等 式 P{ X Y 6}
解： E( X Y ) EX EY 0
D( X Y ) DX DY 2 DX DY XY 1 4 2 (0.5) 1 2 3
400到600之间
5. 现有一大批种子，其中良种占 16，现从中任取
6000粒，试用契比雪夫不等式估计，在6000粒种子中，
良种所占的比例与 率不大于
之1 6差的绝对值不小于0.01的概
解：
设X
"6000粒种子中良种的粒数"，则X
~
b(6000,
1 6
)
EX
1000, DX

6000
1 6
P{95 X 105} P{95 100 X 100 105 100}
50
50
50
( 5 ) ( 5 ) 2( 2) 1 0.5222
50
50
7.用卡车装水泥，设每袋水泥的质量X(以kg计)服从 正态分布 N (50,2.52 ) ，利用中心极限定理求最多装 多少袋水泥，能使总质量超过2000kg的概率不大于 0.05。 解：设最多装n袋水泥，用X i 表示第i袋水泥的质量
102 4
2.随机变量的分布未知，但已知 E( X ) 及D( X ) 2
试根据契比雪夫不等式估计x落在区间
( 3 , 3 )内的概率。
解：P{ 3 X 3 } P{ X 3 } 1 2 8 (令 3 ) 9 2 9

5 6

5000 6
由契比雪夫不等式：
P{ X 1 0.01} P{ X 1000 60} 6000 6
1
DX 602

0.7685
6.将一枚均称硬币独立地重复投掷200次，根据中心极 限定理估计正面出现的次数在95到105之间的概率。
解：
设X "200次当中正面出现的次数"，则X ~（200，0.5） EX 100, DX 50，由中心极限定理知X近似 服从于N (100,50)
48
48
99.9%, 解得n 141.5