第1章 多元统计分析概述
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多元统计分析知识点多元统计分析课件精品多元统计分析（1）题目:多元统计分析知识点目录第一章绪论 (1)§1.1什么是多元统计分析 ............................ 1 §1.2多元统计分析能解决哪些实际问题 .... 2 §1.3主要内容安排 ........................................ 2 第二章多元正态分布 .. (2)§2.1基本概念 ................................................ 2 §2.2多元正态分布的定义及基本性质 .. (8)1.（多元正态分布）定义 ..................... 92.多元正态变量的基本性质 ............... 10 §2.3多元正态分布的参数估计12(,,,)p X X X X '= (11)1.多元样本的概念及表示法 ............... 122. 多元样本的数值特征 ..................... 123.μ和 ∑的最大似然估计及基本性质.............................................................. 15 4.Wishart 分布 (17)第五章 聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 .................................. 18 §5.2距离和相似系数 . (19)1．Q —型聚类分析常用的距离和相似系数 (20)2.R型聚类分析常用的距离和相似系数 (25)§5.3八种系统聚类方法 (26)1.最短距离法 (27)2.最长距离法 (30)3.中间距离法 (32)4.重心法 (35)5.类平均法 (37)6.可变类平均法 (38)7.可变法 (38)8.离差平方和法（Word方法） (38)第六章判别分析 (39)§6.1什么是判别分析 (39)§6.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2.多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1.不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2.多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1.基本思想 (58)2.多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1.基本思想 (61)2.引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3.Bartlett近似公式 (63)第一章绪论§1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。
第01讲. 多元统计分析预备知识
胡平交大管院2008秋下1第一部分回顾与演进第一讲. 多元统计分析预备知识胡平交大管院2008秋下2主要内容第一讲. 多元统计分析预备知识•多元统计分析概述•多元数据的整理与描述•矩阵代数与随机向量•样本几何与随机抽样•离散数据的概率分布•多元正态分布•多元均值的推断和均值向量的比较一. 多元统计分析的概述概念：从包含许多变量的、同时测量值的数据中，集中获取信息的各种统计方法，称为多元分析。
多元方法的基本依据：多元正态分布的基本概率模型多元方法的应用1、数据简化或结构简化：在不损失有价值信息的情况下尽可能简单的将被研究的现象描述出来。
2、分类与分组：根据所测量的特征将一些类似的对象或变量分组。
3、变量间依赖性的研究4、预测：根据某些变量的观测值预测另一个或另一些变量的值。
5、假设的构造与检验一. 多元统计分析的概述胡平交大管院2008秋下5二.多元数据的整理与描述多元数据的基本结构初步概念：数据阵列:对研究对象（多元总体）的p 个特征（变量）进行记录，从而出现多元数据表示第ｋ个变量在第ｊ项（个体或实验单元）上或第ｊ次试验中的观测值。
因此，ｐ个变量的ｎ 个观测值可以表示成：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯np n n p p x x x x x x x x x 212222111211k j x 胡平交大管院2008秋下6描述统计量(1)样本均值设是第一个变量的n 个观测值，则这些测量值的算术平均数是如果这n 个测量值代表被观测的全部测量值集合的一个子集，则也称为第一个变量的样本均值。
12111,,n xx x ⋯⋯∑==nj j x n x 11111x二. 多元数据的整理与描述样本方差:对第k 个变量的n 个观测值定义为：为了表明方差在阵列中的位置，引入双下标记号：来表示由第个变量的测量值的方差，并有式子样本标准差：样本方差的平方根称为样本标准差。
∑=-=nj k jk k x x n s 122)(1iis i∑=-==n j k jk kk k x x n s s 122)(1pk ,,2,1⋯⋯=描述统计量(2)ii s 二. 多元数据的整理与描述样本协方差：度量第i 个变量和第k 个变量的n 对测量值线性结合由样本协方差给出：∑=--=nj k jk i ji ik x x x x n s 1))((1pk p i ,,2,1,,,2,1⋯⋯=⋯⋯=描述统计量(3)二.多元数据的整理与描述胡平交大管院2008秋下9样本相关系数：其中i=1,2,…,p , k=1,2,…,p注意：∑∑∑===----==nj k jknj i jinj k jk i ji kkiiik ik x xx xx x x x s s s r 12121)()())((kiik r r =描述统计量(4)二. 多元数据的整理与描述胡平交大管院2008秋下10样本相关系数性质：1、r 的值必定在－1与1之间。
第1章多元统计分析概述
第1章多元统计分析概述多元统计分析是指在一个研究中同时考虑多个变量之间的关系，并利用数理统计方法进行分析和推断的统计学方法。
它是一种能够从多个角度研究问题，揭示变量之间的相互关系的有效工具。
多元统计分析可以用于各个领域的研究，包括社会科学、医学、经济学等。
多元统计分析在研究过程中有多个优势。
首先，它能够有效地探究多个变量之间的复杂关系。
在研究中，变量之间的关系往往是相互影响的，单个变量的变化可能同时影响其他变量。
通过多元统计分析，可以帮助研究者了解变量之间的交互作用，并提供更全面的观点。
其次，多元统计分析可以提供更准确的结果和推断。
通过考虑多个变量的信息，可以减少对于单个变量的误差引起的不确定性。
这样一来，得到的分析结果更具有可信度和可靠性，并可以更有效地进行推断和预测。
第三，多元统计分析可以帮助研究者发现隐含的结构和模式。
在大量数据中，可能存在一些复杂的关联和模式，普通的单变量方法难以完全发掘。
而多元统计分析通过综合多个变量的信息，能够更有效地揭示数据中的结构和模式，帮助研究者更好地理解数据背后的本质。
多元统计分析有多种方法和技术，包括主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析、回归分析等。
这些方法和技术各有特点，适合不同的研究目的和数据类型。
主成分分析是一种通过线性变换将原始变量映射到新的维度上的方法。
它可以帮助研究者发现数据中的主要成分，并直观地解释变量之间的关系。
主成分分析可以用于数据降维、特征提取等多个方面。
因子分析是一种用于揭示多个观测变量背后的潜在变量结构的方法。
通过因子分析，研究者可以将多个观测变量归纳到一些潜在的因子上，从而更好地理解和解释数据。
聚类分析是一种无监督学习方法，用于将样本或观测单位划分成不同的群组。
聚类分析可以帮助研究者发现数据中相似的样本或观测单位，并识别出不同的群组。
判别分析是一种有监督学习方法，用于将样本或观测单位划分到不同的预先定义的群组中。
通过判别分析，研究者可以建立一个分类模型，将新的样本或观测单位划分到合适的群组中。
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元统计分析 第1章 多元分析概述
多元统计分析的应用举例
反映城镇居民消费水平的八项指标：
➢人均粮食支出、人均副食支出、 ➢人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、 ➢人均日用品支出、人均燃料支出、 ➢人均非商品支出、人均出行支出
为什么要多元、多指标？ 指标归并聚类分析
多元统计分析的应用
第一章 多元统计分析概述
多元统计分析--ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ言
多元统计分析是运用数理统计方法来研究 解决多指标问题的理论和方法。
一元(单变量)到多变量？ 大数据时代的需要 多变量带来的问题？
多元统计分析--历史
1928年Wishart发表论文《多元正态总体样 本协差阵的精确分布》
R. A. Fisher 、H. Hotelling、S. N. Roy、许 宝騄……
上世纪50年代中期，随着电子计算机的出 现和发展，使多元分析方法得到广泛应用
多元统计分析—核心内容
基于多元正态总体
➢参数估计 ➢假设检验 ➢判别分析 ➢聚类分析 ➢主成分分析 ➢因子分析 ➢对应分析 ➢典型相关分析 ➢多维标度法等
应用背景
统计学的生命力在于应用 多元统计分析方法的应用
Application Driven (Data Driven)
评价企业经济效益
➢百元固定资产原值实现产值、 ➢百元固定资产原值实现利税、 ➢百元资金实现利税、 ➢……
指标太多、错综复杂主成分分析或因子 分析
多元统计分析的应用
考察两个部门工作效率是否有显著差异
➢多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验
有100种酒，品尝家可以对每两种酒进行品 尝对比，给出一种相近程度的得分以分析 这100种酒之间的结构关系
多元统计分析及R语言建模(第五版)课件第一二章
2 多元数据的数学表达及R使用
数据框（data frame）是一种矩阵形式的数据，但数据框中各列可以是不同类型的数据。 数据框录入限制条件
数 据 框
在数据框中 以变量形式 出现的向量 长度必须一 致，矩阵结 构必须有一 样的行数。
2 多元数据的数学表达及R使用
#矩阵按列求和 apply(A,2,sum)
#矩阵按列求均值 aplly(A,2,mean)
#矩阵按列求方差 A=matrix(rnorm(100),20,5) aplly(A,2,var)
#矩阵按列求函数结果 B=matrix(1:12,3,4) apply(B,2,function(x,a) x*a, a=2)
#矩阵按行求和 rowSums(A)
#矩阵按行求均值 colSums(A)
#矩阵按列求和 colSums(A)
#矩阵按列求均值 colSums(A)
apply()函数
apply(X, MARGIN, FUN, ...)
#矩阵按行求和 apply(A,1,sum)
#矩阵按行求均值 apply(A,1,mean)
命令结果窗口
R里面有什么?
Packages （每个都有大量数据和可以读写修 改的函数/程序）
base boot class cluster ctest eda foreign grid KernSmooth lattice lqs MASS methods mgcv
The R base package Bootstrap R (S-Plus) Functions (Canty) Functions for classification Functions for clustering (by Rousseeuw et al.) Classical Tests Exploratory Data Analysis Read data stored by Minitab, SAS, SPSS, ... The Grid Graphics Package Functions for kernel smoothing for Wand & Jones (1995) Lattice Graphics Resistant Regression and Covariance Estimation Main Library of Venables and Ripley's MASS Formal Methods and Classes Multiple smoothing parameter estimation and GAMs by GCV
01 第一章 多元统计分析概述
多元统计分析的实际应用
• • • • • • • 经济学 工业 农业 医学 教育 体育 生态学 • • • • • • 地质学 社会学 考古学 环境保护 军事科学 文学
多元统计分析的实现
1.由于多元统计分析方法要分析大量的多维数 1.由于多元统计分析方法要分析大量的多维数 据，进行数据处理时在计算上是非常复杂的，为 此，应用多元统计分析方法都离不开计算机软件 的使用。 2.常用的有SPSS，SAS，Statistica，Matlab， 2.常用的有SPSS，SAS，Statistica，Matlab， S-plus，NCSS等，属于专业性很强的统计软件，使 plus，NCSS等，属于专业性很强的统计软件，使 用费用都较高，而且有的还有应用期限限制。
三、多元统计分析方法在经济统计中的 具体应用
对多个变量进行降维处理，选择数目较少的变量子集合； –主成分分析、因子分析、对应分析等 对现象进行分类研究、分类处理、构造分类模式； –聚类分析、判别分析等 建立经济模型和利用模型进行外推； –预测模型－－回归分析方法 –描述模型－－聚类分析方法 研究时间序列变化趋势； –时间序列分析方法、马尔科夫概型分析分析方法等 研究经济现象之间相互关系； –典型相关分析
多种多元统计分析方法的有机结合运用
• 主成分回归分析 • 因子分析与聚类分析的结合 • 判别分析与聚类分析的结合
四、多元统计分析方法在经济统计中的 应用的一般步骤
• 进行定性分析，设计理论模型。 • 抽取样本，并取得样本统计资料。 • 对描述样本的指标进行统计分析，选择最佳的统 计指标。 • 根据最佳指标的样本数据，估计参数，建立数量 模型。 • 对数量模型进行检验、优化以及运用。
采取理论讲授、课堂讨论、上机实习及课下收 集相关资料的方式。 理论课采用多媒体教学,有效的利用课堂时间， 要求学生上机完成作业。 由于本课程重在要求学生能利用所学的统计方 法来分析实际经济问题，所Байду номын сангаас鼓励学生收集与本课 程有关的期刊论文，从中学习如何利用数据结果来 分析问题。
《应用多元统计分析》教学全套课件
1
第一章 绪 论
本章主要讨论:
●多元统计分析概述 ●多元统计分析的应用 ●线性代数基础
2
第一节 多元统计分析概述
本节基本内容:
一、多元统计分析的涵义 二、多元统计研究的内容和方法
3
一、多元统计分析的涵义
多元统计分析（简称多元分析），是运用数理统 计的方法来研究多变量问题的理论和方法，它是 一元统计学的推广。
量乘法和加法可分别定义为：
cx (cx1, cx2 ,L , cxn )
x y (x1 y1, x2 y2 ,L , xn yn )
12
二、矩阵及基本运算
矩阵：
将 n p个数 x11, x12 ,L , xnp 排成一个形如 n 行 p 列的
长方形表：
x11 x12 L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x21 M
可以得到如下运算规律：
(X Y) X Y
(XY) YX
15
二、矩阵及基本运算
X(Y1 Y2 ) XY1 XY2
X
k
Y
k
XY
1 1
c(X Y) cX cY
若 X 为方阵，满足 XX XX I，则称 X 为
正交矩阵。
16
二、矩阵及基本运算
矩阵分块
矩阵的分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法。 有时，我们把一个高阶矩阵看成是由一些低阶矩阵 组成的，就像矩阵由数值组成一样。设 X (xij )为 n p 矩阵，将 X 剖分称四块，表示成
x22
L
X
x2 p
MM
M
xp1 xp2 L xpp
(1) ( j1 j2L jp ) x x 1 j1 2 j2 L xpjp
多元统计分析讲义(第一章)
Equation Chapter 1 Section 1 Array《多元统计分析》Multivariate Statistical Analysis主讲：统计学院许启发（******************）统计学院应用统计学教研室School of Statistics2004年9月第一章绪论【教学目的】1．让学生了解什么是多元统计分析？它的发展与现状；2．让学生了解多元统计分析的主要范畴、功能；3．回顾相关的矩阵理论和多元正态分布理论；4．阐述多元数据的表示方法。
【教学重点】1．从一元到多元的过度；2．多元正态理论及其相关命题。
§1 引言一、什么是多元统计分析在实践中，常会碰到需要同时观测若干指标的问题。
例如衡量一个地区的经济发展水平：总产值、利润、效益、劳动生产率等；在医学诊断中，有病还是无病，需做多项检测：血压、体温、心跳、白血球等①。
提出问题：如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和处理？有两种做法：分开研究；同时研究。
但前者会损失一定的信息量。
多元统计分析就是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门学科，利用其中的不同方法可对研究对象进行分类和简化。
二、多元统计分析的产生和发展1．1928年Wishert发表论文《多元正态总体样本协方差阵的精确分布》，是多元统计分析的开端；2．20世纪30年代，Fisher, Hotelling, 许宝碌等奠定了多元统计分析的理论基础；3．20世纪40年代，在心理学、教育学、生物学等方面有不少应用，但由于计算量大，发展受到限制；4．20世纪50年代中期，随着计算机的出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学和社会学方面得到广泛应用；5．20世纪60年代，通过应用和实践又完善和发展了理论，使得它的应用范围更广；6．20世纪70年代初期，才在我国受到各个领域的极大关注，近30多年在理论上和应用上都取得了若干新进展。
三、多元统计分析的主要范畴（研究内容）在对社会、经济、技术系统的认识过程中，都需要收集和分析大量表现系统特征和运行状态的数据信息。
第一章 多元统计分析 绪论
三、样本相关系数
第i个和第j个变量的样本相关系数为：
其中：i=1,2,3….p,j=1,2,3,…,p 对于所有的i，j，
由p个变量的n组观测值计算出的统计量，可用矩阵来记： 样本均值阵：
样本方差和协方差阵：
样本相关系数矩阵：
例1．根据表1资料计算样本均值阵、样本方差和协方差矩阵、样本相 关系数矩阵。
15639.45
9001.81 11480.39 95295.78
892.91
4241.09 7222.46 40315.52
1842.92
4175.64 7168.26 42493.99
1417.61
3549.03 4723.31 26368.5
竹林众生 焦作万方
思达高科 郑州煤电 合计
8379.92 34086.94
12769.17 27296.36 707584.51
921.84 20451.51
3820.98 13007.43 443130.65
1661.32 22562.66
4308.77 12863.37 438521.86
1477.24 14290.03
3195.9 8512.59 3资料
营业利润(万元)
41614.75 69453.22 128972.69 23968.02 22463.69 39903.35 25881.19
主营业务利润(万元)
中原高速 中原油气 安阳钢铁 神火股份 新乡化纤 安彩高科 许继电气 48457.83 84061.07 175514.79 31436.57 31121.23 69994.75 53048.45
第一章 绪论
第一节
多元统计分析的作用
第1章 绪论[多元统计]
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5. 射影矩阵
A: n×n, A: 幂等的 A2 = A A: 射影 A′ = A 且 A2 = A
射影矩阵的性质: A 是一个射影矩阵 In-A是一个射影矩阵 ; A的特征值为 0或 1, 且 1的个数为A的秩; tr(A) = rank(A). 设X是 n×p阶矩阵 (n ≥ p), 且rank(X) = p. 记H = X(X′X)-1X′. 则 1) H 是一个射影矩阵; 2) tr(H) = rank(H) = p; 3) I - H是一个射影矩阵
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4. 正定矩阵
对于n×n阶对称矩阵 A A ≥ 0 x′A x ≥ 0, x ∈ Rn , A: 非负定的 A > 0 x′A x > 0, x ∈ Rn , A: 正定的 主要结论: A > 0 A11 > 0, A22 > 0, A112 > 0, A221 > 0 A > 0 A-1 > 0 某些定义: A>B A-B>0 A≥B A-B≥0
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多元分析是数理统计学30多年来迅速发展起 来的一个分支,已广泛地应用到社会科学和自然 科学的许多领域.本课程介绍一些实用的多元分 析方法的理论及应用,包括有关多元正态分布的 统计推断,判别分析,聚类分析,主成分分析, 因子分析,典型相关分析.
3
1. 应用多元统计分析 2. 多元统计分析 3. 多元统计分析
对称矩阵
a = (a1, …, ap): 1×p
a1 a = M : n ×1 a n
A = A′
上三角阵
对角矩阵
a1 A= O = diag (a1 ,L, an ) an
A = (aij), aij=0 if i > j
多元统计分析
多元统计分析随着社会的发展和科学的进步，数据分析的需求日益增长，而多元统计分析作为一种强大的统计工具，能够帮助我们更深入地理解数据背后的规律和关联性。
本文将介绍多元统计分析的概念、应用场景以及常用的方法。
一、多元统计分析概述多元统计分析是一种涉及多个变量之间关系的统计分析方法。
它可以通过分析数据集中多个变量之间的关联性，揭示出隐藏在数据背后的规律和结构，从而更好地理解数据以及作出推断和预测。
二、多元统计分析的应用场景1. 市场研究分析多元统计分析在市场研究领域有着广泛的应用。
例如，一家公司希望了解不同产品特征对消费者购买行为的影响，可以通过多元统计分析来确定哪些产品特征对消费者产生了积极的影响，从而制定出更加精准的市场策略。
2. 医学研究分析在医学领域，多元统计分析可以用于研究不同变量与疾病之间的关联性。
例如，通过对大量病例和对照组数据的分析，可以找到与某种疾病相关的风险因素，从而有针对性地预防和治疗疾病。
3. 社会科学研究分析社会科学研究中的数据通常包含多个变量，如人口、教育水平、收入等。
通过多元统计分析，可以了解不同变量之间的关系，从而对社会现象作出解释和预测。
三、常用的多元统计分析方法1. 主成分分析(PCA)主成分分析是一种用于降维的多元统计方法，它将原始的高维数据通过线性变换，转化为低维的主成分，从而保留了原始数据中的大部分信息。
主成分分析常用于数据可视化和特征选择。
2. 因子分析因子分析是一种用于探索数据内部结构的方法，它可以识别出数据集中的潜在因子，并将多个观测变量归纳为几个共同的因子。
因子分析在心理学、教育学等领域具有广泛的应用。
3. 判别分析判别分析是一种用于分类的多元统计方法，它通过寻找最佳的分割线，将不同类别的样本划分为不同的群组。
判别分析在模式识别和数据分类中具有重要的意义。
4. 聚类分析聚类分析是一种将相似样本归类到同一组的方法，通过测量样本之间的相似性或距离来实现。
聚类分析常用于数据分类、市场细分以及生物学、地理学等领域的研究。
第1章 多元统计分析概述
多元统计分析起源于20世纪初，1928年Wishart发 表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分析》，可 以说是多元统计分析的开端。随后多元统计分析得到 了迅速发展，40年代多元统计分析在心理、教育、生 物等方面有不少应用，但由于计算量大，使其发展受 到一定的影响。50年代中期，随着电子计算机的出现 和发展，多元统计分析在地质、气象、医学、社会学 等方面得到应用。60年代通过应用和实践，完善和发 展了理论，新的理论和方法不断涌现，使他的应用范 围更加扩大。70年代初期多元统计分析在我国才得到 各个领域的关注，并在理论研究和应用上取得了显著 成绩，有些研究工作已达到了国际水平，并形成了一 支科技队伍，活跃在各条战线上。进入21世纪，人们 获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了许 多超大型数据库，其遍及各个行业，这就为多元统计 分析与其它学科融合提供了重要的平台。
二、工业
（1）如对我国31个省市自治区独立核算工业企业经济效益 进行分析时，选取能反映企业经济效益的代表性指标，如 百元固定资产实现利税、资金利税、产值利税率等，根据 这些指标对全国各省市自治区进行分类，然后根据分类结 果对企业经济效益进行综合评价，就易于得出科学的分析。 （2）考察某产品质量指标（多个）与影响产品质量的因素 （多个）之间的关系。在商品需求研究中，考察商品销售 量与商品价格、消费者收入等之间的关系，可以利用回归 分析方法建立数学模型进行分析。 （3）研究某产品使用不同原料进行生产时，原料对产品质 量有无显著影响；研究某商场今年与以前年份经营状况在 经营指标方面有没有显著性的差异？可以利用多元正态总 体均值向量和协差阵的假设检验进行分析。
1）统计学和计算机科学相互促进。 2）统计理论与分析方法不断发展。 3）统计调查方法的创新。
《应用多元统计分析》第01章_多元分析概述
《应用多元统计分析》第01章_多元分析概述应用多元统计分析多元统计分析是一门研究如何分析多个变量之间关系的统计学方法。
它是统计学的一个重要分支，广泛应用于社会学、心理学、教育学、经济学、医学以及市场研究等领域。
多元分析的目的是通过分析多个变量之间的关系，揭示出隐藏在数据背后的规律和结构，从而更好地理解现象和推断未知的关系。
首先，多元统计分析与一元统计分析相比，不再是对单个变量进行分析，而是同时考虑多个变量之间的关系。
一元统计分析主要关注其中一个变量的分布情况、均值和差异；而多元统计分析则通过研究多个变量之间的关系，来揭示这些变量之间的结构和模式。
多元分析的研究对象可以是连续变量或离散变量，比如一组被试的身高、体重、年龄等连续变量，或者一组被试的性别、学历、职业等离散变量。
多元分析既可以是描述性的分析，也可以是推断性的分析。
多元统计分析一般包括两个主要方面的内容，即多元方差分析和多元回归分析。
多元方差分析用于研究多个自变量对一个因变量的影响，比如研究不同处理条件对实验数据的影响。
多元回归分析则用于研究多个自变量对一个连续因变量的影响，比如通过多个指标预测一个人的绩效评级。
多元统计分析方法有很多，常见的方法包括主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析、结构方程模型等。
每种方法都有其适用的场景和假设条件，研究者需要根据自己的研究目的选择合适的方法进行分析。
多元统计分析涉及复杂的数学和统计原理，因此在进行多元分析之前，研究者首先需要对统计学的基本概念和方法有一定的了解，例如随机变量、概率分布、假设检验等。
此外，研究者还需要使用统计软件进行数据的处理和分析，如SPSS、R、Python等。
多元统计分析的应用广泛，下面以社会学领域的一个例子来说明多元分析的应用。
假设我们想研究不同社会经济因素对人们的幸福感的影响，我们可以收集一组被试的社会经济因素（如收入、教育程度、职业等）和幸福感的数据，然后对这些数据进行多元回归分析。
多元统计分析1-3章
第一章绪论§1.1 什么是多元统计分析在工业、农业、医学、气象、环境以及经济、管理等诸多领域中，常常需要同时观测多个指标。
例如，要衡量一个地区的经济发展，需要观测的指标有：总产值、利润、效益、劳动生产率、万元生产值能耗、固定资产、流动资金周转率、物价、信贷、税收等等；要了解一种岩石，需观测或化验的指标也很多，如：颜色、硬度、含碳量、含硫量等等；要了解一个国家经济发展的类型也需观测很多指标，如：人均国民收入，人均工农业产值、人均消费水平等等。
在医学诊断中，要判断某人是有病还是无病，也需要做多项指标的体检，如：血压、心脏脉搏跳动的次数、白血球、体温等等。
总之，在科研、生产和日常生活中，受多种指标共同作用和影响的现象是大量存在的，举不胜举。
上述指标，在数学上通常称为变量，由于每次观测的指标值是不能预先确定的，因此每个指标可用随机变量来表示。
如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的统计分析和研究呢？一种做法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个去分析研究；另一种做法是同时进行分析研究。
显然前者做法有时是有效的，但一般来说，由于变量多，避免不了变量之间有相关性，如果分开处理不仅会丢失很多信息，往往也不容易取得好的研究结果。
而后一种做法通常可以用多元统计分析方法来解决，通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及揭示这些变量内在的变化规律，如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律的学科，那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科，同时，利用多元分析中不同的方法还可以对研究对象进行分类（如指标分类或样品分类）和简化（如把相互依赖的变量变成独立的或降低复杂集合的维数等等）。
在当前科技和经济迅速发展的今天，在国民经济许多领域中特别对社会经济现象的分析，只停留在定性分析上往往是不够的。
为提高科学性、可靠性，通常需要定性与定量分析相结合。
实践证明，多元分析是实现做定量分析的有效工具。
多元分析概述
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Hale Waihona Puke 20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多
元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些 研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各 条战线上。 在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速度 急剧增加，产生了很多超大型数据库，遍及超级市场销售、银 行存款、天文学、粒子物理、化学、医学以及政府统计等领域， 多元统计与人工智能和数据库技术相结合，已在经济、商业、 金融、天文等行业得到了成功的应用。
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多元统计分析发展的历史 起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样 本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。 20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄 等人作了一系列的奠基性工作。 20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少的应用，但由 于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。 20世纪50年代中期，随着电子计算机的出现和发展，使多元分 析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。 20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的 理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
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近现代，统计学已经空前广泛应用于最高级的运动形式——
社会。其结果便是出现了一系列与其应用对象指导理论和其 它相关学科交织在一起的边缘学科。如在社会经济方面的投 入产出经济学、经济计量学、统计预测学、统计决策学等等。 在这些边缘学科中，统计学与其应用对象结合更紧密、更自 然。这些学科的专家学者至少在两个或两个以上的专业领域 里有比较深厚的学术造诣。统计学的应用帮助他们在各自的 应用领域中取得辉煌的成就。 可见，统计学的发展一刻也离不开应用。它在应用中诞生， 在应用中成熟、独立，在应用中扩充自身的方法内容，同时 扩展了应用领域，又在应用中与其他学科紧密结合形成新的 边缘学科。一部统计理论发展史同时又是一部应用统计发展 史，正因如此，统计学的生命力在于应用。
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（3）对我国31个省市自治区经济效益综合评价，我们需要选择很多 指标，如固定资产投资完成额、工业全员劳动生产率、工业销售利 税率、万元工业产值能耗、职工工资总额等。如何将这些有错综复 杂关系的指标综合成几个减少的指标来分析和解释问题，有不至于 是所研究的问题信息丢失过多。可利用主成分分析和因子分析方法。
（1）某高中对参加高考的考生成绩进行预测分析。根据以 往大量的资料，分析考生高考成绩与高中学习期间成绩之 间的相关关系，并由此由考生在高中学习期间的成绩预测 考生的综合成绩。
（2）研究某大学对该校在校学生的学习成绩与该生高考入 学成绩的各门课程成绩之间的关系进行分析。还可以研究 该校新生录取成绩次序的排队的最佳方案。还可以研究该 校高考入学成绩的排队问题，可以按录取总成绩排队，也 可以按其它方式进行排队，比如某工科院校，直接按总成 绩进行排队并不是很合适，可以根据某些要求，对数学、 物理、化学、英语等课程进行加权求和排队更合适一些， 在此有些课程权重可能大一些，在此有些课程权重可能小 一些，他们之间的权重如何确定问题。
近几十年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫 切需要，多元统计分析已被广泛地应用于工业、农业、医 学、地质、气象、水文、环境以及经济、管理等诸多领域， 成为解决实际问题的有效方法。在理论研究方面，统计学 在广泛吸收和融合相关学科的新理论，不断开发应用新技 术和新方法，深化和丰富了统计学传统领域的理论和方法
又是怎样体现的。
分析、主成分分析、
因子分析
通过统计模型或最优准则，对未来进行 多元回归分析 预测或判断。
检验多元总体参数的某种假设，并验证 多元总体参数估计、假设
该假设的合理性
检验
一、经济学
（1）在社会经济领域中存在着大量分类问题，如对我国31个省市自 治区城镇居民收支分布规律进行分析，一般不是逐省市自治区去分 析，而较好地做法是选取能反映城镇居民收支分布规律的代表性指 标，如城镇居民收入来源及支出指标（在收入方面，如工资性收入、 财产性收入等；在支出方面，如食品、住房、生活用品、文化等）， 根据这些指标对全国各省市自治区城镇居民收支分布情况进行分类， 然后根据分类结果对城镇居民收支状况进行综合评价。
（3）某高校根据n个学生在一学年的m门课程成绩，对学 生学习成绩进行分类，以便确定该校学生奖学金类别。
五、医学
（1）由于疾病的产生就受到多种因素的支配，各种 病因之间也常存在着一定的内在联系和相互制约，这 就需要分析哪些因素是主要的, 本质的, 哪些因素是次 要的, 片面的, 它们之间的相互关系怎样等问题。 （2）我们有了患胃炎的病人和健康人的一些化验指 标，就可以从这些化验指标发现两类人的区别。把这 种区别资料利用判别分析方法建立诊断的准则，然后 对怀疑患胃炎的人就可以根据其化验指标用判别公式 进行诊断。 （3）可以根据病人的多种症状（体温、恶心、呕吐、 腹部压疼感等），来判断该病人患何种疾病。
（2）考察某产品质量指标（多个）与影响产品质量的因素 （多个）之间的关系。在商品需求研究中，考察商品销售 量与商品价格、消费者收入等之间的关系，可以利用回归 分析方法建立数学模型进行分析。
（3）研究某产品使用不同原料进行生产时，原料对产品质 量有无显著影响；研究某商场今年与以前年份经营状况在 经营指标方面有没有显著性的差异？可以利用多元正态总 体均值向量和协差阵的假设检验进行分析。
多元统计分析
党耀国 经济与管理学院 Iamdangyg@
第一章 绪论
一、引言 二、多元统计分析的应用背景
1． 引言
多元统计分析是运用数理统计的方法来研究解决多变量（多 指标）问题的理论和方法，它是一元统计学的推广。
客观世界中的任何事物的形成，变化和发展都是受多种因 素的影响，而各种因素之间又存在着广泛而又错综复杂的联系。 例如疾病的产生就受到多种因素的支配，各种病因之间也常存 在着一定的内在联系和相互制约。要了解一个国家、省、市经 济发展的类型需要观测很多指标，如人均国民收入、人均工农 业产值、R&D经费支出占GDP比重、万人科技活动人员数等； 要衡量一个地区经济发展，需要观测的指标有社会消费品零售 总额、城镇居民人均可支配收入、农村居民人均纯收入、劳动 生产率、万元产值能耗、财政收入等。对于这些指标，我们需 要分析哪些指标是主要的，本质的，哪些指标是次要的，片面 的, 它们之间的相互关系怎样等问题。多元统计分析正是为了解 决这些问题而产生的。
九、其它
多元统计分析方法在其它很多领域也有广泛的应用，比如环 境保护、地质学、考古学、地震预报、军事科学、生态学、 文学、心理学等。
多元统计分析起源于20世纪初，1928年Wishart发 表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分析》，可 以说是多元统计分析的开端。随后多元统计分析得到 了迅速发展，40年代多元统计分析在心理、教育、生 物等方面有不少应用，但由于计算量大，使其发展受 到一定的影响。50年代中期，随着电子计算机的出现 和发展，多元统计分析在地质、气象、医学、社会学 等方面得到应用。60年代通过应用和实践，完善和发 展了理论，新的理论和方法不断涌现，使他的应用范 围更加扩大。70年代初期多元统计分析在我国才得到 关注，并在理论研究和应用上取得了显著成绩，有些 研究工作已达到了国际水平，并形成了一支科技队伍， 活跃在各条战线上。进入21世纪，人们获得的数据正 以前所未有的速度急剧增加，产生了许多超大型数据 库，其遍及各个行业，这就为多元统计分析与其它学 科融合提供了重要的平台。
研究，并拓展了统计学研究的新领域。具体表现在：
1）统计学和计算机科学相互促进。 2）统计理论与分析方法不断发展。 3）统计调查方法的创新。
2、多元统计分析的应用背景
多元统计分析方法与研究内容之间的关系
问题
内容
方法
数据或结构性 简化
尽可能简单地表示所研究的现象，但不 聚类分析、主成分分析、
损失很多有用的信息，并希望这种
因子分析
表示能够解释所研究问题的现象。
分类和组合
变量之间的相 关关系
预测与决策
假设的提出与 检验
基于研究问题，对测量到的一些现象特 聚类分析、判别分析、主
征，给出好的分组方法，对相似的
成分分析、因子分析
对象或变量分组。
变量之间是否存在相关关系，相关关系 典型相关分析、多元回归
三、农业
（1）某地区种植某种农作物，有多种种子 在该地区播种，有多种化肥，试判断各种种子 与化肥对该农作物产量的影响。
（2）有n个地区，有m种农作物，每个地区可 以种植多种农作物，每种农作物在不同的地区 的产出不同，可以通过比较分析每个地区适合 种植那些农作物，使生产效率最高。
四、教育学
七、体育学
（1）如何对影响运动员成绩的多项心理、生理测试指标（简 单反映、时间知觉、综合反映等）进行主要因素分析。 （2）研究运动员体能指标(反复横向跳、立定体前屈、俯卧 上体后仰等)与运动能力测试指标（耐力跑、跳远、投球等） 之间的相关关系。
八、气象学
根据气象站资料，研究某地降雨量与前一天的气温、气压、 湿度、风速、风向等之间的关系；有n个地区的降雨量、气温、 湿度等指标，根据这些指标判断这n个地区所属的气候类型。
六、社பைடு நூலகம்学
（1）某公司对招聘人员的知识和能力进行测评，主 要测评六个方面的内容：语言表达能力、逻辑思维 能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴 趣爱好、生活常识等，我们根据这六个方面的内容 对招聘人员进行综合评价，决定是否录取。 （2）某调查公司从一个大型零售公司随机调查了n 人，测量了5个职业特性指标和7个职业满意变量。 职业特性指标如用户反馈、任务重要性、任务多样 性、任务特殊性、自主权，个职业满意变量如主管 满意度、事业前景满意度、财政满意度、工作强度 满意度、公司地位满意度、工作满意度、总体满意 度，讨论两组指标之间是否相联系。
（4）研究国民收入的生产、分配与最终使用的关系。如研究我国财 政收入与国民收入、工农业总产值、人口、就业、固定资产投资等 因素的关系，可利用回归分析方法建立预测模型，对今后的财政收 入进行预测。
二、工业
（1）如对我国31个省市自治区独立核算工业企业经济效益 进行分析时，选取能反映企业经济效益的代表性指标，如 百元固定资产实现利税、资金利税、产值利税率等，根据 这些指标对全国各省市自治区进行分类，然后根据分类结 果对企业经济效益进行综合评价，就易于得出科学的分析。