2020年常州市中考数学模拟试卷及答案

2020年常州市中考数学5月模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．的相反数是（）A．B．C．D．2．将161000用科学记数法表示为（）A．0.161×106B．1.61×105C．16.1×104D．161×1033．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．为参加2016年“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（）A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，1605．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A．500•sinα米B．米C．500•cosα米D．米7．已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣x+b上的两点，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m=n C．m＜n D．无法确定8．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD 的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC=1，GH=2，则CG的长为（）A．B．C．D．2二、填空题（每小题2分，共20分）9．|﹣2|﹣（）﹣1=．10．若式子有意义，则x的取值范围是．11．分解因式：3x2﹣6xy+3y2=．12．如图，线段AD与BC相交于点O，AB∥CD，若AB：CD=2：3，△ABO的面积是2，则△CDO的面积等于．13．方程=0的解是．14．已知圆锥的高是4cm，圆锥的底面半径是3cm，则该圆锥的侧面积是cm2．15．若二次函数y=2x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m=．16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=36°，则∠C=．17．已知点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为．三、解答题（共10小题，共84分）19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a=2，b=1.5．20．解方程和不等式组（1）x2﹣3x=x﹣3 （2）．21．为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生是；（2）求图1中∠α的度数是°，把图2条形统计图补充完整；（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为．22．甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率．23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点E是AB的中点．以△ABC的边AB向外作等边△ABD，连接DE．求证：AC=DE．24．图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD 为中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）；（2）在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF 中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠F AB=3．25．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：（1）乙出发后多长时间与甲相遇？（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥A C．（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△P AE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．参考答案一、选择题1．的相反数是（）A．B．C．D．故选：D．2．将161000用科学记数法表示为（）A．0.161×106B．1.61×105C．16.1×104D．161×103解：161000=.612×105．故选B．3．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、圆是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．4．为参加2016年“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（）A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，160解：将数据按照从小到大的顺序排列为：150，158，158，160，162，这5个数据中位于中间的数据是158，所以中位数为：158；数据中出现次数最多的数是158，158就是这组数据的众数；故选A．5．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°解：∵a∥b，∠1=80°，∴∠2+∠3=80°，∠3=∠4．∵∠2=∠3，∴∠3=40°，∴∠4=40°．故选B．6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A．500•sinα米B．米C．500•cosα米D．米解：如图，∠A=α，AE=500．则EF=500sinα．故选A．7．已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣x+b上的两点，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m=n C．m＜n D．无法确定解：∵直线y=﹣x+b中，k=﹣＜0，∴此函数是减函数．∵﹣3＜2，∴m＞n．故选A．8．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD 的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC=1，GH=2，则CG的长为（）A．B．C．D．2解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，由勾股定理可知：②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22=0，∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x），∵x+y+2≠0，∴x+y﹣2=y+2﹣x，∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2，∴（x+y）2=6，∵x+y＞0，∴x+y=，∴y=﹣2．∴CG=x+y=．故选B．二、填空题（每小题2分，共20分）9．|﹣2|﹣（）﹣1=．解：原式=2﹣=，故答案为：．10．若式子有意义，则x的取值范围是x≥3．解：式子有意义，得x﹣3≥0，解得x≥3，故答案为：x≥3．11．分解因式：3x2﹣6xy+3y2=3（x﹣y）2．解：3x2﹣6xy+3y2，=3（x2﹣2xy+y2），=3（x﹣y）2．故答案为：3（x﹣y）2．12．如图，线段AD与BC相交于点O，AB∥CD，若AB：CD=2：3，△ABO的面积是2，则△CDO的面积等于 4.5．解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，∴=（）2=（）2=，∵△ABO的面积是2，∴△CDO的面积等于4.5．故答案为：4.5．13．方程=0的解是x=3．解：去分母得：2x﹣10+x+1=0，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故答案为：x=314．已知圆锥的高是4cm，圆锥的底面半径是3cm，则该圆锥的侧面积是15πcm2．解：由勾股定理得：圆锥的母线长==5cm，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×3=6πcm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6πcm，∴圆锥的侧面积为：×6π×5=15πcm2．故答案为：15π．15．若二次函数y=2x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m=．解：依题意有△=m2﹣8=0，解得：m=±2．故答案是：±2．16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=36°，则∠C= 27°．解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠A=36°，∴∠BOA=54°，∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，故答案为：27°．17．已知点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是（，）．解：因为点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，设点A坐标为（x，），点A'的坐标为（﹣x，），因为△AOA′为直角三角形，可得：x2=2，解得x=，所以点A的坐标为（，），故答案为：（，）．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为4+3．解：连结CC′，A′C交BC于O点，如图，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC′为等边三角形，∴CB=CB′，而A′B=A′C′，∴A′C垂直平分B′C，∴BO=BC′=3，在Rt△A′OB中，A′O===4，在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=，∴OC=6×=3，∴A′C=A′O+OC=4+3．故答案为4+3．三、解答题（共10小题，共84分）19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a=2，b=1.5．解：原式=a2﹣b2+b2﹣2b=a2﹣2b．当a=2，b=1.5时，原式=4﹣2×1.5=4﹣3=1．20．解方程和不等式组（1）x2﹣3x=x﹣3 （2）．解：（1）x2﹣3x=x﹣3，x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（2）∵解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜1，∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜1．21．为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生是40；（2）求图1中∠α的度数是144°，把图2条形统计图补充完整；（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为175．解：（1）本次抽样的人数是14÷35%=40（人），故答案是：40；（2）∠α=×360=144°，C级的人数是40﹣16﹣14﹣2=8（人），故答案是：144．（3）估计不及格的人数是3500×=175（人），故答案是：175．22．甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率．解：（1）列表或画树状图表示三位同学抽到卡片的所有可能结果如下：甲a a b b c c乙b c a c a b丙c b c a b a（2）如图可知，三位同学抽到卡片的所有可能的结果共有6种，所以三位同学中有一人抽到自己制作的卡片有3种，有三人抽到自己制作的卡片有1种．所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片有4种，8分所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作的卡片的概率为：．10分23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点E是AB的中点．以△ABC的边AB向外作等边△ABD，连接DE．求证：AC=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=60°，∵AB=BD，点E是AB的中点，∴DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠DEB=∠C，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=∠ABC，在△ACB与△DEB中，，∴△ACB≌△DEB（AAS），∴AC=DE．24．图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD为中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）；（2）在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠F AB=3．解：（1）如图1所示：（2）如图2所示．25．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：（1）乙出发后多长时间与甲相遇？（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C 的速度是多少？解：（1）当0≤t≤90时，甲步行路程与时间的函数解析式为S=60t；当20≤t≤30时，设乙乘观光车由景点A到B时的路程与时间的函数解析式为S=mt+n，把（20，0）与（20，3000）代入得：，解得：，∴函数解析式为S=300t﹣6000（20≤t≤30）；联立得：，解得：，∵25﹣20=5，∴乙出发5分钟后与甲相遇；（2）设当60≤t≤90时，乙步行由景点B到C的速度为x米/分钟，根据题意，得5400﹣3000﹣（90﹣60）x=360，解得：x=68，∴乙步行由B到C的速度为68米/分钟．26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）解：（1）过点A作AD⊥BC于D，由题意得：∠B=30°，∠BAC=105°，则∠BCA=45°，AC=30千米，在Rt△ADC中，CD=AD=A C．cos45°=30（千米），在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t==4（时）．4﹣2=2（时），答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时；（2）由（1）知：BD=AB•cos30°=30千米，∴BC=30+30（千米），v=（30+30）=（15+15）千米/时．答：甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为：（15+15）千米/时．27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥A C．（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△P AE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，∴AE∥BC，∴=，∵BC=6，AC=8，∴AB==10，∵AE=x，AP=y，∴=，∴y=（x＞0）；（2）∵∠ACB=90°，而∠P AE与∠PEA都是锐角，∴要使△P AE与△ABC相似，只有∠EP A=90°，即CE⊥AB，此时△ABC∽△EAC，则=，∴AE=．故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=；（3）∵点C必在⊙E外部，∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE．设AE=x．①当点E在线段AD上时，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙E的半径为．②当点E在线段AD延长线上时，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半径为9．∴⊙E的半径为9或．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．解：（1）∵直线y=kx﹣7与y轴的负半轴交于点C∴C（0，﹣7），∴OC=7，∵抛物线y=ax2+bx+14a经过点C，∴14a=﹣7，∴a=﹣，∴y=﹣x2+bx﹣7，∵OA：OC=2：7．∴OA=2，∴A（2，0）∵抛物线y=﹣x2+bx﹣7经过点A，∴b=∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣7，（2）如图1，∵抛物线y=﹣x2+x﹣7经过B点，令y=0解得x=7或x=2（舍去），∴B（7，0），∴OB=7，∴OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，则PF∥y轴，∴∠CFG=∠OCB=45°，∴BF=GF，过P作PE⊥BC于点E，∵PD=PB，∴∠PBD=∠PDB，∴tan∠PBD=tan∠PDB=2，∴PE=2BE，∵EF=PE，∴BF=BE，∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，∴PG=3GF，∵直线y=kx﹣7过B点，∴k=1，∴y=x﹣7，设F（m，m﹣7），则P（m，﹣3（m﹣7）），∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣7上，∴，解得m=7（舍去）或m=8，∴P（8，﹣3）；（3）如图2，当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形，∵B（7，0），Q（7，m）∴BQ∥y轴过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM，∵∠DTB=∠PTQ，∴∠DPN=∠RQM，∵四边形DPRQ是平行四边形，∴DP=RQ，在△RMQ和△DNP中，，∴△RMQ≌△DNP（AAS），∴RM=DN，MQ=PN，由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=2BF=2GF=∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2，∴D（5，﹣2），设R点的横坐标为t，∵RM=DN，∴t﹣7=8﹣5，解得t=10，∵点R在抛物线y=﹣x2+x﹣7 上，∴当t=10时，，∴R（10，﹣12），∵MQ=PN，∴3﹣2=﹣12﹣n，∴n=﹣11，∴R（10，﹣12），Q（7，﹣11），如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形同理可求得R（6，2），Q（7，﹣7）．。