机械优化设计实例

机械优化设计实例
压杆的最优化设计
压杆是一根足够细长的直杆，以学号为p值，自定义有设计变量的
尺寸限制值，求在p一定时d1、d2和l分别取何值时管状压杆的体积或重
量最小？（内外直径分别为d1、d2）两端承向轴向压力，并会因轴向压力
达到临界值时而突然弯曲，失去稳定性，所以，设计时，应使压应力不
超过材料的弹性极限，还必须使轴向压力小于压杆的临界载荷。

解：根据欧拉压杆公式，两端铰支的压杆，其临界载荷为：I——材料的惯性矩，EI为抗弯刚度
1、设计变量
现以管状压杆的内径d1、外径d2和长度l作为设计变量
2、目标函数
以其体积或重量作为目标函数
3、约束条件
以压杆不产生屈服和不破坏轴向稳定性，以及尺寸限制为约束条件，在外力为p的情况下建立优化模型：
1）
2）
3）
罚函数：
传递扭矩的等截面轴的优化设计解：1、设计变量：
2、目标函数
以轴的重量最轻作为目标函数：
3、约束条件：
1）要求扭矩应力小于许用扭转应力，即：
式中：——轴所传递的最大扭矩
——抗扭截面系数。

对实心轴
2）要求扭转变形小于许用变形。

即：
扭转角：
式中：G——材料的剪切弹性模数
Jp——极惯性矩，对实心轴：
3）结构尺寸要求的约束条件：
若轴中间还要承受一个集中载荷，则约束条件中要考虑：根据弯矩联合作用得出的强度与扭转约束条件、弯曲刚度的约束条件、对于较重要的和转速较高可能引起疲劳损坏的轴，应采用疲劳强度校核的安全系数法，增加一项疲劳强度不低于许用值的约束条件。

二级齿轮减速器的传动比分配
二级齿轮减速器，总传动比i=4，求在中心距A最小下如何
分配传动比？设齿轮分度圆直径依次为d1、d2、d3、d4。

第一、二
级减速比分别为i1、i2。

假设d1=d3,则：
七辊矫直实验
罚函数法是一种对实际计算和理论研究都非常有价值的优化方法，广泛用来求解约束问题。

其原理是将优化问题中的不等式约束和等式约束加权转换后，和原目标函数结合成新的目标函数，求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。

考虑到本优化程序要处理的是一个兼而有之的问题，故采用混合罚函数法。

一）、优化过程
（1）、设计变量
以试件通过各矫直辊时所受到的弯矩为设计变量：
（2）、目标函数
以矫直机的驱动功率为目标函数
式中：——矫直速度，mm/s
——矫直辊直径，mm
——传动效率
——作用在辊子上的总传动力矩
——轧件弯曲变形所需的转动力矩，N.mm
——克服轧件与辊子间滚动摩擦所需的转动力矩，N.mm
——克服辊子轴承的摩擦及支承辊与工作辊间的滚动摩擦所需力矩，N.mm
上式表明，编制程序时也可以把目标函数简化为求弯矩和的最小值。

简化问题，可以将程序中的目标函数改为
（3）、不等式约束
首先，试件应满足咬入条件，即
式中：——一、二辊之间的相对压下量
——试件与矫直辊之间的滑动摩擦系数
其次，要保证试件每经过一个矫直单元，实现一次反向弯曲，且弯矩值在极限范围内，即
式中：——使试件产生反向弯曲的最小弯矩值，N.mm
为了使试件变形充分、均匀，在经过第一、第二个矫直单元时反弯曲率值与原始曲率值应尽量接近。

也就是说，前几个矫直单元采用大变形矫直方案。

试件从最后一个矫直辊中出来后，要满足质量要求，符合国家有关标准，即有
式中：——有关标准规定的残余曲率值，对于本试件
（4）、等式约束
应满足
式中：、、、——分别为相邻两辊之间的相对压下量
二）、优化数据
以原始曲率半径为2000mm的08F双层焊管为例，得到优化矫直力矩为
优化矫直力为
分别对原始双层曲率半径为1500mm、2500mm和3000mm的断面系数相同的08F双层卷焊管进行矫直力矩优化，得到的优化值与原始曲率半径为2000mm的值相差不大。

5级齿轮传动的传动比分配
在指挥仪及精密仪器中,常用如图所
示的多级减速器。

为了提高运动精度，不仅
要求减重，还要求转动惯量小。

已知总减速比为i,假定各级小齿轮参
数相同，各级减速比分别为，
且有。

下面推导转动惯量和
中心距的表达式。

解： 1.总转动惯量
式中为小齿轮转动惯量，。

若令等于下式右端括号内各项，即
当一定时，对求极小，则必为极小，称传动的转动惯量系数。

2.中心距
式中为小齿轮分度圆直径。

令等于下式右端括号内各项，则一定下，对求极小，必使亦极小，这意味着重量亦小。

称中心距系数，即
本问题要求减速器重量和转动惯量小，这是双目标优化问题，设计变量为，可用线形加权法构造双目标转化为单目标无约束优化问题，即
式中、为权因子，表明设计者对（标志转动惯量）和（标志重量）的重要程度而选定的系数，一般有，例如选，等。

选取不同、求解，可了解它们对传动比分配的影响，从中选设计者认为满意的解。

曲柄摇杆机构运动规律的最优化设计（复合形法）
当曲柄由其初始位置转到时，要求摇杆由其极限角开始按下列规律运动：
并且其传动角（机构的连杆与摇杆之间的夹角）的最大值及最小值应分别不大于、
不小于其许用值，即；。

1.确定设计变量
考虑到机构杆长按比例变化时不会改变其运动规律，因此在计算时常取曲柄为单位长度，即，而其他杆长则按比例取为的倍数；机架长常由结构布置事先给定，分析上图得关系式：
因此，仅，为独立变量，是二维最优化设计问题，
2.建立目标函数
可根据期望与偏差为最小的要求，来建立目标函数：
式中——期望输出角
——实际输出角
由右图求得
摇杆与BD连线夹角
机架与BD连线夹角
BD连线长度
式中（单位长度）、为已定常量。

3.给定约束条件
曲柄与机架处于共线位置时：
及得约束条件：
4.设计变量的可行域
曲柄存在的条件：
得约束条件：
取单位长度即，只有和为起作用约束，它们是两个椭圆方程。

最后的数学模型为
这是一个带有不等式约束具有两个设计变量的小型最优化设计问题，可采用直接法来求解。

曲柄摇杆机构
如图所示，当曲柄AB整周转动时，连杆BC上一点M实现给定轨迹，轨迹坐标方程为
要求确定各构件的长度，使点M的实际轨迹与给定轨迹间的偏差最小。

解：1.确定设计变量：
取各构件的杆长为设计变量，即
2.建立目标函数：
按连杆上点M实际实现的轨迹与要求实现的轨迹的均方偏差最小的原则建立目标函数，其函数形式可表达为，
式中，（s表示将曲柄转角分成s等份）；
，为连杆上点M第j个位置所要求实现的坐标值；为点M实际实现的坐标值。

与可按下列公式计算得到：
式中，
其中第三式中的根号前的正负号应参照运动连续性来选取。

3.确定约束条件：
首先要保证曲柄AB能作整周回转。

若结构上要求，则可取下列约束条件（曲柄存在条件）：
其次考虑机构具有较好的传力性能，按最小传动角大于写成的约束条件为
综上所述，这一优化设计问题的数学模型可表示为
求设计变量，使
满足于约束条件
4.计算结果：
以为例，计算结果为：
初始步长TT=0.01TT=0.05TT=0.1
0.062830.062150.08434
简化的机床主轴
当跨距l,外伸端a 求轴的内、外径d、D取何值的时候，主轴重量最轻？
解：1、确定设计变量
由于材料一定时，主轴内孔只与机床型号有关，所以设计变量为：
x = [ x 1x2x3]T=[l D a]T
2、目标函数：
考虑主轴最轻，所以
式中：ρ——材料密度
3、约束条件：
由于主轴刚度是一个重要的性能指标，其外伸端的挠度y不得超过规定值y0所以可依此建立性能的约束：
在外力F给定的情况下，挠度,
所以：
由于机床主轴对刚度要求比较高，当满足刚度要求时，强度有富裕，所以这里可以不考虑应力约束条件。

边界的约束条件由具体机床结构与主轴材料而定：
即：也即：
例子：d=30mm，F=15000N，y-5-5，r0设计变量x1 x2x3
初始值480100120
下限值3006090
上限值650140150
解：采用内点惩罚函数法解，代入已知数据后，经过17次迭代，计算收敛，最优解为：x* = [300.036 75.244 90.001]T
f(x*) = 11.37。