网格中的勾股定理

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网格线中的三角函数问题

ＡＢ＝２９，ＡＣ＝１７，ＢＣ＝２．
・．．
’ ．．
由勾股定理得ＢＥ＝
ＡＢ＝
・．・
，ＡＥ＝２
设ＢＤ为，ＣＤ为２一，由勾股定理得
ＡＢ－ＢＤ＝ＡＤ，ＡＣ一ＣＤ＝ＡＤ。，
・
例２如图３，在边长相同的小正方形网格中，点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ都在这些小正方形的顶
点上，ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｐ，则ｔａｎＺＡＰＤ的值为
（）．
Ａ．１Ｂ．２Ｃ＿３Ｄ．
故选：Ｂ．
，
ＡＤ：Ｔ９．３
．
二、运用方程。以数解形
．
９
几何图形中的问题转化为用代数的知识
．
・．
求解，这就是数形结合思想中的“ 以数解形” ，
ｓｉｎ肚ＡＤ去
数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．女口：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的．下面我们就网格线中锐角三角函数的问题来体会这种数学思
、
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＇－－４＼Fra bibliotek＂－－－
．
３
ａＢＤＰ，然后由相似三角形的对应边成比例．易得ＤＰ：ＣＰ＝１：３，即可得ＰＦ：ＣＦ＝ＰＦ：ＢＦ＝１：２，

网格中的三角函数

1网格中的锐角三角函数网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。

所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。

一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。

【例1】三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）．（A ）（B ）（C ）（D ）练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，344543B .； C .35；D .A. 35图3图22sinB 的值是 .3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .A ．1B ．2C ．12D4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .A ．12B ．13C ．14 D3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。

充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。

二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。

【例2】（2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC中图7-1图7-2图4图6图5的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。

中考专题复习：解直角三角形,正方形网格中直角三角形解法归纳

正方形网格中直角三角形解法归纳三角函数是整个初中很重要的一个知识点，题型很多，特别是与正方形网格结合的综合性题目，经常考到，所以今天整理了4个类型的题型分享给大家，掌握这几种题型，轻松得高分。

一、三角形的边与网格边重合在正方形网格中，每个正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上，求sinA。

这是最基础的求三角函数的题型。

根据题意可以直接得出AB=3，BC=3，根据勾股定理可以得出AC=√（9+9）=3√2，所以sinA=3/3√2=√2/2；也可以利用等腰直角三角形直接得出答案。

二、三角形的边不在网格上同样的题型，点A、B、C都在格点上，求sinA。

这个题型需要先确定三角形ABC是不是直角三解形。

解题思路：先在RTAEB、RTCFB、RTADC中利用勾股定理把AB、BC、AC 求出来。

AB=2√2，BC=3√2，AC=√26，三条边满足勾股定理，所以这是一个直角三角形。

sinA=BC/AC=3√2/√26=√117/13。

不知道求AB、BC、AC的同学，要把三条边分别放在直角三角形中求。

正方形网格中所有在格点上的线段，都是可以构成直角三角形求出来的。

三、三边不在网格上也不是直角三角形在相同的已知条件下求sinC。

这种题型是三角形三边不在网格上，也不是直角三角形的类型。

一般要通过作图（要求：把要求的角放在直角三角形中），构成一个直角三角形。

然后利用端点在格点上的边都可以求出，这一性质，列出一个面积相等的式子求出BD，最后求sinC。

解题思路：过点B作BD⊥AC，根据同一个三角形的面积相同得出等式：1/2(2AB)=1/2(AC×DB)即3=1/2(2√5×DB)，BD=3√5/5，在RTCBD中sinC=BD/BC=（3√5/5）/√5=3/5。

四、求不在同一直角三角形中两个角的正弦值相同的条件求sin(+)因为∠和∠不在同一个三角形中，所以要通过作图让它们在一起，而且必须是在直角三角形中，这样才能求sin(+)。

初中数学勾股定理教案初中数学勾股定理教案优秀3篇

初中数学勾股定理教案初中数学勾股定理教案优秀3篇初中数学勾股定理教案优秀3篇由作者为您收集整理，希望可以在初中数学勾股定理教案方面对您有所帮助。

初中数学勾股定理教案篇一一、教案背景概述：教材分析：勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的形的特点，转化为三边之间的数的关系，它是数形结合的榜样。

它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它是直角三角形特有的性质，是初中数学教学内容重点之一。

本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。

学生分析：1、考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。

2、以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。

设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。

教学目标：1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体现数形结合思想。

2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的文化价值。

3、培养学生学习数学的兴趣和爱国热情。

4、欣赏设计图形美。

二、教案运行描述：教学准备阶段：学生准备：正方形网格纸若干，全等的直角三角形纸片若干，彩笔、直角三角尺、铅笔等。

老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投影图片。

三、教学流程：（一）引入同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。

勾股定理

勾股定理【知识点】１．勾股定理（只适用于直角三角形）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明证明方法1：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．证明方法2：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=证明方法3：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须注明所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，bacbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bc cbaED CBA②可运用勾股定理解决一些实际问题③利用勾股定理作长为 n （n 为大于1的整数）的线段５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边注意：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较：若222a b c +=时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）考点例析考点1：已知直角三角形两边边长，求第三边边长1、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+2、直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 A 、4 cmB 、8 cmC 、10 cmD 、12 cm3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25B 、14C 、7D 、7或254、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长考点2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

10 专题勾股定理(逆定理)与网格画图

专题勾股定理（逆定理）与网格画图
【方法归纳】通过网格运用勾股定理及其逆定理来研究三角形或四边形的形状．
1．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为．
2．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3，22，5，且三角形的三个顶点都在格点上．
3．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为5的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．
4．在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．
5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是中的三角形，图4中最长边上的高为． A
C
B
第2
题图第3题图
第4
题图
6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
7．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上．
（1）图1中，以AB 为腰的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其
边长．
（2）图2中，以AB 为底边的等腰三角形有个，画出其中一个，并直接写出其底边上的高．
图4图3图2图
1图2
图1图2图1
A
B A B。

北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲

勾股定理第一节探索勾股定理●应知基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的等于的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有。

2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。

（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。

（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。

一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。

【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=，（1）若3,4,a b ==则c = ；（2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。

3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b 的值为（）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形问题。

在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还是平方差。

勾股定理的应用(六)在网格图形中的应用

祖π数学
新人教八年级下册
之高分速成 1
【题型6】网格中的勾股定理
1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
3.如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )
A.25
B.12.5
C.9
D.8.5
（第1题）（第2题）（第3题）
4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．
甲
乙
B C
A B C。

中考数学真题分类汇编及解析(二十五)勾股定理

（2022•湖州中考）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解析】选C．如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM=√22+62=√40=2√10．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2√2B．3C．2√3D．4【解析】选D．因为D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，所以AE＝2DF＝4，因为AE＝AD，所以AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，所以BD=12AC＝AD＝4A ．2B ．32C ．12D ．√55【解析】选A ．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则a 2+b 2＝5，a ﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以tan α=a b =21=2（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2 【解析】选B ．作BH ⊥OC 于H ，因为∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，所以OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，因为∠CBO ＝∠BHC ＝90°，所以∠CBH ＝∠BOC ，所以cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，所以OBOC =BHBC ，所以2√5=BH 1，所以BH =2√55.（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD 上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（√3−1）m，若在M，N 之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370 m（结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，因为∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，所以∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，所以∠G＝90°，所以AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，BC＝50，CG＝50√3，所以DG＝CD+CG＝100+50√3，所以BG=12所以AD＝2DG＝200+100√3，AG=√3DG＝150+100√3，因为DM＝100，所以AM＝AD﹣DM＝200+100√3−100＝100+100√3，因为BG＝50，BN＝50（√3−1），所以AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100√3−50﹣50（√3−1）＝150+50√3，AN＝75+25√3，AH=√3NH＝75√3+75，Rt△ANH中，因为∠A＝30°，所以NH=12由勾股定理得：MN=√NH2+MH2=√(75+25√3)2+(25√3+25)2=50（√3+1），所以AM+AN﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，因为CD＝DM，∠D＝60°，所以△BCM是等边三角形，所以∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50√3，GN＝BG+BN＝50+50（√3−1）＝50√3，所以△CGN是等腰直角三角形，所以∠GCN＝45°，所以∠BCN＝45°﹣30°＝15°，所以∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°=12∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（√3−1）＝50√3+50，因为AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．答案：370．（2022•河南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解析】如图：因为∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，所以AB=√2AC＝4，因为点D为AB的中点，所以CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，因为∠ADQ＝90°，所以点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，所以AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ ′＝3，所以AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13.答案：√5或√13是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，所以（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），所以x﹣1＝3.答案：3（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2．【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12+12=√2．答案：√2．（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，所以S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．。

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。

2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。

3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。

4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。

5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。

练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ．故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝，故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等cb aHG F EDCBA a bccbaED CBA bacbac cabcab③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理的应用(二)

所以卡车能通过隧道.
书本P62复习题第4题
分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OD,必先求
OC,最先求出OA.
在Rt△AOB中，
AB2 BO2 2.52 0.72 2.4 OA _______________________ . C 2.5
A
在Rt△COD中， OC=OA-AC=2.4-0.4=2
分析只需利用勾股定理看哪一
个矩形的对角线满足要求．
A
图1
B
解 (1) 图1中AB长度为2 2 ．
练习：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） A
3
B
4
12
E
5
G
C
6
F
8
D
4．如图所示，公路MN和公路PQ在P处交汇， ∠QPM=30°，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上以每秒8米的速度从 N往M方向行驶时，学校是否受到噪声影响？若受到影响，影响的时间有多长？并说明理由． [提示：直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。]
A
D
？
CD OD OC
2 2
2
CD OD 2 OC 2
2.5 1.5
2 2
1.5m C 2(m) 分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能否通过，只要看卡车位于隧道中线一因为2＞1.8，高侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）. 度上有0.2米的余量，如何求CD呢？
O
.
连接OD，得到RtΔOCD
点C重合在一起,EF为折痕,若AB=8,BC=4.

第2讲利用勾股定理解决坐标系和网格问题(解析版)

2020-2021学年人教版八年级下册第17章《勾股定理》同步练习【第2讲：利用勾股定理解决坐标系和网格问题】一、选择题：1．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A．3 B．4 C．5 D【答案】C【分析】画图，根据勾股定理求解.【详解】如图所示：∵P（3，4），5．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（－5，0）D．（5，0）【答案】B【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用圆的性质得出CO 的长，即可得出答案．【详解】∵点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3），∴3BO =，4AO =，∴5AB =．∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，∴541CO =-=，则点C 的坐标为（－1，0）．故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，正确得出CO 的长是解题关键．3．如图，点P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P 表示的实数是（）A ．-2B ．-2.2C ．D ．【答案】D【解析】【分析】在三角形AOB 中，利用勾股定理求出AB 的长，即可确定出AP 的长，得到P 表示的实数.【详解】在Rt△AOB 中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：，∴OP=AP -1，则P 表示的实数为+1．故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 面积的和是( )cm 2.A ．64B ．81C ．128D ．192【答案】D【分析】根据勾股定理可知，S g = S e +S f =S a +S b +S c +S d ，求出最大正方形的面积即可求解.【详解】解：根据勾股定理知,S g = S e +S f ，S e =S a +S b ， S f = S c +S d ，∴S g = S e +S f =S a +S b +S c +S d ，∵最大的正方形的面积为S g =（8×8）cm 2=64cm 2，∴正方形a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 面积的和是64×3=192cm 2，故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．5．如果3，a ，5是勾股数，则a 的值是（）A ．4BC ．4．4或34 【答案】A【分析】满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a ．【详解】解：∵3，a ，5是勾股数，∴22235a =+或22253a =-）或a=4故选A ．【点睛】本题考查了勾股数，掌握勾股数是正整数是解题关键．6．如图，以直角三角形的三边a ，b ，c 为边，向外分别作半圆、等腰直角三角形和正方形..上述三种情况中，面积关系满足S 1+S 2=S 3，的图形个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3；（2）第二个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3；（3）第三个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．【详解】（1）S1=π8a2，S2=π8b2，S2=π8c2，，∵a2+b2=c2，∴π8a2+π8b2=π8c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=14a2，S2=14b2，S2=14c2，∵a2+b2=c2，∴14a2+14b2=14c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S2=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3.综上，可得面积关系满足S1+S2=S3的图形有3个.故选D.【点睛】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．（2）此题还考查了等腰直角三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1-S2+S3+S4等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件, 再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S 1、S 2、3S 、4S 与△ABC 的关系, 即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【详解】解：如图所示, 过点F 作FG⊥AM 交于点G, 连接PF.根据正方形的性质可得: AB=BE, BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90o ,即∠ABC=∠EBD.在△ABC 和△EBD 中,AB=EB ，∠ABC=∠EBD, BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S 4=ABC S ,同理可证,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90o , 所以四边形AQFG 是矩形, 则QF//AG, 又因为QP//AC, 所以点Q 、P, F 三点共线, 故S 3+S 1=AQF S , S 2=AGF S . 因为∠QAF+∠CAT=90o ,∠CAT+∠CBA=90o ,所以∠QAF=∠CBA, 在△AQF 和△ACB 中, 因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA), 同理可证△AQF ≌△BCA,故S 1﹣S 2+S 3+S 4=ABC S = 12 ⨯3 ⨯4 =6,故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.8．在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S 1+S 2=1，S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，S 1+S 2+S 3+S 4=4，故选A ．点睛：勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．9．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是（）A ．3:4B ．5:8C ．9: 16D ．1:2【答案】B【分析】利用割补法求出阴影部分面积，即可求出阴影面积与正方形ABCD 面积之比．【详解】解：阴影部分面积为214413=166=102-⨯⨯⨯-，正方形ABCD 面积为16，∴阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是10∶16=5∶8.故选B【点睛】在网格问题中，一般求图形面积可以采用割补法进行.10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，则BC 边上的高为（）．ABCD．【答案】C 【分析】根据题意可求得AB ，AC ，BC 的长，作AD⊥BC 于D ，根据勾股定理就不难得到AD 的长了．【详解】根据题意得BC = ∴△ABC 为一等腰三角形，作AD⊥BC 于D ，∴BD=，2=即BC边上的高为2故选C【点睛】解答本题要充分利用正方形的性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用．二、填空题11．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________ .【答案】13【解析】分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长.详解：在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理,得=在Rt△ABD中,BD=12,根据勾股定理,得=13.故答案为13.点睛：本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键.12．在平面直角坐标系中，已知点()A、)B，点C在坐标轴上，且8AC BC+=，写出满足条件的所有点C的坐标______．【答案】()0,3，()0,3-，()4,0，()4,0-【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则8x x+=，解得x=4或x=-4；②当点C 在y 8=，解得y=±3综上所述，满足条件的所有点C 的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3）【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理13．若A(8，4)和点B(5，k )间的距离是5，则k ＝____．【答案】8或0【分析】根据两点的距离公式解答即可.【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案为：8或0.【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.14．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点()6,8P -的距离等于10的点共有______个．【答案】3【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q （x ，0）或（y ，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q 点坐标【详解】解：设这一点为Q ，坐标轴上点Q 到点P 的距离等于10，若点Q 在x 轴上，设Q （x ，0）则10PQ =，解得x=0或x=-12，此时Q 点坐标为（0,0），（-12,0）；若点Q 在y 轴上，设Q （0，y ）则10PQ =，解得y=0或y=16，此时Q 点坐标为（0,0），（0,16）所以坐标轴上到点P （-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3【点睛】本题的关键是掌握两点间的距离公式，进行分类讨论15．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于____．【答案】2π【分析】首先把1S 与2S 的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边AB 平方的关系，然后得到1S +2S 的值．【详解】2121==228AC C S A ππ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，2221=2=28BC B S C ππ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅ 则1S +2S =()2222888AC BC AC BC πππ⋅+⋅=⋅+ 在直角三角形ABC 中有：222AC BC AB +=则1S +2S =()222=162888AC BC AB ππππ⋅+⋅=⨯=故答案为：2π【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题关键在于通过勾股定理建立好两个半圆的面积与斜边的联系．16．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A （2，3）、B （4，1），已知AB 两点，则“宝藏”点的坐标是．【答案】（1，0）或（5，4）【分析】根据两点间的距离公式列方程组求解即可．【详解】解：设宝藏的坐标点为C （x ，y ），根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC ，=两边平方，得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=（x ﹣4）2+（y ﹣1）2，化简得x ﹣y=1；，所以（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=10；把x=1+y 代入方程得，y=0或4，即x=1或5，所以“宝藏”C 点的坐标是（1，0）或（5，4）．故答案为（1，0）或（5，4）．17．如图，3×3网格中一个四边形ABCD ，若小方格正方形的边长是1，则四边形ABCD 的周长_______【答案】【分析】由于小方格正方形的边长为1，由勾股定理根据图形可以分别求出AD，CD，AB，BC，然后就可以求出四边形ABCD的周长．【详解】解：由于小方格正方形的边长为1，由勾股定理从图中知，四边形ABCD.【点睛】解答本题的关键是熟练掌握网格的特征，灵活选择合适的直角三角形运用勾股定理．⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则AB，AC，AD，三条线段中，长18．如图，在26度最接近5的线段是______.【答案】AC【分析】根据题意找到AC、AB、AD所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．【详解】根据题意得：=，==因为所以长度最接近5的线段是AC．故答案为AC【点睛】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．19．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△，则△中边上的高是．【答案】2【分析】求出三角形ABC 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC 边上的高．【详解】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，S △ABC =S 正方形AEFD -S △AEB -S △BFC -S △CDA =1113221211122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= =∴△ABC 中BC 边上的高是322⨯= 故答案为：220．观察下列式子：当2n =时，224a =⨯=，2213b =-=，2215c =+=，3，4，5是一组勾股数；当3n =时，236a =⨯=，2318b =-=，23110c =+=，6，8，10是一组勾股数；当4n =时，248a =⨯=，24115b =-=，24117c =+=，8，15，17是一组勾股数……根据以上规律，用含n （2n ≥的整数）的代数式表示具备上述特点的勾股数a = _______，b = _______，c =_______.【答案】2n ； 21n -； 21n +.【分析】分析题中所给式子，即可得出a ＝2n ，b ＝n 2−1，c ＝n 2＋1．【详解】根据以上规律，用含n （2n ≥的整数）的代数式表示具备上述特点的勾股数：a ＝2n ，b ＝n 2−1，c ＝n 2＋1.【点睛】此题主要考查了数据变化规律以及勾股数，根据所给式子得出a 、b 、c 与n 的关系是解题关键．三、解答题21．如图所示，3AC =，2BC =，5AD =，求正方形BEFD 的面积.【答案】12BEFD S =正方形.【分析】在Rt ABC ∆中根据勾股定理计算出AB 2的长度，在Rt ABD ∆中根据勾股定理计算出BD 2，从而得出正方形BEFD 的面积.【详解】在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得22222329413AB AC BC =+=+=+=.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得222251312BD AD AB =-=-=. 所以212BEFD S BD ==正方形.【点睛】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.22．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．【答案】（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.【详解】（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10===，∴△ADB的面积为ADB11S AB DE1031522∆=⋅=⨯⨯=.23．如图，点E在正方形ABCD内，AE=6，BE=8，AB=10．试求出阴影部分的面积S．【答案】76【解析】试题分析：先判断△ABE是直角三角形，再用正方形的面积-直角△ABE的面积即可求解.试题解析：在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，∴△ABE是直角三角形，∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE=100﹣×6×8=76．24．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积．【答案】10【分析】根据直角坐标系的特点及勾股定理即可求出各边的长，即可求出周长与面积.【详解】解：∵A（0，2），B （4，0），C （6，4），BCAC，∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC＝＝∵AB 2+BC2＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°， ∴△ABC的面积＝1102⋅=．【点睛】此题主要考查直角坐标系的应用，解题的关键是熟知勾股定理进行求解.25．已知，如图，点A （a ，b ），B （c ，d ）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ．（1）CD= ，|DB ﹣AC|= ；（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）（2）请猜想：A ，B 两点之间的距离；（3）利用猜想，若A （﹣2，5），B （4，﹣4），求AB 两点之间的距离．【答案】（1）,c a b d -- ；（2；（3）【分析】（1）CD 的长为A 、B 两点的横坐标之差的绝对值；|DB ﹣AC|为A 、B 两点的纵坐标之差的绝对值；（2）作垂线构造直角三角形，利用勾股定理推出距离公式；（3）利用（2）的公式计算．【详解】解：（1）CD=|c ﹣a|，|DB ﹣AC|=|b ﹣d|；（2）如图，过点B 作BE ⊥AD 与点E ， AE a c =-，BE bd =-，由勾股定理，AB ==（3）根据上一问的公式，=．【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需要注意的是在用坐标表示线段长度的时候要加上绝对值．26．已知：整式()()22212A n n -＝+，整式0B >．尝试: 化简整式A ．发现: 2A B =，求整式B ．联想:由上可知，222212B n n +＝（﹣）（），当n ＞1时2,1,2,n n B -为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：【答案】尝试：221（）A n =+；发现：21＝B n +；联想：17，37. 【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A ，进而求出B ，再把n 的值代入即可解答．【详解】A=（n 2﹣1）2+（2n ）2=n 4﹣2n 2+1+4n 2=n 4+2n 2+1=（n 2+1）2．∵A=B 2，B ＞0，∴B=n 2+1，当2n=8时，n=4，∴n 2+1=42+1=17；当n 2﹣1=35时，n 2+1=37．故答案为：17；37．【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．。

人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)

求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,

专题04 勾股定理与网格问题(解析版)

专题04 勾股定理与网格问题一、单选题1．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条【答案】B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【解析】=，=d=2，5∵长度是无理数的线段有2条，故选B．【小结】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．A B C E为格点．O为大正方形的内切圆，BC 2．如图，在22⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1,,,,∠=（）交O于点D，则cos AEDA B C．D5【答案】B【分析】由圆周角定理得到∵AED=∵ABD ，再由勾股定理求出BC 的长，即可求出cos∵AED 的值．【解析】由题意可得，∵AED=∵ABD在Rt∵ABC 中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：==所以cos∵AED=cos∵ABD=AB BC == 故选：B ．【小结】本题考查了圆周角定理，利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，解题的关键是找到直角三角形，从而利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形3．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（）A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵【答案】A【分析】利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.【解析】由图，根据勾股定理，可得出∵图中阴影三角形的边长分别为：；∵∵图中阴影三角形的边长分别为：∵图中阴影三角形的边长分别为：可以得出∵∵22===，所以图∵∵两个阴影三角形相似；故答案为：A.【小结】本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确. 4．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则BAC ∠的大小是（）A ．30BAC ∠=B ．45BAC ∠= C ．60BAC ∠=D ．90BAC ∠=【答案】D【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案．【解析】2AB ==AC ==5BC ==∵AB 2+AC 2=BC 2=25，∵∵ACB 是直角三角形，∵∵BAC=90°．故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．5．在正方形网格中，ABC ∆的位置如图所示，则sin BAC ∠的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．43【答案】A【分析】延长AB 至D ，使AD=4个小正方形的边长，连接CD ，先证出∵ADC 是直角三角形和CD 的长，即可求出sin BAC ∠的值．【解析】延长AB 至D ，使AD=4个小正方形的边长，连接CD ，如下图所示，由图可知：∵ADC 是直角三角形，CD=3个小正方形的边长根据勾股定理可得：5=个小正方形的边长 ∵3sin 5CD BAC AC ∠== 故选A ．【小结】此题考查的是求一个角的正弦值，掌握构造直角三角形的方法是解决此题的关键．6．如图，正方形ABCD 是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE ，AF ，则EAF ∠=（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒【答案】B【解析】【分析】连结EF ，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE ，EF ，AF 的长度，继而可得出∵EAF 的度数．【解析】如图，连接EF .根据勾股定理，得225AE EF ==，210AF =.因为5510+=，所以222AE EF AF +=，所以AEF ∆是等腰直角三角形，所以45EAF ∠=︒.故选B.【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断∵AEF 是等腰直角三角形是解决本题的关键．7．如图，在44⨯的正方形网格中，点A ，B ，M ，N 都在格点上．从点M ，N 中任取一点，与点A ，B 顺次连接组成一个三角形，则下列事件是必然事件的是（）A．所得三角形是锐角三角形B．所得三角形是直角三角形C．所得三角形是钝角三角形D．所得三角形是等腰三角形【答案】D【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质以及随机事件的概念解答．【解析】如图，连接AN，AM，BM．A、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是锐角三角形属于随机事件，故本选项说法错误．B、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是直角三角形属于随机事件，故本选项说法错误．C、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是钝角三角形属于不可能事件，故本选项说法错误．D、如图，由AB＝BN，AM＝BM得到∵ABN和∵ABM是等腰三角形，则所得三角形是等腰三角形属于必然事件，故本选项说法正确．故选D．【小结】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质以及随机事件，解题时，利用了数形结合的数学思想，难度不大．，则AC边上的高是（）8．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得ABCA B C D 【答案】D【分析】首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得AC 的长，最后根据三角形的面积公式求出AC 边上的高．【解析】∵三角形ABC 的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即S ∵ABC =2×2－12×1×2－12×1×2－12×1×1=32，=,∵AC 边上的高=3122÷. 故本题答案为：D.【小结】本题主要考查了勾股定理、正方形及三角形的面积公式，根据题意求出∵ ABC 的面积及AC 的长是解题的关键.9．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB ∠的值为（）A B C ．12 D ．3【答案】A【解析】【分析】设小正方形的边长为1，过点B 作BD∵AC 于D ，过点B 作BF∵AE 于点F ，由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin∵ACB 的值．设小正方形的边长为1，过点B 作BD∵AC 于D ，过点B 作BF∵AE 于点F ， ∵S ∵ABC =2×7-12×1×3−12×1×7−12×2×4=5，由勾股定理可知：AC=221752+= ，∵12AC•BD=5， ∵BD=2，由勾股定理可知：BC=221310+= ，∵sin∵ACB=BD BC =25510= . 故选：A ．【小结】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD 的长．10．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∵CAB 等于（）A ．12BCD ．2【答案】B【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin∵CAB【解析】作CD ∵AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC BC ＝2，AB ∵322AB CD BC ⋅⨯=，∵2322CD ⨯=，解得，CD∵sin∵CAB ＝CD AC ==，故选：B ．【小结】本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键．11．如图，∵ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos∵C ＝（）A ．12B ．2C ．2D 【答案】D【分析】连接BD ，根据图形，可以求得AB 、AD 、DB 的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到∵ADB 时直角三角形，再根据图形，可以得到AC 、BC 的长，即可得到CD 的长，然后即可得到cos∵C 的值．【解析】连接BD ，由图可得，BD ，AD AB ，∵BD 2+AD 2＝AB 2，∵∵ADB 是直角三角形，∵ADB ＝90°，∵AC=AD BC 5=，∵CD ＝，∵cos∵C ＝CD CB =，故选：D ．【小结】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos∵C ＝CD CB，是解题的关键． 12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，ABC ∆是格点三角形，在图中的88⨯正方形网格中，将ABC ∆绕点A 旋转，得到ADE ∆（不含ABC ∆），使得ADE ∆也是格点三角形（同一位置的格点三角形ADE ∆只算一个），这样的格点三角形ADE ∆一共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】利用勾股定理求出AB=5=AC ，利用旋转角等于∵BAC ，90°，90°+∵BAC ，可得3个∵ADE 即可．【解析】利用勾股定理=5=AC ，以点A 为圆心旋转∵BAC 得∵AD 1E 1，以点A 为圆心旋转90°得∵AD 2E 2，以点A 为圆心旋转90°+∵BAC 得∵AD 3E 3，在网格中将ABC ∆绕点A 旋转，得到ADE ∆共有 3个．故选择：C ．【小结】本题考查三角形全等变换，掌握全等变换的方法，关键利用旋转角等于∵BAC ，90°，90°+∵BAC ． 13．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A ．S ∵ABC ＝10B ．∵BAC ＝90°C ．AB ＝D ．点A 到直线BC 的距离是2【答案】A【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．A 、S ∵ABC ＝4×4﹣12×3×4﹣12×1×2﹣12×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B 、∵AC 2＝12+22＝5，AB 2＝22+42＝20，BC 2＝32+42＝25，∵AC 2+AB 2＝BC 2，∵∵BAC ＝90°，本选项结论正确，不符合题意；C 、∵AB 2＝20，∵AB ＝D 、设点A 到直线BC 的距离为h ，则1212×5×h ，解得，h ＝2，本选项结论正确，不符合题意；故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．14．如图，在四个44⨯的正方形网格中，三角形相似的是（）A ．∵和∵B ．∵和∵C ．∵和∵D ．∵和∵【答案】D【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．【解析】如图∵=2=如图∵==、3如图∵，该三角形的三条边长分别是：2==如图∵，该三角形的三条边长分别是：35．只有图∵中的三角形的三条边与图∵中的三条边对应成比例，故选：D ．【小结】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．15．在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A ．sin 2A =B ．1cos 2A = C ．tan 3A = D ．cos A =【答案】D【分析】本题需要构造出直角三角形，求出A ∠的度数，进而得出结论．【解析】如图将各顶点分别记为D 、E 、F ，连接BC ，由题意可得每个小格是一个正方形，设正方形的边长为1，∵1AF =，1AE =，1DC =，3BF =，2CE =，2BD =，根据勾股定理得：ABAC = BC ==∵2210+=，即 222AC BC AB +=，∵ACB 是直角三角形，且AC BC =，∵ACB 是等腰直角三角形，∵45A ∠=︒，∵cos A =故选：D ．【小结】此题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的相关知识，正确理解题意是解题的关键． 16．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（）A B C D 【答案】D【分析】根据勾股定理计算AC 的长，利用割补法可得∵ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【解析】由勾股定理得：AC =∵S ∵ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72， ∵12AC•BD ＝72，＝7，∵BD 故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．17．如图，∵ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∵ACB 的值为（）A ．13B ．35C ．23D ．12【答案】D【分析】根据题意连接BD 可知90ADB ∠=︒，进而利用勾股定理得出BD 和CD ，最后即可得出tan∵ACB 的值．【解析】如图，连接BD ，根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，则有BD CD ====，所以12BD tan ACB CD ∠===．故选：D ．【小结】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．18．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示（顶点均落在格点上），则cos α的值是（）A．35B．34C．45D．53【答案】C【分析】在直角三角形ABC中，先求解AB的长，再由锐角的余弦的定义直接可得答案．【解析】如图，标注三角形的顶点,,,A B C904,3,ACB AC BC∠=︒==，5,AB∴=由余弦的定义可得：4 cos.5ACABα==故选：.C【小结】本题考查的是余弦的定义，勾股定理的应用，掌握锐角余弦的定义是解题的关键．19．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为（）A B C D 【答案】A【分析】首先，根据勾股定理求得ABC ∆各边的长度；然后，根据勾股定理逆定理推知ABC ∆是直角三角形；最后，根据面积法来求ABC ∆中AB 边上的高．【解析】设ABC ∆中AB 边上的高为h ．210AB ，28AC =，22BC =，222AB AC BC ∴=+，90ACB ∴∠=︒， 1122ABC S BC AC AB h ，即112221022h ．解得，h =．故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 20．图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到∵ABC ，则AC 边上的高为（）A B C D．2【答案】A【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用网格采取分割法求出三角形ABC的面积，利用面积公式求出AC边上的高即可．【解析】小正方形边长为1，利用网格与勾股定理求得S∵ABC=S正方形ADEF-S∵ADC-S∵CEB-S∵AFB=4-1-12-1=32，设AC边上的高为h，∵13 AC h22=，∵h5=，故选择：A．【小结】本题考查勾股定理，正方形面积，三角形面积，掌握勾股定理以及面积额的求法，会利用面积求三角形的高是解题关键．21．如图，网络中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置的个数是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由勾股定理求出AB=∵当A为顶角顶点时；∵当B为顶角顶点时；∵当C为顶角顶点时；即可得出结果．【解析】由勾股定理得：AB=∵当A为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有1个；∵当B为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有2个；∵当C为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有1个；综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1＋2＋1＝4（个）．故选：C．【小结】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定，分类讨论是解决问题的关键．22．如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将∵OAB绕点O逆时针旋转90°，得到∵OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（）A．B．5C D【答案】C【分析】由旋转的性质作出∵A'OB'，连接AB'，由勾股定理可求解．如图，由旋转的性质作出∵A'OB'，连接AB'，∵每个小正方形的边长均为1，∵AB'=故选：C．【小结】本题考查了旋转的性质，勾股定理，确定点B'的位置是本题的关键．23．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测km那么能半径为5km的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在Р点，每一个小格的边长为1,被雷达监测到的最远点为（）A．G点B．H点C．M点D．N点【答案】B【分析】根据网格特征结合勾股定理分别求得点P到各点的距离即可判断．【解析】PG=3，PN=4，=，5=>，不在监测范围内，5∵能被雷达监测到的最远点为H点，故选：B．【小结】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．24．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∵ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．150 °【答案】B【分析】利用勾股定理的逆定理证明∵ACB为等腰直角三角形即可得到∵ABC的度数．【解析】连接AC，由勾股定理得：，∵AC2+BC2=AB2=10，∵∵ABC为等腰直角三角形，∵∵ABC=45°，故选：B．【小结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是（）．A ．AB ，CD ，EFB ．AB ，CD ，GHC ．AB ，EF ，GHD ．CD ，EF ，GH【答案】B【分析】先运用勾股定理计算出四条线段的平方，在每个选项中：把三条线段的平方按大小排序．若两个小数之和不等于最大的数，则不能构成直角三角形，该选项错误；若较小的两数之和等于最大的数就能构成直角三角形，该选项正确．【解析】由题意可得222125GH =+=，222228EF =+=，2223425AB =+=，2222420DC =+=，对于A 选项，∵222228EF =+=2223425AB =+=2222420DC =+=20+8≠25∵AB ，CD ，EF 三条线段不能构成直角三角形．对于B 选项，∵222125GH =+=2223425AB =+=2222420DC =+=∵GH ，DC ，AB 三条线段能构成直角三角形．对于C 选项，∵222125GH =+=222228EF =+=2223425AB =+=5+8≠25∵AB ，EF ，GH 三条线段不能构成直角三角形．对于D 选项，∵222125GH =+=222228EF =+=2222420DC =+=5+8≠20∵CD ，EF ，GH 三条线段不能构成直角三角形．综上讨论只有B 选项中三条线段能构成直角三角形．故选：B ．【小结】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．运用勾股定理计算长度时，要分清直角边和斜边，计算斜边用平方和，计算直角边用平方差；运用勾股定理的逆定理时，先把三角形三边按大小排序，再看最大边的平方是否等于较小两边的平方和，若相等则构成直角三角形，否则不构成直角三角形．26．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ， B 都是格点，则线段AB 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．2【答案】A【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB 的长度即可．【解析】5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理的知识，关键是作出图形使用勾股定理求解．27．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦值为（）A ．12BCD ．2【答案】B【分析】过点B 作BD∵AC 于点D ，过点C 作CE∵AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用面积法可求出CE 的长，再利用余弦的定义可求出∵ABC 的余弦值．【解析】过点B 作BD∵AC 于点D ，过点C 作CE∵AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．AB=2232BD AD +=，BC=2210BD CD +=．∵12AC•BD=12AB•CE ，即12×2×3=12•CE ，，=∵cos∵ABC=5BE BC ==．故选：B ．【小结】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE ，BC的长度是解题的关键．28．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则cos∵ADC 的值为（）A ．13BC ．13D ．23【答案】C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【解析】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt∵ABC 中，2AC =，3BC =，∵AB =∵cos∵ADC 3cos13BC ABC AB =∠===；故答案选C ．【小结】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键．∠的度数为（）29．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABCA．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∵ABC 的度数．【解析】如图，连结AC，由题意可得：=====AB AC BC∵AC=BC，222AB AC BC=+，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵∵ABC=∵BAC=45°，故选A ．【小结】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．30．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【解析】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0）则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【小结】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键. 31．如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A ．12B ．2C ．1 D【答案】B【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【解析】如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC +=，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠=== 故答案为B ．【小结】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．32．如图，设每个小方格的边长都为1 ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】2，3【解析】2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF故选：D．【小结】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．33．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则ABC中AB边上的高长为（）A B C D．2【答案】A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出∵ABC的面积和AB的长，利用三角形面积公式可得答案．【解析】过C作CD∵AB于D，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△，且12ABC S AB CD =⋅△，∵AB == ∵1322AB CD ⋅=，则CD ==，故选：A ．【小结】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点).1P ，2P ，3P ，4P ，5P 是DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】欲求有几个符合条件的三角形与ABC 相似，先利用勾股定理求出ABC 的三边的长度，然后再去求以D ，1P ， 5P 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．【解析】根据题意得AC =AB =5BC =. 连接25P P，5DP =2DP =25P P =. 故522AC AB BC DP DP P P ==，∵52ACB DP P .同理可找到24P P D ，54P DP 和ACB △相似.故选B.【小结】本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”, 理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键．35．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A 、B 、C 、D 四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（）AB ．5.5 CD ．【答案】A【分析】设正方形边长为x ，由EF 与DT 边成的角为θ，PJ 与PC 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题．【解析】设正方形边长为x ，由EF 与DT 边成的角为θ，PJ 与PC 边成的角为θ，在Rt∵DET、Rt∵POT、Rt∵PHA，Rt∵ABM中，可得EF＝ET+OT+AH+AM＝2x sinθ+3x cosθ＝19, ∵JH＝PJ+PH＝3x cosθ＝15, ∵解得x sinθ＝2，x cosθ＝5；两边平方相加得x2＝29，所以正方形的边长x．故选：A．【小结】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．二、填空题36．如图所示，∵ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD∵AC于点D，则BD的长为____________【答案】3【分析】BD即为∵ABC中AC上的高，利用等面积法即可求得BD．【解析】根据网格可知，BC=5，5AC==，11153=5222ABC S AC BD BD ，解得BD=3，故答案为：3．【小结】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识．掌握等面积法是解题关键．37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点,,A B C 在小正方形的格点上，连接,AB BC ，则ABC ∠=________．【答案】45【分析】连接,AC 利用勾股定理求解222,,,AB AC BC 证明ABC 为等腰直角三角形，从而可得答案．【解析】如图，连接,AC由勾股定理得：2222222221310,1310,2420,AB AC BC =+==+==+=222,,AB AC AB AC BC ∴=+=ABC ∴为等腰直角三角形，90,BAC ∠=︒45,ABC ∴∠=︒故答案为：45︒,【小结】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．38．如图，点A、点B均在边长为1的正方形网格的格点上，则线段AB的长度_______________3．(填“>”，“=”或“<”)【答案】＜【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】AB==∵(28=，239=，89<，∵3，故答案为：<．【小结】本题考查了勾股定理以及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键．39．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，∵ABC 的三个顶点都在格点上，则AB 边上的高为___________．【答案】65【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB 的长，再根据三角形的面积公式即可得．【解析】设AB 边上的高为h如图，由网格的特点得：2,4,3,5AC AD BD AB =====1122ABC S AC BD AB h =⋅=⋅ 1123522h ∴⨯⨯=⨯⋅ 解得65h = 故答案为：65．【小结】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．40．如图，ABC 在三个顶点均在正方形网格格点上，求AB AC=______．【分析】设正方形网格边长为x ，再根据勾股定理求得AB 、AC 的长度，从而求得其比值即可．【解析】设正方形网格边长为x ，=，=，∵10AB AC ==．．【小结】考查了勾股定理，解决关键是根据勾股定理求出AB 和AC 的值．41．在如图所示的正方形网格中，∵ABC 的三个顶点A 、B 、C 均在格点上，则点C 到AB 的距离为_____．【答案】85【分析】设点C 到AB 的距离为h ，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】设点C 到AB 的距离为h ，∵AB 5，∵S ∵ABC ＝12×2×4＝12×5×h ，∵h ＝85，故答案为：85．【小结】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．42．如图所示，已知网格中每个小正方形的边长均为1，ABC 的三个顶点均为格点，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD =________．【答案】【分析】如图，根据SABC ABG BCF AEC BGEF S S S S =---矩形，12ABC S AB DC =△据此可求．【解析】 115S 5420,448,51222ABG BCF BGEF S S =⨯==⨯⨯==⨯⨯=矩形， 131322AEC S =⨯⨯=△， ABC ABG BCF AEC BGEF S S S S S ∴=---矩形，5320822=---， 8=，Rt ABG A B ===在中，CD AB ⊥，1142822ABC S AB CD CD ∴==⨯=△，CD ∴=，故答案为：【小结】本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形面积的计算公式，会运用割补法求三角形的面积． 43．如图，已知∵ABC 的3个顶点均在格点上，则tanA 的值为__．【答案】12【分析】如图，连接BD ，根据勾股定理的逆定理得到BD∵AC ，解直角三角形即可得到结论．【解析】如图，连接BD ，根据勾股定理的逆定理得到BD ∵AC ，解直角三角形即可得到结论．如图，连接BD ，∵BC ＝2，BD ，CD∵22222224CD BD BC +=+=+==，∵BD ∵AC ，∵BD AD∵tanA ＝BD AD ＝12，故答案为：12．【小结】本题考查了解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．44．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出∵EFD 、∵ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明∵EDF ∵∵BAC ，即可解决问题．【解析】设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∵DE ＝EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∵1EF DE DF BC AB AC ===， ∵∵EDF ∵∵BAC ，∵DEF 与ABC ，．。

勾股定理的典型应用举例

勾股定理的典型应用举例勾股定理，在数学中有着非常重要的应用。

下面就举例说明。

1、拼图中用勾股定理例1、(温州市)在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。

解析：设面积为S 1的正方形的边长AB=x ，面积为S 2的正方形的边长DE=y ，面积为S 3的正方形的边长PQ=m ，面积为S 4的正方形的边长ST=n ，我们易证△BAC ≌△CDE ，△GFH ≌△HMO ，△QPR ≌△RTS ，所以，根据勾股定理，得：x 2+y 2=BC 2=1，y 2+z 2=GH 2=2，z 2+m 2=QR 2=3，x 2+y 2+y 2+z 2+z 2+m 2=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2=4，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4。

2、正方形网格上用勾股定理例2、在5×5的正方形网格上，如图2，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则a 、b 、c 的大小的关系是：A a ＜b ＜cB c ＜a ＜bC c ＜b ＜aD b ＜a ＜c （04广州）分析：假设每个正方形的边长为1，分别在三个阴影三角形中，根据勾股定理，得：AC=b=，=+2215AB=c==，2232+13BC=a==231+10所以，b ＜a ＜c ，因此，D 是正确的。

解：选D 。

例3、在5×5的正方形网格上，如图3，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则点B 到AC 的距离是。

分析：直接求这个距离，比较不容易，如果通过求三角形ABC 的面积，后利用面积公式求就容易多了。

网格问题(中考专题复习)

A. 1 2 2 ; B. 1 ; 4 C. 1 ; 7 D. 1 . 8
பைடு நூலகம்图1
图2
[解析] 题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在图1中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三 9 角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于 2 因此小正方形的面积是大正方形面积的 1 ．选 D． 8
六、利用格点图形探究规律．
【例18】如图,在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（）．
A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个．
D F C G N A E B M
[解析] 从题目的语气看，似乎要画直线AB与 CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于 AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC 是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、 AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD 的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3个，符合题意的点有4个．选C．
【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是 12，则第n个“L”形图形的周长是_________
① ② ③
① ② ③
图1 图2 [解析] 把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长没有变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是 4(n+1)．

中考数学复习：专题4-12 网格中的勾股定理

专题12 网格中的勾股定理【专题综述】网格题型是近几年的常考题型，也是近期各地中考考试的一个热点。

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。

【方法解读】一、面积问题例1 如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：2【举一反三】如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．【来源】山东省青岛市第四中学八年级数学上册：1.1探索勾股定理同步练习二、长度问题例2 如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c【举一反三】勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。

我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。

我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。

现在把这个数轴叫做x 轴，同时，增加一个垂直于x 轴的数轴，叫做y 轴，如下图。

这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A 点的位置可以表示为（2，3），而数对（2，3）所对应的点即为A 。

若平面上的点M ()11,x y ，N ()22,x y ，我们定义点M 、N 在x 轴方向上的距离为： 12x x -，点M 、N 在y 轴方向上的距离为： 12y y -。