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导数典型例题

数作 考 内容的考 力度逐年增大

.考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ，

数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ）

、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特

点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 .

一、与导数概念有关的问题

【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)⋯ (x-100) 在 x=0

的 数

.100 2

C

！

f ( 0

x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 )

解法一

f ＇ (0)= lim

x

=

lim

x

x 0

x 0

=

lim (

x-1)( x-2)⋯ (

x-100)= （ -1 ）（ -2）⋯（ -100 ） =100 ！

∴ D.

x 0

解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100

+⋯ + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）⋯（ -100 ）

=100 ！ .

∴ D.

点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化

率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 .

【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0

c 1

n x

1

c n 2 x 2

1

c n k x k

1

c n n x n ， n ∈ N * ，

2

k

n

f ( 2

2 x ) f ( 2x)

lim

x

= .

x 0

f (2 2 x)

f ( 2 x)

f ( 2 2 x)

f (2)

解 ∵

lim

x =2

lim

2 x

+

x

x 0

f 2

(

x) f ( 2)

lim

x

=2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0

又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x

c n k x k 1

c n n x n 1 ，

∴ f ＇(2)=

1

（ 2 c n 1

22 c n 2

2k c n k

2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 (

3 n -1).

2

2 2

点 数定 中的“增量

x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如

f ( x 0

m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim

f ( x 0 m x) f ( x 0 )

lim

m x

m x

， 也 可 以 是

x 0

x 0

f (x)

f (x 0 )

（令

x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x

x

x 0

知 的 合 ， 接交 、自然，背景新

.

【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速

度是

.

解 ∵ S=π R 2 ，而 R=R(t )， R t =2 cm/s ，∴ S t = (πR 2 ) t =2π R · R t =4π R ， ∴

S t / R=10=4π R/ R=10=40 π cm 2/s.

点评 R 是 t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间 t 而言的（ R 是中间变量） ，此题

易出现“∵ S=π R 2， S ＇=2π R ， S ＇/ R=10=20π cm 2/s ”的错误 .本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速

度是向量，故变化率可以为负值 .2004 年高考湖北卷理科第16 题是一道与实际问题结合考查

导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在 写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失

4 分 .

二、与曲线的切线有关的问题

【例 4】 以正弦曲线 y=sin x 上一点 P 为切点的切线为直线

l ，则直线 l 的倾斜角的范围

是

A. 0,

π

∪

3π

,π B. 0,π

C.

π, 3π

D.

0, π ∪ π, 3π

4

4

4

4

4

2

4

解 设过曲线

y=sinx 上点 P 的切线斜率角为α，由题意知， tan α =y ＇ =cosx.

∵ cosx ∈ [-1 ， 1] ， ∴ tan α∈ [-1 ， 1] ，又α∈

0,π ，∴α∈ 0, π ∪ 3π

,π .

4 4

故选 A.

点评 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数 f ＇(x 0 )表示曲线， y=f(x)在点（ x 0，f(x 0 )）处的切线斜率，

即 k=tan α (α为切线的倾斜角 )，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及

直线倾斜角的范围，极易出错.

【例 5】 曲线 y=x 3-ax 2 的切线通过点（ 0， 1），且过点（ 0， 1）的切线有两条，求实数a 的值 .

解 ∵点（ 0， 1）不在曲线上，∴可设切点为（m,m 3-am

2

） . 而 y ＇=3x 2 -2ax ，

∴ k 切 =3m 3 -2am ，则切线方程为 y=(3m 3-2am )x-2m 3 -am 2 .

∵切线过（ 0， 1），∴ 2m 3-am 2+1=0.(*)

设（ * ）式左边为 f (m)，∴ f (m)=0，由过（ 0， 1）点的切线有 2 条，可知 f (m)=0 有两个实

数解，其等价于“

f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于

0，且 a ≠ 0” .

由 f(m)=2m 3

-am 2

+1，得 f ＇ (m )= 6m 3

-am 2

=2m(3m-a)，令 f ＇(m)=0，得 m=0， m= a

，

3

∴ a ≠ 0， f (0)· f( a )=0，即 a ≠ 0， - 1

a 3 +1=0，∴ a=3.

3 27

点评 本题解答关键是把 “切线有 2 条”的“形” 转化为 “方程有 2 个不同实根” 的“数”，

即数形结合，然后把三次方程（

* ）有两个不同实根予以转化

.三次方程有三个不同实根等价

于“极大值大于

0，且极小值小于 0” .另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否

在曲线上 .

三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题