2019八年级数学上册第6讲分式方程的应用培优(无答案)(新版)湘教版

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初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解)

（1）求第一批采购的书包的单价是多少元？
（2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用元网购的型口罩与小磊家用元在药店购买的型口罩的数量相同，型与型口罩的单价之和为元，求两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？

分式方程的应用同步培优题典(解析版)

专题5.8分式方程的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（） A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时【分析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．【解析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据题意得：180(3−x)x=80x 3−x，解得：x 1＝1.8或x 2＝9，经检验：x 1＝1.8或x 2＝9是原方程的解， x 2＝9不合题意，舍去，故选：C ．2．（2020•昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（） A ．1600元B ．1800元C ．2000元D ．2400元【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．【解析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据题意得：8000+40001.2x−8000x=1，解得：x ＝2000，经检验：x ＝2000是原方程的解，答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C ．3．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A 、B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为（） A ．197元B ．198元C ．199元D ．200元【分析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据“花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数”列方程即可．【解析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据题意列方程得：4000x=4400x+20，解得：x ＝200经检验：x ＝200是原方程的解，故选：D ．4．（2020•龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个，根据题意列出方程即可求出答案．【解析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个，根据题意可知：12x−1=121.5x，解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，故选：B ．5．（2020•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．【解析】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米， ∵所列分式方程为60(1−20%)x−60x =30，∴60(1−20%)x为实际工作时间，60x为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．故选：C ．6．（2020•锦州二模）小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg ．设这种大米的原价是每千克x 元，则根据题意所列的方程是（） A ．100x+12020%x =50 B ．100x+120(1−20%)x=50C ．10020%x+120x=50D ．100(1−20%)x+120x=50【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据两次一共购买了50kg 列出方程，求解即可．【解析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据题意，得100x+120(1−20%)x=50，故选：B ．7．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，则下列方程中正确的是（） A ．2400x −2400(1+20%)x=40B ．2400x−2400×(1+20%)x=40 C ．2400×(1+20%)x −2400x=40D ．2400(1+20%)x−2400x=40【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．【解析】设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，根据题意可得：2400×(1+20%)x−2400x=40．故选：C ．8．（2020秋•三水区校级月考）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同，求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？若设乙种兰花的成本是x 元．则下列方程正确的是（） A ．1200x−100=900x B ．1200x+100=900xC ．900x+100=1200xD ．900x−100=1200x【分析】直接利用用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同得出等式求出答案．【解析】设乙种兰花的成本是x 元，则甲种兰花的成本为（x +100）元，根据题意可得：1200x+100=900x．故选：B ．9．（2020秋•温州月考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x 个，则下列选项中所列方程正确的是（） A ．900x =4001.5x +20 B ．400x =9001.5x +20 C ．9001.5x=400x+20D ．4001.5x=900x+20【分析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可．【解析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个，根据题意，得9001.5x=400x+20．故选：C ．10．（2020春•翠屏区期中）小兰乘301公共汽车从叙州区到相距40千米的南溪区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了35小时，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（） A ．40x+20=35×40x B ．40x =35×40x+20C ．40x+20+35=40xD ．40x=40x+20−35【分析】根据公共汽车的平均速度为x 千米/时，得出出租车的平均速度为（x +20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了35小时，得出分式方程即可．【解析】设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为（x +20）千米/时，根据题意得出：40x+20+35=40x．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•西湖区校级月考）商场销售某种商品，1月份销售了若干件，共获利润30000元，2月份把这种商品的单价降低了0.4元，但销售量比1月份增加了5000件，从而获得的利润比1月份多2000元，求调价前每件商品的利润是多少元？解：设调价前每件商品的利润是x 元，可列出方程．【分析】根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，等量关系是降价前的销售量+5000＝降价后的销售量．【解析】由题意可得，所列方程为：30000x +5000=30000+2000x−0.4，故答案为：30000x+5000=30000+2000x−0.4．12．（2020•黄岛区二模）甲、乙两组学生去距学校4千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发20分钟后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知骑自行车速度是步行速度的3倍，设步行速度为x 千米/时，则根据题意可以列出方程．【分析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时，根据时间＝路程÷速度结合骑自行车的同学比步行的同学少用20分钟，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时，依题意，得：4x −43x=2060．故答案为：4x−43x=2060．13．（2020•宿迁二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟，若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可列分式方程．【分析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟（即14小时），即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时，依题意，得：25x−25+7(1+60%)x =14．故答案为：25x−25+7(1+60%)x=14．14．（2020春•襄汾县期末）某工程队修建一条长1200m 的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm ，则列出的方程为．【分析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米，根据工作时间相差4天，列方程解答即可．【解析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米，根据题意，列方程为：1200x−1200(1+50%)x=4．故答案是：1200x−1200(1+50%)x=4．15．（2020春•西工区校级月考）某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是 28 天．【分析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），根据甲乙合作完成的工作量+乙独做完成的工作量＝工作总量建立方程求出其解就可以了．【解析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），由题意，得20×1x+12+x+2x+32=1，解得：x ＝28．经检验，x ＝28是元方程的解．答：规定的时间是28天．故答案是：28．16．（2020春•越秀区期末）甲和乙同时从A 地出发，匀速行走到B 地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有 4 千米．【分析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，根据两人的速度之比为定值，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论，再结合“甲走完一半路程时，乙才走了4千米”，即可求出结论．【解析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，依题意，得：12x 4=912x ，化简，得：x 2＝144，解得：x 1＝12，x 2＝﹣12，经检验，x 1＝12，x 2＝﹣12均为原方程的解，x 1＝12符合题意，x 2＝﹣12不符合题意，舍去， ∴x ﹣4×2＝4．故答案为：4．17．（2020•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 5280 元．【分析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出x 的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．【解析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据题意得：2×3000x +300=90001.2x，解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，则3000x=30005=600，90001.2x=90001.2×5=1500，1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．答：该超市可以捐助5280元．故答案为：5280．18．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是 40 元．【分析】设第一批进货的单价为x 元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可解决问题．【解析】设第一批进货的单价为x 元/件，由题意2×4000x=9000x+5，解得x ＝40，经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次进货单价为40元/件，故答案为：40．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•邗江区校级三模）某社区计划对1200m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？【分析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2，依题意，得：300x−3002x=3，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2x ＝100．答：甲施工队每天能完成绿化的面积是100m 2，乙施工队每天能完成绿化的面积是50m 2．20．（2020春•高新区期末）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，苏州某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩．【分析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，依题意，得：6000x−60002x=5，解得：x ＝600，经检验，x ＝600是原分式方程的解，且符合题意， ∴2x ＝1200．答：甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩． 21．（2020•曲靖二模）请你认真阅读如图对话，解决实际问题．请根据如图对话内容，求A 、B 两种客车各有多少个座位？试试看！【分析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据租A 种客车的数量﹣租B 种客车的数量＝1列出方程并解答．【解析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据题意得200x−280+20x+10=1．解得x 1＝40，x 2＝﹣70．经检验x 1＝40，x 2＝﹣70都是所列方程的解．当x ＝70时，不符合题意，舍去．当x ＝40时，x +10＝50（个）．答：A 种客车有40个座位，则B 种客车有50个座位．22．（2020•高州市模拟）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A 、B 两种消毒液，其中A 消毒液的单价比B 消毒液的单价多40元，用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍．（1）求两种消毒液的单价；（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A 、B 两种消毒液共70桶，问最多购买A 消毒液多少桶？【分析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元，根据数量＝总价÷单价结合用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶，根据总价＝单价×数量结合总价不多于6800元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元，依题意，得：3200x=2×2400x+40，解得：x ＝80，经检验，x ＝80是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x +40＝120．答：A 消毒液的单价为120元，B 消毒液的单价80元．（2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶，依题意，得：120y +80（70﹣y ）≤6800，解得：y ≤30．答：最多购买A 消毒液30桶．23．（2020•南岗区校级一模）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，根据总价＝单价×数量结合总价不超过670元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，依题意，得：400x+20=12×160x ，解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意，∴x +20＝25．答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，依题意，得：25m +5（2m +8﹣m ）≤670，解得：m ≤21．答：该学校最多可购买21个测温枪．24．（2020•松北区三模）出于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．（1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，至少购进甲型号手机多少台？【分析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元，根据数量＝总价÷单价结合“如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲型号手机m 台，则购进乙型号手机（20﹣m ）台，根据总价＝单价×数量结合总价不多于7.6万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．【解析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元，依题意，得：90000x =80000x−500，解得：x ＝4500，经检验，x ＝4500是原方程的解，且符合题意．答：一月份甲型号手机每台售价为4500元．（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，依题意，得：3500m+4000（20﹣m）≤76000，解得：m≥8．答：至少购进甲型号手机8台．。

湘教版数学八年级上册1.5《分式方程的应用》说课稿1

湘教版数学八年级上册1.5《分式方程的应用》说课稿1一. 教材分析《分式方程的应用》是湘教版数学八年级上册第1.5节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的应用，学会如何将实际问题转化为分式方程，并能够求解。

教材通过引入实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和性质，对分式有一定的认识。

但是，学生对分式方程的应用还比较陌生，需要通过实例来引导学生理解和掌握。

此外，学生可能对将实际问题转化为分式方程的过程感到困惑，需要教师进行引导和解释。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解分式方程的概念，掌握分式方程的求解方法，能够将实际问题转化为分式方程并求解。

2.过程与方法目标：通过实际问题的引入和解决，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的数学应用意识。

3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解分式方程的概念，掌握分式方程的求解方法。

2.教学难点：学生能够将实际问题转化为分式方程，并能够求解。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、实例教学法和小组合作学习法。

通过教师的讲解和实例的分析，引导学生理解和掌握分式方程的应用。

同时，通过小组合作学习，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过引入实际问题，激发学生的兴趣，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题。

2.新课导入：讲解分式方程的概念和性质，引导学生理解分式方程的定义和求解方法。

3.实例分析：通过具体的实例，引导学生将实际问题转化为分式方程，并求解。

4.小组合作：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

5.总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，引导学生进一步思考和探索。

七. 说板书设计板书设计主要包括以下几个部分：1.分式方程的概念和性质2.分式方程的求解方法3.实际问题转化为分式方程的步骤4.小组合作学习的成果展示八. 说教学评价教学评价主要包括学生的课堂表现、作业完成情况和小组合作学习的效果。

湘教版八年级数学上册《可化为一元一次方程的分式方程》知识全解

《可化为一元一次方程的分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义．（通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程．例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+．（易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基．例解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。

2022年湘教版八上《分式方程的应用》立体精美课件

因此x=2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.
当堂练习
1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为( A )
2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知 A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水
∴NG是△ACD的中位线MG，是△ABC 的中位线．∴NG∥CD 且 NG
＝12CD，MG∥AB 且 MG＝12AB.∵AB＝CD，∴ NG ＝ MG.∴∠1 ＝ ∠2.∵NG∥CD ， ∴ ∠ 1 ＝ ∠ CFM.∵MG∥AB，∴∠2＝∠BEM.∴∠BEM＝ ∠CFM.
解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的
工作效率是 1 ，根据题意得
3
1(11)111, 3 2 x2
即
1 1 1. 2 2x
方程两边都乘以6x,得
3x36x.
解得 x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独
施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
设乙单独完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 1
甲队的工作效率是 1
，合作的工作效率是 ( 1 1 )
x
.
3
x3
表格为
变形1 如图，在锐角三角形ABC中，分别以 AB ， AC 为边向外作等边三角形 ABM ， ACN，已知D，E，F分别是BM，BC，CN的中点，连接DE，EF.求证：DE＝EF.

湘教版数学八年级上册1.5.2 《分式方程的应用》导学案(无答案)

2.A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。
（四）、行程中的应用性问题
1.我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
＋＝1.解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
5、活动3课堂小结
1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.
分析：
路程
速度
时间
甲
18＋1×2
x＋0.5
乙
18
x
等量关系：t甲＝t乙.
解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.
根据题意，列方程得
＝ .
解得x＝4.5.
检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.
所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖 ÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半.所以列方程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
3、活动1小组讨论
例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？

湘教版八年级上册数学第1章分式分式方程的应用

感悟新知
知1－讲
例1 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？
分析本题涉及的等量关系是：补贴前11万元购买的台数×(1+10%)= 补贴后11万元购买的台数.
1000 800 . x 20 x
感悟新知
方程两边同乘最简公分母x(x+20)，
知1－导
得1000x=800(x+20).解得x=80
检验：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，因
此x=80是原方程的根，且符合题意.

由此可知，B型机器人每小时搬运原料80kg，A型
机器人每小时搬运原料100kg.
课堂小结
分式方程的应用
1.列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单
位要统一，选择一个未知量用未知散表示，并用舍未知数的代数式表示相关量。 (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知散的值. (5)验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案完整.
于0，因此x=2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.
感悟新知
总结
知1－讲
解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解，分式方程的检验，除了要检验它的解是否是增根，还要看它的解是否符合实际情况.

湘教版八年级上册1.5.2分式方程的应用课件

列分式方程解应用题的基本步骤是：
(1)审——审清题意、找等量关系．
(2)设——设未知数．
(3)列——根据等量关系列方程．
(4)解——解方程．
既要验是否为所列分
(5)验——
式方程的根，又要验
是否符合实际情况
(6)答——写出答案．
1、和差倍分问题
例1.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
练1、抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
练2、书本P36练习T1
3、行程问题
例3、某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全程 25km，线路二全程30km；若走线路二平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min，则走线路一、二的平均车速分别为多少？
知识回顾
解分式方程的一般步骤一化二解三验四写
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解是原分式方程的增根，必须舍去.
4、写出原方程的根.
1、解方程
1、李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校，已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1) 李明步行的速度是多少千米/小时？ (2) 李明能否在联欢会开始前赶到学校？

八年级数学分式方程湘教版知识精讲

初二数学分式方程湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：分式方程教学目标：1. 知识与技能（1）知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程。

（2）知道增根及产生增根的原因，明确检验是解分式方程必不可少的重要步骤。

（3）能列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。

2. 过程与方法在解分式方程中体验转化的数学思想。

3. 情感、态度与价值观在共同探索中，体会方程思想，提高分析和解决问题的能力，感悟数学的价值。

二. 重点、难点重点：1. 解可化为一元一次方程的分式方程。

2. 可根据题意列出分式方程。

难点：1. 解分式方程的步骤及验根的原理与方法。

2. 会找出分式方程应用题中的等量关系。

知识要点归纳：1. 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程。

即分式方程的重要特征是方程中分式的分母里含有未知数。

2. 如何解分式方程（1）在分式方程的两边都乘以方程中的各分母的最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2）解这个整式方程。

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，若是零，就是原分式方程的增根，必须舍去。

3. 解分式方程的基本思想是将它转化为整式方程，转化的方法有：（1）两边同乘以最简公分母；（2）换元法4. 分式方程产生增根的原因分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，但因其使分式方程的某个分母等于零，这时原方程中的分式就没有意义了，故应是原方程的增根。

5. 分式方程的应用列分式方程解应用题的方法与列一元一次方程解应用题的方法基本相同，即其步骤为：（1）审题：它是解应用题的重点，其关键是找出题目中的等量关系。

（2）设未知数：同时也要写出有关的代数式，并要写好单位。

（3）根据题意找等量关系，列出分式方程。

（4）解分式方程并验根，验根时不仅要注意检验其根是否为增根，而且还需要检验是否符合应用题的实际要求。

（5）写出答案，注意写好单位。

【典型例题】基础知识题例1. 解方程：3128715722--+--+=+--x x x x x x x分析：（1）解此题的第一步是要把分式方程中的每一个分式的分子、分母都按x 的降幂排列，并且最高次项的系数要化为正数，这样再解方程就不容易出现符号错误，也便于找最简公分母。

初中数学分式方程的增根、无解问题解答题培优训练2(附答案详解)

初中数学分式方程的增根、无解问题解答题培优训练2（附答案详解）1．若分式方程4522-x m x x=+-有增根，求m 的值。

2．已知关于x 的分式方程3266x m x x -=--的解是正数，求m 的取值范围. 3．当m 满足什么条件时，关于x 的方程352x m x +=-的解是正数？ 4．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程1122x x +=+的解为12x =,212x =；方程1133x x +=+的解为13x =,213x =；方程1144x x +=+的解为14x =,214x =； … （1）观察上述方程的解,猜想关于x 的方程1155x x +=+的解是___；（2）根据上面的规律,猜想关于x 的方程11x a x a +=+的解是___；（3）猜想关于x 的方程x−1112x =的解并验证你的结论；（4）在解方程：21013y y y ++=+时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。

5．阅读材料：关于x 的方程：11=c+x x c +的解121=;=x c x c 11=x c x c --（可变形为11=x c x c --++）的解为：121=,=x c x c- 22=x c x c ++的解为122=,=x c x c 33=x c x c ++的解为：123=,=x c x c ……….根据以上材料解答下列问题：（1）①方程11=22x x ++的解为1x =_______, 2x =__________; ②方程111=212x x -++-的解为1x =_______, 2x =__________; （2）解关于x 方程：33=(2)22x a a x a --≠-- 6．已知关于x 的分式方程211m x -=+的解是负数，求m 的取值范围.7．若关于x 的方程344x a x x -=--的解不小于2，求a 的取值范围． 8．（1）先化简，再求值：2336a a a --÷（242a a --﹣52a -），其中a 2+3a ﹣1＝0．（2）若关于x 的分式方程2122x m x x -=--+1的解是正数，求m 的取值范围． 9．阅读材料：关于x 的方程：x +＝c +的解是x 1＝c ，x 2＝；x -＝c -（既x +＝c +）的解是x 1＝c ，x 2＝-； x +＝c +的解是x 1＝c ，x 2＝； x +＝c +的解是x 1＝c ，x 2＝；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程x +＝a +（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证：（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解下面关于x 的方程（直接写出答案）； ①x +＝4+ ； ②x +＝a + ． 10．（1）若a 12=-，先化简再求2222121a a a a a a a--+++-（2）已知若关于x 的分式方程213m x m x x+-=- 无解，则m 的值是多少？ 11．关于x 的的分式方程2433x m m x x++=--的解为非负数，求实数m 的取值范围. 12．若关于x 的方程2132x 24k x x +=-+-有增根，求增根和k 的值. 13．关于x 的分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围. 14．已知关于x 的分式方程242111m x x x -=+--. （1）解这个分式方程（结果用m 表示）；（2）若这个分式方程的解是非负数，求实数m 的取值范围.15．若关于x 的分式方程x m 3m 3x 242x++=--的解为正实数，求实数m 的取值范围．16．已知关于x 的方程233x m x x 的解是一个正数，求m 的取值范围． 17．按要求解答下列各题：(1)化简：()222211121a a a a a a +-÷+---+； (2)解分式方程：11121x x x ++=-+； (3)已知关于x 的方程233x m x x -=--有一个正数解，求m 的取值范围． 18．当m 为何值时，关于x 的方程的解是非负数？19．若关于x 的方程21339x m x x -=--有增根，求m 的值． 20．若关于x 的分式方程21-1-1x m x x +-=1的解是负数,求m 的取值范围. 21．阅读下列材料：关于x 的分式方程x+1x ＝c+1c 的解是x 1＝c ，x 2＝1c； x ﹣1x ＝c ﹣1c ，即x+1x -＝c+1c -的解是x 1＝c ，x 2＝﹣1c ； x+2x＝c+2c 的解是x 1＝c ，x 2＝2c ； x+3x ＝c+3c 的解是x 1＝c ，x 2＝3c ．（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x 的方程x+m x＝c+m c （m≠0）的解是什么？并利用方程解的概念（使得方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解）进行验证．（2）根据以上的规律方法解关于x 的方程：x+21x -＝a+2a 1- 22．当m 为何值时，关于x 的方程22011mx x x -=+-会产生增根？ 23．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围？经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路如下：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为4x a =+.由题意可得40a +>，所以4a >-，问题解决.小聪说：你考虑的不全面.还必须保证0a ≠才行.请回答：_______________的说法是正确的，并说明正确的理由是：__________________. 完成下列问题：（1）已知关于x 的方程233m x x x-=--的解为非负数，求m 的取值范围；（2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解.直接写出n 的取值范围. 24．若方程11x -＝2x a -的解为正数，求a 的取值范围． 25．阅读理解下列一组方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①x+=1+2得x=1或x=2；由②x+=2+3得x=2或x=3；由③x+=3+4得x=3或x=4．（1）问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；（2）规律探究：若n 为正整数，请写出第n 个方程及其方程的解；（3）变式拓展：若n 为正整数，关于x 的方程x+=2n ﹣1的一个解是x=10，求n 的值．26．如果关于x 的方程1+2x x -=224m x -的解，也是不等式组1222(3)5x x x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的解，求m 的取值范围． 27．a 为何值时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根？ 28．若关于x 的方程3333x m m x x++=--的解为正数，求m 的取值范围． 29．当m 为何值时．关于x 的方程21212m x x x x x x -=---+- 的解是负数？ 30．当a 为何值时, 12221(2)(1)x x x a x x x x --+-=-+-+的解是负数? 31．m 是什么数时，分式方程3601(1)x m x x x x ++-=--有根.32．若关于x 的方程21111x k x x x x --=--+的解是正数，求k 值． 33．当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x +=--- 有增根？ 34．已知关于x 的方程223ax a x =-的根是x=1，求a 的值．参考答案1．8x=-【解析】【分析】分式方程增根问题，首先需要将方程解出，然后根据增根相关性质求解即可【详解】由4522x mx x=+--得：()452x x m=--，即10x m=+，又因为原方程有增根，所以2x=，即102m+=，所以8x=-【点睛】本题主要考查分式方程里的增根问题，遇到增根问题，抓住其公分母为零是关键2．m＞12且m≠18【解析】【分析】根据分式的方程的解法即可求出的x的表达式，然后列出不等式即可求出m的范围．【详解】去分母可得：3x-2（x-6）=m∴3x-2x+12=m∴x=m-12将x=m-12代入最简公分母可知：m-12-6≠0，∴m≠18∵分式方程的解是正数，∴m-12＞0，∴m＞12∴m的取值范围为m＞12且m≠18【点睛】本题考查分式方程的解法，涉及分式方程的増根，不等式的解法．易错点是列不等式时只考虑解是正数，没有考虑分母不为0.3．m>-10且m≠-6.【解析】【分析】首先解方程，得出含有m 的解，然后列出不等式，即可得解.【详解】解方程得，3510x m x +=-102m x += 方程的解为正数，即1002m +＞，且20x -≠ 解得m>-10且m ≠-6.【点睛】此题主要考查利用分式方程的解，求解参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.4．（1）15=x ,215x =；（2） 1x a =,21x a = ；（3）x 1=2,x 2=−12；（4） 1222,3y y ==- ；【解析】【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．【详解】（1）猜想方程1155x x +=+ 的解是1215,5x x == ；（2）猜想方程11x a x a +=+ 的解是1x a =，21x a=； (3)猜想关于x 的方程x−1112x =的解为x 1=2,x 2=12，理由为：方程变形得：x−112-2x =,即x+(−1x )=2+(−12),依此类推得到解为x 1=2,x 2=−12；（4）方程变形得：111313y y ++=++，可得13y +=或 113y +=，解得：1222,3y y ==-. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤. 5．（1）①1x =2, 2x =12；②1x =3, 2x =32；（2）1x =a, 2x =272a a -- 【解析】【分析】（1）①由方程11=22x x ++，根据题意即可求解；②由方程111=212x x -++-，根据题意即可求解；（2）本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．【详解】解：（1）①方程11=22x x ++的解为：1x =2, 2x =12； ②根据题意得：112,12x x -=-=解得：1x =3, 2x =32（2）两边同时减2变形为：332222x a x a --=---- 得：322,22x a x a --=--=- 解得：1x =a, 2x =272a a -- 【点睛】本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．6．3m <且2m ≠.【解析】【分析】先解出关于x 的分式方程211m x -=+，根据解为负数，即可求得m 的取值范围．【详解】由21m x -+=1得，12x m +=- ∴3x m =-∵x ＜0，且x+1≠0∵3m -＜0且31m -≠-∴3m <且2m ≠【点睛】本题考查了分式方程的求解，考查了一元一次不等式的求解．根据解为负数，表示成不等式再求解是解题的关键．7．a 的取值范围是a ≤8且a ≠4．【解析】【分析】根据解分式方程，可得关于a 的表达式，根据解不等式，可得答案．【详解】两边都乘（x ﹣4），得x ﹣3（x ﹣4）＝a ，解得x ＝122a - ≠4，由关于x 的方程344x a x x -=-- 的解不小于2，得 122a -≥2，解得a ≤8，a 的取值范围是a ≤8且a ≠4．【点睛】本题考查分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．8．（1）13；（2）m ＞1且m ≠3．【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 2+3a-1=0，即a 2+3a=1整体代入可得；（2）解分式方程得出x=m-1，由分式方程的解为正数得m-1＞0且m-1≠2，解之即可．【详解】（1）原式＝33(2)aa a--÷292aa--＝33(2)aa a--•2+3a-3)aa-（）（＝13(+3)a a＝213(+3a)a，当a2+3a﹣1＝0，即a2+3a＝1时，原式＝131⨯＝13．（2）解方程212xx--＝2mx-+1，得：x＝m﹣1，根据题意知m﹣1＞0且m﹣1≠2，解得：m＞1且m≠3．【点睛】本题考查分式的混合运算、解分式方程，解题关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．9．（1），验证见解析；（2）①；②x1＝a或x2＝【解析】【分析】（1）通过观察例题方程与解得特征，得到关于x的方程（m≠0）的解，利用“方程的解”的概念，把解代入原方程，验证后即可，（2），整理得：，得到关于x的一元一次方程，解之即可，x+＝x﹣1+，整理得：x ﹣1+，解之即可．【详解】解：（1）该方程的解是x1＝a，x2＝，验证：把x＝a代入x+得：，把x＝代入x+得：x+＝a+，故得证，（2），整理得：x+1+＝5+，即x+1＝5或x+1＝，解得：x 1＝4，x 2＝﹣，故答案为：x 1＝4，x 2＝﹣ ，，整理得：x ﹣1+＝a ﹣1+，即x ﹣1＝a ﹣1或x ﹣1＝，解得：x 1＝a 或x 2＝，故答案为：x 1＝a 或x 2＝．【点睛】本题考查了解分式方程和分式方程的解，正确掌握观察与分析的能力是解题的关键． 10．（1）322+（2）﹣3，32-或0．【解析】【分析】（1）先根据a 的值判断出a ﹣1＜0，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，继而将a 的值代入计算可得；（2）将分式方程转化为整式方程，整理得出（m +3）x ＝﹣3m ，再分m +3＝0和m +3≠0分别求解可得．【详解】（1）原式=21111()()()()+--++a a a a a ， ∵a 12=-1，∴原式＝112a a a a a ---=，将a 12=- 212212213221212()----==+=+--（2）两边都乘以x （x ﹣3），得：x （2m +x ）﹣x （x ﹣3）＝m （x ﹣3），整理，得：（m +3）x ＝﹣3m ，①当m +3＝0时，原方程无解；②当m ≠﹣3时，x ＝33m m -+，若x ＝0，即m ＝0时，原方程无解；若x ＝3，即m ＝﹣32时，原方程无解； ∴原方程无解时m 的值为﹣3，﹣32或0．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值和分式方程，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及分式方程无解的情况．11．123m m ≤≠且【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求得x 的值，再根据分式方程的解为非负数，确定出m 的范围即可．【详解】解：2433x m m x x++=-- 去分母，得：()243x m m x +-=- 解得：123m x -=; ∵关于x 的的分式方程2433x m m x x ++=--的解为非负数， ∴12031233m m -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩ 123m m ∴≤≠且.【点睛】考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．增根为x=-2，k=-34.【解析】【分析】先去分母化为整式方程，然后根据原分式方程有增根，确定出最简公分母为0，求出x的值后代入整式方程进行求解即可.【详解】方程两边都乘(x-2)(x+2)，得x+2+k(x-2)=3，∵原方程有增根，∴最简公分母(x-2)(x+2)=0，解得x=2或-2，当x=2时，4=3，这是不可能的；当x=-2时，k=-34，符合题意，所以增根为x=-2，k=-3 4 .【点睛】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．a<2且a≠-4【解析】【分析】先求得方程的解,再解0x>,求出a的取值范围.【详解】解方程212x ax+=--得,23ax-=,方程212x ax+=--的解为正数, 0x∴>,且x≠2，即23a->且223a-≠且解得a＜2且a≠－4,故选答案为a＜2且a≠－4.【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0.14．（1） 62m x +=；（2）6m ≥-且4m ≠- 【解析】分析：（1）把m 看做已知量，按照去分母，化分式方程为整式方程，解方程.(2)利用非负求不等式.详解：（1）242111m x x x -=+--， 4（x -1）-2(x +1)=m,解得，62m x +=；（2）根据题意有 602m +≥且612m +≠ 解得64m m ≥-≠-且点睛：带参数的分式方程，应该把参数看做一个已知量，按照解一般分式方程的方法，把分式方程化成整式方程，再求解.15．m ＜12且m≠4.【解析】【分析】用含m 的代数式表示出分式方程的解，由于分式方程的解为正实数，得关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：原方程可变形为：()x m 3m 3x 22x 2+-=--，去分母，得2x 2m 3m 6x 12+-=-，整理，得4x 12m =- 解得，12m x 4-= 方程的解为正实数，12m x 04-∴=>且12m x 24-=≠ 解得：m 12<且m 4≠．【点睛】本题考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程、一元一次不等式的一般步骤，本题易错，易只关注分式方程的解为正实数，而忽略了分式方程有意义的条件．16．m <6且m ≠3【解析】试题分析: 根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．试题解析:233x m x x=--- 方程两边都乘以(x −3)，得x =2(x −3)+m解得x =6−m ≠3，关于x 的方程233x m x x=---有一个正数解， ∴x =6−m >0， ∴m <6，且m ≠3.17．(1)-1；(2)x=-0.25；(3)m ＜6且m ≠3．．【解析】【分析】（1）分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（3）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，确定出m 的范围即可．【详解】(1)原式=()222211121a a a a a a +-÷+---+ ＝()()()()221111111a a a a a a ++-⨯--+- ＝2111a a a +--- ＝11a a -- ＝﹣1；(2)111 21xx x++= -+去分母，可得(x+1)2+x﹣2＝(x﹣2)(x+1)，解得x＝﹣14，检验：当x＝﹣14时，(x﹣2)(x+1)≠0，∴x＝﹣14是原方程的解；(3)去分母得：x﹣2x+6＝m，解得：x＝6﹣m，由分式方程有一个正数解，得到6﹣m＞0，且6﹣m≠3，解得：m＜6且m≠3，故m的取值范围为：m＜6且m≠3．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解分式方程以及分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．18．当m≥2且m≠3时，关于的方程的解为非负数.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【详解】解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．∴当m≥2且m≠3时，关于的方程的解为非负数.【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是注意分母不为0这个条件．19．m【解析】【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母3（x-3）=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】方程两边都乘以3（x ﹣3），得3（x ﹣1）＝m 2，∵方程有增根，∴最简公分母3（x ﹣3）＝0， x ＝3，把x ＝3代入整式方程，得m ．答：m ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．m<2且m ≠0.【解析】【分析】解方程2111x m x x +---=1，得x=-1+2m ，再由-1+2m <0,-1+2m ≠1且-1+2m ≠-1得出m 的取值范围. 【详解】解:由21-1-1x m x x +-=1,得(x+1)2-m=x 2-1,解得x=-1+2m . 由已知可得-1+2m <0,-1+2m ≠1且-1+2m ≠-1, 解得m<2且m ≠0.【点睛】此题主要考察含参数分式方程的解法.21．（1）见解析（2）x1＝a，x2＝11 aa+ -【解析】【分析】（1）观察已知分式方程及解的特征确定出所求方程解即可；（2）已知方程变形后，利用得出的规律求出解即可．【详解】（1）关于x的方程x+mx＝c+mc（m≠0）的解为x1＝c，x2＝mc；验证：把x＝c代入方程得：左边＝c+mc，右边＝c+mc，即左边＝右边，符合题意；把x＝mc代入方程得：左边＝mc+mmc＝c+mc＝右边，符合题意；（2）方程整理得：x﹣1+2x1-＝a﹣1+2a1-，可得x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝2a1 -，解得：x1＝a，x2＝a1 a1 +-．【点睛】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，掌握解分式方程和检验分式方程的解是解题的关键．22．当m＝4时原方程会产生增根．【解析】【分析】把所给方程转换为整式方程，进而把可能的增根代入求得m的值即可．【详解】将原分式方程去分母，得2(x－1)－mx＝0，化简得(2－m)x＝2，若分式方程产生增根，则x＝－1或x＝1，当x＝－1时，(2－m)×(－1)＝2，解得m＝4；当x＝1时，(2－m)×1＝2，解得m＝0，又∵当m＝0时，原方程为2x1=+，此时原方程无解，∴当m ＝4时原方程会产生增根．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.23．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m 的范围即可．(2) 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可．【详解】小聪的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0,故4x ≠，从而0a ≠.故答案为小聪；分式的分母不为0,故4x ≠，从而0a ≠.(1)去分母得：m +x =2x −6，解得：x =m +6，由分式方程的解为非负数，得到60m +≥，且m +6≠3，解得：6m ≥-且3m ≠-(2) 分式方程去分母得：3−2x +nx −2=−x +3,即(n −1)x =2，由分式方程无解，得到x −3=0，即x =3，代入整式方程得：53n =；当n −1=0时，整式方程无解，此时n =1，综上,n =1或5.3n =【点睛】考查知识点是解一元一次不等式以及分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 24．a ＜2且a≠1.【解析】【分析】正常求解方程,用含a 的代数式表示x,根据x 是正数,列出不等式即可解题.【详解】解：方程两边同时乘(x－1)(x－a)，得x－a＝2x－2，即x＝2－a.∵x为正数，∴2－a>0且2－a≠1，2－a≠a，∴a＜2且a≠1.【点睛】本题考查了含参的分式方程求解问题,中等难度,表示出x是解题关键.25．（1）x+=9，x=4或x=5；（2）x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）n的值是12或11．【解析】【分析】(1) 根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程, 进而求出该方程的解;(2) 利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可;(3) 利用已知解题方法得出方程的解.【详解】解：（1）由①x+=1+2得x=1或x=2；由②x+x+=2+3得x=2或x=3；由③x+=3+4得x=3或x=4，则第四个方程为：x+=4+5，即x+=9，由x+=4+5得：x=4或x=5；（2）可得第n个方程为：x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）将原方程变形，（x+2）+=n+（n+1），∴x+2=n或x+2=n+1，∴方程的解是x=n﹣2，或x=n﹣1，当n﹣2=10时，n=12，当n﹣1=10时，n=11，∴n 的值是12或11．【点睛】本题主要考查分式方程的解，注意找对规律并计算正确.26．3m ≥-且0m ≠．【解析】【分析】先根据分式方程的解法求解方程,再根据分式方程解的情况分类讨论求m 的取值,再解不等式组,根据不等式组的解集和分式方程解的关系即可求解.【详解】方程两边同乘()()22x x +-,得()2422x x x m --+=，,解得2x m =--, 当20x +=时,0m -=,0m =,当20x -=时,40m --=,4m =-,故当4m =-或0m =时有240x -=,∴方程的解为2x m =--,其中4m ≠-且0m ≠,解不等式组得解集1x ≤,由题意得21m --≤且22m --≠-,解得3m ≥-且0m ≠,m ∴的取值范围是3m ≥-且0m ≠.【点睛】本题主要考查解含参数的分式方程和解不等式组,解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的分式方程.27．a=﹣2或a=6【解析】【分析】先去分母化为整式方程，整理得：（a -2）x +8=0，由于关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根，则(x +2)(x -2)=0，解得x =-2或x =2，然后把x =-2或x =2分别代入（a -2）x +8=0，即可求得a 的值.【详解】解：方程两边都乘（x ﹣2）（x +2），得x +2+ax=3（x ﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）（x +2）=0，解得x=2或﹣2，x=2时，a=﹣2，当x=﹣2，a=6，当a=﹣2或a=6时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根．【点睛】本题考查了分式方程的增根；先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根.28．m 的取值范围为m 92<且32m ≠. 【解析】【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出m 的取值范围，进而得出答案．【详解】方程x m 3m 3x 33x++=--两边同乘以x 3-得 ()x m 3m 3x 3+-=-，9x m 2=-， ∵x ＞0， ∴9m 2-＞0， ∴m 92<， ∵x 3≠，∴m 的取值范围为m 92<且3m 2≠. 【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键． 29．m ＞1且m≠3【解析】试题分析：先去分母，化为整式方程，求出方程的解，然后根据解为负数以及分母不为0得到关于m 的不等式组，进行求解即可.试题解析：去分母得：m=x 2﹣2x ﹣x 2+1，解得：x=12m -，由分式方程解为负数，得到12m -＜0，且12m -≠﹣1，解得：m ＞1且m≠3． 30．57a a <-≠-且　【解析】分析：首先解分式方程求得方程的解，然后根据方程的解是负数，即可得到一个关于a 的不等式，从而求得a 的范围．详解：方程两边同时乘以（x ﹣2）（x +1）得：（x ﹣1）（x +1）﹣（x ﹣2）2=2x +a ，即：x 2﹣1﹣（x 2﹣4x +4）=2x +a ，则x 2﹣1﹣x 2+4x ﹣4=2x +a ，移项、合并同类项得：2x =5+a ，则x =52a +，根据题意得：52a +＜0，且52a +≠﹣1，解得：a ＜﹣5且a ≠﹣7．点睛：本题考查了分式方程的解法以及一元一次不等式的解法，正确解得方程的解是解题的关键．31．m ≠－3且m≠5【解析】试题分析：方程两边都乘以x (x −1)得到整式方程3x −3+6x −x −m =0，求出方程的解，根据010x x ≠-≠，，求出x 的范围，即可得出330,188m m ++≠≠，进而求出m 的取值范围. 试题解析：方程两边都乘以x (x −1)得：3x −3+6x −x −m =0，8x =m +3，38m x +=， ∵要使分式方程有解，∴x ≠0，x −1≠0，∴x ≠0，x ≠1， ∴330,188m m ++≠≠，解得：m ≠−3且m ≠5，所以，当m ≠−3且m ≠5时，分式方程 ()36011x m x x x x ++-=--有根. 32．k ＞1且k≠3【解析】试题分析：先求出方程的解，再根据解是正数，从而得出k 的值，再分析当x≠1时，k 的值.试题解析：21111x k x x x x --=--+ 去分母得：(1)(1)(1)x x k x x +--=-x 2+x-k+1=x 2-x ，2x=k-1， x=12k - ∵方程的解是正数， ∴12k ->0, ∴k>1，当x≠1时，即112k -≠，k≠3, 所以综合可得：k ＞1且k≠3.33．当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．【解析】试题分析：分式方程两边乘以x （x ﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x （x ﹣1）=0，求出x=0或1，将x=0或1代入整式方程即可求出k 的值．试题解析：方程两边同乘以x （x ﹣1）得：6x=x+2k ﹣5（x ﹣1），又∵分式方程有增根，∴x（x ﹣1）=0，解得：x=0或1，当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），解得：k=2.5，当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），解得：k=﹣2.5，则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．34．a的值为12 -．【解析】【分析】把x=1代入方程223axa x=-，得到关于a的方程，解关于a的分式方程，求解方程即可.【详解】把x=1代入方程223 axa x=-，得2213aa=-，解得12a=-，∴a的值为12 -．【点睛】考查分式方程中的参数问题，熟练掌握分式方程的解法，方程的解的定义是解题的关键.。

湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》

湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》
例5 在电路中，电功率P(W)与电压U(V)、
电阻R(Ω)的关系式为
P
=
U2 R
.
一个40W的电灯泡接在电压为220V的电
路中，电流通过灯泡时的电阻是多少？
湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》
解由题意可得
40
=
2202 R
.
两边乘R，得 40R = 2202.
5 3
m/s、2m/s.
湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》
练习：P88 T7
湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》
例4 某单位盖一座楼房，由建筑一队施工，预计 180天能盖成.为了能早日峻工，由建筑一队、二队同时施工，100天就盖成了.试问：建筑二队的施工效率如何？即，如果由建筑二队单独施工，需要多少天才能盖成？
1.5
分式方程
——1.5.2 分式方程的应用
湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》
动脑筋
小明家和小玲家住同一小区，离学校3000m.某一天早晨，小玲和小明分别于7:20、7:25离家骑车上学，在校门口遇上.已知小明骑车的速度是小玲的1.2倍，试问：小玲和小明骑车的速度各是多少？
湘教版数学八年级上册课件：《分式方程应用》
二、分式的运算
1. 分式的乘除法
f g·
u v
=
gfuv .
g f ÷ u v=g f·u v=g fu v.
即，分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式，使结果成为最简分式.
本章学习分式和它的基本性质，分式的运算，整数指数幂，分式方程和它的应用.

八年级数学上册第一章分式课题可化为一元一次方程的分式方程的应用学案新版湘教版

课题可化为一元一次方程的分式方程的应用【学习目标】1学会分析题意找出等量关系，会列出分式方程解决实际问题.2 •能结合实际问题的情境对分式方程的解进行检验.3•在探究分式方程的应用的过程中，体会建立分式方程模型的方法.【学习重点】列分式方程解决实际问题.【学习难点】根据实际问题找出等量关系.行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么.行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案.教会学生落实重点.提示：路程问题中，通常有三个量，它们是路程、速度、时间，三者之间的关系是：路程=速度x时间•情景导入生成问题知识回顾：解分式方程的基本思路是什么？列方程解决实际问题的步骤又是什么？解分式方程的基本思路是：去分母，将分式方程化为一元一次方程.列方程解决实际问题的步骤：分析题意找等量关系一一设未知数一一列方程一一解方程一一检验作答.自学互研生成能力知识模块一分式方程的应用一一工程问题（一）合作探究教材P34动脑筋.（二）自主学习甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成•问乙队单独完成这项工程需要多少天？10 + 8 8解：设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意可列方程：+- = 1，方程两边同乘以30x，得18x +30 x240 = 30x，解得x = 20.检验：把x = 20代入30x中，它的值不等于0.因此x= 20是原方程的根，且符合题意•答：乙队单独完成这项工程需要20天.知识模块二分式方程的应用一一路程问题（一）合作探究小明家和小玲家住同一小区，离学校3000m某一天早晨，小玲和小明分别于7: 20, 7：25离家骑车上学，在校门口遇上，已知小明骑车的速度是小玲的 1.2倍，试问：小玲和小明骑车的速度各是多少?解：设小玲的速度为 v m /s ，则小明的速度为 1.2v m /s .5去分母得： 3600 — 3000 — 300X1 .2v ，解得 v ==.55检验：把v = 3代入最简公分母中，它不等于0,因此v =3是原方程的解.答：小玲、小明的骑车速度分别是=ml s , 2m /s .3 _（二）自主学习一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km 所需时间与逆水航行 48km 所需时间相同，已知水流速度是知识模块三分式方程的应用一一商品购买问题（一）自主学习阅读教材P 3s 例3.方法指导：通常分析问题时，可直接把这三个量中的两个量用已知数和所设的未知数去表示，再找出第三个量的等量关系，列出方程.行为提示：教会学生怎么交流.先对学，再群学.充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决（可按结对子学一帮扶学一组内群学来开展）•在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.（二）合作探究某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用 600元购进该款铅笔，但这次每支铅笔的进价是第1 .将阅读教材时“生成的问题”和通过上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.依题意得:3000 3000 v — 1.2v2km /h ,求轮船在静水中航行的速度.若设轮船在静水中航行速度为x km h ,则依题意可列方程为60 _ 48x + 2— x —2.一次进价的5，购进数量比第一次少了30支，求第一次每支铅笔的进价.解：设第一次每支铅笔的进价为x 元，由题意得600 600& /口—30,解得5xx — 4.经检验，x — 4是原方程的根，且符合题意•答：第一次每支铅笔的进价为归纳：列分式方程解应用题的一般步骤:程；（5）检验（双检验）、作答.4元.（1）分析题意，找等量关⑵ 设未知数；（3）列方程；（4）解方交流展示生成新知“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板2 •各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”.知识模块一知识模块二知识模块三分式方程的应用一一工程问题分式方程的应用一一路程问题分式方程的应用一一商品购买问题课后反思查漏补缺1收获：_ 2.存在困惑:。

初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练6(附答案详解)

34．若数a使得关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程＝1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）
A．3B．2C．﹣2D．﹣3
35．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）
A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．1或2D．0或﹣2
36．若方程有增根，则增根可能为( )
A．0B．2C．0或2D．1
17．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（）.
A． B． C． D．
18．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（）
A．10B．12C．14D．16
19．若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．4B．3C．2D．1
14．若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围是（）.
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
15．若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围（）.
A．且 B．且
C．且 D．且
16．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（）
A．m＞－6且m≠2B．m＜6C．m＞－6且m≠－4D．m＜6且m≠－2
初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练6（附答案详解）
1．若关于的方程的解为，则等于（）
A． B．2C． D．-2
2．若a使得关于x的分式方程有正整数解。且函数y=ax −2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
3．若分式方程 +3＝有增根，则a的值是（）

2019年秋八年级数学上学期湘教版课件：第1章培优专题(二) 分式方程常见应用题型归类 (共31张PPT)

(2)1÷1120＋1180＝72(天)．需要施工费用：72×(8.6＋5.4)＝1 008(万元)． ∵1 008＞1 000， ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
答案
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解：(1)设由乙队单独摘果，需要x天才能完成，根据题意，得216＋1x＝1. 解得x＝3. 经检验：x＝3是分式方程的解，且符合题意．答：若由乙队单独摘果，需要3天才能完成．
(2)方案1：总工资为1 000×6＝6 000(元)；方案2：总工资为(1 000＋1 600)×2＝5 200(元)；方案3：总工资为1 600×3＝4 800(元)．答：方案3总工资最低，最低总工资为4 800元．
类型之四信息类应用问题几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门
票．下面是两个小伙伴的对话：
图2 根据对话中的信息，请你求小伙伴们的人数．
解：设票价为x元，由题意，得3600.－6x72＝36x0＋2，解得x＝60. 经检验，x＝60是原分式方程的解．小伙伴的人数为306.60×－6702＝8(人)．答：小伙伴们的人数为8人．
解：(1)∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程， ∴x表示甲队每天修路的长度． ∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20 m列出的分式方程， ∴y表示甲队修路400 m所需的时间或乙队修路600 m所需的时间． (2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400 m所用时间＝乙队修路600 m所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20 m．(选择一个即可)
[2018春·建平县期末]列方程解题：据专家预测今年受厄尔尼诺现象影响，我国大部分地区可能遇到洪涝灾害．进入防汛期前，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：

湘教版数学八年级上册1.5《分式方程的应用》教学设计1

湘教版数学八年级上册1.5《分式方程的应用》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级上册1.5《分式方程的应用》是学生在学习了分式方程的基础上，进一步探讨分式方程在实际问题中的应用。

本节课通过具体的实例，让学生了解分式方程在解决实际问题中的重要性，提高学生解决实际问题的能力。

教材中给出了几个典型的实际问题，让学生通过列方程、解方程的过程，体会分式方程在实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够熟练地列出和解分式方程。

但是对于分式方程在实际问题中的应用，还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中提炼出方程，并运用已学的分式方程知识解决问题。

三. 教学目标1.让学生了解分式方程在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。

2.通过对实际问题的分析，培养学生从实际问题中提炼出方程的能力。

3.巩固和提高学生列方程、解方程的技能。

四. 教学重难点1.教学重点：分式方程在实际问题中的应用。

2.教学难点：从实际问题中提炼出分式方程，并解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提炼出方程，并通过合作交流的方式，解决问题。

同时，运用案例分析法、讨论法等，帮助学生理解和掌握分式方程在实际问题中的应用。

六. 教学准备1.准备几个实际的例子，用于引导学生从实际问题中提炼出方程。

2.准备相关的问题，用于巩固和拓展学生对分式方程应用的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中提炼出方程。

例如：甲、乙两地相距120公里，甲地有一批货物需要运往乙地，如果每小时运60吨，则运完需要4小时。

如果每小时运80吨，则运完需要几小时？2.呈现（10分钟）呈现教材中的几个实际问题，让学生独立思考，提炼出方程。

如教材中的例1、例2等。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决呈现的实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）给出几个类似的问题，让学生独立解决。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩，解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简：【解析】原式【答案】255x x+【例4】化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】由已知可知，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，，故【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。

初中数学分式方程的无解问题解答题培优训练1(附答案详解)

初中数学分式方程的无解问题解答题培优训练1（附答案详解）1．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围；（2）若关于x 的分式方程32233x nx x x --+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围． 2．当a 为何值时，关于x 的方程223224ax x x x +=-+-无解. 3．已知关于x 的分式方程2222x m x x++=--，（1）若分式方程有增根，求m 的值；（2）若分式方程的解是正数，求m 的取值范围．4．若关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+无解，求m 的值． 5．若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 6．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：1322x x +=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？7．已知关于x 的分式方程1x a a x -=+无解，求a 的值． 8．关于x 的方程：ax 121x 11x+=+--． ()1当a 2=时，求这个方程的解；()2若这个方程无解且a 1≠，求a 的值．9．已知，关于x 的分式方程1235a b x x x --=+-. （1）当1a =，0b =时，求分式方程的解；（2）当1a =时，求b 为何值时分式方程1235a b x x x --=+-无解：（3）若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值.10．若关于x 的分式方程213224x m x x x -++=-+无解但有增根，求m 的值． 11．已知关于x 的分式方程311x a x x --=+无解，求a 的值． 12．解方程：（1）3513x x =++ （2）若分式方程：342(2)=+--a x x x x 无解，求a 的值． 13．若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值? 14．若关于x 的方程()23011x x a x x x x -+-+=--没有实数根，则a 的值是多少？ 15．解分式方程: 51x + 31x -= 261x - 16．已知关于x 的分式方程2311x a a x x x x --=+--，回答下列问题：（1）原方程去分母后，整理成关于x 的整式方程得：_______________________．（2）若原分式方程无解，求a 的值．17．解关于x 的方程12x x ++﹣1x x -＝2(1)(2)kx x x +-+ 时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．18．王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?233x x x =--- (1)她把这个数“”猜成2-，请你帮王涵解这个分式方程；(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：3x =是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？19．（1）解方程：2210x x --=（2）已知关于x 的方程1011m x x x --=--无解，方程260x kx ++=的一个根是m ． ①求m 和k 的值；②求方程260x kx ++=的另一个根．20．若关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值. 21．解下列方程: ()111322x x x-=--- ()222510x x x x -=+- 22．阅读理解，并解决问题.分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现00=的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：（1）若解分式方程11222x x x-+=--时产生了增根，这个增根是；（2）小明认为解分式方程22230122x x x -=++时，不会产生增根，请你直接写出原因；（3）解方程2214111x x x +=-+- 23．当a 为何值时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+总无解. 24．若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为多少？ 25．当m 为何值时，关于x 的方程，3221033x mx x x-+++=--无解。

湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册第6讲分式方程的应用培优(无答案)(新版)湘教版

第6讲分式方程的应用姓名：________一、知识点1。

列分式方程基本步骤：①审-仔细审题，找出等量关系。

②设—合理的设未知数。

②列—根据等量关系列出方程（组）。

④解—解出方程（组）.注意检验.⑤答—答题。

2.列方程解应用题的基本关系量：行程问题:速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆水速度=静水速度—水流速度工程问题:工作效率×工作时间=工作量浓度问题：溶液×浓度=溶质银行利率问题:免税利息=本金×利率×时间二、典型例题1.工程问题【例1】甲、乙两个工程队各有20人，两队合做某项工程10天后,因甲队另有任务，乙队又单独做了2天才完成.已知单独完成这项工程，甲队比乙队可以快4天，设厂家需付甲队每人每天100元，需付乙队每人每天90元，试从甲、乙两队中选出一个工程队来完成此项工程.请你通过计算说明选哪个工程队节省费用。

练习1。

近年来我国的高速公路建设有了较大的发展，有力地促进了经济建设。

正在修建的某段高速公路需要招标。

现有甲、乙两个工程队,若甲乙两队合作，24天可以完成，需费用98.4万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成,这样需费用98万元,若选一个工程队单独完成此项工程，从节约开支角度考虑，应选择甲工程队，还是乙工程队？练习2。

要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。

现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做，正好按期完成。

问规定日期是多少天?2。

路程问题【例2】如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。

小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0。

5km。

由于小明的父亲战斗在抗击“非典”第一线，为了使小明能按时到校，王老师每天骑自行车接他上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20min。

问王老师步行的速度及骑自行车的速度各是多少？练习3。