在教学中渗透转化与化归数学思想方法的实践意义

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转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究

转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。

数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。

数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。

笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。

笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。

首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。

简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。

其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。

研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。

但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。

大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。

然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。

这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。

并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。

最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。

一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。

转化与化归思想在中学数学中的应用

转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。

本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。

一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。

它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。

在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。

这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。

例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。

2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。

例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。

3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。

这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。

例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。

二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。

通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。

在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。

这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。

例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。

在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义——化归与转化思想

化归与转化思想。就是把未知的数学问题转化
展，都是由数学思想的突破而引起的。可以说数学为在已学知识内可能解决的问题的一种思想，其特
思想在数学分析的发展与完善中起着重要的作用。点就是实现化复杂为简单的转化、从不熟悉向熟悉
元法降阶法等等，但任何一种数学方法都反映了一知识迈进，使低一级知识向高一级知识纵深发展。
例如连续函数、导数、定积分、级数的收敛等定义
收稿日期：２０１２—０２—２４基金项目：新世纪教改工程２０１０年项目（２０１０ＪＧＡ０７８）
深刻、更本质，具有更高的概括水平。基本的数学化归思想在数学分析中起着如下两种作用：
思想包括：符号化思想、公理化与结构思想、函数
（一）化归与转化思想对数学分析理论起着杠
与方程思想、数形结合思想、化归思想、转化思杆放大作用『１］
从数学发展史来讲，微积分的产生标志着从初定的数学思想，如换元法实际上就是转化思想的具
等数学到高等数学的飞跃．经过历代数学家们的努体表现。
力．微积分发展成为今天具有广泛应用意义的数学
二、化归与转化思想
基础学科— —数学分析。数学分析理论的每一次发
一些常用的函数，如指数函数、三角函数、对数函其几何意义是：满足定理三个条件的曲线ｆ（Ｘ１在

谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０９谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究Һ陈晓莉㊀（江苏省石庄高级中学，江苏㊀南通㊀２２６５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ化归与转化思想是一种将复杂问题转化成简单问题，将抽象问题转化成直观问题的数学思想，也是一种基础的思维策略．教师将化归与转化思想用于高中数学教学中，有利于开阔学生的数学学习视野，提升学生的数学思维水平．文章深入分析了化归与转化思想的内涵，同时结合高中数学教学实际案例对化归与转化思想的应用展开研究，指出教师可以在预习㊁教学㊁练习㊁复习过程中应用化归与转化思想，并建议教师可以应用化归与转化思想设计问题㊁布置任务，希望为进一步提升高中数学教学质量，促进学生综合素养持续提升提供教学参考．ʌ关键词ɔ化归与转化思想；高中数学；教学应用‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“（以下简称‘课程标准“）指出，现阶段的高中数学教学要以培养学生的数学学习关键能力为主．在此视域下，传统专注理论知识注入的教学模式不能满足学生能力发展㊁素养提升的学习需求，将数学思想与方法应用到课程教学中是非常有必要的．化归与转化思想是一种重要的数学思想．将其应用于高中数学教学课堂，有利于丰富教学课堂的内涵，培养学生多元分析㊁多元思考的学习习惯．教师只有认真研究化归与转化思想在高中数学教学中的应用策略，才能为学生的学习与发展创造更多可能性．一㊁化归与转化思想的内涵分析化归与转化思想是一种以快速解决问题为本质的思想，主要表现为学习者在研究数学问题㊁解决数学问题时采取某种方法将原问题转化为另外的数学问题，从而降低解题难度，达到快速解决问题的目的．在高中数学教学中，化归与转化思想具体体现为以下内容：第一，正反之间的转化．在高中数学教学中，学生经常会遇见具有一定复杂性的数学问题，或给出的信息不完整的数学问题．如果学生在解决这种问题时应用常规思路，那么就很难解答问题．为此，学生可以采取正反转化的方式，由问题求解目的出发反向思考数学问题，从而在逆向推理的过程中快速找出解题切入点．第二，特殊与一般之间的转化．在分析数学问题时，学生可以先分析问题是否为特殊问题，如果是特殊问题，观察问题中的特殊数量㊁特殊关系结构，并对其中蕴藏的数学知识㊁数学原理进行分析，通过推广的方式将特殊问题转化为一般问题，从而降低问题难度．第三，相等与不等之间的转化．这一思想主要用于解不等式问题．在高中数学教学中，很多不等问题可以借助化归与转化思想转变成相等问题，比如将不等式问题转化为求值问题㊁将不等式问题转化为函数问题等．通过将不等式问题转化为等式问题㊁函数问题降低了不等式问题的抽象性，从而提高了学生的解题效率．第四，数与形之间的转化．代数问题㊁几何问题是高中数学教学内容的主要构成部分．在部分学生的眼里，代数问题只能用代数方法解决，几何问题只能用几何方法解决．然而，这样的看法显然是不对的．针对一些过于抽象的数学问题，学生可以通过绘制解题示意图㊁建立数学模型的方式简化问题，从而快速求解问题答案；针对一些过于直观的几何问题，学生可以通过为几何要素赋值细节化问题，从而快速确定几何问题的求解方向．二㊁化归与转化思想在高中数学教学中的应用策略（一）在预习教学中应用思想，激活数学思维预习即正式教学前的自主学习．将化归与转化思想用于高中数学预习教学中，有利于解决注入教学㊁灌输教学所造成的学生惯性思维的问题，使学生学会主动发现数学问题，主动理解数学知识．在实际教学中，教师可以根据化归与转化思想的内涵对课程教学内容进行分析，挖掘新课教学与过去教学内容的关联，并依据具体关联设计导学问题．借助简单问题引导学生回顾旧知，接着提出复杂问题驱动学生应用转化的思想方法将复杂问题转化成已了解的简单问题，由此激活学生的迁移思维，提高其预习学习的效率．比如，在苏教版高一数学必修第一册并集㊁交集一课的预习教学中，教师可以根据过去教学内容设计回顾性问题：你能说明子集㊁补集的概念吗？它们各涉及了几个集合？通过提出这两个问题激发学生的迁移意识，使学生认识到过去教学内容与即将要学习的内容之间的关联．之后，教师再要求学生在自学过程中思考下面的问题：已知集合Ａ＝｛１，３，５｝，Ｂ＝｛２，４，６｝，Ｃ＝｛１，２，３，４，５，６｝，你能说出集合Ｃ与集合Ａ，Ｂ之间的关系吗？这一问题较为新颖，在过去的教学中并未出现过．要让学生在课前解决问题，教师可以在此过程中渗透化归与转化思想，让学生将未知问题转化成已知问题解决．比如，教师可以在导学案中为学生提供解题思路：抛开集合这一限制，１，３，５是什么？２，４，６是什么？１，２，３，４，５，６又是什么？通过给予思路让学生感悟：１，３，５为奇数；２，４，６为偶数，１，２，３，４，５，６为正整数，奇数与偶数被包括在正整数的范围内．这样，将未知问题转化成已知问题，可以确定集合Ｃ是集合Ａ㊁集合Ｂ两个集合合在一起的结果．这样，学生能够在转化分析的过程中初步感受并集的内涵，为接下来的概念学习㊁性质学习以及并集与交集的深度学习做好准备．这样，教师通过在预习教学中先后提出复习性问题㊁探究性问题激活学生的数学思维，使学生学会从转化的角度将未知数学难题转化为已知数学问题，从而达到培养学生㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０９迁移学习能力，增强学生自主学习效果的预习教学目的．（二）在新知教学中应用思想，提高数学能力高中数学教学内容具有一定的抽象性，且难度较高．如果教师只采取注入式教学方法为学生讲解数学概念㊁数学性质㊁数学方法，很容易造成学生的浅层学习问题，不利于学生分析㊁判断㊁应用㊁创新能力的形成与发展．为此，教师可以将化归与转化思想应用于新知教学的过程中，根据思想内涵设计教学问题，布置教学任务，由此驱动学生主动联想数学知识，深入分析数学问题，合作探究数学规律等，使学生在转化问题的过程中达到深度学习的状态．１．应用思想设计问题，提高数学分析能力高中数学教学内容虽然具有一定的难度，但各部分教学内容的安排具有较强的逻辑性，教学内容的难度也呈阶梯特征增加．这样的教学安排为化归与转化思想的有效应用提供了更多机会．在实际教学中，教师可以应用相关思想设计旧知回顾问题与新知探析问题，由问题引导学生从将未知转化为已知㊁将一般转化为特殊的角度出发分析新课教学内容，探究新课教学问题，同时提高学生的逻辑推理㊁数学抽象等数学分析能力．比如，在苏教版高一数学必修第一册从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式一课的教学中，教师可以设计如下问题：问题１：求不等式３ｘ－２＞０的解集？这一问题较为简单，学生将原式转化为３ｘ＞２之后再计算，能够轻松得到ｘ＞２３的答案．在学生应用代数方法解决问题后，教师可以引导学生从几何角度解决该问题，指导学生绘制一次函数图像并找出函数图像与ｘ轴的交点坐标２３，０()，根据图像明确不等式３ｘ－２＞０的解集为ｘ＞２３．这样，学生在思考这一问题时不仅能够树立良好的数形转化学习观念，还可以初步体会不等式与函数之间的关系，为接下来的学习做好铺垫．问题２：二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－３的图像是怎样的？一元二次方程ｘ２－２ｘ－３＝０的根是多少？不等式ｘ２－２ｘ－３＞０的解集是多少？不等式ｘ２－２ｘ－３＜０的解集是多少？二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－３与一元二次方程ｘ２－２ｘ－３＝０㊁一元二次不等式ｘ２－２ｘ－３＞０有着怎样的关系？这一问题涵盖的内容较多，包括二次函数图像的绘制方法㊁一元二次方程根的求解方法㊁一元二次不等式解集的求解方法等．教师通过提出此问题，能够使学生从数形两个角度出发分析数学问题，认识函数㊁方程与不等式三者之间的深度关联，进一步提高学生转化问题㊁简化问题的分析能力．问题３：对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你能求出这个不等式吗？已知关于ｘ的不等式ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集为（－１，３），求实数ｂ，ｃ的值？这一问题从逆向角度出发，需要学生根据题意将ｘ＝－１，ｘ＝３代入方程得到（－１）２＋ｂ㊃（－１）＋ｃ＝０，３２＋ｂ㊃３＋ｃ＝０，{即－ｂ＋ｃ＋１＝０，３ｂ＋ｃ＋９＝０，{解得ｂ＝－２，ｃ＝－３．{教师通过提出这一问题，能够进一步加深学生对一元二次函数㊁方程与不等式内在联系的理解，同时培养学生应用逆向转化方法解决问题的能力．教师通过设计问题串引导学生进行未知与已知的转化学习㊁数与形的转化学习㊁正与反的转化学习，使学生在转化学习的过程中真正理解新课教学内容，达到内化吸收的深度学习状态．２．应用思想布置任务，提高数学探究能力任务教学是一种围绕具体教学任务展开新知讲解㊁对话问答㊁合作探究等多项教学活动的教学模式．将任务教学法用于高中数学课程教学中，有益于增强学生的课堂学习主体性，进一步加深其数学课堂的学习深度．应用化归与转化思想进行数学教学时，教师可以根据思想内涵设计探究任务，并组织学生围绕具体任务进行分析㊁思考㊁讨论㊁交流，由此驱动学生拆分任务㊁转化任务㊁解决任务，从而锻炼学生的转化能力与应用能力．比如，在苏教版高一数学必修第二册正弦定理一课的教学中，教师可以基于化归与转化思想布置探究任务：船从港口Ａ航行到港口Ｃ，测得ＡＣ的距离为６００米，船在港口Ｃ卸货后继续向港口Ｂ航行，由于船员的疏忽没有测得ＢＣ距离，如果船上有测角仪，是否能计算出Ａ，Ｂ的距离？图１基于此任务，教师可以组织学生讨论交流，引导学生将具体问题转化为解三角形问题的数学模型，再应用数学模型解决问题．思路１：将任务问题转化为已知的三角形相似的数学问题．测量角Ａ，Ｃ，测得角øＢＡＣ＝７５ʎ，øＡＣＢ＝４５ʎ，确定计算ＡＢ两地距离的解题目的．绘制三角形ＡᶄＢᶄＣᶄ，使得ＢᶄＣᶄ为６厘米，øＢᶄＡᶄＣᶄ＝７５ʎ，øＡᶄＣᶄＢᶄ＝４５ʎ，量得ＡᶄＢᶄ距离约为４．９厘米，利用三角形相似性质可知ＡＢ约为４９０米．思路２：将任务问题转化为解直角三角形的数学问题．әＡＢＣ是斜三角形，如图２，过点Ａ作ＡＤʅＢＣ于Ｄ，把әＡＢＣ分为两个直角三角形．在ＲｔәＡＣＤ中，ｓｉｎøＡＣＢ＝ＡＤＡＣ，所以ＡＤ＝ＡＣˑｓｉｎøＡＣＢ＝６００ˑ２２＝３００２ｍ．øＡＣＢ＝４５ʎ，øＢＡＣ＝７５ʎ，所以øＡＢＣ＝１８０ʎ－øＡＣＢ－øＢＡＣ＝６０ʎ．在㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０９ＲｔәＡＢＤ中，ｓｉｎøＡＢＣ＝ＡＤＡＢ，所以ＡＢ＝ＡＤｓｉｎøＡＢＣ＝３００２３２＝２００６ｍ．图２在学生应用不同思路探究数学任务后，教师还可以应用转化思想引导学生推理正弦定理：在解决问题的过程中，若ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，能否用Ｂ，ｂ，Ｃ表示ｃ呢？在学生发现ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ这一数学规律后，教师还可以追问：这一公式是否适用于任意三角形呢？由具体任务驱动学生将实际问题转化数学问题，将未知问题转化为已知问题，进一步锻炼学生迁移应用能力．在学生完成学习任务后，教师再通过追问引导学生将特殊问题转化为一般问题，进一步提高学生数学归纳㊁数学分析的能力．（三）在练习教学中应用思想，丰富解题经验练习教学是高中数学教学的重要构成部分，教师只有做好练习教学的工作，才能进一步巩固学生对相关知识的理解与记忆，进一步加强学生对具体数学方法的掌握程度．为进一步提高化归与转化思想在教学中的应用效果，教师可以在课堂教学过程中组织练习教学活动．通过出示典型练习题㊁拓展练习题等多种方式引导学生从转化的角度思考数学问题，进一步提升学生对化归与转化思想的认知水平，同时丰富学生应用化归与转化思想解决问题的学习经验．比如，在苏教版高二数学选择性必修第一册数列一章的练习教学中，教师可以根据化归与转化思想，设计如下练习题组织学生解题：（１）已知｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＝１２ａｎ，且ａ１＝２，求ａｎ．（将原递推公式转化为ａｎ＋１ａｎ＝ｆ（ｎ），利用累乘法求解）（２）已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋３，求ａｎ．（将原递推公式转化为ａｎ＋１－ｔ＝ｐ（ａｎ－ｔ），其中ｔ＝ｑ１－ｐ，再利用换元法转化为等比数列求解）（３）已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａ２＝２，ａｎ＋２＝２３ａｎ＋１＋１３ａｎ，求ａｎ．（先将原递推公式两边同时除以ｑｎ＋１，将其转化为ａｎ＋１ｑｎ＋１＝ｐｑ㊃ａｎｑｎ＋１ｑ的形式，再引入辅助数列｛ｂｎ｝ｂｎ＝ａｎｑｎæèçöø÷，得到ｂｎ＋１＝ｐｑｂｎ＋１ｑ，再使用第（２）题的方法求解）上述练习题均蕴藏着较为丰富的化归与转化思想教学要素．教师通过组织学生分析㊁思考㊁建模解答，有助于加深学生对转化思想的体会，强化学生对转化方法的掌握，进一步提高学生的数学应用能力．（四）在复习教学中应用思想，提升建构水平复习教学具有巩固学生学习基础，提高学生记忆能力的功能．但是，传统的复习教学以抄写教学㊁作业教学为主，将教学重点放在学生对教学内容的识㊁记㊁用方面，忽略了对学生建构能力的培养．要想改善原有复习教学环境，教师需要将化归与转化思想用于复习教学中，根据思想设计综合性强的复习作业，由作业驱动学生在课后联想㊁课后分析㊁课后关联，进而提升学生的关联建构思维水平，强化复习教学的效果．比如，在苏教版高二数学选择性必修第二册计数原理一章的复习教学中，教师可以设计复习作业：作业１：三边长分别为整数，且最大边长为１１的三角形的个数有多少？作业２：５名成年人带２名小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，共有多少种排法？这两项作业属于生活中常见的排列组合问题．教师通过布置上述作业，可以激发学生的数学应用意识，进一步锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力．同时，教师通过布置上述作业，可以进一步驱动学生回顾排列组合问题的解题途径（元素㊁位置等），解决排列组合问题的常见题型方法（相邻问题捆绑法㊁不相邻问题插空法㊁分排问题直排法㊁定序问题除法等）．结㊀语综上所述，将化归与转化思想用于高中数学教学中，对于拓宽教学课堂广度，加深课堂教学深度有着积极意义．要想在教学过程中真正发挥化归与转化思想的育人价值，教师需要确切掌握化归与转化思想的内涵，同时基于学生数学思维㊁数学能力的发展特点设计合理的教学方案，采取合理的教学方法，循序渐进地加深学生对化归与转化思想的认识．为此，教师应不断丰富自身知识储备，不断积累专业教学经验，在学习㊁实践㊁反思的过程中不断优化教学课堂，从而不断提高化归与转化思想在高中数学课堂教学中的应用效率．ʌ参考文献ɔ［１］马淑芳．转化思想在高中数学解题中的应用初探［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３５）：１４４－１４６．［２］林世平，王珠芳．立足转化思想，培育核心素养例谈转化思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数学之友，２０２２（２０）：５８－６０．［３］薛超喜，张永松．转化思想方法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１６）：２８－２９．［４］程新益．在高中数学解题中应用转化思想的几点思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１８）：５２－５４．［５］李丽润，杜锦泽．高中数学解题中转化思想方法的应用［Ｊ］．课程教材教学研究（中教研究），２０２２（Ｚ３）：４７－４８．。

转化与化归思想在数学教学中的应用

ｆ（），题的反面是在区间［，１函数值都小于Ｃ＞０问０］
等于０，只要解ｆ（），且，（０得Ｐ≤０则原０ ≤０１，），
题答案是它的补集，即Ｃ。
析如果把不等式看作是关于Ｘ的二次不等式，则求
解过程繁琐；如果把不等式看作关于Ｐ的一次不等式，则
构造函数ｆ）＝
■田
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成立。
证明，（＝（Ｚ）Ｘ）Ｙ＋，）ｚ１＿１０＋＝＋＞。
ｚ１＋令。当ｚ０＋：时，
－
解设抛物线ｙｘ上存在两点（，）Ｂ，）Ａｘｙ、：：Ｉｙ关
一
根，求ｍ范围。的
析如果用根的分布，）
一＋）０Ｆ１］１＝在－，１上
析直接判断不易弄清楚，可以知道原命题等价于
有一根、有两根讨论，计算繁琐。若将参数田分离，转化
它逆命，＝：１＝，明ｑ为函用一一，ｂ１域题可的否题即：３或３很显，＝求数ｉ）丢 ∈ ｌ问，一，】值
求证：ｙｙ＋ｘｌＯｘ＋ｚｚ＋＞。
１０－，解得ａ２＝。
方程中的转化
伪方程。一ｘ－（．１＝０，在Ｅ１］有实理ｅ｝ｒ－）－－，１上
，
析变量、
ｚ地位相同，转化为运用函数思想处
）＋，转化为证明ｆ）０ｌ＞恒
反函数图像关于直线Ｙ＝对称，所以反函数的对称中心（１），则原函数的对称中心（，一），即３ａ一，３３１一一

浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用

浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用作者：黄庆彬来源：《新课程》2021年第12期新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。

获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。

纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。

在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。

化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。

数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。

它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。

以下便是其模式。

一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。

（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。

（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。

（4）正难则反原则。

若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。

二、高中数学中常见的转化与化归方法共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。

这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。

浅谈化归思想如何在数学教学中的渗透

|基础教育|浅谈化归思想如何在数学教学中的渗透文/严娟摘要:当前为了响应高中新课改号召，我校一线教学也顺应改革的潮流。

由于高中数学是高考中一项入学重要门槛，所以学好高中数学十分重要。

学好数学，必须要有数学思想，思想是教学的灵魂，也是教学的精髓之所在。

高中数学集结了逻辑思维以及形象构造于一体的学科，所以，在众多数学教学思想中，化归是核心，也是最基本的数学理论思想。

为此论文从五个方面，即函数、方程与不等式的转化渗透、正、反面的转化渗透、主与次的转化渗透、主与次的转化渗透、换元的转化渗透、常量与变量之间的化归渗透、解决问题中的渗透，分别论述划化归思想在数学教学中的渗透。

关键词:转化化归思想数学教学在高中数学教学中，化归思想较为常见，是一种基本的解题思路以及答题方式，在应对数学问题能够通过化归进行巧解。

何为化归，即面对复杂的数学问题时，采用数学关系对其进行转换元，令复杂的问题简单化从而解决问题的一种数学方法。

运用化归能够将不常见的数学问题转换成为常见问题，将疑难问题转变成容易求解问题，将不能解决的问题转变成能解决问题。

在数学解题，尤其是高中数学解题中，化归思想无处不在。

化归的基本功能大致可以归纳成为，将困难变得简单、令模糊变得清晰、令抽象变得直观、令生疏变得熟悉。

换言之，化归就是以不变应万变，通过数学关系，用相互关联作用的观点来看待数学解析问题，运用化归思想令问题得以转换，从而得到解决。

在数学教学中，所有老师应该重视转换思想，运用化归来提升学生解决问题的能力。

如何在数学教学中渗透该思想，就从以下几方面来谈。

一、函数、方程及不等式解决函数、方程以及不等式这一类数学问题，需要依托三者之间的关系，建立解题思路，将原本看似毫无关系的三者通过转换化归，使其成为能够解决的问题，将复杂的问题简单化。

通常不同时的关系一般可以转换成为极值以及取值范围的问题，从而找到所解问题的取值范围。

例1:若关于！的方程9!+(4+")3!+4=0有解，则实数"的取值范围是___________.分析:设#=3!，则原命题等价于关于$的方程$2+(4+%)$+4=0 有正解.分离变量"，得"+4=(+4)，..$>〇...-(十^)‘-4.'."<-8,即实数"的取值范围是(-〇〇，-8].二、正、反面在拿到题目时发现若是从正面直接求解，发现无从下手，感觉困难时，不妨从反面入手，运用补集思想，体现对立统一以及相互转换的思想。

浅谈化归转换思想在中学数学教学中的渗透

体意识得到提升,即在青年学生道德教育上主张青年学生道德选择的自由,要求青年学生自己对道德问题作出理性和自觉的把握,强调尊重和保护自我利益。

事实上,这一过程也正是青年学生个性不断张扬、道德不断完善的过程,也是青年学生的道德自律不断发展的过程。

青年学生正是在道德精神的不断完善和发展的过程中,才不断认识自身,逐渐适应时代要求并促进社会的和谐发展。

全球化需要以自由、平等、信用、公平作为基础。

这一基础反映在道德的层面上,就要求要建立一种包括人格自由、尊重人权、公平竞争、依法守法的现代文明规范,表现为独立、理性、自由、平等、公正的道德品质。

因此,在新形势下,青年学生德育要以此为重点内容,培养青年学生学会“关心他人”,做到对他人的尊重、宽容、关怀、理解,克服自私狭隘、以自我为中心的道德取向。

三、在全球化背景下加强青年学生道德建设的对策在全球化背景下,我们应站在青年学生德育肩负的使命的战略高度,针对青年学生道德素质的现状,采取如下积极的对策,以促进青年学生道德建设的发展。

(一)拓展现代德育内涵,树立适应全球化发展的大德育观。

经济全球化的发展对青年人才所具备的基本素质有新的要求:要求青年有整体化的知识素质和创新意识,有高尚的灵魂、良好的道德品质,有正确的伦理道德、价值观念;要求培养集体协作的“团队精神”,学会与人共处、与人共事,学会和适应各种形式、各个层次的合作;要有健全的人格和良好的心理素质,有乐观向上、善对人生的积极心态;要有强烈的民族自尊心和使命感。

我们必须根据这些要求来开展德育工作。

(二)建立适应全球化时代,具有针对性、时代性和创造性的青年德育内容体系。

我们应该改变传统计划经济体制下僵化单一的政治教化功能和整齐划一的德育内容体系,建立起适应全球化时代开放的德育内容体系。

青年学生道德教育应适应知识经济发展的要求,在重视和加强马克思主义世界观和方法论学习的同时,加强创新能力和开拓意识的培养,培养青年勇于探索事物内部规律的能力和善于开拓进取的精神。

“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用

“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用作者：章传科来源：《文理导航·教育研究与实践》 2014年第8期浙江省苍南县桥墩高级中学章传科转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。

从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。

数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到数学问题中。

现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。

一、在函数与不等式问题中的应用。

函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。

函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。

如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。

例如：“证明不等式，其中x≥1”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法﹑分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数：的值恒大于0，只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。

证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。

原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。

这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。

从新课改的课程内容设计来看，作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。

“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用

解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用转化与化归思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于转化与化归思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀蒙日圆涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题转化为对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用转化与化归的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。

化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用

化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用作者：聂惠星来源：《新课程·小学》2017年第04期摘要：在小学数学教学中渗透化归的数学思想，能开拓学生的解题思路，提高学生的思维能力。

化归思想与方法是基本的数学思想，也是解题的重要方法，学习掌握化归思想，能帮助学生增强解题能力。

关键词：小学数学；化归思想；化归方法；教学应用化归思想与化归方法是小学数学教育的重要方法，在小学数学教学中渗透化归思想与化归方法，对开发学生思维水平和提高学生的数学解题能力有重要帮助。

笔者结合教学实践，对在数学教学中培养学生化归思想与方法进行了实践探索。

一、化归思想与化归方法内涵1.化归思想化归思想是一种重要的数学思想，其内涵主要是“转化”与“归结”，就是在数学解题或数学知识应用过程中，不是直接去寻找问题的结论，而是通过找出自己熟悉的方法和结论，将所要解决的问题转化成规范固定的问题，用已有知识和方法解决数学问题。

化归思想就是把复杂的问题转化成一个容易解决的简单问题。

2.化归方法化归方法就是在计算复杂数学问题时，用已有知识通过将问题转化，把复杂问题变成简单易解决的问题。

该方法具有三个要素：化归对象、化归目标与化归途径。

化归对象就是要解决的数学问题，化归目标就是把数学问题转化成何种数学问题，化归途径就是采用何种方法进行解决。

化归方法比较灵活，它具有多样性和灵活性，没有固定的模式可遵循，需要灵活的思维才能较好运用，其思维模式如下图所示。

实际问题■→数学问题■→■→结论二、化归思想在小学数学教学中的应用1.数字之间的相互转化在小学数学教学中要培养学生从小利用旧知识解决新问题的能力，可以从解决数字问题开始。

比如，在一年级数学中，在学习了“10以内加减法”后，再进行“拆大数、凑小数”或“拆小数、凑大数”这种方法的运用就比较容易解决了。

这样就可以为学习“20以内加减法”奠定基础。

如，在教学生“20以内加减法”时，如：9+7=？可以根据已学知识“10以内加减法”把问题进行转化，把7拆成1和6，再把1和9凑成10，再计算10+6=16，这样就可以口算求出此题的答案，从而使计算变得简单，并且还能复习巩固以前的知识。

例析解题教学中转化与化归思想方法的渗透

>2020年7月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯作者简介:彭永宁(1979-),本科学历,中学高级教师,从事高中数学教学,曾获市优秀班主任荣誉称号.例析解题教学中转化与化归思想方法的渗透彭永宁甘肃省敦煌中学736200［摘要］数学思想是解题的精髓,只有在解题中注重数学思想的渗透,才能不断深化和拓宽学生的思维.文章以多个典型例题为例,研究了转化与化归思想的几种解题方法,揭示转化与化归思想对于数学解题的深刻意义,从而提高学生的数学解题能力.［关键词］高中数学;解题教学;转化与化归;数学思想;渗透数学思想源于数学知识与方法,而又高于具体的数学知识,它扮演着高位引领的角色,起到了指导知识与方法运用的作用,具有一定的实践性和发展性.在多年的教育教学中,笔者关注到大量数学题型更倾向于考查学生的转化与化归能力,自然而然便萌生了研究转化与化归思想在解题中渗透这一课题的意愿.本文主要研究了转化与化归思想的几种解题方法,揭示转化与化归思想对于数学解题的深刻意义,从而提高学生的数学解题能力.法在高中数学教学过程中,换元法作为一种非常重要的数学思想,起到了统领作用.借助换元来解决数学问题,可以联结分散条件,显现隐含条件,关联条件与结论,从而达到简化并快速得出结果的效果,可以有效提升学生的实际解题能力,同时促使学生深刻把握数学思想.例1：已知实数a ,b ,c 满足a+b+c=0,a 2+b 2+c 2=1,试求出a 的最大值.分析:在换元的过程中,可以使解题过程化繁为简.本题的解题思路为:首先,换元转化;接着,建立模型;最后,将其转化为关于a 的式子,从而获解.解:令b=x ,c=y ,则有x+y=-a ,x 2+y 2=1-a 2.此时直线x+y=-a 和圆x 2+y 2=1-a 2有交点,则圆心到直线的距离d=a 2√≤1-a 2√,解得a 2≤23,所以a 的最大值为6√3.说明:换元法在本题中显露无遗.这一类型的问题意在引导学生通过换元将问题转化为直线与圆的位置关系问题,从而简化问题,彰显换元法的强大生命力,旨在提升学生的眼界与认知力,与此同时逐步体会其巨大作用.化法直接转化法是解题中最常见的一种解题方法.首先通过审视题目,直接从问题的条件出发,合理运用好一些概念、定理、公式、法则等,通过有效沟通,进行变形、推理、计算后,将原问题转化为一些基本问题,从而得出结论.例2：已知数列{a n }的前n 项和是S n ,且有a 1=3,a n =2S n-1+3n (n ≥2),试求出数列{a n }的通项公式a n .分析:从知识角度而言,不少学生可以找到正确的处理路径.本题的转化需要整体思维的辅助,从而关注到其一步步转化问题的过程.首先,通过递推关系转化;接着,利用整体思维实现转化;然后,借助公式求解;最后,规范作答.解:因为a n =2S n-1+3n ,所以a n-1=2S n-2+3n-1(n ≥3).两式相减,可得a n -a n-1=2a n-1+2·3n-1,即a n =3a n-1+2·3n-1,所以a n 3n =a n-13n-1+23(n ≥3).又a 2=2S 1+32=2a 1+32=15,a232=53=a 13+23,所以数首项为1、公差为23的等差数列,所以an 3n=1+(n -1)×23,所以a n =(2n+1)3n-1.说明:本题的难点在哪里?笔者认为学生无法巧妙运用到整体思维,实现数列向等差数列的转化.这种转化思想762020年7月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯是如何想到?笔者认为,在使用直接转化法解题时,其根基主要源于扎实的基本知识技能,同时也需要具备一定的视野和灵活思维,从而找到解决问题的捷径.数转化法在含有多个变量的问题中,若从常规思路出发来确定主元,极易导致问题的复杂化.此时不妨再去探究题目的结构特征,摆脱思维定式的束缚,变换思维进行分析,选择某个参变量作为主元,也就是反客为主,转移变元的位置,常常可以使问题迅速获解.例3：设不等式mx 2-2x -m+1<0对于满足m ≤2的一切m 都成立,试求出实数x 的取值范围.分析:本题为一道典型的需要借助参数转化法解题的问题.在所给出的方程中,x 是主变元,m 为参变量,只有将主变元与参变量的位置交换,才能另辟蹊径.本题的解题思路为:首先,从题目条件出发进行参数转化;接着,去分析转化后的问题;最后,快速汇总得出结论.解:设f (m )=(x 2-1)m +1-2x ,则有m ≤2时,f (m )<0恒成立,所以f (2)=2x 2-2x -1<0,f (-2)=-2x 2-2x+3<0,解得7√-12<x<3√+12.所以实数x 的取值范围为x 7√-12<x<3√+12.说明:本题仅仅是对参数转化法使用的一般性探究,利用该法还可以解决分解因式、证明不等式、求参数取值范围、求最值等问题,它在高中数学中有着广泛的应用性.通过思维角度的变化,不仅可以使解题思路清晰,而且可以让解法简洁,体现了普遍联系及和谐统一的哲学观点,若可以灵活运用并总结提炼,必将收到事半功倍的效果.转化法等价转化法,即当面对一个未知的问题的时候,要注意从已知知识范围内检索,以便寻求到解决问题的思路,有效拓展解题的思路.在转化中,要注意等价性,其中的因果关系必须既是充分的又是必要的,从而保证转化后的结果还为原问题的结果.如含有根号的问题、绝对值的问题、复合函数的问题等,在求解时都离不开等价转化的参与,解决问题的关键在于去根号、去绝对值、简化复合函数等等,并借助运算法则和函数性质来完成,从而使问题简捷化.例4：若不等式x +2x+3≤a 的解集为空集,试求出实数a 的取值范围.分析:等价转化总是将抽象化为具体,将复杂化为简单,将未知化为已知,在迅速变换与合理寻找中,选择解决问题的路径.本题的解题思路是:首先,确定零点;接着,通过去绝对值分类实现等价转化;然后,逐步求解;最后,汇总得出结果.解:不等式x +2x+3≤a 可等价转化为x<-32,-x -(2x+3)≤a ,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或-32≤x ≤0,-x+(2x+3)≤a ,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或x>0,x+(2x+3)≤a.即x<-32,x ≥-a+33,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐或-32≤x ≤0,x ≤a -3,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐或x>0,x ≤a -33.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐又不等式x +2x+3≤a 的解集为空集,则有-a+33≥-32,a -3<-32,a -33≤0,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐解得a<32,所以实数a 的取值范围为a a<32.说明:历年高考中,运用等价转化思想解题的例子数不甚数.学生若能谨慎入题,把握题目的主脉,从中体会到转化思想的价值,则可以不变应万变,发挥出较好的水平.本题属于一道具有一般性、典型性、综合性和抽象性的题型.通过转化意识的建立,利于学生化难为易,形成正确的、简捷的解题路径.化法所谓的特殊转化法,就是充分挖掘出题目条件中的特殊性,赋予题设条件一个最简单的特殊值,借助它的特殊性来快速求解,此方法最适宜用于填空题与选择题的解答中.例5：已知△ABC 中,点M ,N 满足AM=2MC ,BN=NC 若有MN=xAB+yAC ,则x=________,y=________.分析:首先,借助找寻条件中的特殊关系,较快地建系,进而可以确定相应的点和向量的坐标;然后借助坐标运算建立关系式,结合坐标相等关系快速求解,并作答.本题涉及三角形的特殊化,试问学生特殊三角形有哪些?学生很快形成了解题策略.解:取一个特殊△ABC ,不妨设△ABC 为直角三角形,且AC ⊥AB ,AB=4,AC=3,以A 为坐标原点,且以AB 和AC 所在直线分别为x 轴与y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系,则有A (0,0),B (4,0),C (0,3),M (0,2),N (2,32),那么MN=2,AB=(4,0AC=(0,3).MN=x AB+yAC可得2,=x (4,0)+y (0,3),即2,(4x ,3y ).则有4x=2,3y=-12,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐解得x=12,y=-16.xOyC M NB 图1说明:较为常用的特殊转化法往往有:取特殊数值、取特殊数列、取特殊函数、取特殊图形、取特殊点、取特殊角、取特殊位置等等.这种转化得益于扎实的基本功,从而快速准确地找到特殊路径.借助特殊转化法解题,可以激发学生的数学思维和认知心理,调动学生的学习积极性,并形成稳定而清晰的转化与化归思想.综上可以看出,数学解题中处处存在数学思想,教学中处处可以渗透数学思想,转化与化归思想存在于整个高中数学的解题过程中.笔者认为,在教学过程中,只有让数学思想始终浸润课堂,才能将这一思想根植于学生的思维中,学生才能充分体会其中的精髓和魅力;学生只有将上述转化与化归思想的根基打牢,才能发现陌生数学问题情境中的转化路径,使问题获解,从而真正提高学生的解题能力.77。

转化与化归思想在高中数学教学中的应用分析

转化与化归思想在高中数学教学中的应用分析摘要：在数学思想中，转化与化归思想是最为重要的组成部分，需要教师和学生都能引起重视。

为了进一步提高转化与化归思想的渗透效果，教师应全面分析高中学生的学习特点，遵从转化与化归思想的具体原则，提供不同类型的典型例题，开展多样化的教学活动，借此锻炼学生的应用能力，提高其解题效率。

关键词：转化与化归思想；高中数学；应用策略引言：在核心素养的影响下，教师不应将教学内容限制在知识的讲解、技能的传授上，而是要让学生学习并掌握数学思想，学会运用数学思想分析并解决问题。

因此，在高中数学教学中，教师应在教学过程中逐步渗透转化与化归思想，带领学生全方位了解这一思想，并利用多类型的活动提高思想渗透效果。

一、转化与化归思想的相关概述（一）转化与化归思想的概念在数学学科中，转化和化归思想是一种至关重要、不可缺少的思想方法，指的是利用某种转化过程，将需要解决的陌生问题转变成利用所学知识可解决的问题，或者将原本复杂、抽象的问题变得更加简单明了。

在不断转化过程中，学生能逐渐将不规范、不熟悉、复杂多变的问题变成规范、熟悉以及简单的问题，灵活运用所学知识解决问题。

（二）转化与化归思想的原则第一，熟悉化原则。

这一原则指的是运用积累的经验、方法和知识，寻找与题目相似的其他题目，将新题目中的条件向着旧题目进行合理转化，尝试运用已学知识解决问题；第二，简单化原则。

这一原则指的是最大程度简化陌生的题目，剔除题目中的无效信息，避免多余信息的感染；第三，难反原则。

这一原则指的是在遇到无法正向解决的问题时，学生应尝试采用逆向推理的方式，倒推题目内容，直到发现已知量与问题之间的关系，找到解决问题的思路和方法。

二、转化与化归思想的应用策略（一）基于熟悉化原则应用转化与化归思想在遇到一个新的数学问题时，学生通常会产生模糊、陌生的感觉；在应用转化与化归思想后，学生通常能产生全新认知，开始尝试将新问题转变成旧问题，运用熟悉的解题方法进行全方位分析。

小学数学教学-浅谈“转化(化归)思想方法”在小学数学教学中的渗透

浅谈“转化（化归）思想方法”在小学数学教学中的渗透安徽省安庆市大龙山中心学校凌娟【内容摘要】数学思想是数学知识的精髓，数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维，就没有真正的数学学习。

转化思想是数学教学中普遍使用的一种思想方法，在数学研究中也是常用的有效方法。

【关键词】转化思想方法计算教学的思维功能探究图形面积计算解决问题数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

数学思想是数学知识的精髓，数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维，就没有真正的数学学习。

正如著名的数学家乔治·波利亚所云：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道路。

”《课程标准（2011年版）》在其核心目标之一的“基本思想”里明确指出：数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成和蕴涵的数学思想。

那么，如何以知识技能为载体，有机渗透数学思想方法，让学生学好数学、用好数学，引导学生走进数学的“灵魂深处”，就是我们每个数学教学工作者必须要认真思考的问题。

转化（化归）思想方法是诸多思想方法的一种，是数学教学中普遍使用的一种思想方法，在数学研究中也是常用的有效方法。

在数学学习中，学生经常面对新知识、新问题，需要从已有的知识和经验出发，采用恰当的转化手段把陌生问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知转化为已知。

鉴于此，在平时教学中，我们要努力挖掘数学知识中所蕴涵的转化思想，把握运用数学思想解决问题的机会，增强学生主动运用数学思想的意识，以此提高学生的数学能力，提升学生的数学素养，促进学生的全面发展，为学生的可持续发展奠定基础。

一、计算教学中的渗透计算教学在整个小学阶段的数学学习中占有很大的比重，培养小学生“会计算、懂算理”也是小学数学教学的主要目标。

尽管数的运算有各种不同题型不同的运算方法，但每一种运算都是由一步运算演变成二步、三步运算，而且由简单转化为复杂的。

怎样在教学中渗透转化与化归思想

谈学论教众所周知，数学知识之间的联系较为密切.这意味着学生要想解决问题，需掌握数学知识之间的内在联系，探寻其规律.因此，教师在教学中要有意识地渗透转化与化归思想，引导学生将所学的知识关联起来，合理进行转化，以提升课堂教学的效率.一、在讲解知识时渗透转化与化归思想所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想方法.转化与划归思想贯穿于高中数学的各个章节，是一种应用广泛的数学思想方法.因此,教师要精心研究教材，深度挖掘教材中与这种思想方法相关的知识，在讲解知识时引导学生分析知识间的内在联系，构建知识网络，实现知识之间的转化.例如，在教学“向量的加法运算及其几何意义”时，笔者给出了如图1所示的两个向量a 、b ，然后在平面内任取一点A ，作 AB =a ， BC =b .学生通过观察图形，便会发现a +b = AB + BC = AC .这样便得到了三角形法则，也有效地渗透了转化与化归思想.通过数与形的转化，学生也就掌握了两个向量的加法运算及其几何意义.图1二、在习题课上渗透转化与化归思想转化与化归思想是一种重要的解题方法.当学生遇到一些比较抽象的数学问题，很难找到解题的思路时，教师可引导他们寻找各知识点之间的联系，另辟蹊径，将一些复杂的、难度大的、陌生的问题转化为简单的、容易的、熟悉的问题，这样能有效地提升解题的效率.例1.已知f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -3.对一切x ∈(0,+∞),2f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围.解析：此问题是不等式恒成立问题.由于不等式左右两侧都是比较复杂的函数式，学生采用常规方法很难比较它们的大小.教师可引导学生将不等式进行变形，分离出参数，得到a ≤2ln x +x +3x ，然后构造新的函数h (x )=2ln x +x +3x ，利用转化与化归思想，将该问题转化为求函数h (x )最小值的问题，再利用导数知识，求得h (x )的最小值为4，最后得到答案a ≤4.例2.如图2，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA =AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值．解析：由于两异面直线PB 与AC 所成角很难找到，所以可以引导学生建立空间直角坐标系，利用转化与化归思想将问题转化为向量问题来求解，这样便可达到化难为易的目的了.解：(1)略；(2)设AC ∩BD =O .因为∠BAD =60°，PA =AB =2，所以BO =1，AO =CO =3.如图2，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz ，则P (0，-3，2)，A (0，-，0)，B (1，0,0)，C (0，，0)．所以 PB =(1，-3，-2)，AC =(0,23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ=|PB ⋅ AC |PB | |PC ||=622×23=即PB 与AC 所成角的余弦值为.总之，转化与化归思想是一种重要的解题思想，此思想的实质是建立知识之间联系，对问题进行变换、转化，使问题得以解决.在教学中，教师要结合教学内容和学生的实际情况渗透转化与化归思想，引导他们掌握此思想.（作者单位：甘肃省甘南藏族自治州合作一中）图２51。

转化与化归思想在中学数学中的应用

转化与化归思想在中学数学中的应用一、引言数学是一门重要且广泛应用的学科，其中转化与化归思想是数学中一个重要的思维方式和解题方法。

本文将介绍转化与化归思想在中学数学中的应用，并讨论其对学生的思维能力和解题能力的提升。

二、转化与化归的基本概念转化与化归是数学中一种将复杂问题转化为简单问题的方法。

在解决数学问题时，我们经常会遇到一些复杂的问题，难以直接解决。

这时，我们可以通过转化与化归的方法将问题转化为相对简单的问题，从而更容易解决。

转化是指将一个问题转化为另一个与之等价的问题。

通过适当的变换，将原问题转化为新问题，新问题的解可以等价于原问题的解。

例如，在解决二次方程时，我们可以通过变量替换将其转化为一次方程。

这样，原问题的解就可以通过解一次方程得到。

化归是指将一个复杂问题化归为若干个相对简单的问题。

通过将原问题分解为若干个小问题，并解决这些小问题，最终得到原问题的解。

例如，在解决函数的极限问题时，我们可以通过分解计算极限，并利用极限的基本性质来求解原问题。

三、转化与化归在代数中的应用1.方程的转化与化归解方程是中学数学中的一个重要内容，而转化与化归思想在解方程问题中有着广泛的应用。

例如，在解二次方程时，我们可以通过变量替换将二次方程转化为一次方程。

通过设定适当的关系式，将二次方程的变量替换为新变量，然后解一次方程得到新变量的值，最后再通过逆变换得到原变量的值。

这样，我们将原问题转化为了相对简单的一次方程的解决。

2.几何问题的转化与化归在几何问题中，转化与化归思想同样发挥着重要的作用。

例如，在解决一些三角形的问题时，我们可以将其转化为对应辅助图形的问题。

通过引入适当的辅助线或辅助点，我们可以将原问题转化为辅助图形的问题。

由于辅助图形往往具有简单的性质，我们可以更容易地解决这些问题。

3.函数的转化与化归函数是数学中一个重要的概念，而转化与化归思想在函数问题中同样有重要的应用。

例如，在解决函数的极限问题时，我们可以通过极限的性质将复杂的极限问题化归为一些简单和已知的极限。

转化与化归思想在中学数学中的应用

转化与化归思想在中学数学中的应用【摘要】本文围绕着转化与化归思想在中学数学中的应用展开讨论。

首先介绍了数学问题的转化与化归方法，指出这种思维方式在解决问题时的重要性。

然后通过具体的数学题目应用举例来说明转化与化归思想在实际问题中的灵活运用。

接着探讨了如何利用这种思想解决实际生活中的问题，并分析了转化与化归在数学证明过程中的应用。

也提及了转化与化归技巧在数学竞赛中的重要作用。

总结了转化与化归思想在中学数学中的重要性，并展望了其在数学教学中未来的发展潜力。

可以看出，转化与化归思想不仅在解决数学问题中发挥着关键作用，同时也对学生的思维方式和解决问题的能力有着积极影响。

【关键词】转化与化归思想、中学数学、数学问题、应用举例、实际问题、数学证明、数学竞赛、技巧、重要性、未来发展、应用价值。

1. 引言1.1 转化与化归思想在中学数学中的应用转化与化归思想在中学数学中的应用是数学学习中至关重要的一环。

通过将问题进行转化和化归，我们可以更好地理解数学概念，解决数学问题。

在数学问题的转化与化归中，我们可以通过找到问题之间的联系，将复杂的问题简化为更容易解决的形式。

这种思维方式不仅可以帮助我们更深入地理解数学知识，还可以提高解决问题的效率。

在数学题目中的应用举例中，我们可以看到转化与化归思想的实际应用。

在解决几何问题时，我们可以通过将问题转化为代数形式来简化计算，更快地找到答案。

利用转化与化归思想解决实际问题也是值得重视的。

在现实生活中，我们经常会遇到各种复杂的问题，而通过运用数学思维，将问题转化与化归，我们可以更好地解决这些问题。

转化与化归思想在中学数学中的应用是非常重要的。

通过运用这种思维方式，我们可以更好地理解数学知识，解决数学问题，提高数学竞赛成绩。

展望未来，我们可以进一步探索转化与化归思想在数学教学中的应用，提高学生的数学学习兴趣和水平。

转化与化归思想的应用价值将会在未来得到更加充分的发展和体现。

2. 正文2.1 数学问题的转化与化归数学问题的转化与化归是指将一个复杂的问题或题目转化成更简单或更熟悉的形式，从而更容易解决。

化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用

化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用【摘要】本文主要探讨了化归思想与化归方法在小学数学教学中的应用。

首先介绍了化归思想和化归方法，并阐述了小学数学教学的重要性。

接着分析了化归思想在小学数学教学中的具体应用以及化归方法在教学中的操作技巧。

通过案例分析展示了化归思想与方法在小学数学解题中的应用和运用。

还对小学数学教学中化归思想与方法进行了详细对比，总结了它们在教学实践中的价值。

最后强调了化归思想与方法在小学数学教学中的重要性，并展望了未来的发展趋势，以及总结了它们在教学中的应用。

这将有助于提高小学生对数学的理解和应用能力，促进他们的学习效果。

【关键词】化归思想、化归方法、小学数学教学、应用、案例分析、对比、重要性、发展、总结、引言、正文、结论、未来、思维方式、问题解决、教学方法1. 引言1.1 介绍化归思想和化归方法化归思想是一种重要的数学思维方式，它在小学数学教学中具有重要的应用价值。

化归思想是指将复杂的问题进行简化处理，从整体上找到解决问题的方法和思路。

通过化归思想，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题，提高他们的数学思维能力。

化归方法是一种具体的解题方法，是在化归思想指导下进行的具体操作步骤。

化归方法通过逐步分析、简化问题，找到关键的解题思路，帮助学生有条理地解决问题。

在小学数学教学中，引导学生掌握化归思想和化归方法非常重要。

通过引导学生运用化归思想和化归方法，可以培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和创新思维。

化归思想和化归方法在小学数学教学中具有重要的意义，对学生的数学学习和思维能力的发展具有积极的推动作用。

1.2 小学数学教学的重要性小学数学教学在学生的整个学习生涯中占据着非常重要的位置。

数学是一门抽象而精密的学科，它不仅培养了学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，还提高了学生的计算能力和解决问题的能力。

而小学数学教学作为数学学科的基础，对于学生未来的学习和发展具有至关重要的意义。

小学数学教学可以帮助学生打下坚实的数学基础。

浅谈化归思想在数学教学中的应用

浅谈化归思想在数学教学中的应用在研究和解决数学问题时，借助已知条件将问题转变进而达到解决问题的一种思想——化归思想。

化归思想在中学数学中的应用极其广泛，因此是一种最基本的思维策略。

作为一种有效的数学思维模式，其原则是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知，化综合为基本，这也是人们认识问题的基本规律。

标签：化归思想;数学教学;化归原则;化归方法;教学策略如果说知识是“鱼”，那思想方法便是“渔”，“授之以鱼，不如授之以渔”，这句名言体现了思想方法在学习中的重要性，学生毕业走出校门，不管他们是从事科学工作者，技术人员，还是教育工作者，唯有深深地铭刻于脑中的数学思维方法随时随地的发生作用，而受益终生。

所以数学思想方法相对于数学知识而言，对我们的影响更大。

初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归的涵义“化归”是转化和归结的简称，化就是变化原问题，转化原问题，变化原问题;归说的是变化、转化，变换原问题是有目的、有方向的。

把待解决的问题，通过某种转化过程归结到已解决或较容易解决的问题，最终求得解答的数学思想。

所以，作为一名教育工作者，在平时教学过程中要把这种思想渗透进去，让学生体会其中的精髓。

二、化归方法的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单;化抽象为具体;化生疏为熟悉;化难为易;化一般为特殊;化特殊为一般;化“综合”为“单一”;化“高维”为“低维”等。

为了更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则，简单化原则，直观化原则，和谐化原则。

1.熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，将新知识转化为旧知识，以便于我们运用熟悉的经验来解决。

在初中阶段的数学知识几乎都是将新问题转化为旧知识而得到的。

如：二元一次方程组转化为一元一次方程;一元二次方程化为一元一次方程;函数问题化为方程问题;方程问题转化为函数图像等等。

“化归”思想在小学数学教学中的运用

“化归”思想在小学数学教学中的运用一、“化归”思想的内涵“化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。

而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。

从而求得原问题的解决。

化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。

它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。

”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。

翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。

二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透1、数与代数----在简单计算中体验“化归”例１：计算48×53＋47×48机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。

将48这一数化归成物，即看到了相同的数48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数48，相同的数48是化归的对象，红富士苹果是实施化归的途径，于是48×53＋47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。