论文：数学思想方法

数学思想方法

河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征

常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下：

类型一：化归思想方法:重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想

【例1】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径

的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π)

分析：本题考察了扇形面积和n 边形内角和公式，解题关键是：是求第n 个图形中(n ＋2)个半径为1的扇形的面积之和 解析：[]ππ2

n 1802-2)(n 360

1S 2

=⨯+⋅=

，答案；π2

n

类型二：数形结合: 重难点突破： 根据数学问题的题设和结论之间

的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决；

【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD 中，A B ＝2，BC ＝1,动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是 ( )

分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分．

解析：当点P 在BC 上时，即0＜x ≤1时

x x 2PB AB S 2121PAB =⋅⨯=⨯=∆

当点P 在CD 上时，即1＜x ≤3时

112BC AB S 21

21PAB =⨯⨯=⨯=∆ 答案：B

类型三：分类讨论思想方法: 重难点突破： 被研究问题包含多种

可能情况，而不能一概而论，此时我们必须按可能出现的所有情况来分别讨论解决，得出各种情况下相应的结论．在涉及到此问题时，要遵循不重复、不逸漏任何一种情况和每种可能情况都要按照同一标准进行讨论的原则，也是解决问题的关键．

【例3】(07成都)在平面直角坐标系x0y 中，已知一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点P(1.1)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝3，那么点A 的坐标是_________． 解析：关键是分两种情况讨论；答案：(－2.O )或(4.O) 【例4】已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ( ) A ．200

B ．1200

C ．200

或1200

． D ．360

分析：此题需要分类讨论；①当顶角与底角之比为1:4时，设顶角为x 0，则有x ＋4x ＋4x ＝1800

，解得x ＝20，此时顶角为200

；②当底角与顶角之比为1:4时，设底角为x 0，则有x ＋x ＋4x ＝1800

，解得x ＝30，此时顶角为1200

；故选(C)．

【例5】(09哈尔滨)如图①，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCD 是菱形，点A 的坐标为(－3.4)，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ， ⑴求直线AC 的解析式． ⑵连接BM ，如图②，动点P 从 点A 出发，沿折线ABC 方向以 2个单位/秒的速度向终点C 匀速 运动，设△PMB 的面积为S(S ≠0)

点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变 量t 的取值范围)；

⑶在⑵的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 分析：⑴中，利用点A 坐标求出OA 的长度为由于四边形ABCD 则四条边相等，所以点坐标为(5.0)，由点A 即可求出直线AC 式；⑵由图形可知，点线段AB 上运动与在线段BC 上运动，△PMB 的面积是不一同的，

所以要分两种情况分别计算，利用三角形的面积公式，分别表示出两种情况下的三角形的面积的函数解析式；⑶可先假设此种情况成立，然后由此种情况推出相应的结果，注意还要如⑵一样分两种情况解答，若直接求此角的正切值，会比较困难，我们可通过角的转化，求与其相等的角的正切，这个相等角在一个直角三角形中，这样就可利用正切的定义求出相应的值了． 解析：⑴过点A 作A E ⊥x 轴，垂足为E(如图①) ∵点A 的坐标为(－3.4)，∴A E ＝4，OE ＝3 ∴5OE AE OA 22=+=

∵四边形ABCD 为菱形，∴O C ＝CB ＝BA ＝OA ＝5 ∴点C 的坐标为(5.0)

设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b,则 解得：

∴直线AC 的解析式为：2

5x 2

1-y +=

⑵∵直线AC 的解析式为：25x 21-y +=与y 轴交于点M ，∴M )2

5(0. ∴0M ＝2

5，如图②，当点P 在AB 上运动时， 由题意得，0H ＝4，∴HM ＝2

3． ∴S ＝232t)-(52

1MH BP 2

1

⨯=⨯ 即S ＝415t 2

3-+

(0≤t ＜25

)． 当点P 在BC 上运动时，记为P 1． ∵∠0CM ＝∠BCM ，C0＝CB ，CM ＝CM ，

5k ＋b ＝0

－3k ＋b ＝0

21

-k = 2

5b =