北京市第七中学2021届高三上学期期中考试数学试题-含解析

北京市第七中学2020～2021学年度第一学期期中检测试卷高三数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 集合{}24M x x =>，{}12N x x =-≤，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. {}23x x <≤ B. {}21x x -≤<- C. {}12x x -≤≤ D. {}23x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合M 、N ，由图可知阴影部分区域所表示的集合为()NM N ，由此可得结果.【详解】{}{242M x x x x =>=<-或}2x >，{}{}{}1221213N x x x x x x =-≤=-≤-≤=-≤≤，所以，{}23M N x x ⋂=<≤， 由图可知，阴影部分区域所表示的集合为(){}12NM N x x ⋂=-≤≤.故选：C.2. 命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3. 下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为（ ） A. 1y x=B. ln y x =C. lg y x =-D.1y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可． 【详解】y 1x=为奇函数，不符合题意， y ＝ln y x =为偶函数，在区间(0+)∞，单调递增，符合题意， lg y x =-定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，1y x =-是偶函数，且x ＞0时，y ＝1-x 单调递减，不符合题意．故选：B ．4. 如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ac bc >B. 222a b c >>C. 2a c b +>D.a cbc ->-【答案】D 【解析】 【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】对于选项A ，当c =0时，ac 2=bc 2，故选项A 错误； 对于选项B ，当1,2,3a b c =-=-=-时，a 2＞b 2＞c 2错误； 对于选项C ，当a =1，b =0，3c =-时，a +c ＞2b 错误；对于选项D ，直接利用不等式的基本性质的应用求出a c b c ->-，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.5. 已知2log 3,sin1602a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. a c b << C. c b a << D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和正弦函数的单调性，运用中间数比较法进行求解即可. 【详解】22log 3log 21,1b >=∴>，11sin160sin150,22c ︒<︒=∴<，211,1222a >∴<<， 因此c ab <<. 故选：D.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关对数值、正弦值之间数值的大小比较问题，解题思路如下：（1）利用对数函数和正弦函数的单调性，比较值之间的大小； （2）利用中介值比较大小. 6. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移变换的方法，由223x x π→-即22()6x x π→-，只需向右平移6π个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由sin2y x =变换为sin 2236y x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 只需将sin2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.7. 设a 、b 为实数，则“0a b <<”是“1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得出1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义可得出结论.【详解】因为指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，则1133a ba b ⎛⎫⎛⎫>⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 0a b a b <<⇒<，但0a b a b <<⇐</因此，“0a b <<”是“1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的充分不必要条件. 故选：A.8. 函数()1tan 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的零点个数为（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】作出函数12x y⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数tany x=在区间[]0,2π上的图象，数形结合可得出结果.【详解】由()0f x=可得1tan2xx⎛⎫=⎪⎝⎭，则函数()f x在区间[]0,2π上的零点个数即为函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数tany x=在区间[]0,2π上的图象的交点个数，如下图所示：由图象可知，函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数tany x=在区间[]0,2π上的图象有两个交点.因此，函数()1tan2xf x x⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的零点个数为2.故选：B.【点睛】利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9. 已知()f x是定义在()0,3上的函数，()f x的图象如图所示，那么不等式()cos0f x x⋅<的解集是（）A. ()()0,12,3B. 1,,322ππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()0,1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()()0,11,3【答案】C 【解析】 【分析】分01x <<和13x <<两种情况解不等式()cos 0f x x ⋅<即可得解.【详解】当01x <<时，()0f x <，由()cos 0f x x ⋅<可得cos 0x >，解得01x <<； 当13x <<时，()0f x >，由()cos 0f x x ⋅<可得cos 0x <，解得32x π<<.因此，不等式()cos 0f x x ⋅<的解集为()0,1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C.10. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A.4510aB.91010aC.4510a-D.91010a -【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力4.9的视标边长为4510a - 故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是_______. 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1()ln 1f x x x =++有意义，则满足100x x +≠⎧⎨>⎩，解得0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 故答案为：(0,)+∞.【点睛】求解函数的定义域的求解策略：1、根据函数的解析式有意义，列出不等式（组），取交集求得函数的定义域；2、若函数()y f x =用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域；3、若函数()y f x =用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域.12. 已知1x >，则41x x +-的最小值为__________，此时x 的值为_________. 【答案】 (1). 5 (2). 3 【解析】 【分析】先将41x x +-变形为()4111x x -++-，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：因为1x >，所以10x ->，401x >-， 所以()44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当()411x x -=-，即3x =时等号成立. 故答案为：5；3.【点睛】本题考查基本不等式求最小值，是基础题.13. 若角α的终边经过点3(4,)P －，则cos()πα-=_______，sin 2α=___________. 【答案】 (1). 45- (2). 2425-【解析】 【分析】利用三角函数定义求得cos ,sin αα，再结合诱导公式及二倍角正弦公式求解 【详解】若角α的终边经过点3(4,)P －，则43cos ,sin 55αα==-∴424cos()cos ;sin 22sin cos 525πααααα-=-=-==-故答案为：45-；2425-14. 已知函数1221,0,(),0,x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是______________.【答案】(,1)(1,)-∞-+∞【解析】 【分析】讨论0x 的取值范围，分别代入对应解析式即不等式即可求出0x 的取值范围.【详解】由()1211,03,0x x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()01f x >，当00x ≤时，则0211x -->，解得01x <- 当00x >，则121x>，解得01x >综上所述，01x <-或01x >， 故答案为：(,1)(1,)-∞-+∞.【点睛】关键点点睛：该题考查了求解分段函数的不等式，在解题的过程中，关键点是需要分类讨论，属于中档题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知b=5，sin ABC A S ∆== （1）求边c 的值； （2）求sinC 的值．【答案】（1）6c =；（2）8. 【解析】 【分析】（1）由b 的值和sin A 的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积,让面积等于c 的方程,求出才的解即可得到c 的值; （2）由三角形为锐角三角形,得到A 的范围,由sin A 的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos A 的值,然后由b,c 和cos A 的值即可求出a 的值,再由,c a 和sin A 的值,利用正弦定理即可求出sin C 的值. 【详解】（1）由5b =,sin 4A =,则1sin 2ABCSbc A ==,5c =, 解得6c =（2）由锐角ABC中sin 4A =可得:3cos 4A =,由余弦定理可得:22232cos 253660164a b c bc A =+-⨯=+-⨯=, 所以4a =由正弦定理:sinc aC =,即6csin 4sin 4A C a ===【点睛】本题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值,灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=. 17. 已知函数32()3f x x x =-.（1）求()f x 在点(1,4)P --处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 的定义域为[1,]m -时，值域为[4,0]-，求m 的最大值.【答案】（1）950x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(2,)+∞；单调递减区间为(0,2)；（3）3. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程； （2）令()0f x '<和()0f x '>分别可得单调递减和递增区间；（3）根据()f x 在(1,)-+∞上的单调性，结合(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =以及值域为[4,0]-可得03m ≤≤，从而可得结果.【详解】（1）由32()3f x x x =-，得2()36f x x x '=-，所以'(1)9f -=所以切线方程为49(1)y x +=+，即：950x y -+=（2）令2()360f x x x '=-<，得02x <<，令()0f x '>，得0x <或2x >，.所以()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(2,)+∞；单调递减区间为(0,2).（3）由（1）知，函数()f x 在区间(1,0)-和(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减，且(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =.所以当03m ≤≤时，()f x 的值域为[4,0]-；当3m >时，()(3)0f m f >=，()f x 的值域为[4,()]f m -.所以m 的最大值等于3.【点睛】关键点点睛：第3问根据()f x 在(1,)-+∞上的单调性，利用(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =以及值域为[4,0]-解题是关键.18. 在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4C π时，535a【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角得sin cos()6B Bπ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得sin()03Bπ，再根据角的范围可得结果；（2）若选①7b =，根据余弦定理可得结果；若选②4C π，先求出sin A ，再根据正弦定理可得结果【详解】（1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a bA B=， 所以sin sin sin cos()6B A A Bπ. 又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin3434A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 6222，解得535a. 所以5352a. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.19. 已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间. 【答案】（Ⅰ）7πππ7π,,,8888α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）5ππ[π,π]()1212k k k Z -+∈. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得2ω=，且由()2f α=，得cos 22α=，解三角方程并注意[π,π]α∈-，取相应范围的根；（Ⅱ）将()()y f x g x =+变形为sin(2)3y x π=+，利用复合函数的单调性，只需22k ππ-2232x k πππ≤+≤+，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.试题解析：（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=．由()2f α=22α=，即cos 22α=，所以π22π4k α=±，k Z ∈.因为[π,π]α∈-，所以7πππ7π,,,8888α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）解：函数π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+-1sin 2222x x =+πsin(2)3x =+，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -≤≤+． 所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[π,π]()1212k k k Z -+∈. 考点：1、三角方程；2、两角和与差的三角函数；3、三角函数的单调性.20. 已知函数321()13f x x ax =-+.（1）若函数()1y f x =-是奇函数，直接写出a 的值； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，求a 的最大值.【答案】（1）0；（2）当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a ；（3）1. 【解析】 【分析】（1）令()32(113)x ax g x f x =-=-，根据函数()1y f x =-是奇函数，由()()g x g x -=-求解.（2）求导2()2f x x ax '=-，分0a =，0a >和0a <三种情况，由()0f x '<求解.（3）将()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，转化为13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立求解. 【详解】（1）已知函数321()13f x x ax =-+，所以()32(113)x ax g x f x =-=-， 因为函数()1y f x =-是奇函数， 所以()()g x g x -=-，即32321133x ax x ax ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭-， 所以220ax =， 解得0a =.（2）2()2f x x ax '=-.当0a =时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； 当0a >时，由()0f x '<得：02x a <<； 当0a <时，由()0f x '<得：20a x <<.综上所述，当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a . （3）因为()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，即32103x ax -≥在区间[3,)+∞上恒成立. 所以13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立. 因为3x ≥， 所以113x ≥. 所以1a ≤.所以若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，a 的最大值为1. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<； 21. 已知函数2(x 1)(x)a f x-=，其中0a >. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（3）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上最大值.（其中e 为自然对数的底数） 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是（0,2）． （2）1a =（3）当01ea e <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， 当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g = 【解析】【详解】（1）()[]22243(1)()((x 1)())2(01())a f x x f a x x x a x a x x x x x''-'=-⋅-⋅--==≠，， ()002f x x '>⇒<<，()00f x x '<⇒<或2x >，故函数的单调递增区间为（0,2），单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞. （2）设切点为（x,y ）,由切线斜率得33(2)12a x k x ax a x-==⇒=-+① 由22(1)110()(1)01a x x y x x a x x x---=--=⇒--=⇒=，x =当x=1时，得a=1,当x =a=1,当x =a 的值为1.（3）()2()ln ()ln 1,()ln 1g x x x x f x x x a x g x x a '=-=--=+-，当01a <≤时，()0,()g x g x '≥单调递增，最大值(e)e e g a a =+-，当2a ≥时，()0,()g x g x '≤单调递减，()g x 的最大值为(1)0g =， 当12a <<时，函数先减后增，最大值为g(1)或g(e), 设(1)()g g e ≥，即0e a ae +-<时，即e e 1a ≥-时，即e2e 1a ≤<-时，最大值为g(1), 若11ea e <<-时，最大值为g(e), 综上，当01ea e <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， 当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g = 【点睛】本试题主要是考查了运用导数的思想来求解函数的单调区间和函数的最值问题，以及曲线在某点的切线方程的综合运用．（1根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间． （2）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值．（3）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值．。