我国古代数学家秦九韶
南宋数学家秦九韶传
南宋数学家秦九韶传经历和为人秦九韶（1202—约1261），字道古，普州安岳（今属四川）人，祖籍鲁郡。
父秦季槱，字宏父，绍熙四年（1193）进士。
嘉定十二年（1219），秦季槱任巴州（今四川巴中）守。
是年三月，兴元（今陕西汉中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后夺取利州（今广元）、阆州（今阆中）、果州（今南充）、遂宁（今遂宁）和普州（今安岳），并进犯巴州。
秦季槱弃城而走。
朝廷命沔州都统张威引兵镇压。
年仅18 岁的秦九韶“在乡里为义兵首”，参加张威军的平乱之战。
不久，秦季槱携全家辗转抵达当时的京师临安（今杭州）。
嘉定十五年（1222），秦季槱任工部郎中，十七年，除秘书少监。
宝庆元年（1225）正月，兼任国史院编修官、实录院检讨官。
工部掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局。
因此，天资聪颖、求知若渴的秦九韶有机会阅读大量典籍，熟悉建筑、修造、治河等方面的土木工程知识，并向他父亲的属官中负责测验天文、考定历法的学者们学习天文历法知识。
他后来在《数书九章》序中说“早岁侍亲中都，因得访习于太史”，即指这段时间的事。
秦九韶又曾向“隐君子”学习数学。
他还向著名词人李刘学习骈骊诗词。
通过这一时期的学习，秦九韶的学识日趋渊博。
周密在《癸辛杂识续集》中称他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知”。
宝庆元年（1225）六月，秦季槱被任命为潼川（今四川三台）知府，七月赴任。
秦九韶于是随父回到四川。
次年正月十二日，秦氏父子来到涪州（今重庆涪陵），与涪州守李踽及其两个儿子同游，观赏长江石鱼，并刻石题名，后为姚觐光收入《涪州石鱼文字所见录》，成为一则重要史料。
在潼川，秦九韶曾当过县尉。
这期间，李刘曾邀请他到国史院校勘书籍文献，但未成行。
端平三年（1236），元兵攻入四川，嘉陵江流域兵祸不断，秦九韶不得不经常参与军事活动，饱受战争之苦。
他后来在《数书九章》序中回忆道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落。
数书九章中华之光——宋代数学家秦九韶小记
秦九韶，字道古。
宋宁宗嘉定元年（1208）三月，出生于普州（今四川省资阳市安岳县）天庆观街“秦苑斋”的一个书香门第、仕宦之家。
秦九韶之祖父秦臻舜，宋高宗绍兴三十年（1160）进士及第，官至通议大夫（正四品）。
父亲秦季槱，宋光宗绍熙四年（1193）进士及第，累仕显谟阁直学士（从三品）。
秦臻舜父子，同治春秋，政声亦佳。
秦九韶之祖母和母亲，均出于书香门第。
秦九韶出生于如此书香之家，受到长辈之熏陶，接受良好家庭教育。
加之，秦九韶生活在父亲结交的忠臣良相、儒雅之士挚友圈中，师长之关爱教诲，为秦九韶之健康成长培植了优良环境。
嘉定九年（1216）秋，秦九韶随祖母、母亲离开普州，与知巴州军州事之父亲团聚。
嘉定十二年（1219），兴元军士权兴等兵变犯巴州，守臣秦季槱失巴州。
第二年，秦季槱出任工部郎中。
秦九韶随父至临安，开始了“早岁侍亲中都，因得访习于太史”之励志年华。
宋理宗宝庆元年（1225）六月，秦季槱知潼川府军州事，秦九韶随之。
秦九韶后擢升郪县县尉，24岁蟾宫折桂。
宋理宗端平元年（1234）冬，秦九韶赴临安任国史院校正。
端平三年（1236）正月，秦九韶任蕲州通判。
第二年，擢升和州军州事。
后相继任职淮南西路、两浙路和广南东路、广南西路。
宋理宗景定二年（1261）七月，秦九韶知梅州军州事，宋度宗咸淳四年（1268）三月卒于梅州。
终年59岁。
数书九章 中华之光——宋代数学家秦九韶小记 文/李青春（四川省安岳县地方志办公室主任）秦九韶身处宋金、宋蒙战争乱世，仕途坎坷。
他酷爱数学，虽置身政治，但对数学研究从未放弃。
在政务之余，广泛收集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分类研究。
宋理宗淳祐四至七年（1244—1247），秦九韶利用为母守孝的宝贵时光，把长期积累之数学知识及研究所得予以整理编辑，写出中外闻名巨著《数书九章》。
早在汉、魏之间，《孙子算经》就提出了一个有名的数论科学算题，即某数除以8余7、除以5余3、除以7余2，求某数。
秦九韶 从三角形三边求面积的公式
秦九韶，我国明代数学家、地理学家，是历史上著名的数学家之一。
他的数学著作对我国古代数学的发展做出了重大贡献，尤其是他在三角形三边求面积的公式方面的研究，对我国古代数学的发展产生了深远的影响。
在数学上，秦九韶最著名的贡献之一就是他对三角形的研究。
他提出并证明了三角形三边求面积的公式，这在当时是一项开创性的成就。
这个公式在现代数学中被称为秦九韶公式，它为求解三角形面积提供了一种非常便利和实用的方法。
秦九韶公式是一个非常重要的数学公式，它可以帮助我们计算任意三角形的面积，无论是等腰三角形、直角三角形还是一般三角形，都可以通过这个公式得到精确的结果。
这个公式的推导非常巧妙，通过将三角形分成两个直角三角形，然后运用正弦定理和余弦定理来进行推导，最终得到了一个简洁而又实用的公式。
通过这个公式，我们可以不用过多的计算，就能够迅速而准确地求得三角形的面积。
在日常生活中，秦九韶公式也有着广泛的应用。
无论是在建筑工程、地理测量还是其它领域，我们都可以看到这个公式的身影。
通过测量三角形的三边长度，我们就可以利用秦九韶公式来计算三角形的面积，这对工程师和测量师来说是非常重要的。
在我看来，秦九韶公式的推导和应用都展现了数学的美妙之处。
数学不仅仅是一种抽象的符号和公式，它还蕴含着丰富的思想和智慧。
秦九韶在数学研究上的精益求精和创新精神，为我们树立了一个学习的楷模。
秦九韶的三角形三边求面积的公式是我国古代数学的一个重要成就，它不仅在数学理论上有着重要的意义，而且在日常生活中也有着实际的应用。
通过深入地学习和理解这个公式，我们可以更好地欣赏数学之美，同时也能够更好地应用数学知识解决实际问题。
秦九韶公式的价值和意义将随着时间的推移而愈发凸显出来。
在文章中，我希望你能够深入探讨秦九韶及其所提出的三角形三边求面积的公式，包括其背景、推导过程、应用价值等方面的内容，并在文章中多次提及这个主题。
希望你能以清晰、详细的语言，帮我更好地理解这个数学公式及其背后的深刻意义。
秦九韶 从三角形三边求面积的公式
秦九韶从三角形三边求面积的公式秦九韶是中国古代著名的数学家，他对数学的贡献被广泛认可。
在中国传统数学中，秦九韶尤为突出的成就是他提出了一种用三角形三边长度计算面积的公式，这一公式至今仍在数学教育中发挥着重要作用。
在本文中，我将对秦九韶的这一重要成就进行全面评估，以及分享自己的观点和理解。
一、秦九韶的贡献1. 秦九韶的生平和学术背景秦九韶（1202-1261）是中国南宋时期的数学家、天文学家和翰林学士。
他在数学、天文学和历法方面都有杰出的成就，被誉为“中国古代数学宗师”。
2. 三角形三边求面积的公式秦九韶最著名的贡献之一就是他提出了一种用三角形三边长度计算面积的公式。
这一公式至今仍被广泛应用于数学教学和实际问题的解决中。
其公式为：设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以用以下公式计算：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]二、深度和广度的探讨在探讨秦九韶提出的三角形三边求面积的公式时，我们可以从浅入深，由简到繁地进行探讨。
我们可以从三角形的基本概念出发，介绍三角形的定义和性质，然后引入秦九韶的公式，说明其原理和推导过程。
可以通过实例和应用展示这一公式的实际价值，最后深入讨论公式的数学意义和推广等方面。
通过这样的探讨方式，可以帮助读者更深入地理解秦九韶的贡献和这一数学公式的重要性。
三、个人观点和理解我个人认为，秦九韶提出的三角形三边求面积的公式是一项具有里程碑意义的数学成就。
这一公式不仅简洁、优美，而且在数学教学和实际问题的求解中具有广泛应用价值。
通过学习和理解这一公式，我们可以更好地掌握三角形的性质和面积计算方法，提高数学运算能力和动手能力。
总结和回顾通过本文的全面评估，我们对秦九韶提出的三角形三边求面积的公式有了深刻的理解。
我们不仅了解了公式的基本原理和推导过程，还通过实例和应用认识到了这一公式在数学和实际问题中的重要作用。
我们也分享了个人对这一公式的观点和理解，以及对秦九韶的敬佩之情。
南宋数学家秦九韶的故事
南宋数学家秦九韶的故事南宋，数学家秦九韶（公元1202~1261年）在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。
其中的”大衍求一术”﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。
在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。
秦九韶(生卒年不详，活动期约在13世纪)中国南宋数学家，字道古，四川人，著有《数书九章》(1247年)18卷。
对大衍求一数(整数论中的一次同余式解法)和“正负开方术”(数字高次方程的求正根法)等都有深入的研究。
中国自古以来就使用十进位制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，所以很容易产生十进分数，即小数的概念。
第一个将这一概念用文字表达出来的是魏晋时代的刘徽。
他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽等7个单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为“微数”。
到了宋、元时代，小数概念得到了进一步的普及和更明确的表示。
杨辉《日用算法》(1262年)载有两斤换算的口诀：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五”，即1/16＝0 0625；2/16＝0 125。
这里的“隔位”、“退位”已含有指示小数点位置的意义。
秦九韶则将单位注在表示整数部分个位的筹码之下，例如：—Ⅲ—Ⅱ表示13.12寸寸是世界上最早的小数表示法。
在欧洲和伊斯兰国家，古巴比伦的六十进制长期以来居于统治地位，一些经典科学著作都是采用六十进制，因此十进制小数的概念迟迟没有发展起来。
秦九韶算法
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
思考2:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+„+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0 = „ =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1， 怎么样求f(5)的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法1： ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 因为
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
n 次乘法运算，n 次加法运算.
思考3:对于f(x)=(„((anx+an-1)x+an-2)x
+„+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式 的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
秦九韶数学家故事
秦九韶数学家故事秦九韶(1208—1261?)，字道古，自称鲁郡(今山东)人，生于普州安岳(今四川)。
他于1247年完成《数书九章》，提出大衍总数术，系统解决了一次同余方程组解法，直到近代，数学大师欧拉、高斯才达到或超过其水平;他提出正负开方术，把求高次方程正根的方法发展到十分完备的程度，而欧洲在19世纪才创造出这种方法。
他是宋元数学高潮的主要代表人物之一。
对于秦九韶的人品，历来褒贬不一。
同代人刘克庄说他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，稍后周密的记载也是负面的。
清代学者焦循等为秦九韶辩诬，认为他是“瑰奇有用之才”。
1946年余嘉锡发表《南宋算学家秦九韶事迹考》，以刘克庄的奏状与周密的《癸辛杂识》互相印证，说秦九韶的罪状“固非横肆诬蔑”。
此后，钱宝琮则说秦九韶“为人阴险，为官贪暴”。
20世纪下半叶这种观点在学术界一直占据主导地位。
然而，如果认真研究一下秦九韶的《数书九章·序》，尤其是其中的九段“系”，那么一位正直的秦九韶的形象便会展现在我们面前。
秦九韶将数学的作用概括为“通神明，顺性命”和“经世务，类万物”大、小两个方面。
然而，他通过自己的数学研究坦承对其“大者”“肤末于见”，而专注于“小者”。
这反映了他具有实事求是，不慕虚荣的科学精神。
秦九韶非常关心国计民生，把数学作为解决生产、生活中实际问题的有力工具，涉及数学方法在国计民生各方面的应用问题，充分表现了他对国家、民众有强烈的责任心。
更重要的是，秦九韶强烈反对政府的横征暴敛，豪强的强取豪夺，大商贾的囤积居奇，主张施仁政的思想贯穿于整个《数书九章》之中。
他的九段“系”文明确谈到“仁”或“施仁政”的有四次：“苍姬井之，仁政攸在”;“惟仁隐民，犹己溺饥”;”彼昧弗察，惨急烦刑。
去理益远，吁嗟不仁”;“师中之吉，惟智仁勇”。
还有，秦九韶主张抗金、抗蒙，在《数书九章》中特设“军旅”类，有十一个军旅问题，要用到勾股、重差、开方等比较高深的方法，这在中国古代是罕见的。
南宋数学家秦九韶的故事数学家故事
南宋数学家秦九韶的故事数学家故事南宋，数学家秦九韶（公元1202_1261年）在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。
其中的大衍求一术﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。
在古代＜孙子算经＞中载有物不知数这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为大衍求一术。
秦九韶(生卒年不详，活动期约在13世纪)中国南宋数学家，字道古，四川人，著有《数书九章》(1247年)18卷。
对大衍求一数(整数论中的一次同余式解法)和正负开方术(数字高次方程的求正根法)等都有深入的研究。
中国自古以来就使用十进位制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，所以很容易产生十进分数，即小数的概念。
第一个将这一概念用文字表达出来的是魏晋时代的刘徽。
他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽等7个单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为微数。
到了宋、元时代，小数概念得到了进一步的普及和更明确的表示。
杨辉《日用算法》(1262年)载有两斤换算的口诀：一求，隔位六二五；二求，退位一二五，即1/16＝00625；2/16＝0125。
这里的隔位、退位已含有指示小数点位置的意义。
秦九韶则将单位注在表示整数部分个位的筹码之下，例如：ⅢⅡ表示13.12寸寸是世界上最早的小数表示法。
在欧洲和伊斯兰国家，古巴比伦的六十进制长期以来居于统治地位，一些经典科学著作都是采用六十进制，因此十进制小数的概念迟迟没有发展起来。
数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介
数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介秦九韶(1208年-1261年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)。
南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
秦九韶提出的秦九韶算法是中世纪的数学泰斗。
下面是店铺为你搜集数学家秦九韶简介的相关内容，希望对你有帮助!数学家秦九韶简介作为著名数学家秦九韶来说，他并不是一出生就是数学家，而是凭借着自己对数学方面的喜好和勤奋好学。
在他小时候就很是聪敏勤学，宋绍定四年的时期，秦九韶考中进士，他每每在政务之余，就会对数学进行潜心钻研。
除此之外，他还喜欢广泛的搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析和研究。
他曾在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。
被称为“中国剩余定理”。
而其中他所论的“正负开方术”，还被称之为“秦九韶程序”。
他之所以能够成为著名的数学家，跟他的父亲是有密切联系的。
当时他的父亲担任工部郎中和秘书少监的期间，正好是他努力学习和积累知识的时候。
而他的父亲正好掌管营建，以及图书，在他的下属机构还设有太史局，因此，他便有机会阅读大量典籍，同时还可以拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题。
此外，他又曾向“隐君子”学习数学，向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高水平。
秦九韶算法秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方则被称作霍纳算法。
它也是中国古代著名和伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。
秦九韶算法具体是将一种将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。
它的解答方法大大简化了整个的计算过程，即便是在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。
而“秦九韶算法”的主人公则是著名人物秦九韶。
他是南宋末年人，出生帝是在鲁郡。
早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，便跟随父迁徙。
奇人秦氏九韶 奇书《数书九章》 首创“大衍求一” 媲美《九章算术》 “正负开方”两术 誉称两部九章
78 \China Science & Technology Education Column专 栏［中国科技教育史话］奇人秦氏九韶奇书《数书九章》首创“大衍求一”媲美《九章算术》“正负开方”两术誉称两部九章 王渝生，中国科学院理学博士，教授，博士生导师，国家教育咨询委员会委员，中国科普产学研创新联盟副理事长，中国科学院自然科学史研究所原副所长，中国科学技术馆原馆长，北京市科学技术协会原副主席。
2020年6月5日，经实施四川历史名人文化传承创新工程领导小组会议审议通过，确定文翁、司马相如、陈寿、常璩、陈子昂、薛涛、格萨尔王、张栻、秦九韶、李调元（按年代排序）10位为第2批四川历史名人。
其中，南宋数学家秦九韶（1208—1268）因其数学名著《数书九章》（1247）而入选。
2天后，6月7日，我约当年《秦九韶籍贯考》考证秦氏为四川安岳人的内江市原副市长邵启昌同赴安岳秦九韶纪念馆考察，受到安岳县人大常委会副主任谢贻奎等领导热情接待。
回想1987年在北京师范大学举行的“纪念秦九韶《数书九章》成书740周年国际学术研讨会”（国内又称“全国第一次秦九韶学术研讨会”）上，当时尚为四川省内江市数学教师的邵启昌的论文《秦九韶籍贯考》，力排“鲁郡”山东、河南范县或陕西“秦凤间”的误传，一锤定音，确定了秦九韶是四川普州即今安岳县人。
2000年，我们参与组织了“秦九韶纪念馆落成典礼暨全国第二次秦九韶学术研讨会”。
当时我请中国科学院院长路甬祥题写的馆名“秦九韶纪念馆”还悬挂在纪念馆大门上，我撰文的碑刻《秦九韶其人其书》和邵启昌撰文的碑刻《数书九章 中华之光》仍在纪念馆大厅内秦九韶塑像两侧，迄今已整整20年了。
现在秦九韶纪念馆已被命名为四川省爱国主义教育基地、四川省科普教育基地和四川师范大学数学史教育研究基地，每年前来参观的青少年学生和外地游客络绎不绝。
秦九韶从小生活在家乡安岳，进士出身的父亲秦季槱是一位学识渊博、办事极为认真的知识分子，他对孩子因材施教，特色教导，助推秦九韶稳步成长。
高中数学文化情景题专题17 秦九韶 (以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练)解析版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题17秦九韶（以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，那么三角形的面积ABCS=为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式()12ABCSp a b c ⎫=++⎪⎭实质是相同的.若在ABC 中，2,3,4a b c ===，则ABC 的内切圆半径r 的值为（ ）A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据题干的面积公式计算，然后根据等面积法计算可得该三角形的内切圆的半径. 【详解】由题可知：2,3,4a b c ===，19()22=++=p a b c又()12△⎫==++⎪⎭ABC S p a b c ，所以△====ABC S 由1922△ABC S a b c rr ，所以r = 故选：D2．南宋时期，我国著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的求三角形面积的方法，称之为“三斜求积术”.这个公式能用三角形的三边a 、b 、c 来求三角形的面积S .数学课上，张三在做笔记时由于分神，有部分公式没有抄完，他的笔记写着22S ⎤⎛⎫⎥ ⎪⎝⎭⎥，请问□里是（ ） A ．222b c a +- B ．222a b c +-C．222c a b+-D．222a b c++【答案】C【解析】【分析】由面积公式与余弦定理进行推导，得到答案.【详解】由三角形面积得：111sin222S ac B ac ac===故选：C3．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数学九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数学九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（）A．27B．37C．47D．57【答案】D【解析】【分析】先求其对立事件的概率，再用1减去其对立事件的概率即为所求【详解】解析：所求概率3537C51C7P=-=故选：D4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足8a b+=，6c=，则此三角形面积的最大值为（）A ．B ．8C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】求出7p =，利用海伦——秦九韶公式将面积S 表示为a 的函数，利用a 的范围及二次函数知识可求出结果. 【详解】依题意可得11()(86)722p a b c =++=+=，所以S ==因为a c bb c a +>⎧⎨+>⎩，即6886a a a a +>-⎧⎨-+>⎩，所以17a <<，所以当4a =时，S 取得最大值 故选：A5．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，“三斜求积”公式表示为S 在△ABC 中，若222sin 4sin ,()4a C A a c b =-=-，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）AB ．CD ．【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角关系可得4ac =，再结合已知可得2224a c b +-=，代入“三斜求积”公式即可求面积. 【详解】由正弦定理可得：24a c a =，则4ac =，又22224a ac c b -+=-，即222244a c b ac +-=-=，所以S ==6．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中给出了三角形面积的求法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅.开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是S =根据此公式，ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin 3sin c A C =，且()2210a c b +-=，则ABC 的面积为（ ）A ．1BC D ．2【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意2sin 3sin c A C =，由正弦定理得23,3ac c ac ==，()2222210,210a c b a ac c b +-=++-=，222222610,4a c b c a b ++-=+-=，所以S = 故选：B7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（ ） A ．84 B ．168 C ．79 D ．63【答案】A 【解析】 【分析】根据“三斜求积”可得三角形面积公式为S ，代入数值计算【详解】解：依题意设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a b c ≥≥，则三角形面积公式为S =15a =，14b =，13c =，所以84S 故选：A8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即ABC 的面积S =,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，若1b =，且tan C =ABC 的面积的最大值为（ ）AB C D 【答案】A 【解析】 【分析】先根据tan C ,a c 关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值. 【详解】因为tan C =sin cos sin C C B C B ，即()sin C C B A =+；由正弦定理可得c =，所以S当a =S 取到最大值2. 故选：A.9．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABCS=a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos 2cos a Ab B =-，2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．43B ．83C D 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化进行边角转换可得2c a =，代入面积公式，变形后结合二次函数性质得最大值． 【详解】 由cos 2cos a Ab B =-得sin cos sin 2cos A A B B=-，2sin sin cos cos sin A A B A B -=，即2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，所以2a c =，ABCS=所以2209a =，即a =()max 1423ABC S =． 故选：A ．10．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABCS ∆=a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos cos 2cos cos a A a Ab B B -==-，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．43B ．83C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据cos cos 2cos cos a A a A b B B-==-，得到2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，即2c a =，再由cos cos a B b A ab +=，利用余弦定理得到2b =，代入ABCS ∆=. 【详解】解：ABC 中，因为cos cos 2cos cos a A a Ab B B-==-， 所以sin cos cos ,2co s s cos in A A a a AB b BB -==-， 则2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A BC =+=+=， 即2c a =，又cos cos a B b A ab +=， 则22222222a c b b c a ab c c+-+-+=， 即c ab =，则2b =，所以ABCS ∆=当2209a =时，ABC 面积取得最大值为43， 故选：A11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S cos ()cos 0a B b A +=，且222b c a +-△ABC 的面积为（ ）A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得cos A bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos ()cos 0a B b A +=化简为()sin cos sin cos 0A B B C A +=，sin cos sin cos cos A B B A C A +=即()sin sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，cos A ∴=222cos 2b c a A bc +-==⇔=，解得：1bc =， 根据面积公式可知S =. 故选：A12．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ，若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ）AB C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据因为2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，利用正弦定理得到222,+-a c b ac ，代入体积公式求解. 【详解】解：因为2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+， 所以2ac =，222622+-=-=a c b ac ，所以===S ， 故选：A13．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，6c =，则当三角形面积最大值时AB 边上的高为（ ）A ．8B ．C ．12D ．【答案】B 【解析】 【分析】代入公式S =9a b ==时三角形的面积取得最大值，再计算AB 边上的高即可 【详解】由题意得，18a b +=，12p =，则S 121232a b-+-≤==当且仅当1212a b -=-，且18a b +=，即9a b ==时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB =故选：B.14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，“三斜求积”公式表示为S .在ABC 中，若2sin 6sin a C A =，()2216a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ）AB C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据若2sin 6sin a C A =，()2216a c b +=+，得到ac 和222a c b +-，代入S 求解即可. 【详解】解：因为2sin 6sin a C A =， 所以26=a c a ，即6ac =，又()2216a c b +=+， 所以2224a c b +-=， 所以=S 故选：C15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC的面积S =已知在ABC 中，cos 6,ac B b ==，则ABC 面积的最大值为（ ）AB ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】【分析】由条件cos 6,ac B b ==得2220a c +=，由基本不等式得10ac ≤，再由S 可求解. 【详解】△222222cos 622a c b a c bac B ac ac +-+-===，又△b =，2221220a c b +=+=.△22102a c ac +≤=（当且仅当a c ==.△ABCS=4==， △ABC 面积的最大值为4. 故选：D16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上文字写成公式，即S （其中S 为面积，a ，b ，c 为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边）．若b cos C ＋c cos B ＝4，c＝a ＝c （cos B cos C ），则利用“三斜求积”公式可得△ABC 的面积S ＝（ ）A ．B ．C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【分析】将cos cos 4b C c B +=利用余弦定理化角为边，求得a ，利用正弦定理将(cos )a c B C =+化边为角，求得b ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：因为cos cos 4b C c B +=，由余弦定理可得222222422a b c a c b b c ab ac+-+-+=，所以4a =，又因为(cos )a c B C =，由正弦定理可得sin sin cos cos )A C B C C =，即()sin sin cos cos )B C C B C C +=，所以sin cos cos B C C C =， 因为a c >，所以A C >，所以2C π<，所以sin B C =，所以4b ==，代入S === 故选：B ．17．已知三角形的三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积为（海伦—秦九韶公式）S =2a b cp ++=，若ABC ，8AC =，12BC BA +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．16D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据海伦—秦九韶公式将三角形的面积表示出来，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解：在ABC 中，由8AC =，12BC BA +=， 则8,12b a c =+=，则20a b c ++=， 所以102a b cp ++==，所以ABCS=10102a c-+-≤=当且仅当1010a c -=-，即6a c ==时，取等号， 所以ABC面积的最大值为. 故选：A.18．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S ，其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（ ）ABCD【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理得到a b =，代入面积公式并根据基本不等式可求出结果. 【详解】由sin 2sin cos C A B =得22222a c b c a ac+-=⋅，得a b =，所以S ====22554442c c +-≤=285c =，22125b a ==时，等号成立.故选：B19．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ，其中a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边.若1tan C =，2b =，则ABC 面积S 的最大值为（ ）AB C ．2 D【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式结合sin tan cos CC C=进行化简，得到sin 3(sin cos cos sin )C B C B C)3sin BC A ，并利用正弦定理可得c =，代入 “三斜求积”公式S 并将2a 看成整体并利用二次函数性质得解. 【详解】13cos 1tan 3sin C -=， 3sin tan 13cos BCB，又sin tan cos CC C=， 3sin sin cos 13cos B CC B，cos sin (13cos )B C C B ，cos sin 3sin cos B CC C B ，所以sin 3(sin cos cos sin )3sin()3sin C B C B C B C A ，由正弦定理得 ,c = 2,bABC 的面积S ==将2a 看成整体并利用二次函数性质得，当 24a =即 a =2时， ABC 的面积S 有最故选：A . 二、多选题20．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S （S 为三角形的面积，a ，b ､c 为三角形的三边）.现有△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =△ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ） A ．△ABC 的最短边长为4 B ．△ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．△ABCD ．△ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【解析】 【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC 的中线：()12CD CA CB =+． 【详解】因为sin :sin :sin 2:A B C =::2:a b c =2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABC S =△，所以=2t =，则4a =，6b =，c =A 正确；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以3C π=，2233A B C πππ+=-==，故B 正确；因为3C π=，所以sin C =，由正弦定理得2sin c R C ==，R =C 错误； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故CD =D 错误.故选：AB.21．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ，现有周长为5ABC 满足::2:a b c =判定下列命题正确的有（ ）A ．在ABC 中角C =30°B ．ABCC ．ABCD ．ABC 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出边长a ，b ，c ，再利用正余定理、面积定理逐项分析、计算判断作答. 【详解】因ABC 的周长为5::2:a b c =2,3,a b c ===由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-===，而0180C <<，则60C =，A 不正确；由选项A 知，ABC 的面积1133sin 23sin 60222S ab C ==⨯⨯⨯=，B 正确；由选项A 及正弦定理知，ABC 的外接圆半径R 有22sin 603c R C ===，解得3R =，C 正确；设ABC 的内切圆半径为r ，则ABC 的面积1()2S a b c r =++==，解得r =，D 正确. 故选：BCD22．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S △ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =ABC S =△ ）A ．△ABC 周长为5B ．3C π=C ．△ABCD ．△ABC 中线CD 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设及正弦定理得::2:a b c =a 、b 、c 判断A 的正误；应用余弦定理求角C ，正弦定理求外接圆的半径，作DE AC ⊥应用勾股定理求CD . 【详解】由题设及正弦定理知：::2:a b c =2,3,a x b x c ===且0x >，2S =2x =，所以4,6,a b c ===△ABC 周长为10+A 错误；2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，则3C π=，B 正确；△ABC 的外接圆半径为2sin c R C ==C 正确；如下图，过D 作DE AC ⊥，由题设知：162ADC S DE ==⨯⋅，则DE =又2cAD ==2AE =，故4CE =，所以CD =D 错误.故选：BC 三、双空题23．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S (其中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边). 在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且()cos a c B C =，则ABC 面积的最大值是______ ，此时c =________.【答案】3 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求． 【详解】解：因为(cos )=+a c B C ，由正弦定理得sin sin (cos )sin()A C B C B C ==+， 所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B =+，cos sin cos C C B C =，因为ABC 不是直角三角形，所以cos 0C ≠，sin C B =，由正弦定理得b =，由题意可得S =当29c =即3c =时，ABC 的面积最大，此时max S =．3． 24．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是S =现有ABC 满足sin :Asin :sin 2:B C =ABC 的面积是ABC 的周长为________，AB 边中线CD 的长为_________【答案】 10+10 【解析】 【分析】由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用ACD S =△求出中线CD 的长. 【详解】因为sin :sin :sin 2:A B C =::2:a b c =设2,3,a k b k c ===，则由题可得S ==2k =，则ABC 的周长为(510a b c k ++=+=+因为CD 为中线，ACD △中，6,AC AD ==CD x =，则ACDS==x =又在三角形中，BD BC CD +>，所以CD =故答案为：10+ 四、填空题25．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足4,6a b c =+=，则此三角形面积的最大值为______.【答案】【解析】 【分析】结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值. 【详解】 46522a b c p +++===，所以三角形的面积S==，当且仅当3==b c 时等号成立.故答案为：26．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S 根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为______.【解析】 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】解：由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, △222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S27．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S （其中S 为三角形的面积，,a b c ，为三角形的三边）.在斜ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若(cos )=+a c B C ，且sin a C B =.则此ABC 面积的最大值为___________.【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得sin B C =，再由正弦定理得b =，代入面积公式得面积S 为c 的函数，结合二次函数性质得最大值． 【详解】解：△(cos )=+a c B C ，△sin sin (cos )A C B c =，即sin cos cos sin()sin cos cos sin C B C C B C B C B C =+=+，cos sin cos C C B C =， 又(0,)C π∈且2C π≠，则cos 0C ≠，△sin B C ，△b =，又sin a C B =，所以ac =，解得3a =，△S == △3c =时，max S =．． 【点睛】 思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长．28．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC的面积为S =222cos cos cos sin sin 1C A B A B --=-，且ABC 的外ABC 面积的最大值为___________.【解析】【分析】 利用同角三角函数的平方关系化简222cos cos cos sin sin 1C A B A B --=-，结合正弦定理角化为边，得到222a b c ab +-=，利用余弦定理求得C ，再求得c ，利用基本不等式求得4ab ≤，从而由S =. 【详解】由222cos cos cos sin sin 1C A B A B --=-得：2221sin 1sin 1sin sin sin 1C A B A B --+-+=-，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，故222a b c ab +-=， 所以2221cos 22a b c C ab +-== ，而(0,),3C C ππ∈= ,所以22sin c c C === ， 则22424,4b ab a ab ab +-=≥-≤，当且仅当a b = 时取等号，故ABC S ===≤ 即ABC，故答案为：29．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；,,a b c h h h 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则111222a b c S ah bh ch ===．若在ABC中a h =b h =c h =__________．【解析】【分析】根据题中所给公式求出三角形的边长，再利用余弦定理求得其中一角，再利用正弦定理求得三角形外接圆的半径即可得解.【详解】解：由a b c ah bh ch ==，知111::::8:7:5==a b c a b c h h h ， 设8,7,5===a k b k c k ，则2S ==，又182=⨯=S k，△2=，△1k =，△8,7,5===a b c△2221cos 22a cb B ac +-==， 又()0,B π∈，△3B π=，△该三角形外接圆的直径2sin b R B ===30．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S （其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）.在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若2a =，且()cos a c B C =，则ABC 的面积最大时，c =___________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得b =，带入面积公式，配方可得最值．【详解】()cos a c B C =，由正弦定理()sin sin cos A C B C ∴=，又()A B C π=-+ ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，cos sin cos C B C C ∴=， ABC 非直角三角形，cos 0C ∴≠，sin B C ∴=，即b =，S ∴==当且仅当212c =，即c =时，S 有最大值.故答案为：。
秦九韶
秦九韶秦九韶(1202—1260)是中国古代数学家，字道古，四川省安丘县。
他在1247年写成的《数书九章》是继《九章算术》(公元前1世纪时重编)后我国最重要的数学经典。
《数书九章》载算题81道，分九章，约27万字，接触面很广，在代数学领域内无有重要的贡献。
父季据，进士出身，曾任工部侍郎、秘书省秘书少监。
秦九韶自己曾任和州(今安徽和县)、琼州(今海南琼县)、薪州(今湖北薪春)、建康(今江苏南京)通判。
秦氏成才之路有三：其一是因为他父亲长期从政，他自己也出任地方行政官吏，在行政管理工作中，广泛接触工程技术、农田水利、海运交通、钱粮经济、商品交易、军事后勤等工作，为他著作《数书九章》采集素材提供有利条件。
其二，据《数书九章》秦氏自序说：“早岁侍亲中都，因得访习于太史。
”这当是在他父亲任秘书少监职时事，秦九韶向制订历法官员学习造历知识。
其三，《数书九章》秦氏自序还说：“尝从隐君子受数学”，隐君子是谁，未详姓名，很可能是一位学识渊博的学者，所以秦九韶在数学上的创造发明、其来有自：家学渊源、本人工作实践，刻苦钻研以及良师益友间互相切磋质疑问难。
秦氏在代数学方面的主要贡献有三：1．线性方程组《九章算术》方程章论线性方程组解法，其中所介绍的计算程序相当于今称矩阵初等变换。
从题给增广矩阵，经变换使系数矩阵成为三角矩阵，然后回代，得到答案。
《数书九章》继承《九章算术》传统，于卷17第1题(“推求物价”)第2题(“均货摊本”)，改《九章算术》“遍乘直除”(依次连减)为“互乘相消”，又把系数矩阵变换到单位矩阵为止。
题后草文如实记录13世纪时我国解线性方程组全过程。
“均货摊本”题相当于解方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+.10600040200,106000800264,106000151670,106000523158z w y z x y x w这一解法与今称高斯消去法完全一致，解线性方程组的工作我国远远早于西方。
对秦九韶的评价
对秦九韶的评价
秦九韶被誉为中国古代数学家和天文学家，他对中国科学史发展做出了重要贡献。
秦九韶生于明朝嘉靖年间，他以其杰出的数学天赋和卓越的天文观测技巧闻名于世。
作为中国古代的数学家，秦九韶对数学学科的发展做出了巨大的贡献。
他提出了金刚经算术，通过解决多项式方程的问题，创立了后来被称为“求根法”的算法方法。
这一方法在解决实际问题中具有重要意义，对后来中国数学的发展产生了深远的影响。
此外，秦九韶在古代天文学的研究方面也做出了杰出的贡献。
他借助精密的测量仪器观察天体运动和测量地理坐标，提出了一套详细的天文计算方法，被后人称为“秦九韶算法”。
这种方法对于准确预测太阳、月亮和五大行星等天体位置，以及日食和月食等天文现象的出现时间具有重要作用。
秦九韶的贡献不仅仅局限于数学和天文学领域，他还致力于推动科学知识的普及和教育。
他撰写了大量教材和著作，为后来的科学家和学生提供了重要的学习参考。
他的教育贡献使得科学知识得到更广泛的传播，并为中国古代科学的发展奠定了坚实的基础。
综上所述，秦九韶是一位杰出的数学家和天文学家，他对中国科学史作出了重要的贡献。
他的数学和天文学研究成果影响深远，他的教育贡献推动了科学知识的传播和发展。
秦九韶的成就将永远被后人铭记，并对后世科学家的研究工作产生持久的影响。
秦九韶数书九章简介
秦九韶数书九章简介A Brief Introduction to Qin Jiushao's "Nine Chapters on the Mathematical Art"《秦九韶数书九章》是中国古代数学名著，由宋代数学家秦九韶所著。
"Nine Chapters on the Mathematical Art" by Qin Jiushao is a renowned ancient Chinese mathematical classic, written by the Song Dynasty mathematician Qin Jiushao.该书详细阐述了线性方程组、一次同余式等数学问题的解法，对中国古代数学发展有深远影响。
The book elaborates on the solutions to mathematical problems such as systems of linear equations and linear congruences, exerting profound influence on the development of ancient Chinese mathematics.秦九韶在书中提出了著名的秦九韶算法，用于快速计算多项式的值，这一算法至今仍在计算机科学中广泛应用。
Qin Jiushao proposed the famous Qin Jiushao algorithm in his book, which is used to quickly calculate the value of polynomials. This algorithm is still widely used in computer science today.《秦九韶数书九章》不仅在中国数学史上占有重要地位，也为世界数学发展做出了重要贡献。
秦九韶
秦九韶中国科学院自然科学史研究所何绍庚秦九韶字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州(今广东梅县)．数学。
秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县)，其父秦季槱，字宏父，绍熙四年(1193)进士，后任巴州(今四川巴中)守．嘉定十二年(1219)三月，兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地．在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)．在临安，秦季槱曾任工部郎中和秘书少监等官职．宝庆元年(1225)六月，被任命为潼川知府，返回四川．秦九韶自幼生活在家乡，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移居京部．他是一位非常聪明的人，处处留心，好学不倦．其父任职工部郎中和秘书少监期间，正是他努力学习和积累知识的时候．工部郎中掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，因此，他有机会阅读大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况．他又曾向“隐君子”学习数学．他还向著名词人李刘学习骈俪诗词，达到较高水平．通过这一阶段的学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知．”1225年，秦九韶随父亲至潼川，担任过一段时间的县尉．数年后，李刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献，但未成行．端平三年(1236)元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱频仍，秦九韶不得不经常参与军事活动．他后来在《数书九章》序中写道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落”，真实地反映了这段动荡的生活．由于元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任过蕲州(今湖北蕲春)通判及和州(今安徽和县)守，最后定居湖州(今浙江吴兴)．秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利．定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”．据载，他在湖州生活奢华，“用度无算”．淳祐四年(1244)八月，秦九韶以通直郎为建康府(今江苏南京)通判，十一月因母丧离任，回湖州守孝．在此期间，他专心致志研究数学，于淳祐七年(1247)九月完成数学名著《数书九章》．由于在天文历法方面的丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和“数学大略”(即《数书九章》)．宝祐二年(1254)，秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职．此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝祐六年(1258)任琼州守，但三个月后被免职．同时代的刘克庄说秦九韶“到郡(琼州)仅百日许，郡人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦说他“至郡数月，罢归，所携甚富”．看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满．秦九韶从琼州回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密．吴潜曾相继在开庆元年(1259)拟任以司农寺丞，景定元年(1260)拟任以知临江军(今江西清江)，都因遭到激烈反对而作罢．在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩．在南宋统治集团内部的激烈斗争中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连．约在景定二年(1261)，他被贬至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所．秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平．我们知道，古典代数学的中心课题是方程论，我国古代对于列方程和解方程都曾取得杰出的成就．早在《九章算术》中便已载有开平方术和开立方术，后来又有“开带从平方”、“开带从立方”等二次和三次方程的数值解法，祖冲之父子和王孝通等都对这一课题进行了深入研究．在11世纪，宋代数学家贾宪又创造一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘随加导出减根方程，逐步求出高次方程的正根．以上这些方法都要求方程各项系数为正整数．在宋代，有不少数学家研究了高次方程数值解法，特别是刘益提出的“正负开方术”，方程系数可正可负，取消了以前对方程系数只允许为正整数的限制．但是，这些工作还不够完整和系统．秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法．对于形如x＋a n=0f(x)＝a o x n＋a1x n-1＋…＋a n-1的高次方程及其正根，秦九韶将其表示为下图的形式．这与古代开方术的分离系数表示法基本一致，只是他令“实”常为负(an＜0)，这一点有所差别．图中的数码用筹算数字．下面以《数书九章》“尖田求积”问题为例说明秦九韶高次方程数值解法的运算步骤：(1)依据术文列出方程-x4＋763200x2-40642560000=0，布置算筹如图式(1)．“益隅”是指x4的系数是负数，“从上廉”是指x2的系数是正数，“虚”表示系数为零，“实”规定为负数．(2)把“上廉”向左移四位，“隅”向左移八位，算得上商8，放在“实”的百位数上边，如图式(2)．这实际上相当于对原方程进行x=100x1的变换，得(1) (2)(3)以商8乘益隅得-800000000置负下廉．以8乘负下廉，与原有的上廉相消，得1232000000为上廉．以8乘上廉得9856000000为方．以8乘方得“正积”78848000000，以原有的负实与正积相加，得正实38205440000．如图式(3)．(4)以8乘益隅，并入下廉得-1600000000．以8乘下廉，与原有的正上廉相消得-11568000000为负上廉．以8乘上廉与原有的方相消，得-82688000000为负方，如图式(4)．(5)以8乘益隅，并入下廉得-2400000000．以8乘下廉，并入上廉，得-30768000000为负上廉．如图式(5)．(6)以8乘益隅，并入下廉-3200000000为负下廉．如图式(6)．(7)把“方”向右移一位，上廉移二位，下廉移三位，隅移四位．以负方除正实，算得次商4．如图式(7)．(8)以次商4乘益隅，并入下廉得-3240000．以4乘下廉，并入上廉得-320640000．以4乘上廉，并入方得-9551360000．以4乘方，与正实相消，恰恰消尽．即得840为方程的一个正根．如图式(8)．由以上运算过程可以看出，当求得8＜x1＜9，确定第一位得数为8以后，图式(3)至图式(6)相当于求出进行x2=x1-8的变换后所应得出的新方程(图式(6))：-826880000·102x1+38205440000=0．图式(7)相当于对上式进行x3=10x2的变换后得出的新方程：-826880000·10x3+38205440000=0．最后求得x3=4，因此，从(1)到(8)的各个步骤，基本上都是自下而上随乘随加，最后由“实”中减去，有很强的机械性．这也是“增乘开方法”的主要特点．有人说，计算机发明以后，解方程变得有趣了．确实是这样，秦九韶的高次方程数值解法，可以毫无困难地转化为计算机程序．在《数书九章》中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次．除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题．在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1840年，意大利数学家P．鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家W．G．霍纳(Horner，1786—1837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”．秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年．秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出贡献．中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的．最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物不知数问题”(亦称“孙子问题”)：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组：N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)，等价于求解不定方程组N=3x+2，N=5y+3，N=7Z＋2的正整数解N．《孙子算经》所给出的答案是N=23，但其算法很简略，未说明其理论根据．秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般性解法，现简要介绍如下：已知N≡R i(modA i)，i=1，2，3，…，n，求最小的正整数N．设A i两两互素，若能求得一串数值k1，k2，…，k n，使k i分别满足其中M=A1·A2·A3…·A n，则于是，问题的解答为p为正整数，它的取值要使N成为小于M的正整数．这就是孙子剩余定理，在西方文献中称为“中国剩余定理”．显然，一次同余组解法的关键是如何选定满足条件的一组数k i．秦九韶将这组数称为“乘率”，并在《数书九章》中详细叙述了计算乘率的方法——“大衍求一术”(现在亦指整个一次同余组解法)．用现代符号表示，大衍求一术的基本计算程序是：“定数”，g i称为“奇数”．他的大衍求一术实际上就是把奇数g i 和定数A i辗转相除，相继求得商数q1，q2，…，q n和余数r1，r2，…，r n.在辗转相除过程中，随即算出下表右侧的c i值：秦九韶指出，当r n=1而n是偶数时，最后得到的c n就是所求乘率k i．如果r n=1而n是奇数，那末把r n-1和r n相除，形式上令q n-1=r n-1-1，那末余数r n+1仍然是1，再作c n+1=q n+1c n＋c n-1，这时n＋1是偶数，c n+1就是所求的k i．不论哪种情形，最后一步都出现余数1，故称“求一术”．可以证明，秦九韶这一算法是完全正确的和十分严密的．下面是用大衍求一术求乘率的一个数字实例(其数字见于《数书九章》中关于开禧历上元积年的推算)．已知奇数g=377873，定数A=499067，求乘率k．按照辗转相除公式，整个计算过程可表示为如下的筹算图式：从图式(11)可知，右上角的数字(r10)已变成1，并且n=10是偶数．因此，左上角的数字(C10)即为所求乘率，即k=457999，这时有377873×457999≡1(mod499067)．由上例可见，秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无因难地转化为算法语言，用计算机来实现．在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用．由于在许多问题中，模数A i并非两两互素，而中国传统数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题．秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”．综观他在求解一次同余组问题的各项成就，正如李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧．”在西方，最早接触一次同余式的是意大利数学家L．斐波那契(Fibonacci，约1170-1250)．他在《算盘书》中给出了两个一次同余问题，但没有一般算法．直到18—19世纪，L．欧拉(Euler，1743)、G．F．高斯(Gauss，1801)才对一次同余组进行深入研究，重新获得与中国剩余定理相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明．1852年，英国传教士、汉学家伟烈亚力(A．Wylie，1815-1887)发表《中国数学科学札记》(Jottings on the science of Chinese arithmetic)，其中谈到了大衍求一术．从1856年到1876年，德国人L．马蒂生(Matthiessen，1830-1906)等西方学者又多次指出大衍求一术原理与高斯方法的一致性，从而更加引起了欧洲学者的瞩目．德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”．印度学者对一次同余式问题也有过重要贡献．在6世纪至12世纪间，印度数学家提出了一种类似于“求一术”的“库塔卡”算法，应用于解决与一次同余组等价的不定方程问题．但在时间上晚于《孙子算经》，而在一般性和完整性上又不如大衍求一术．秦九韶所著《数书九章》，是他勤奋学习、苦心钻研和多年积累的数学成就的结晶，是一部堪与《九章算术》相媲美的数学名著．这部著作，南宋时称为《数学大略》或《数术大略》，明清时还曾题称《数学九章》，明万历时赵琦美为此书撰写跋文始称《数书九章》．后来道光时按赵抄本校刻的《宜稼堂丛书》本流传较广，《数书九章》遂成为现今的通称．该书共18卷81题，分为9类，每类9题．这些问题是秦九韶从他收集的大量资料中精选出来的较有代表性的问题．主要内容是：(1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；(2)天时类，历法推算，雨雪量的计算；(3)田域类，土地面积；(4)测望类，勾股、重差等测量问题；(5)赋役类，田赋、户税；(6)钱谷类，征购米粮及仓储容积；(7)营建类，建筑工程；(8)军旅类，兵营布置和军需供应；(9)市易类，商品交易和利息计算．从其著作体例来看，《数书九章》受到《九章算术》等经典著作的传统影响，仍然采用问题集的形式，但在各题术文(解题方法)之启，多附有“草”，即表明演算步骤的算草图式．在《数书九章》中，除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成就．例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发；他在几何方面的另一项杰出成果是“三斜求积术”，即已知三角形三边之长求其面积的公式．设三角形面积为A，三边长分别为a，b，c，则秦九韶的公式相当于：这个公式与古希腊著名的海伦公式是等价的．《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况．关于秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一致．他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识．他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”但他又承认自己对于“通神明，顺性命”没有太深的体会，于是注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果．为此，他付出了辛勤劳动，撰写出20余万言的数学巨著．他的这种思想和作法是难能可贵的，应该给予充分的肯定．秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家．他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．美国著名科学史家G．萨顿(Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．。
南宋数学家秦九韶主要成绩
南宋数学家秦九韶主要成绩
秦九韶是南宋时期的一位著名数学家，他的主要成就包括以下几个方面。
一、推广“天元术”
“天元术”是中国古代数学中的一种求解高次方程式的方法。
秦九韶在其著作《数书九章》中详细介绍了这一方法，并进行了大量的推广和普及。
他提出了“传、衍、攀、剖”四种方法的组合应用，使之更加灵活和实用，使“天元术”成为了中国古代数学中独具特色的一部分。
二、研究数论
秦九韶对数学的研究不仅限于代数，还涉及到了数论方面。
他在《数书九章》中介绍了中国古代数学中的“方程术”和“同余术”，并深入探讨了素数、因数分解等数学问题，为后人在数论研究上提供了重要的思路和方法。
三、提出“连分数”
秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了一种新的数学表示方法——连分数。
他将实数表示为以整数为分子的有限或无限连分数的形式，这一方法被广泛运用于数学和物理等领域，成为了一个非常重要的工具。
四、研究勾股定理
秦九韶对勾股定理的研究也有很大的贡献。
他通过使用古希腊的几何方法，成功地证明了勾股定理，并将其应用于实际问题中，如城
市规划和军事防御等领域。
总之，秦九韶是中国古代数学中的一位杰出的代表，他的成就不仅体现在他的著作中，还体现在他对中国古代数学的推广和普及中。
他的贡献对于中国古代数学和现代数学的发展都有着深远的影响。
勾股定理选择题(10)
中考数学模拟试卷分类汇编易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题(10)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45︒，若AD=4，CD=2，则BD的长为（）A．6 B．27C．5 D．253．在ΔABC中,211a b c=+,则∠A( )A．一定是锐角B．一定是直角C．一定是钝角D．非上述答案4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：2：3；（4）GE2+CE2＝BG2．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝46，则PE+PF的长是（）A．46B．6 C．42D．266．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．67．如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A ．254cmB ．152cmC ．7cmD ．132cm 8．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ∆周长的最小值是6，则AB 的长是（ ）A ．12B ．34C ．56D ．19．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．410．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。
我国古代数学家秦九韶-人教B版必修三教案
我国古代数学家秦九韶一、简介秦九韶（约1202-1261年），字少甫，号九韶，祖籍河南，生于湖广（今河南省禹州市汝南县）。
秦九韶是中国宋元时期最有影响的数学家、天文学家和诗人之一，也是《数学九章》中的《数书九章》的主要作者之一，被誉为“数学九章之祖”。
秦九韶出生于一个世代从事农业的农民家庭，由于家庭困难，他只得早早离开学堂，拜门外秦士良求学。
秦士良善于数学和天文学，并意识到秦九韶的天分和才能，便亲自教授他，奠定了秦九韶一生的事业基础。
二、主要成就1. 《数学九章》秦九韶的最大成就是参与编写了宋代著名的数学专著《数学九章》，为其中的《数书九章》的主要作者之一。
该书是中国古代数学经典，对我国数学的发展产生了重大影响，并成为了后来数学教育的重要教材之一。
《数书九章》共分为十三篇，介绍了如何运用九章算术解决实际问题。
它以计算其实际应用为核心，对代数学知识、算式意义以及运算法则等方面进行了系统的总结和规范，并引导了中国古代数学向代数学和解析几何的发展方向。
2. 天文学成就秦九韶在天文学方面也有很大的成就。
他发明了“连珠望厦法”，用于测量黄赤交角，以此计算出四分历中一个朔望月的长度。
他还通过对日食月食的观测和计算，推算出日、月、地三者的相对位置，并用计算出的结果制定了历法。
3. 其他成就除了数学和天文学之外，秦九韶还擅长诗歌创作，以及修建工程等方面。
他曾担任建业水利工程的主持人，在河道改水方案和大坝设计方面发挥了重要作用。
他还创作了不少优秀的诗歌，被誉为“诗中师”。
三、影响秦九韶是中国古代数学、天文学和诗歌等多个领域的杰出代表，他的科学成就和崇高品德对后人影响深远。
他对于我国数学教育和科学发展的贡献也是不可磨灭的。
秦九韶的《数学九章》至今仍为数学教育的重要参考书之一，他的开创性思想和方法深深影响了后世的代数学、解析几何和数论研究。
同时，他在天文学领域的独到见解也让人们对天体的理解更加深刻，对于历法制定和天体运动研究的发展起到了重要作用。
海伦—秦九韶公式
大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边
分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少?
转化为数学语言为下列图形：
A
∙
中斜一十四里
小斜一十三里
B∙
大斜一十五里
∙C
在△ABC中，已知=15，=14， = 13，求△ABC的面积.
秦九韶：南宋著名数学家，代表作《数书九章》等
秦九韶公式
=
－
＋ －
布置作业
1.请同学们自主探究证明海伦公式的其他方法并与同学交流。
2.简单四边形的面积和它的四条边存在着什么关系呢？
尝试猜想并证明。
学习感悟
对早已正确认定的定理作进
一步的研究，探索它的新证法，
只不过是因为现有的证明欠缺美
解：∵a＝ ，b＝3，c＝2 ，
∴a2＝5，b2＝9，c2＝12，
∴三角形的面积
S＝
＝
－
× －
＋－
＋－
＝
.
课堂总结
海伦－秦九韶公式
海伦：古希腊数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等
海伦公式
=
(－)(－)(－)
＝
C
5
A
4
6
图1
− )
× × ×
B
知识应用
我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，
即已知三角形的三边长，求它的面积.用符号表示即为
S＝
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《我国古代数学家秦九韶》阅读材料
1、人物生平简介
秦九韶，字道古。
普州安岳(今四川安岳)人。
南宋嘉定元年(1208年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州。
中国古代数学家。
秦九韶聪敏勤学。
宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。
先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任所。
他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。
宋淳祐四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。
这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。
他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。
世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。
秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早500多年。
2、划时代巨著
秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数书九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数书九章》。
全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营．
建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。
许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。
该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。
此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。
此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。
我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。
特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。
那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。
”
3、大衍求一术
中国古代求解一类大衍问题的方法。
大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。
宋代数学家秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。
九韶的“大衍求一术”，领先卡尔?弗里德里希?高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”。
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中
一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。
秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。
4、任意次方程
秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年。
秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W?G?Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。
秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
5、一次方程组解法
此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。
在欧洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
．
书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归；卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。
6、三斜求积术
秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（Heron，公元50年前后）公式完全一致。
秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对当前仍有现实意义。
秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。
7、剩余定理
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，求这个数。
现给出求解该问题的具体步骤：
1、求出最小公倍数
2、求各个数所对应的基础数
3.把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）
4、减去最小公倍数（在比最小公倍数大的情况下）
阅读与欣赏:<道古桥>
杭州西溪路上曾经有一座老桥，叫道古桥。
始建于南宋嘉熙年间（1237-1241），初名西溪桥。
南宋咸淳初年《临安志》有载：“‘西溪桥'，本府试院东，宋代嘉熙年间道古建造。
”这个造桥的“道古”不
是别人，正是南宋大数学家秦九韶，道古是他的字。
直到元代初年，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰（1249-1314）来到杭州，倡议将“西溪桥”更名“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。
道古桥一直存在到新千年之交,因为西溪路扩建改造，旧桥拆平，建起高楼大厦，只留一个公交车站，名道古桥。