简谐周期的求解
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简谐周期的求解
广东仲元中学 刘雁
一、数学规律
已知函数x 随变量t 的变化规律为
0cos()x A t ωφ=+
其中A 、ω和0ϕ为常量。
对上述函数求导,可得:
0sin()x A t ωωφ'=-+
再求导,可得:
20cos()x A t ωωφ''=-+
即:2
0x x ω''+=
由此可知,方程20x x ω''+=的解为:0cos()x A t ωφ=+
其中A 、ω和0ϕ的值可由初始条件求得。
其周期为: 2T πω=
二、简谐周期的求解
1、质点所受各力的合力F 与质点的位移x 的关系为F kx =-(其中k 为正常量),质点的质量为m 。求质点运动的周期。
解:由牛顿第二定律知:
F ma mx ''==
所以:
mx kx ''=-
即:
0k x x m ''+
=
令2k m ω=,即ω= max 0cos()x x t ωϕ=+
所以: 22T πω=
=
说明:如果力与位移的关系是F kx b =-+,我们可以通过改变位移参考点的位置使力与位移大小成正比。所以,若质点所受各力的合力F 与质点的位移x 的关系为F kx b =-+ (其中k 和b 为常量,且0k >),质点的质量为m
。则质点的运动周期为2T =。 2、已知刚体对转动轴的转动惯量为I ,若刚体所受各力对转动轴的合力矩M 与角位移θ的关系满足M k θ=-(k 为正常量,M 与θ的正方向关系满足右手螺旋规律),求其周期的表达式。
解:由刚体运动定律知:M I I βθ''==
所以:
I k θθ''=-
即:
0k I θθ''+= 令2k I ω=
,即ω= max 0cos()t θθωϕ=+
所以:22T πω=
=
3、已知LC 振荡回路中线圈的自感系数为L ,电容器的电容为C 。求LC 振荡周期。
解:由回路电压规律得:q Li C '-=
即:q Lq C ''-= 10q q LC ''+
= 令21LC ω=
,即ω= max 0cos()q q t ωϕ=+
所以:22T πω=
= L C