命题和证明

命题与证明
证明(1) 证明
假 命 题
要证明我是假命题很简单，只要举出一个反例就可以了！ 要证明我是假命题很简单，只要举出一个反例就可以了！
真 命 题
证明我是真命题也很简单哪,只要举一个正确的例子就可以了！ 证明我是真命题也很简单哪 只要举一个正确的例子就可以了！ 只要举一个正确的例子就可以了
他们俩谁说得怎样才能确定一个命题是真命 同学们 他们俩谁说得对 题呢?
3
） ) E
A D
1 2
G F B
C
思考题 已知：如图 为 已知：如图AD为∠ABC的角平分线 E为BC 的角平分线 为 的中点过E作 ∥ 的中点过 作EF∥ AD，交AB于M，交CA延 ， 于 ， 延 长线于F。 的延长线于N。 长线于 。 CN∥ AB交FE的延长线于 。 ∥ 交 的延长线于 求证： 求证：BM=CF
在△AFD和△BEC中，因为 和 中 DF=CE（ （ ∠1=∠2 （ ∠ AD=BC （ 所以△ 所以△AFD≌△BEC （ ≌ 所以∠ ∠ 所以∠E=∠F （
练习：根据下列证明过程填空。 练习：根据下列证明过程填空。
已知：如图， 已知：如图， ∠ADE=∠B ∠1=∠2， ∠ ∠ ， 求证： 求证： CD⊥AB ⊥ 证明： 证明：∵ ∠ADE=∠B（ ∠ （ ∴DE∥ _________( ∥ ∴ ∠1=∠3( ∠ ∴ ∠1=∠2( ∠ ∴ ∠2=∠3( ∠ ∴GF∥ _________( ∥ 又∵ AB⊥FG( ⊥ ∴ CD⊥AB( ⊥ ) ) ) ) ) )
(6)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两 如果一个三角形是直角三角形， 如果一个三角形是直角三角形 个锐角互余。 个锐角互余。 (7)等边三角形的每个角都等于 。 等边三角形的每个角都等于60º。 等边三角形的每个角都等于 (8)全等三角形的对应角相等。 全等三角形的对应角相等。 全等三角形的对应角相等 (9)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端 点的距离相等。 点的距离相等。 上述9个命题是否是真命题？ 上述 个命题是否是真命题？ 个命题是否是真命题 但真命题的逆命题未必是正确的， 但真命题的逆命题未必是正确的，如(2)(3)(4) (5)(8)的逆命题就是假命题。 的逆命题就是假命题。 的逆命题就是假命题
两个命题， 两个命题，如果第一个命题的题设是第二个 命题的结论， 命题的结论，第一个命题的结论是第二个命 题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题 互逆命题。 题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 原命题， 如果把其中一个叫做原命题 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫 做它的逆命题。 做它的逆命题。 逆命题 每个命题都有逆命题。 每个命题都有逆命题。 写出下列命题的逆命题： 例1、写出下列命题的逆命题： (1)如果a2=b2,那么|a|=|b| 如果a 那么|a|=|b| 如果 (2)如果a=b,那么a (2)如果a=b,那么a2=b2 如果a=b,那么 (3)直角都相等 直角都相等 (4)对顶角相等 (4)对顶角相等 (5)如果a>1,b>1,那么a+b>2 (5)如果a>1,b>1,那么a+b>2 如果a>1,b>1,那么
B
A D
3 2
1
F
4
E
C
（同位角相等，两直线平行） 同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 两直线平行，同位角相等） （已知） 等量代换） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 两直线平行，内错角相等）
如图, 例2：已知 如图 ：已知:如图 ∠AOB+∠BOC=180°,OE ∠ ° 平分∠ 平分∠ 平分∠AOB,OF平分∠BOC, 平分 求证:OE⊥OF ⊥ 求证
正确的命题即真命题叫做定理，因此每个定理 正确的命题即真命题叫做定理，因此每个定理 都有逆命题。 都有逆命题。 但定理的逆命题不一定是真命题， 但定理的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相 的逆命题是假命题。 等 ”的逆命题是假命题。 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个 如果一个定理的逆命题也是定理， 定理叫做互逆定理 互逆定理， 定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一 个定理的逆定理。 个定理的逆定理。 因此，每个命题有逆命题；每个定理有逆命题， 因此，每个命题有逆命题；每个定理有逆命题， 逆命题 逆命题 但不一定有逆定理 逆定理。 但不一定有逆定理。
平行线判定定理； 如:平行线判定定理； 平行线判定定理 平行线性质定理； 平行线性质定理； 三角形内角和定理； 三角形内角和定理； 同角(等角 的余角 或补角)相等 同角 等角)的余角 或补角 相等 等角 的余角(或补角
证明并写出每一步推理的理由 例1：已知：如图 ：已知：如图,BD⊥AC，EF⊥AC， G ⊥ ， ⊥ ， D，F是垂足，∠1=∠2，求证： 是垂足， ， 是垂足 ∠ ，求证： ∠ADG= ∠C 已知） 证明： 证明：∵BD⊥AC，EF ⊥ AC （已知） ⊥ ， ∴ ∠3=∠4=90° ∠ ° ∴BD//EF ∴ ∠2= ∠CBD 又∵ ∠1=∠2 ∠ ∴ ∠1= ∠CBD ∴GD//BC ∴ ∠ADG= ∠C （垂直的定义） 垂直的定义）
要确定一个命题是真命题， 要确定一个命题是真命题，光靠举几个例子是不 够 的，要对它的正确性进行论证。在论证过程中， 要对它的正确性进行论证。在论证过程中， 必 须追本求源，最后，只能确定几个不需要再作论 须追本求源，最后，只能确定几个不需要再作论 证 的，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真 其正确性是人们在长期实践中检验所得的真 命
例4:请在下列题目证明中的括号内填入适当的理由 请在下列题目证明中的括号内填入适当的理由
已知：如图 已知：如图AD=BC，CE∥DF，CE=DF ， ∥ ， 求证： 求证：∠E=∠F ∠ 证明：因为CE∥DF（ 证明：因为 ∥ （ ∠1=∠2（ ∠ （ ） C ） ） ） ） ） A ） E 2 D 1 F B
M B F A
E D N
C
你有哪些收获?
⑴公理和定理的概念及它们的异同. 公理和定理的概念及它们的异同 ⑵什么叫证明? 什么叫证明 ⑶如何进行推理和表达? 如何进行推理和表达
作业布置: 作业布置 1.课本第 页第 两题 课本第82页第 课本第 页第4,5两题 2.基础训练同步练习 基础训练同步练习2 基础训练同步练习
内角 的和等于180°”等，它们的正确性已经经过推理得 ° 等 它们的正确性已经经过推理得 的和等于 到证实，并被作为判断其他命题真假 的依据，这样 到证实， 的依据， 定理。 证明. 的真命题称为定理 推理的过程叫做证明 的真命题称为定理。推理的过程叫做证明 ▲跟同伴交流，回顾我们学过 的命题，哪些是定理？ 跟同伴交流， 的命题，哪些是定理？
4、说出下列命题的题设和结论 (1)两直线平行，内错角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行 (2)内错角相等，两直线平行。 )内错角相等，两直线平行。 (3)全等三角形的对应边相等 (3)全等三角形的对应边相等 (4)三边对应相等的两个三角形全等。 (4)三边对应相等的两个三角形全等。 三边对应相等的两个三角形全等 (5)角平分线上的点到角两边的距离相等 (5)角平分线上的点到角两边的距离相等 (6)到角两边距离相等的点在角的平分线上。 (6)到角两边距离相等的点在角的平分线上。 到角两边距离相等的点在角的平分线上 观察它们的题设、结论有什么特点？ 观察它们的题设、结论有什么特点？ 它们的题设 有什么特点
练习: 练习 1. 已知，如图，AB⊥BF， 已知，如图， ⊥ ， CD⊥BF，∠1=∠2 ⊥ ， ∠ 求证： 求证： ∠3=∠4 ∠ 证明:∵ 证明 ∵ AB⊥BF， ⊥ ， CD⊥BF ⊥ （已知 ）
A
1
B D
2
C
4
3
E
F
∴∠ B=∠CDF=90° （ 垂直的性质 ） ∠ ° ∴AB// CD （ 垂直于同一条直线的两直线平行） 又∵ ∠1=∠2 ∠ ∴AB//EF ∴CD // EF ∴∠3=∠4 ∠ （已知） 已知） （内错角相等，两直线平行） 内错角相等，两直线平行） （平行于同一直线的两直线平行 ） 两直线平行， （ 两直线平行，同位角相等）
A
E
B F 1 2 O C
▲通过上述例子，请同学们归纳证明是怎样一个 通过上述例子，
过程，证明过程中，推理的依据有哪些？ 过程，证明过程中，推理的依据有哪些？同伴之 间互相交流一下。 间互相交流一下。 归纳结果：证明是由条件（已知） 出发， 归纳结果：证明是由条件（已知） 出发，经过 条件 一步一步的推理 论证，最后,推出结论（求证） 一步一步的推理,论证，最后 推出结论（求证） 推理 论证 推出结论 正确的过程。证明过程中,推理的依据可以是公 推理的依据可以是公 正确的过程。证明过程中 推理的依据可以是 推论。 理，也可以是定理，定义，已知条件 ，推论。 也可以是定理，定义， 定理
2.如图，DC//AB， 如图， 如图 ， DF平分∠CDB， 平分∠ 平分 ， BE平分∠ABD， 平分∠ 平分 ， 求证： 求证：∠1=∠2 ∠
E
D
1
C F
2
A
B
3、说出下列命题的题设和结论 (1)垂直于同一直线的两直线平行。 (1)垂直于同一直线的两直线平行。 垂直于同一直线的两直线平行 (2)对顶角的余角相等。 对顶角的余角相等。 对顶角的余角相等 (3)若a⊥b，b⊥c则a⊥c。 (3)若a⊥b，b⊥c则a⊥c。 (4)如果 如果|a|=|b|，那么 2=b2。 如果 ，那么a
▲问题 ：你能举出几个前面已学过的公理吗？ 问题1：你能举出几个前面已学过的公理吗？ 问题
如:经过两点有且只有一条直线 . 经过两点有且只有一条直线 两点之间线段最短 . 经过直线外一点，有且只有一条 经过直线外一点， 直线平行于已知直线. 直线平行于已知直线