概率论课后习题及例题(考试重点)

课本P25 3、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,41)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8

508143=+- 7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4

桶白漆，3桶黑漆和

2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为A 。在17桶中任取9桶的取法有917C 种，且每种取法等可能。

取得4白3黑2红的取法有2334

4

10C C C ?? 故 2431252)(617

2334410=??=C C C C A P 14、)(,2

1)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。 解：由61)()(314121)()|()()()()|(=??=????→?=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 得121)|()()(==A B P A P AB P P84 3、设随机变量（X ，Y ）概率密度为?????<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k 。 （2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5} （4）求P (X+Y ≤4}

分析：利用P {(X , Y)∈G}=??

???=o D G G dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中??????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵????+∞∞-+∞∞---==

2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）8

3)6(81)3,1(3210??=--=<

7、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

?

????≤≤≤≤-=其它求边缘概率密度0.0,10)2(8.4),(x y x x y y x f 解：?????≤≤-=-==??∞+∞-其它0

10)2(4.2)2(8.4),()(0

2x x x dy x y dy y x f x f x X ?????≤≤+-=-==?

?∞+∞-其它0

10)43(4.2)2(8.4),()(12y y y y dx x y dx y x f y f y Y

P114 7、设随机变量X 的概率密度为

???≤>=-0

,00,)(x x e x f x 求（1）Y=2X （2）Y=e －2x 的数学期望。 解：（1）??+∞-+∞∞

-==02)(2)(dx xe dx x xf y E x []2022=∞+--=--x x e xe （2）?

?+∞--+∞∞--==022)()(ex e e dx x f e Y E x x x 310313=∞-=-x e 15、将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E (X )

P35 例3、某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次， 试求至少击中2次的概率。

【解】将一次射击看成一次伯努利试验，设击中的次数为X ，则X~b(400, 0.02)， X 的分布律为

于是所求的概率为：

例5、计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片,次品率达0.1%,各芯片成为次品相对独立,求在1000只产品中至少有2

只次品的概率. 解：以X 记产品中的次品数，X~b(1000,0.001)。

例2 一个靶子是半径为2cm 的圆盘。设击中靶上任一同心圆【盘上的点的概率与该圆盘的面积呈正比，并设射击都能击中

靶，以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量

X 的分布函数。 例1设随机变量X 具有概率密度

,03,()2,34,20,.kx x x f x x ≤

（1）确定常数k ； （2）

求 X 的分布函数();F x （3）求

7{1}.2P X <≤

例3 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 (2)2,0,0(,)0,x y e x y f x y -+?>>=??其他

(1) 求分布函数 (,)F x y ; (2)求概率 {}P Y X ≤ 解：（1）(,)(,)y x F x y f x y dxdy -∞-∞=?? (2)002,0,00,y x x y e dxdy x y -+?>>?=?????其他

即有 2(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --?-->>=??其他 （2）将),(Y X 看作是平面上随机点的坐标，即有

{}{(

,)}Y X X Y G ≤=∈ 其中G 为xOy 平面上直线 y x =及其下方的部分，如

图4于是{}{(,)}(,)G P Y X P X Y G f x y dxdy ≤=∈=?? (2)00123x y e dxdy +∞+∞-+==?? 例2 一简单电路中，两电阻 串联，设 相互独立， 他们的概率密度均为

10,010()500,x x f x -?≤≤?=???其他 求总电阻 的概率密度

例2 设随机变量X 和Y 具有联合概率密度：

26,(,)0,x y x f x y ?≤≤=??其他 求边缘概率密度()()X Y f x f y ，